泛函分析课后习题答案
第七章 习题解答
1．设（X ，d ）为一度量空间，令
}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U
问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？
解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义
)()(1)()(max 2
1
),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞
=∑ 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明
（1）若),(g f d =0，则)
()(1)()(max
)
()
()()(t g t f
t g t f r r r r b
t a -+-≤≤=0，即f=g
（2）)()(1)()(max 21
),()()()()(0
t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞
=∑ )()(1)()()()(1)()(max 2
1
)()()()()()()()(0t g t h t g t h t g t f t g t f r r r r r r r r b t a r r -+-+-+-≤≤≤∞
=∑ )()(1)()(max 21
)()(1)()(max 21)()()()(0
)()()()(0t g t h t g t h t g t f t g t f r r r r b t a r r r r r r b t a r r -+-+-+-≤≤≤∞=≤≤∞
=∑∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ）
因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。
3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含
B ，而且B o n n =?∞
=1。
证明 令n n n o n n
B x d Bo o .2,1},1
),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在
B x ∈1，使n x x d 1),(10<
。设,0),(1
10>-=x x d n
δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集
显然B o n n ??∞
=1
。若n n o x ∞
=?∈1
则对每一个n ，有B x n ∈使n
x x d 1
),(1<，因
此)(∞?→??→?
n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞
=1
。证毕 4 设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明)
,(1)
,(),(___
y x d y x d y x d +=
是X 上的距离
证明 （1）若0),(___
=y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而
t
t
+1在),[∞o 上是单增函数，于是)
,(),(1)
,(),(),(),(1),(),(___
___
z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=
=
)
,(),(1)
,(),(),(1),(z y d z x d z y d z y d z x d z x d +++++
)
,(1),(),(1),(z y d z y d z x d z x d +++≤=),(),(___
__z y d z x d +。证毕。 5， 证明点列{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞∈的充要条件为n f 的各阶导数在
[a ，b]上一致收敛于f 的各阶导数
证明 若{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞∈，即 )()(1)
()(max 2
1
),()
()()()
(0t f t f t f t f f f d r r n r r n b t a r r n -+-≤≤≤∞
=∑
——>0 )(∞?→?n 因此对每个r ，)()(1)
()(max 21
)
()()()
(0
t f t f t f t f r r n r r n b t a r r -+-≤≤∞
=∑
——>0 )(∞?→?n ，这样 b
t a ≤≤max )()()()
(t f t f r r n -——>0 )(∞?→?n ，即)()
(t f r n 在 [a ，b] 上一致收敛于)()(t f r 。
反之，若的n f （t ）各阶导数在[a ，b]上一致收敛于f （t ），则任意
o >ε，存在0r ，使
22
11ε<∑∞
+=o r r r
；存在r N ，使当r N n >时，max )()()
()(t f t f r r n - 00
,2,1,0,2r r r Λ=<
ε
，取N=max{ N N N K 1}，当n>N 时，
)()(1)
()(max 21
),()
()()()
(0
t f t f t f t f f f d r r n r r n b t a r r n -+-≤≤≤∞
=∑
)()(1)
()(max 2
1
)()()()
(0t f t f t f t f r r n r r n b t a r r -+-≤≤≤∞
=∑∑∞
+=+121o r r r εεε=+<22.00r r 即
),(n f f d ——>0 )(∞?→?
n 。证毕 6设],[b a B ?，证明度量空间],[b a C 中的集{f|当t ∈B 时f （t ）=0}
],[b a C 中的闭集，而集
A={f|当t ∈B 时，|f （t ）|〈a }（a >0）为开集的充要条件是B 为闭集
证明 记E={f|当t ∈B 时f （t ）=0}。设E f n ∈}{，}{n f 按],[b a C 中度量收敛于f ，即在[a ，b]上)(t f n 一致收敛于f （t ）。设B t ∈，则
0)(lim )(==∞
>-t f t f n n ，所以f ∈E ，这就证明了E 为闭集
下面证明第二部分
充分性。当B 是闭集时，设f ∈A 。因f 在B 上连续而B 是有界闭集，必有B t ∈0，使)(max )(0t f t f B t ∈=。设 0)(0>=-δt f a 。我们证明必有A f U ?),(δ。设),(δf U g ∈，则若B t ∈，必有δ<-)()(t g t f ，于是a t f t f t g t f t g =+<+-≤)(||)(|)()(|)(|0δ，所以A g ∈这样就证明了A 是开集
必要性，设A 是开集，要证明B 是闭集，只要证明对任意
.....2,1,=∈n B t n 若0t t n >-)(∞?→?
