复变函数课后习题答案(全)
习题一答案
1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：
（1）
1
32i
+
（2）
(1)(2)
i
i i
--
（3）13
1
i
i i
-
-
（4）821
4
i i i
-+-
解：（1）
132
3213
i
z
i
-
==
+
，
因此：
32 Re, Im
1313 z z
==-，
232
arg arctan,
31313
z z z i
==-=+
（2）
3
(1)(2)1310
i i i
z
i i i
-+
===
---
，
因此，
31
Re, Im
1010
z z
=-=，
131
arg arctan,
31010 z z z i
π
==-=--（3）
133335
122
i i i
z i
i i
--
=-=-+=
-
，
因此，
35
Re, Im
32
z z
==-，
535
,arg arctan,
232
i
z z z
+ ==-=
（4）821
41413
z i i i i i i
=-+-=-+-=-+
因此，Re 1, Im 3z z =-=，
arg arctan3, 13z z z i π==-=--
2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式：
（1）i （2）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+ （
4
）
(cos sin )
r i θθ- （5）
1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤
解：（1）2
cos
sin
2
2
i
i i e π
π
π
=+=
（2）1-+2
3
222(cos sin )233
i i e πππ=+=
（3）(sin cos )r i θθ+()2
[cos(
)sin()]22
i
r i re
π
θπ
π
θθ-=-+-=
（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2
1cos sin 2sin
2sin cos 222
i i θ
θθ
θθ-+=+ 2
2sin [cos
sin
]2sin 22
22
i
i e
πθ
θπθ
πθ
θ
---=+=
3． 求下列各式的值：
（1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-
（3
）(1)(cos sin )
(1)(cos sin )
i i i θθθθ-+-- （4）
23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+-
（5
（6
解：（1
）5
)i -5[2(cos()sin())]66
i ππ
=-+-
5552(cos()sin()))66
i i ππ
=-
+-=-+ （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-
（3
）
(1)(cos sin )
(1)(cos sin )
i i i θθθθ-+--
2[cos()sin()](cos sin )
33
)sin()][cos()sin()]44
i i i i ππ
θθππ
θθ-+-+=
-+--+-
)sin()](cos2sin 2)12
12
i i π
π
θθ=-
+-
+
(2)12
)sin(2)]12
12
i
i π
θπ
π
θθ-
=-
+-
=
（4）2
3
(cos5sin 5)(cos3sin 3)
i i ????+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)
i i i ??????+==+-+- （5
=
11cos (2)sin (2)3232k i k ππ
ππ=++
+1
, 0221, 122
, 2i k i k i k +=?
??=-
+=??-=???
（6
=
11(2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++8
8, 0, 1
i i e k e k π
π
==?=?
4．
设12 ,z z i =
=-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：12cos
sin
, 2[cos()sin()]4
466
z i z i π
π
ππ
=+=-+-，所以
12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212
i i ππππππ
=-+-=+，
12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212
i i ππππππ
=+++=+ 5． 解下列方程：
（1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=> 解：（1
）z i += 由此
2
5
k i
z i e i
π
=-=-，(0,1,2,3,4)
k=
（2
）z==
11
[cos(2)sin(2)]
44
a k i k
ππππ
=+++，当0,1,2,3
k=时，对应的4
(1),1),1),)
i i i i
+-+---6．证明下列各题：（1）设,
z x iy
=+
z x y
≤≤+
证明：首先，显然有z x y
=≤+；
其次，因222,
x y x y
+≥固此有222
2()(),
x y x y
+≥+
从而
z=≥
（2）对任意复数
12
,,
z z有222
121212
2Re()
z z z z z z
+=++
证明：验证即可，首先左端22
1212
()()
x x y y
=+++，
而右端2222
11221122
2Re[()()]
x y x y x iy x iy
=+++++-
2222
11221212
2()
x y x y x x y y
