大一第一学期期末高数试卷复习
广东技术师范学院期末考试试卷A 卷
参考答案及评分标准
高等数学(上)
一、填空题(每小题3分，共30分)
1. 如果函数)(x f y =的定义域为]1,0[，则)(ln x f 的定义域为],1[e ．(3分)
2．已知2)0('=f ，而且0)0(=f ，则=→x x f x )2(lim 0
4 ．(3分) 3．已知22lim e x x kx x =??? ??+∞→，则=k 1 ．(3分)
4．曲线x x y ln =在点)0,1(处的切线方程是 1-=x y ．(3分)
5．函数653
)(2+--=x x x x f 的间断点个数为 2 ．(3分)
6．如果???????>+=<=0,)1ln(0
,0,
sin )(x x x x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k 1 ．(3分)
7．函数x e x f 2)(=的带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林展式为：(3分)
)10()!1(2!2221)(112
<<++++++=++θθn x
n n n
x n e x n x x x f ． 8．函数
)0,,()(2≠++=p r q p r qx px x f 是常数，且，则)(x f 在区间],[b a 上满
足拉格朗日中值公式的ξ=2b
a +．(3分)
9．定积分()dx x x x 10
11sin ?-+的值为61．(3分) 10．设?+=C x F dx x f )()(，则?--dx e f e x x )(=C e F x +--)(．(3分)
二．计算题(要求有计算过程，每小题5分，共40分)
11．求极限11
3lim 21
-+--→x x x x ．(5分) 解：)13)(1()13)(13(lim 113lim
2121++--++-+--=-+--→→x x x x x x x x x x x x ---------(3分)
42)
13)(1(2lim 1-=++-+-=→x x x x ----------------------------------(5分) 12.求极限 n n n 2sin 2lim π∞→．(5分) 解：
π
ππππ=?=∞→∞→n
n n n n n 22sin lim 2sin 2lim ----------------------------(5分)
13．求极限4020
sin 1lim 2
x tdt t x x ?+→(5分) 解：
21sin 21lim 42sin 1lim sin 1lim 2240324040202=+=?+=+→→→?x
x x x x x x x tdt t x x x x -------(5分) 14．设x
e y arctan =，求dy ．(5分) 解：)(arctan arctan arctan x d e de dy x x ==-----------------------------------(2分)
dx x x e x d x e x
x )1(211arctan arctan +=+=----------------------------------(5分)
15．求由方程y
x e xy +=所确定的隐函数的导数dx dy
．(5分)
解：方程两边求关于x 的导数
)()(dx dy x y xy dx d +=； )1(dx dy e e x d y x y x +=++-------------(3分) 所以有 )(dx dy x y +=)1(dx dy e y x ++
解得 )1()1(y x x y xy x y xy e
x y e dx dy y x y x --=--=--=++------------------------(5分) 16．求由参数方程 ???==-t t e y e x 23 所确定的函数的二阶导数22dx y d ．(5分)
解：t t t t t dt dx
dt
dy e e
e e e dx dy 2''3232)3()2(-=-===-------------------------------(2分)
t t
t t t e e e e e dt dx dx dy dt d dx dy dx d dx y d 32''22294334)3()32(=--=-=??? ??=??? ??=----------(5分)
17．求不定积分?++dx x x x 23
21)(arctan ．(5分)
解：???+++=++dx x x dx x x dx x x x 23
222321)(arctan 11)(arctan ----------------(1分) =x d x dx x arctan )(arctan )111(32??++----------------------------------(3分) =C x x x ++-4)(arctan 41arctan -----------------------------------------------(5分)
18．求定积分dx e x ?+1
01．(5分)
解：令2,1;1,0,2,1,12=====-==+t x t x tdt dx t x t x -----(1分)
???==+21
2110122dt te tdt e dx e t t x --------------------------------------(2分)
2
2122121)12(2)|2(2)|(2e e e e dt e te t t t -=--=-=?--------(5分)
三．综合题(6分+10分=16分)
19．讨论广义积分dx x x p ?+∞2)(ln 1的敛散性．(6分)
解：dx x x dx x x b p b p ??+∞→+∞
=22)(ln 1lim )(ln 1---------------------------------(1分)
当1=p 时
2ln ln ln ln ln ln ln ln 1)(ln 1)(ln 12222-====???b x x d x dx x x dx x x b b b b
p
+∞=-==+∞→+∞→+∞
??)2ln ln ln (ln lim )(ln 1lim )(ln 122b dx x x dx x x b b b -------(3分)
当1≠p 时
])2(ln )[(ln 11|)(ln 11ln )(ln 1)(ln 1112122p p b p b p b
p b p x p x d x dx x x -----=-==??---(4分)
?????<∞+>-=--==---+∞→+∞→∞
+??1,
1,)2(ln 11])2(ln )[(ln 11lim )(ln 1lim )(ln 111122p p p b p dx x x dx x x p p p b b p b p 所以广义积分dx x x p ?+∞
2)(ln 1当1≤p 时发散，当1>p 时收敛。-------------------(6分)
20．求函数x x y 1
2+=的单调区间、凹凸区间、极值点和拐点．(10分)
解：函数的定义域为),0()0,(+∞?-∞ 令01212232'
=-=-=x x x x y ，得驻点3121=x -------------------------(1分) 当321>x 时，0'>y ，函数单调增加，当321 少， 所以函数的单调增加区间为),21[3+∞，单调减少区间为)0,(-∞和 ]21,0(3-----(4分) 3121=x 为函数的极小值点------------------------------------------------------(5分) 令0)1(222333' '=+=+=x x x y ，得12-=x -------------------------------------(6分) 当0>x 或1- x x y 12+=为凹的，当01<<-x 时，0'' x x y 1 2+=为凸的， 所以曲线x x y 1 2+=的凹区间为 ]1,(--∞和),0(+∞，凸区间为)0,1[-------(8分) 曲线的拐点为(-1，0)--------------------------------------------------------------(10分) 四、证明题(6分) 21．证明当0>>b a 时，b b a b a a b a -<<-ln ． 证明：令x x f ln )(=，则)(x f 在区间],[a b 上连续，在区间),(a b 内可导， 由拉格朗日中值定理有：)())(()()('a b b a f b f a f <<-=-ξξ----------(2分) 因为x x f 1)(' =，所以有：)()(1ln ln a b b a b a <<-=-ξξ-----------(3分) 因为a b <<<ξ0，所以b a 111<<ξ， -------------------------------------------(4分) 又0>-b a ，所以b b a b a a b a )()(1-<-<-ξ 即：b b a b a a b a -<<-ln -------------------------------------------------------(6分) 五．应用题(8分) 22．求由曲线x x e y e y -==,与直线1=x 所围成的平面图形面积及这个平面图 形绕x 轴旋转所成旋转体体积． 解：曲线x e y =与x e y -=的交点为(0，1)，曲线x e y =与x e y -=和直线1=x 的交点分别为(1，e )和(1，1-e ),所围平面图形如图阴影部分， 取x 为积分变量，其变化范围为[0，1]，所求面积为 dx e e S x x )(10--=?------------------------------------------------------(2分) 2(|)(110-+=+=--e e e e x x )-----------------------------------------------(4分) 所求旋转体体积为 ))210102dx e dx e V x x -??-=ππ--------------------------------------------(6分) 2(2|)2121(221022-+=+=--e e e e x x ππ)----------------------------------(8分) 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！