n ，必有B t ∈0 倘若
B t ___
0∈，则定义||)(0t t a t f o --=。于是对任意B t ∈，a t t a t f o <--=||)(0
因此A t f o ∈)(
由于A 是开集，必有0>δ，当∈f C[a ，b]且δ<),(0f f d 时，A f ∈ 定义，n=1，2。。。。。则)(0||),(00∞>->--=n t t f f d n n 因此当δ<-||0t t n 时，A f n ∈。
但是a t t t t a t f n n n =-+--=||||)(00，此与A f n ∈的必要条件：对 任意
B t ∈，有a t f n <)(矛盾
因此必有B t ∈0证毕
7设E 及F 是度量空间中的两个集，如果o F E d >),(，证明必有不相交开集O 及G 分别包含E 及F
证明 设o F E d >=δ),(。令 }2
),(|{},2
),(|{δ
δ====F x d x G E x d x o
则,,G F O E ??且Φ≠?G O ，事实上，若Φ≠?G O ，则有
Φ
≠?∈G O z ，所以存在E 中的点x 使2
),(δ〈z x d ，F 中点y 使2
),(δ
〈z y d ，
于是δ〈),(),(),(z y d z x d y x d +≤，此与≥),(y x d ），（F E d δ=矛盾。证毕
8 设 B[a ，b]表示[a ，b]上实有界函数全体，对B[a ，b]中任意两元素f ，g ∈ B[a ，b]，规定距离为|)()(|sup ),(t g t f g f d b
t a -=≤≤。
证明B[a ，b]不是可分空间
证明 对任意∈0t [a ，b]，定义{)},[,2),[,1)(00
b t t t a t t f o t ∈∈=
则)(0
t f t ∈B[a ，b]，且若21t t ≠，1),(2
1
=t t f f d 倘若B[a ，b]是
不可分的，则有可数稠密子集
{}
n g n ∞=1
，对任意∈0t [a ，b]，
)21,(0t f U 必有某n g ，即2
1
),(0 1 ,(1t f U ， n g ∈)21,(2t f U ，于是12 121),(),(),(2121=+<+≤t n n t t t f g d g f d f f d 此与 1),(21=t t f f d 矛盾，因此B[a ，b]不是可分空间。证毕 9 设X 是可分距离空间，?为X 的一个开覆盖，即?是一族开集，使得对每个 X x ∈，有?中的开集O ，使得O x ∈，证明必可从?中选出可 数个集组成X 的一个开覆盖。 证明 若X x ∈，必有?∈x O ，使x O x ∈，因x O 是开集，必有某自然数n ，使x O n x U ?)1 ,(。 设 {} n x n ∞ =1 是X 的可数稠密子集，于是在)21 ,(n x U 中必有某)21,(n x U k ，且x k O n x U ?)21,(。。事实上，若)21 ,(n x U y k ∈，则 n n n x x d x y d x y d k k 12121),(),(),(=+<+≤所以)21 ,(n x U y k ∈x O ?。 这样我们就证明了对任意X x ∈，存在k ，n 使)21 ,(n x U x k ∈且 存在O n x U k ?)21,( 任取覆盖)21 ,(n x U k 的O ，记为n k O ,是 X 的可数覆盖。证毕 10 X 为距离空间，A 为X 中子集，令,.),,(inf )(X x y x d x f A y ∈=∈证明) (x f 是X 上连续函数 证明 若,.0X x ∈对任意0>ε，存在A y ∈0，使 200)(2 ),(inf ),(εε +=+ <∈x f y x d y x d A y o 。取 02>=εδ。则当δ<),(0x x d 时ε+<+≤≤=)(),(),(),(),(inf )(0000x f y x d x x d y x d y x d x f o 因此ε<-)()(0x f x f 。 由于x 与0x 对称性，还可得ε<-)()(0x f x f 。于是ε<-|)()(|0x f x f 。这就证明了)(x f 是X 上连续函数 11 设 X 为距离空间，21,F F 是X 中不相交的闭集，证明存在开集 21,G G 使得221121,,F G F G G G ??Θ=?。 证明 若1F x ∈，则由于2F x ?，2F 为闭集，必有0>x ε，使 Θ=?2),(F x U x ε，令)2 , (1 1x F x x U G ε∈=Y ，类似)2 , (2 2y F x y U G ε∈=Y ，其中 Θ=?1),(F y U y ε，显然21,G G 是开集，且2211,F G F G ??。 倘若 ,21Θ≠?G G ，则必有,1F x ∈2F y ∈，使Θ≠)2 , ()2 , (x y x U y U εεI 。设 )2 , ()2 , (x y x U y U z εεI ∈。不妨设y x εε≥，则 x y x y x y z d z x d x y d εεεεε≤+ < +≤≥2 2 ),(),(),(因此),(x x U y ε∈，此与 Θ=2),(F x U x I ε矛盾。这就证明 了Θ=?21G G 。证毕 12 设 X ，Y ，Z 为三个度量空间，f 是X 到Y 中的连续映射，g 是Y 到Z 中的连续映射，证明复合映射))((())(.(x f g x f g =是X 到Z 中的连续映射 证明 设 G 是Z 中开集，因g 是Y 到Z 中的连续映射，所以)(1G g -是Y 中开集。又f 是X 到Y 中的连续映射，故))((11G g f --是X 中 的开集。这样))(()().(111G g f G f g ---=是X 中 的开集，这就证明了g 。f 是X 到Z 的连续映射。证毕 13 X 是度量空间，证明f 是连续映射的充要条件是对每个实数c ，集合})(,|{c x F X x x ≤∈和集合})(,|{c x F X x x ≥∈都是闭集 证明 设 f 是X 上连续的实函数，又对每一实数c ，G=（c ，∞）是开集，于是})(,|{)(1c x F X x x G f >∈=- 是开集。这样})(,|{c x f X x x ≤∈= })(,|{c x f X x x C >∈是闭集。同理})(,|{c x f X x x ≥∈是闭集。 反之，若对每个实数c ，})(,|{c x f X x x ≥∈和})(,|{c x f X x x ≤∈都是闭集，则})(,|{c x f X x x <∈和})(,|{c x f X x x >∈都是开集。设G 是直线上的开集，则Y ∞ ==1 ),(i i i b a G 或Y n i i i b a G 1 ),(==，其中),(i i b a 是G 的构成区间。 不妨设Y ∞ ==1 ),(i i i b a G 于是 }) )(,|({}))(,|({})(,|{)(1 1 1 i i i i i i b x f X x x a x f X x x b x f a X x x G f <∈>∈=<<∈=∞ =∞=-I Y Y 是开集。因此f 是连续的实函数。证毕 14 证明柯西点列是有界点列。 证明 设{ n x }是X 中的柯西点列。对1>0，存在N ，使当n ，m N ≥时，.1),( i x x d M 则对任意n x 有 M x x d N n ≤),(。因此{ n x }是有界点列。证毕 15证明第一节中空间S ，B （A ），以及离散的度量空间都是完备的度量空间 证明 （1）S 是完备的度量空间 设{ n x }是S 中的柯西点列，),,(.)()(2)(1K Λn i n n n x ξξξ=对每一个固定 的i ，由于)0(0212>->--t t t i i ，因此对任意,0>ε存在0>δ，当δ≤≤t 0时ε<-t t i i 212，对此0>δ，存在n ，m N ≥时，δξξξξ<-+-=∑∞ =1) ()()()(||1| |21),(i m i n i m i n i i m n x x d ， 因此δξξξξ<-+-∑∞ =1)()()()(||1||21i m i n i m i n i i ，从而||)()(m i n i ξξ-〈εδ δ <-i i 212。