=+++++22
1212
()()
x x y y
=+++，由此，左端=右端，即原式成立。
（3）若a bi +是实系数代数方程101100n n n a z a z a z a --++++=
的一个根，那么a bi -也是它的一个根。
证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，()n n z z =，由此得到：
10110()()0n n n a z a z a z a --++
++=
由此说明：若z 为实系数代数方程的一个根，则z 也是。结论得证。
（4）若1,a =则,b a ?≠皆有
1a b
a ab
-=-
证明：根据已知条件，有1aa =，因此：
1
1()a b a b a b a ab aa ab a a b a ---====---，证毕。 （5）若1, 1a b <<，则有
11a b
ab
-<- 证明：2
2
2
()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--，
2
2
2
1(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--， 因为1, 1a b <<，所以，
2
2
2
2
2
2
1(1)(1)0a b a b a b +--=--< ，
因而2
2
1a b ab -<-，即
11a b
ab
-<-，结论得证。 7．设1,z ≤试写出使n z a +达到最大的z 的表达式，其中n 为正整数，a 为复数。
解：首先，由复数的三角不等式有1n n z a z a a +≤+≤+， 在上面两个不等式都取等号时n z a +达到最大，为此，需要取n z 与a 同向且1n z =，即n z 应为a 的单位化向量，由此，
n a z a
=
，
z =
8．试用123,,z z z 来表述使这三个点共线的条件。
解：要使三点共线，那么用向量表示时，21z z -与31z z -应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差0或π的整数倍，再由复
数的除法运算规则知21
31
z z Arg z z --应为0或π的整数倍，至此得
到：
123,,z z z 三个点共线的条件是21
31
z z z z --为实数。
9．写出过1212, ()z z z z ≠两点的直线的复参数方程。
解：过两点的直线的实参数方程为：
121121()
()
x x t x x y y t y y =+-??=+-?，
因而，复参数方程为：
112121121()()z x iy x iy t x x iy iy z t z z =+=++-+-=+-
其中t 为实参数。
10．下列参数方程表示什么曲线（其中t 为实参数）
（1）(1)z i t =+ （2）cos sin z a t ib t =+ （3）i
z t t
=+
解：只需化为实参数方程即可。 （1）,x t y t ==，因而表示直线y x =
（2）cos ,sin x a t y b t ==，因而表示椭圆22
221x y a b
+=
（3）1
,x t y t
==，因而表示双曲线1xy =
11．证明复平面上的圆周方程可表示为 0zz az az c +++=， 其中a 为复常数，c 为实常数
证明：圆周的实方程可表示为：220x y Ax By c ++++=，
代入, 22z z z z x y i
+-=
=
，并注意到2
22x y z zz +==，由此 022z z z z
zz A B c i
+-+++=，
整理，得 022
A Bi A Bi zz z z c -++
++= 记
2A Bi a +=，则2
A Bi
a -=，由此得到 0zz az az c +++=，结论得证。
12．证明：幅角主值函数arg z 在原点及负实轴上不连续。 证明：首先，arg z 在原点无定义，因而不连续。
对于00x <，由arg z 的定义不难看出，当z 由实轴上方趋于0x 时，arg z π→，而当z 由实轴下方趋于0x 时，
arg z π→-，由此说明0
lim arg z x z →不存在，因而arg z 在0x 点不连
续，即在负实轴上不连续，结论得证。
13．函数1
w z
=把z 平面上的曲线1x =和224x y +=分别映成w
平面中的什么曲线
解：对于1x =，其方程可表示为1z yi =+，代入映射函数中，得
2
11111iy
w u iv z iy y
-=+=
==++， 因而映成的像曲线的方程为 22
1, 11y
u v y y
-==++，消去参数y ，得
222
1,1u v u y +==+即22211()(),22
u v -+=表示一个圆周。 对于
224x y +=，其方程可表示为
2cos 2sin z x iy i θθ=+=+
代入映射函数中，得
11cos sin 2cos 2sin 2
i w u iv z i θθθθ-=+=
==+
因而映成的像曲线的方程为 11
cos , sin 22
u v θθ==-，消去参数θ，得2214u v +=
，表示一半径为1
2
的圆周。 14．指出下列各题中点z 的轨迹或所表示的点集，并做图： 解：（1）0 (0)z z r r -=>，说明动点到0z 的距离为一常数，因而表示圆心为0z ，半径为r 的圆周。
（2）0,z z r -≥是由到0z 的距离大于或等于r 的点构成的集合，
即圆心为0z 半径为r 的圆周及圆周外部的点集。
（3）138,z z -+-=说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常数，因而表示一个椭圆。代入,z x iy ==化为实方程得
22
(2)11615
x y -+=
（4）,z i z i +=-说明动点到i 和i -的距离相等，因而是i 和i -连线的垂直平分线，即x 轴。 （5）arg()4
z i π
-=
，幅角为一常数，因而表示以i 为顶点的与x
轴正向夹角为4
π
的射线。