这样对固定的i ，∞=1)(}{n n i ξ是柯西点列。设)() (∞>->-n i n i ξξ。令),,(21K Λi x ξξξ=，故有S x ∈，且对任意给定o >ε，存在0i ，使 ∑∞ +=< 1 02 2 1 i i i ε 。存在), 1(,0i i N i ≤≤使i N n >时，0 )(2||i i n i ε ξξ< -。于是当},max {0 1i N N N n Λ=>时， ∑∞=-+-<1)() (||1||2 1 i n i i n i i i ξξξξ≤ ∑=-+-0 1)()()(||1||21i i m i n i m i i i ξξξξ+∑∞ +=10 21 i i i 〈εεε=+2.200i i 所以{n x }按S 的距离收敛于x （2）B （A ）是完备的度量空间 设∞=1}{n n x 是B （A ）中的柯西点列，任意0>ε，存在N ，使当n ，m N ≥时ε<),(m n x x d 。这样对任意A t ∈， ε<-≤-∈|)()(|sup |)()(|t x t x t x t x m n A t m n 。因此对固定的t ，{ )(t x n }是柯西点 列。设))(()(∞>->-n t x t x n ，由于n ，m N ≥时ε<-|)()(|t x t x m n ，令∞>-m ，得ε≤-|)()(|t x t x n ，这样ε+≤|)(||)(|t x t x n ，于是+∞<+≤ε|)(|sup |)(|sup t x t x n 故x ∈（A ）， 且n 〉N 时，ε≤-∈|)()(|sup t x t x m n A t 。这就证明了按 B （A ）中距离收敛于x （3）离散的度量空间（X ，d ）是完备的度量空间 设∞=1}{n n x 是X 中柯西点列，则对 2 1 >0,存在N ，当n ，m N ≥是21),(< m n x x d 。特别对一切n>N, 2 1 ),( 设F 是n 维欧几里得空间n R 的有界闭集，A 是F 到自身中 的映射，并且适合下列条件：对任何F y x ∈,)(y x ≠，有 ),(),(y x d Ay Ax d <。 证明映射A 在F 中存在唯一的不动点 证明 定义F 上的函数f （x ）=d （Ax ，x ）。由于 ),(2),(),(|),(),(||)()(|y x d y x d Ay Ax d y Ay d x Ax d y f x f <+≤-=-因此 f 是F 上的连续映射，因F 是有界闭集，必有F x ∈0，使 )(min )(00x f x Ff x F x ∈=∈。 我们先证明0)(0=x f ，若0)(0≠x f ，则00x Ax ≠。记01Ax x =，则021x A Ax =，于是 )(),(),(),()(000002111x f x Ax d Ax x A d x Ax d x f =<== 此与)(0x f 是f 的最小值矛盾。故0),(00=x Ax d 即0Ax =0x 若1x 是A 的另一个不动点，则 ),(),(),(101010x x d Ax Ax d x x d <=，矛盾 16 证明 ∞l 与C （0，1]的一个子空间等距同构 证明 若 ),,(21K Λi x ξξξ=∞∈l ，定义]1,0(],1,0(),(∈∈t C t x T ， Λ2,1),1 ,11( ;1 ,),(=+∈==i i i t i t t x T i 或线性，ξ 若),,(21K Λi x ξξξ=∞∈l ，),,(21K Λi y ηηη=∞∈l ，则 ),(|),(),(|sup ||sup ),(] 1,0(Ty Tx d t y T t x T y x d t i i =-=-=∈ηξ因此T 到∞l 到（0，1]的 子空间的一个同构映射，即∞l 到（0，1]的一个子空间等距同构。 18 设X 为完备度量空间，A 是X 到X 中的映射，记 ),() ,(sup 11x x d x A x A d a n n z x n ≠= 若∞<∑∞ =n n a 1 ，则映射A 有唯一不动点 证明 因∞<∑∞ =n n a 1 ，则必有N ，使1 则 ),(),(11x x d a x A x A d N n N ≤ 这样由压缩映射原理N A 有不动点*x ，即*x =N A *x 。由于 N A *x =A N A *x =A *x , A *x 也是N A 的不动点。N A 的不动点是唯一的，因 此*x = A *x ，即*x 是A 的不动点。 若x ’是A 的任意一个不动点，即A x ’= x ’。于是N A x ’=1-n A x ’=…= A x’= x’。这样x’也是N A 的不动点，由于N A 的不动点是唯一的，因 此*x = x’。即A 的不动点也是唯一的。证毕。 19 设A 为从完备度量空间X 到X 中映射，若在开球 ),(0r x U )0(>r 内适合 .10),',()',(<<≤θθx x d Ax Ax d 又A 在闭球}),(|{),(00r x x d x r x S ≤=上连续，并且 .)1(),(00r Ax x d θθ-≤ 证明：A 在),(0r x S 中有不动点。 证明 设n x =n A 0x ，2,1=n …。则 r x Ax d x A x A d x A x A d x x d n n n n n n n n )1(),(),(),(),(00102010101θθθθ-≤<<=----- 任给ε>0，存在N ，使N θr ε<，这样若,n m >且N m n >,，有 . )1()1()1(),(),(),(),(1211211εθθθθθθθθ<<<-++-+-≤+++≤+++-+++r r r r r x x d x x d x x d x x d N n m n n m m n n n n m n ΛΛ 因此}{1n x n ∞ =是柯西列。设n x →*x )(∞→n ，因 r r r r r x x d x x d x x d x x d n i i n n n n n n n <-=-++-+-≤+++<∑=----)1()1()1()1(),(),(),(),(1 1 012110θθθθθθ θθΛΛ 因此),(),(00r x S r x U x n ?∈。这样),(lim 0*r x S x x n ∈=∞ >-。因为A 在),(0r x S 上连续。*1*lim lim x x Ax Ax n n n n ===+∞ >-∞ >-，即*x 是A 在),(0r x S 中的不动 点。 A 的不动点不一定是唯一的。例如X 是离散的度量空间。A 是X 中的恒等映射。在开球)1,(0x U 内只有0x 一点，自然满足条件 .10),',()',(<<≤θθx x d Ax Ax d 。而0),(00=Ax x d ，也满足.)1(),(00r Ax x d θθ-≤。 但X 中每一点皆为A 的不动点。证毕 20 设 n k j a jk ,2,1,,Λ=为一组实数，适合条件1)(2 1,<-∑=n j i ij ij a δ，其 中jk δ当j=k 时为1 ，否则为0。证明：代数方程组 1111221121122222 1122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=?? ?????????? ?+++=?L L L 对任意一组固定的1b ，,2b ，n b Λ，必有唯一的解1x ，2x ，n x Λ 。 证明 记定义n R 到n R 内的映射T ：TX= --AX+X+b 。设X ∈'X n R 则 ) ,())(() ))() (())))((((),('2 11 ,22 11 21 '1 2 2 11 21 ' ' X X d a x x a x x a TX TX d n j i ij ij n i n j j j n j ij ij n i n j j j ij ij ∑∑∑∑ ∑∑======-≤--≤--=δδδ 由于2 11 ,2))(∑=-n j i ij ij a δ<1,于是T 有唯一不动点*X ，即 ****X b X AX TX =++-=，因此b AX =*有唯一解* X 。证毕 21 设],[b a V 表示[b a ,]上右连续的有界变差函数全体，其线性运算为通常函数空间中的运算。在],[b a V 中定义范数 x =)()(x V a x b a +,证明],[ b a V 是Banach 空间。 证明 ],[b a V 显然是线性空间。下证],[b a V 是赋范线性空间。 1． 若∈x ],[b a V ，显然x ≥0。 若x =0，则)()(x V a x b a +=0，即)(a x =0，且)(x V b a =0。由)(x V b a =0 可知x 在],[b a 上为常值函数，于是0)()(=≡a x t x 2． 若∈x ],[b a V ，),,(+∞-∞∈λ x x V a x x V a x x b a b a λλλλλλ=+=+=)()()()( 3． 若],[,b a V y x ∈， )())((y x V a y x y x b a +++=+)()()()(y V x V a y a x b a b a +++≤ 其中)(y x V b a +)()(y V x V b a b a +≤的理由如下： 对任意分划,:10b t t t a T n =<<<=Λ ,)()()()())(())((1 11 11 1 ∑∑∑=-=-=--+-≤+-+n i i i n i i i n i i i t y t y t x t x t y x t y x 因此 ) ()(})()({sup })()({sup }))(())(({sup )(1 11 11 1y V x V t y t y t x t x t y x t y x y x V b a b a n i i i T n i i i T n i i i T b a +=-+-≤+-+=+∑∑∑=-=-=-再证],[b a V 是完备的。 设}{n x 为],[b a V 中柯西列，对任意0>ε，存在N ，当N m n ≥,时， ε<-+-=-)()()(m n b a m n m n x x V b x a x x x 。 于是，ε<-)()(b x a x m n 。而对任意],(b a t ∈， ε<-≤---)())()(())()((m n b a m n m n x x V a x a x t x t x 从而εε2)()()()((<+-≤-a x a x t x t x m n m n 这就证明了{)(t x n }是],[b a 上一致收敛的函数列。设}{n x 一致收敛于x 。 由于n x 是],[b a 上右连续的函数，于是对任意),[0b a t ∈， .2,1),()(lim 00 Λ==→n t x t x n n t x 因为}{n x 在],[b a 上一致收敛于x 。 因此)()(lim )(lim lim )(lim lim )(lim 000 t x t x t x t x t x n n n t t n n n t x t x ====∞ →→∞→∞→→→+++ 即x 亦在],[b a 上右连续。 对任意0>ε，存在N ，当N m n ≥,时， m n x x -=ε<-+-)()()(m n b a m n x x V a x a x 对],[b a 上的任一分划b t t t a T l =<<<=Λ10:，有 ε <-=-≤---∑=--)()()())()(())()((1 11m n b a m n l i i m i n i m i n x x V a x a x t x t x t x t x 令∞→m ， ε≤---∑=--l i i i n i i n t x t x t x t x 1 11 ))()(())()(( （*） 因此，从而].,[)(b a V x x x x n n ∈--=由（*）式及分点的任意 性知，.)(ε≤-x x V n b a 从而 .2)()()(ε≤-+-=-x x V a x a x x x n b a n n 即}{n x 按],[b a V 中范数收敛于x 。这样我们就证明了] ,[b a V 是完备的赋范线性空间，即Banach 空间。证毕。 22．设Λ,,21X X 是一列Banach 空间， },,{21ΛΛn x x x x = 是一列元素，其中n n X x ∈，,,2,1Λ=n 并且,1 ∞<∑∞ =p n n x 这种元素列 的全体记成X ，类似通常数列的加法和数乘，在X 中引入线性运算。若令,)(1 1p p n n x x ∑∞ == 证明：当1≥p 时，X 是Banach 空间。 证明 X 显然是线性空间。 先证X 是赋范线性空间。 1． 若,),,(21X x x x ∈=Λ显然0≥x 。 若0=x ，则,0)(11=∑∞ =p p n n x 即对任意n ，0=n x 。于是0=n x ， 从而0=x 。 2． 若X x x x ∈=),,(21Λ，),,(+∞-∞∈λ x x x x p p p n n p n n λλλλ===∑∑∞ =∞ =11)()(1 1 3． 若,),,(21X x x x ∈=ΛX y y y ∈=),,(21Λ，则 n n p n n p n n p n n n p n n n y x y x y x y x y x p p p p +=+≤+≤+=+∑∑∑∑∞ =∞ =∞ =∞ =1111))(())(())(()(1 1 1 1 再证X 是完备的。设}{~ i x 是X 中柯西列，其中 .,2,1),,,() (2)(1~ ΛΛ==i x x x i i i 对任意,0>ε存在0i ，使当0i j >时，,~ ~ ε<-j i x x 即 ε<-∑∞ =p p n j n i n x x 1))((1)() ( 于是对每一个固定的}{,) (i n x n 是n X 中的柯西列。设.)()(∞→→i n i n x x 令),,(21Λx x x =，由于ε<-∑∞ =p p n j n i n x x 1))((1 )() (，因此对任意K ， ε<-∑=p p K n j n i n x x 1))((1 )()(，令∞→j 得 .1,1 )()(≥≤-∑=p x x p p K n j n i n ε 再令∞→K 得 .1,1)(≥∞<≤-∑∞ =p x x p p n n i n ε 因此,~ X x x i ∈-从而X x x x x i i ∈--=)(~ ~ ，且由ε≤-∑∞ =p p n n i n x x 1)(1 )( 知~ i x 按X 的范数收敛于x 。由以上证明可知X 是Banach 空间。证毕。 23．设X 是赋范线性空间，X*X 为两个X 的笛卡儿乘积空间，对每 个,*),(X X y x ∈定义 ,),(2 2 y x y x += 则X*X 成为赋范线性空间。证明X*X 到X 的映射y x y x +→),(是 连续映射。 证明 设),)(,(),(00∞→→n y x y x n n 则 ),(02 2 ∞→→-+-n y y x x n n 于是).(0,000∞→→-→-n y y x x n n 所以， . 0)()(0000→-+-≤--+y y x x y x y x n n n n 这就证明了y x y x +→),(是连续映射。证毕。 24． 设A 是实（复）数域，X 为赋范线性空间，对每个X X x *),(∈α， 定义,,2 2 x x +=αα 证明：x x αα→),(为X X *到X 中的连续映射。 证明 设),,(),(00x x n n αα→同第23题一样可证 ),(,00∞→→→n x x n n αα 由于}{n α收敛，必有0>M ，使.M n ≤α则 ). (0000000000∞→→-+-≤-+-≤-n x x x M x x x x x x n n n n n n n n αααααααα因此映射x x αα→),(是连续的。证毕。 25 C 为一切收敛数列所成的空间，其中的线性运算与通常序列空间相同。在C 中令,}{,sup C x x x x n i i ∈==证明：C 是可分的Banach 空间。 证明 由第七章§4例1知是Banach 空间。由定义易知C 是∞l 中的 线性子空间，且范数定义是一致的。因此要证C 是Banach 空间，由§ 4定理1，只要证C 是∞l 中的闭子空间即可。 