15．做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。
（1）23z <<，以原点为心，内、外圆半径分别为2、3的圆环区域，有界，多连通
（2）arg (02)z αβαβπ<<<<<，顶点在原点，两条边的倾角分别为,αβ的角形区域，无界，单连通
（3）
3
12
z z ->-，显然2z ≠，并且原不等式等价于32z z ->-，说明z 到3的距离比到2的距离大，因此原不等式表示2与3 连线的垂直平分线即x =左边部分除掉x =2后的点构成的集合，是一无界，多连通区域。
（4）221z z --+>，
显然该区域的边界为双曲线221z z --+=，化为实方程为 22
44115
x y -
=，再注意到z 到2与z 到-2的距离之差大于1，因而不等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分，是一无界单连通区域。
（5）141z z -<+，代入z x iy =+，化为实不等式，得
22
2178()()1515
x y ++>
所以表示圆心为17(,0)15-半径为8
15
的圆周外部，是一无界多连通区域。
习题二答案
1．指出下列函数的解析区域和奇点，并求出可导点的导数。
（1）5
(1)z -
（2）3
2z iz + （3）211z + （4）1
3
z z ++ 解：根据函数的可导性法则（可导函数的和、差、积、商仍为可
导函数，商时分母不为0），根据和、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式，再注意到区域上可导一定解析，由此得到： （1）5(1)z -处处解析，54[(1)]5(1)z z '-=-
（2）32z iz +处处解析，32(2)32z iz z i '+=+
（3）21
1z +的奇点为210z +=，即z i =±，
22
2222
1(1)2(), ()1(1)(1)
z z z i z z z '-+-'==≠±+++ （4）1
3
z z ++的奇点为3z =-，
2
11()1, (3)3(3)
z z z z '+=-≠-++ 2．判别下列函数在何处可导，何处解析，并求出可导点的导数。
（1）22()f z xy x yi =+ （2）22()f z x y i =+
（3）3
2
2
3
()3(3)f z x xy i x y y =-+- （4）1
()f z z
=
解：根据柯西—黎曼定理： （1）22, u xy v x y ==，
22, ,2, 2x y y x u y v x u xy v xy ====
四个一阶偏导数皆连续，因而,u v 处处可微，再由柯西—黎曼方程
, x y y x u v u v ==-解得：0x y ==，
因此，函数在0z =点可导， 0
(0)0x x z f u iv ='=+=，
函数处处不解析。 （2）22, u x v y ==，
2, 2,0, 0x y y x u x v y u v ====
四个一阶偏导数皆连续，因而,u v 处处可微，再由柯西—黎曼方程
, x y y x u v u v ==-解得：x y =，
因此，函数在直线y x =上可导， ()2x x
y x
f x ix u iv x ='+=+=，
因可导点集为直线，构不成区域，因而函数处处不解析。 （3）32233, 3u x xy v x y y =-=-，
222233, 33,6, 6x y y x u x y v x y u xy v xy =-=-=-=
四个一阶偏导数皆连续，因而 ,u v 处处可微，并且 ,u v 处处满足柯西—黎曼方程 , x y y x u v u v ==- 因此，函数处处可导，处处解析，且导数为
()x x f z u iv '=+= 2233+6x y i xy -23z =
（4）2211()x iy f z x iy x y z +===-+，2222
, x y
u v x y x y ==++， 2222222222
, ()()
x y y x x y u v x y x y --==++， 222222
22, ()()
y x xy xy
u v x y x y --=
=++， 因函数的定义域为0z ≠，故此，,u v 处处不满足柯西—黎
曼方程，因而函数处处不可导，处处不解析。
3．当,,l m n 取何值时
3232()()f z my nx y i x lxy =+++在复平面
上处处解析
解：3232, u my nx y v x lxy =+=+
22222, 2, 3, 3x y y x u nxy v lxy u my nx v x ly ===+=+，
由柯西—黎曼方程得：
2
2
2
2
2 2, (1) 3
3 (2)
x y y x u nxy v lxy u my nx v x ly ====+=-=--
由（1）得 n l =，由（2）得3, 3n m l =-=-，因而，最终有
1, 3m n l ===-
4．证明：若()f z 解析，则有 222
(
())(())()f z f z f z x y
??'+=?? 证明：由柯西—黎曼方程知，左
端
2
2
=+
22
2222()()x x x x uu vv uu vv uv vu u v +++-=+=+ 22222
22
()()()x x x x x x u u v v u v u v u v +++==++2x x u iv =+ 2
()f z '==右端，证毕。
5．证明：若
()f z u iv =+在区域D 内解析，且满足下列条件之一，则()f z 在D 内一定为常数。
（1）()f z 在D 内解析 ， （2）u 在D 内为常数，
（3）()f z 在D 内为常数， （4）2v u = （5）
231u v +=
证明：关键证明,u v 的一阶偏导数皆为0！
（1）()f z u iv =-，因其解析，故此由柯西—黎曼方程得 , x y y x u v u v =-= ------------------------（1） 而由
()f z 的解析性，又有, x y y x u v u v ==-
------------------------（2）