设,}{C x n ?).(0);,,(,);,,(21)(2)(1∞→→-=∈=∞n x x x l x x n n n n ΛΛξξξξ 对于任意,0>ε存在,N 使N n ≥时，有3 ε<-x x n 。特别地,3 ε <-x x N 即,3sup )(εξξ<-i N i i 由于,C x N ∈因此存在,K 对任意,,K j i >. 3 )()(ε ξξ<-N j N i 于是.3 3 3 )()()()(εε εεξξξξξξξξ=++<-+-+-≤-j N j N j N i N i i j i 于是}{i ξ是柯西列，即.),,(21C x ∈=Λξξ 下面证明C 是可分的。 设.,2,1},,),,,,,,(|{1ΛΛΛ=∈∈==n Q r Q r r r r r x x A i n n 则,C A n ∈C A n n ?∞ =Y 1且 Y ∞ =1 n n A 是可数的。若对任意,),,,(1C x x x n ∈=ΛΛ设.lim a x n n =∞ →对于任给的 ,0>ε存在,N 使当N n >时，必有2 ε < -a x n 。取有理数,r 使.2 ε <-r a 取 有理数,,,,21N r r r Λ使.,,2,1,N i r x i i Λ=<-ε 令),,,,,,(1ΛΛr r r r y N =则 ,1Y ∞ =∈n n A y 且.},,,,,sup{12211ε<----=-+ΛΛr x r x r x r x y x N N N 故Y ∞ =1 n n A 是C 的可数稠密子集。这就证明了C 是可分的Banach 空间。证 毕。 （7） 例1 设{n F }是完备度量空间（X, d ）中的非空闭集，且对任意n , n F ? 1n F + .若 n d =sup{d(x,y)|x,y ∈n F },满足条件lim n →∞n d =0。求证∶ 1 n F n ∞=I ≠ ?. 证明：任取n n x F ∈ ，n=1,2，……。因lim 0n n d →∞ =，所以对任意的 ε >0,存在N ，当 n>N 时有n d < ε .这样当n,m>N 时，若m ≥n,则d(n x ,m x )≤n d <ε ,因此{n x }是X 中的柯西列。设lim n →∞ n x =0x 。则对任意的k,当n ≥k 时,有,k n F x ∈因此k n n F x x ∈=∞ >-0lim , 由k 的任意性,于是φ≠∈∞ =I 1 0n n F x . 证毕 例2 设Y 是赋范线性空间X 的闭子空间.在X 中作等价分类:x~y 的充分条件是x-y ∈Y. 记定义X/Y 中的加法和数乘:[x]+[y]=[x+y]; λ[x]= [λx].定义X/Y 中的范数: []{ []}x y y x ∈=inf .求证:X/Y 是赋范线性空间. 证明 X/Y 显然是线性空间. (1) 若 []0=x ,则存在 [].,2,1,1 ,Λ=≤∈n n x x x n n 由定义,Y x x n ∈-所以 (),lim Y x x x n n ∈-=∞ >-即[x]=[0]. (2) 若λ是复数X x ∈,则 []} {}{}{[] x x y y x y y x x y y x λλλλλλ=∈=∈==∈=][inf ][inf ][][inf (3) 设[x],[y] ∈X/Y ,存在[][].2,1,,1 ][,,1][,Λ=+<∈+ ∈n n y y y y n x x x n n n 这样[]y x y x n n +∈+,且 [][][].1 1n y n x y x y x y x n n n n +++ ≤+≤+≤+令n->∞,[][][].y x y x +≤+于是,我们就证明了X/Y 是赋范线性空间.证毕 例 3 设{n x } 是Banach 空间,X 中点列,满足条件 +∞<∑ ∞ =1 n n x .求证???????? ∞ ==∑1 1n n k k x 在X 中 收敛,且若记其极限为∑ ∞ == 1 n n x x ,则∑∞ =≤1 n n x x . 证明 因为 ∑ ∞ =1 n n x 收敛,所以若,0>ε则存在N,当m>n>N 时,必有 ε<∑+=m n k k x 1 .于是, ε<≤=-∑∑∑∑+=+===m n k k m n k k n k k m k k x x x x 1111.因此???? ?? ∑=n k k x 1是X 中柯西列,因为X 是Banach 空间,故存在 x,使得∑∑∞ ==∞ >==1 1 n-lim x n n n k k x x 因为 ∑∑∑∞ ===≤≤1 1 1 x n n x k n x k x x x 因此 ∑∑∞ ==∞ >-≤=1 1 lim n n n k k n x x x .证毕 例 4 设是赋范线性空间X 中的线性闭子空间. Y x ?0.1Y 由Y 和0x 生成的线性子空间 {}Y y c y x Y ∈∈+=,01λλ求证: 1Y 是X 中的线性子空间 证明 设}{00y x n +λ中1Y 的收敛列, ()0lim y y n n n =+∞ >-λ.要证1Y x o ∈ 首先}{n λ必为C 中有界列否则,存在} {}{∞=?∞ >-k k n k n n λλλlim ,.由 () 0lim y y x k n o n k =+∞ >-λ,可得() ,0lim 1 lim ==+∞>-∞ >-k k k n k n o n n k y y x λλλ因此.lim 0Y y x k k n n k ∈??? ? ????- =∞>-λ此与Y x ?0矛盾. 这样}{n λ有界,必有} }{{n n k λλ?,使0lim λλ=∞ >-k n k ,由00x y y k k n n λ-=,可得 Y x y y k n k ∈-=∞ >-000lim λ.于是, 1000lim Y x y y k n k ∈+=∞ >-λ.证毕. 例 5 f f C |{),(0=+∞-∞是()+∞∞-,上的连续函数,且0)(lim =∞ >-t f t }.在 ()+∞∞-,0C 上定义范数()}{+∞∞-∈=,||)(|sup t t f f .求证()+∞∞-,0C 是Banach 空间. 证明 易验证: o 1 0,0=≥f f 的充要条件是f=0; o 2 f f λλ=; o 3 g f g f +≤+ 设 {n f }是()+∞∞-,0C 中柯西列,对与任意的 0>ε,存在N 当N m n >, 时 ε<-=-)()(sup t f t f f f m n m n ,这就证明了{n f (t)}在()+∞∞-,上一致收敛与f(t),且f(t) 在()+∞∞-,上连续,以下证明0)(lim =∞ >-t f t . 对与任意的0>ε,存在n,使,)()(sup ε<-t f t f n 因为0)(lim =∞ >-t f t ,所以存在M,当 |t|M ≥使, ε<)(t f n .这就证明了0)(lim =∞ >-t f t . 这样,我们证明了f ∈()+∞∞-,0C ,且0lim =-∞ >-f f n n .于是, ()+∞∞-,0C 是Banach 空 间.证毕. 翻函分析习题选讲（8） 例 1 设X=C[ a,b],t 1, …,t n .,,],,[1C b a n ∈∈λλΛ 定义X 上的线性泛函：若 .)()(,1∑==∈n i i i t x x f X x λ求证f 是X 上的有界性泛函，求 f 。 证明 任意 x X ∈,|f(x)|=| ∑=n i i i t x 1 ) (λ|≤ ∑=≤ n i i i t x 1 |)(|||λ ||)(||||1∑=n i i i t x λ . 所以||f||≤ ∑=n i i 1 .||λ 存在C ∈ε，1||=i ε，使||i i i λλε=。存在， x X ∈,使,,2,1,)(n i t x i i Λ==ε且||x||=1.这样|f(x)|=|| ∑=n i i i t x 1 )(λ|=||1 ∑=n i i λ ，所以. ||f(x)||≥||1∑=n i i λ 由此 ，我们证明了||f(x)||=||||1 ∑=n i i λ。证毕。 例题 2 设F 是),(0+∞-∞C 上的线性泛函，（),(0+∞-∞C 的定义参见七章例题讲例5）。若F 满足条件：若∈?),(0+∞-∞C 且任意 ,0)(),,(≥+∞-∞∈t t ?则称F 是正的线性泛函，求证：),(0+∞-∞C 上的正的 线性泛函的连续的。 证明 任意复值函数f ∈),(0+∞-∞C ，都可以写成+=x f iy,其中x,y 是),(0+∞-∞C 中的实值函数， ||x||f ≤且||y||||||f ≤.而实值函数又可以x=+x --x ，其中}0,m ax {},0,m ax {x x x x -==-+均是),(0+∞-∞C 中的非负函数，且.,x x x x ≤≤-+同理++-=y y y y ,和-y 是非负函数，且 y y y y ≤≤-+,。 若存在M 0>，使任意非负函数?，(),F M ??≤则F 必有界 泛函分析答案： 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的 λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞ n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2（a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a,b ）, 2|()|b a f t dt ? ＜∞。 当 L 2（a,b ）中内积的定义为（f,g ）= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2（a,b ）)时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ?X ， 若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定 泛函分析答案： 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iffx=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 （a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2 （a,b ）,2|()|b a f t dt ?＜∞。 第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此 泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若 0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。 泛函分析题1_3列紧集p19 1.3.1 在完备的度量空间中，求证：为了子集A是列紧的，其充分必要条件是对?ε > 0，存在A的列紧的ε网． 证明：(1) 若子集A是列紧的，由Hausdorff定理， ?ε > 0，存在A的有限ε网N． 而有限集是列紧的，故存在A的列紧的ε网N． (2) 若?ε > 0，存在A的列紧的ε/2网B． 因B列紧，由Hausdorff定理，存在B的有限ε/2网C． 因C ?B ?A，故C为A的有限ε网． 因空间是完备的，再用Hausdorff定理，知A是列紧的． 1.3.2 在度量空间中，求证：紧集上的连续函数必是有界的，并且能达到它的上、下确界． 证明：设(X, ρ)是度量空间，D是紧子集，f : D→ 是连续函数． (1) 若f无上界，则?n∈ +，存在x n∈D，使得f (x n) > 1/n． 因D是紧集，故D是自列紧的． 所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞)． 由f的连续性，f (x n(k))→f (x0) (k→∞)． 但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞)， 所以 f (x n(k))→ +∞ (k→∞)，矛盾． 故f有上界．同理，故f有下界． (2) 设M = sup x∈D f(x)，则?n∈ +，存在y n∈D，使得f (y n) > M- 1/n． {y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞)． 因此f ( y0 ) ≥M． 而根据M的定义，又有f ( y0 ) ≤M． 所以f ( y0 ) = M．因此f能达到它的上确界． 同理，f能达到它的下确界． 1.3.3 在度量空间中，求证：完全有界的集合是有界的，并通过考虑l 2的子集E = {e k }k≥ 1，其中e k = { 0, 0, ..., 1, 0, ... } (只是第k个坐标为1，其余都是0 )，来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的． 证明：(1) 若A是度量空间(X, ρ)中的完全有界集． 则存在A的有限1-网N = { x0, x1, x2, ..., x n }． 令R = ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) + 1． 则?x∈A，存在某个j使得0 ≤j≤n，且ρ(x, x j) < 1． 因此，ρ(x, x0) ≤ρ(x, x j) + ρ(x j, x0) ≤ 1 + ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) = R． 所以A是度量空间(X, ρ)中的有界集． (2) 注意到ρ(e k , e j) = 21/2 ( ?k ≠ j )， 故E中任意点列都不是Cauchy列． 所以，E中任意点列都没有收敛子列(否则，该收敛子列就是Cauchy列，矛盾)． 第七章习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2.设],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明（1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1。 证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n x x d 1 ),(10< 。设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是开集 显然B o n n ??∞ =1 。若n n o x ∞ =?∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此)(∞?→??→? n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞ =1 。 4.设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明（1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+= 21．试在2([1,1])L -中将函数231,,,,t t t L 进行正交化. 解： 根据Schmidt 正交化过程, 可取 0()1u t =, 01000(,)()()(,) t u u t t u t u u =- 1111 1111t dt t t dt --?=- =??? ; 2 2 2 102101100(,)(,)()()()(,) (,) t u t u u t t u t u t u u u u =- - 112 2 2 111 1 1 1 1111t tdt t dt t t t tdt dt ----??=- -??? ? ? ? 2 13 t =- ; L L 再单位化可得 000()()|||| u t e t u = = = ; 111()()|||| 2 u t e t u = = = ; 2 22221()1()|||| 43t u t e t t u - ? = = = -??? ; L L . 