由（1）、（2）知，0x y x y u u v v ===≡，因此12, ,u c v c ≡≡即 12()f z c ic ≡+为常数
（2）设1u c ≡，那么由柯西—黎曼方程得
0, 0x y y x v u v u =-≡=≡， 说明v 与,x y 无关，因而 2v c ≡，从而12()f z c ic ≡+为常数。
（3）由已知，2
220()f z u v c =+≡为常数，等式两端分别对,x y 求偏导数，得
220220
x x y y uu vv uu vv +=+=----------------------------（1）
因
()f z 解析，所以又
有
, x y y x u v u v ==--------------------------（2）
求解方程组（1）、（2），得 0x y x y u u v v ===≡，说明 ,u v 皆与,x y 无关，因而为常数，从而()f z 也为常数。 （4）同理，2v u =两端分别对,x y 求偏导数，得
2, 2x x y y v uu v uu ==
再联立柯西—黎曼方程, x y y x u v u v ==-，仍有
0x y x y u u v v ===≡
（5）同前面一样，231u v +=两端分别对,x y 求偏导数，得
2+30, 2+30x x y y u v u v ==
考虑到柯西—黎曼方程, x y y x u v u v ==-，仍有 0x y x y u u v v ===≡，证毕。
6．计算下列各值（若是对数还需求出主值）
（1）2i
e
π
- （2）
()Ln i - （3）(34)Ln i -+
（4）sin i （5）(1)i i + （6）23
27
解：（1）2
cos()sin()22
i
e
i i π
ππ
-=-+-=-
（2）1
()ln arg()2(2)2
Ln i i i k i k i ππ-=-+-+=-+，
k 为任意整数，
主值为：1
()2
ln i i π-=-
（3）(34)ln 34arg(34)2Ln i i i k i π-+=-++-++
4
ln5(arctan 2)3k i ππ=+-+， k 为任意整数
主值为：4
ln(34)ln5(arctan )3
i i π-+=+-
（4）..1
sin 22
i i i i e e e e i i i ----==
（5）(2)
2(1)4
4
(1)i i k i k i iLn i i e e e
π
π
ππ
++--++===
24
(cosln sin k e i π
π--=+， k 为任意整数
（6）2
2
2
244
27(272)273
3
3
33
3
279Ln ln k i ln k i k i e
e e
e e
πππ+====，
当k 分别取0，1，2时得到3个值： 9
，
43
9
9(1)
2
i e
π=-+，
83
9
9(1)2
i e
π=-+ 7．求
2z e 和2
z Arge
解：2
222z x y xyi
e e -+=，因此根据指数函数的定义，有
2
z e 22
x y e
-=， 2
22z Arge xy k π=+，（k 为任意整
数）
8．设i z
re θ=，求Re[(1)]Ln z -
解：(1)ln 1[arg(1)2]Ln z z i z k i π-=-+-+，因此
Re[(1)]Ln z
-ln 1ln z =-= 2
1ln(12cos )2
r r θ=-+
9．解下列方程：
（1
）1z e =+ （2）ln 2
z i π
=
（3）sin cos 0z z += （4）shz i =
解：（1
）方程两端取对数得：1
(1)ln 2(2)3
z Ln k i π=+=++
（k 为任意整数）
（2）根据对数与指数的关系，应有
2
cos
sin
2
2
i
z e
i i π
π
π
==+=
（3）由三角函数公式（同实三角函数一样），方程可变形为
sin cos )04z z z π
+=+=
因此,4
z k π
π+= 即 4
z k π
π=-
， k 为任意
整数
（4）由双曲函数的定义得 2
z z
e e shz i --=
=，解得 2()210z z e ie --=，即z e i =，所以 (
2)2
z Lni k i π
π==+ ，k 为任意整数
10．证明罗比塔法则：若()f z 及()g z 在0z 点解析，且
000()()0, ()0f z g z g z '==≠，则0
00()
()lim
()()
z z f z f z g z g z →'='，并由此求极限 00sin 1
lim ; lim z z z z e z z
→→-
证明：由商的极限运算法则及导数定义知
000000000000
()()()()
lim ()
lim lim ()()()()()lim z z z z z z z z f z f z f z f z z z z z f z g z g z g z g z g z z z z z →→→→----==----00()()
f z
g z '='， 由此，00sin cos lim lim 11z z z z
z →→==
0001 lim lim 11z z
z z e e e z
→→-===
11．用对数计算公式直接验证：
（1）2
2Lnz Lnz ≠ （2
）1
2
Lnz =
解：记i z re θ=，则
（1）左端22()2ln (22)i Ln r e r k i θθπ==++，
右端2[ln (2)]2ln (24)r m i r m i θπθπ=++=++， 其中的,k m 为任意整数。
显然，左端所包含的元素比右端的要多（如左端在1k =时的值为
2ln (22)r i θπ++，而右端却取不到这一值），因此两端不相等。
（2
）左端22
1]ln (2)22
m i
Ln r m k i θπ
θ
ππ+==+++
右端11[ln (2)]ln ()222
r n i r n i θ
θππ=++=++
其中,k n 为任意整数，而 0,1m =
不难看出，对于左端任意的k ，右端n 取2k 或21k +时与其