解二： 引入如下形式的Legendre 正交多项式: 2 1,0, ()(1),1,2,. k k k k k u t d t k dt =?? =?-=??L 我们断言{}0()k k u t ∞ =是2 ([1,1])L -中由2 3 1,,,,t t t L 直交 化所得到的直交函数列。 首先我们断言{}0()k k u t ∞ =是直交的. 事实上, 不失一 般性, 可设l k ≥. (i) 如果0k =, 显然有 1 001((),())2u t u t dt -= =?; 而对于1,2,l =L 1 201 ((),())(1)l l l l d u t u t t dt dt -= -? 1 12 1 1 (1) 0l l l d t dt ---= -=. (ii) 对于1k ≥, 根据定积分的分部积分法，可以得到 1 221 ((),())(1)(1)k l k l k l k l d d u t u t t t dt dt dt -= -? -? 1 12 21 1 (1)(1)k l k l k l d d t d t dt dt ---= -?-? 1 1221 1 (1) (1) l k l k l k d d t t dt dt ---=-- 1 1221 1 (1)(1)l k l k l k d d t d t dt dt -----?-? 1 222 222 2 1 (1) (1)(1)l k l k l k d d t t dt dt dt -+-+-=--? -? =L 1 221 (1) (1)(1)k l l l k k l d t t dt dt ++-=--? -? ， (*) 当l k =时， 2222(1)(1)(2)!k l k k k k l k d d t t k dt dt ++-= -=， 因此 ((),())((),())k l k k u t u t u t u t = 12 1 (1) (1)(2)!k k t k dt -=--?? 1 20 (1)2(2)!(1)k k k t dt =--? /2 20 2(2)! (1sin )sin k k s d s π=-? /2 21 2(2)! cos k k sds π+=? 1 泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章 第 一 节 3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞ 第 七 章 习 题 解 答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 （23． n x 1)1<。设δ )∞。因B 4. 设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明 （1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+= = ) ,(),(1) ,(),(),(1),(z y d z x d z y d z y d z x d z x d +++++ ) ,(1),(),(1),(z y d z y d z x d z x d +++≤=),(),(___ __z y d z x d +。 5. 证明点列{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞ ∈的充要条件为n f 的各阶导数在 [a ，b]上一致收敛于f 的各阶导数。 证明 若{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞ ∈，即 t a ≤ ∑∞ +=o r r 即d A={f|当t 上)(t f n 一致收敛于f （t ）。设B t ∈，则0)(lim )(==∞ >-t f t f n n ，所以f ∈E ，这就证明了E 为闭集 充分性。当B 是闭集时，设f ∈A 。因f 在B 上连续而B 是有界闭集，必有B t ∈0，使 )(max )(0t f t f B t ∈=。设 0)(0>=-δt f a 。我们证明必有A f U ?),(δ。设),(δf U g ∈，则若B t ∈， 必有δ<-)()(t g t f ，于是a t f t f t g t f t g =+<+-≤)(||)(|)()(|)(|0δ，所以A g ∈，这样就证明了A 是开集 必要性。设A 是开集，要证明B 是闭集，只要证明对任意.....2,1,=∈n B t n 若0t t n >-)(∞?→? n ， 第五章习题第一部分01-15 1. M 为线性空间X 的子集，证明span( M )是包含M 的最小线性子空间． [证明] 显然span( M )是X 的线性子空间．设N 是X 的线性子空间，且M ? N ． 则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) ? N ． 所以span( M )是包含M 的最小线性子空间． 2. 设B 为线性空间X 的子集，证明 conv(B ) = {∑=n i i i x a 1| a i ≥ 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i ∈B , n 为自然数}． [证明] 设A = {∑=n i i i x a 1 | a i ≥ 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i ∈B , n 为自然数}．首先容易看出A 为 包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有A ? F ，故A 为包含B 的最小凸集． 3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间，而E = {1, t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底． [证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间， 而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示． 设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m ≠ 0，m ≥ 1． 若∑=m n n n t c 0= 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0， 所以E 中任意有限个元素线性无关， 故P [a , b ]是无限维线性空间，而E 是它的一个基底。 4. 在 2中对任意的x = (x 1, x 2)∈ 2 ，定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |，|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2， || x ||∞ = max{ | x 1 |, | x 2 | }．证明它们都是 2 中的范数，并画出各自单位球的图形． [证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略． 5. 设X 为线性赋范空间，L 为它的线性子空间。证明cl(L )也是X 的线性子空间． [证明] ?x , y ∈cl(L )，?a ∈ ，存在L 中的序列{ x n }, { y n }使得x n x ，y n y ． 从而x + y = lim x n + lim y n = lim (x n + y n )∈cl(L )，a x = a lim x n = lim (a x n ) ∈cl(L )． 所以cl(L )是X 的线性子空间． [注] 这里cl(L )表示子集L 的闭包． 6. 设X 为完备的线性赋范空间，M 为它的闭线性子空间，x 0? M ．证明： L = { a x 0 + y | y ∈M , a ∈ }也是X 的闭线性子空间． [证明] 若a , b ∈ ，y , z ∈ M 使得a x 0 + y = b x 0 + z ， 则(a - b ) x 0 = z - y ∈ M ，得到a = b ，y = z ；即L 中元素的表示是唯一的． 若L 中的序列{ a n x 0 + y n }收敛于X 中某点z ，则序列{ a n x 0 + y n }为有界序列． 由于M 闭，x 0? M ，故存在?r > 0，使得|| x 0 - y || ≥ r ，?y ∈ M ．则当a n ≠ 0时有 | a n | = | a n | · r · (1/r ) ≤ | a n | · || x 0 + y n /a n || · (1/ r ) = || a n x 0 + y n || · (1/r )， 所以数列{ a n }有界，故存在{ a n }的子列{ a n (k ) }使得a n (k ) a ∈ ． 实变函数与泛函分析基础第三版答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 泛函分析 习题解答 1、设(,)X d 为一度量空间，令00(,){|,(,)}U x x x X d x x εε=∈< 00(,){|,(,)}S x x x X d x x εε=∈≤，问 0(,)U x ε的闭包是否等于0(,)S x ε。 解答：在一般度量空间中不成立00(,)(,)U x S x εε=，例如：取1R 的度量子空间[0,1][2,3]X =U ，则X 中的开球(1,1){;(1,)1}U x X d x =∈<的的闭包是[0,1]，而(1,1){;(1,)1}[0,1]{2}S x X d x =∈≤=U 2、设[,]C a b ∞ 是区间[,]a b 上无限次可微函数全体，定义()()()()0 1|()()| (,)max 21|()()| r r r r r r a t b f t g t d f g f t g t ∞ =≤≤-= +-∑ ，证明：[,]C a b ∞按(,)d f g 构成度量空间。 证明：（1）显然(,)0d f g ≥且(,)0d f g =?()()()() 1|()()| ,max 021|()()| r r r r r a t b f t g t r f t g t ≤≤-?=+-?,[,]r t a b ??∈有()()|()()|0r r f t g t -=，特别当0,[,]r t a b =?∈时有|()()|0f t g t -=?[,]t a b ?∈有 ()()f t g t =。 （2）由函数()1t f t t = +在[0,)+∞上单调增加，从而对,,[,]f g h C a b ∞ ?∈有 ()()()()0()()()()()()()()0()()01|()()|(,)max 21|()()| 1|()()()()| =max 21|()()()()|1|()()| max 2 r r r r r r a t b r r r r r r r r r a t b r r r r a t b r f t g t d f g f t g t f t h t h t g t f t h t h t g t f t h t ∞ =≤≤∞ ≤≤=∞ ≤≤=-=+--+-+-+--+≤∑ ∑∑()()()()()()()()()()()()0()()()()0|()()| 1|()()||()()|1|()()| =max 2 1|()()||()()|1|()()| max 2 1|()()|r r r r r r r r r r r r r a t b r r r r r r a t b r h t g t f t h t h t g t f t h t f t h t h t g t h t g t f t h t ∞ ≤≤=∞ ≤≤=-+-+--+-+--++-+∑∑()()()()()()()()()()00|()()|1|()()|1|()()| max max 2 1|()()|21|()()| (,)(,) r r r r r r r r r r r r a t b a t b r r h t g t f t h t h t g t f t h t h t g t d f h d h g ∞ ∞≤≤≤≤==---≤++-+-=+∑∑ 即三角不等式成立(,)(,)(,)d f g d f h d h g ≤+。 3、设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集12,,,n O O O L L 包含B ，而且 1 n n O B ∞ ==I 。 第五章习题第一部分01-15 1. M为线性空间X的子集，证明span( M )是包含M的最小线性子空间. ［证明］显然span( M)是X的线性子空间.设N是X的线性子空间，且M N.则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) N. 所以span( M )是包含M的最小线性子空间. 2. 设B为线性空间X的子集，证明 n conv( B) = { a i x i| a i 0, i 1 n ［证明］设 A = { a i Xj a i 0, i 1 n a i= 1, x i B, n为自然数}. i 1 n a i = 1, x i B, n为自然数}.首先容易i 1 看出A为包含B的凸集，设F也是包含B的凸集，则显然有A F,故A为包含B的最小凸集. 3. 证明［a, b］上的多项式全体P［a, b］是无限维线性空间，而E = {1, t, t ,…， t n，…} 是它的一个基底. ［证明］首先可以直接证明P［a, b］按通常的函数加法和数乘构成线性空间，而P ［a, b］中的任一个元素皆可由E中有限个元素的线性组合表示. 设C0, C1, C2, ..., C m是m+ 1 个实数，其中C m 0，m 1 . m 若C n t n= 0，由代数学基本定理知C o = C1 = C2 = ... = C m = 0，n 0 所以E中任意有限个元素线性无关，故P［a, b］是无限维线性空间，而E是它的一个基底。 2 2 4. 在中对任意的x = ( X1, X2)，定义|| x || 1 = | X1 | + | X2 |，|| x || 2 = ( X12 + X22)1/2，|| x || = max{ | x 1 |, | X2 | }.证明它们都是2中的范数，并画出各自单位球的图形. ［证明］证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可.单位球图形略. 5. 设X为线性赋范空间，L为它的线性子空间。证明cl( L)也是X的线性子空间. ［证明］ x, y cl( L)， a ，存在L中的序列{ X n}, { y n}使得X n x ， y n y. 从而x + y = lim X n + lim y = lim ( X n + y n) cl( L)，a x = a lim X n = lim (a X n ) cl( L). 所以cl( L)是X的线性子空间. ［注］这里cl( L)表示子集L的闭包. 6. 设X为完备的线性赋范空间，M为它的闭线性子空间，X0 M.证明： L = { a X0 + y | y Ma }也是X的闭线性子空间. ［证明］若a, b ，y, z M 使得ax°+ y = bx°+ z， 则(a b) X0 = z y M，得到a = b，y = z；即L中元素的表示是唯一 第二章 度量空间 作业题答案提示 1、 试问在R 上，()()2,x y x y ρ=- 能定义度量吗？ 答：不能，因为三角不等式不成立。如取 则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、 试证明：（1）()1 2 ,x y x y ρ= -;(2)(),1x y x y x y ρ-= +-在R 上都定 义了度量。 证：（1）仅证明三角不等式。注意到 2 11 22x y x z z y x z z y ?? -≤-+-≤-+- ? ?? 故有1 112 22 x y x z z y -≤-+- （2）仅证明三角不等式 易证函数()1x x x ?=+在R +上是单调增加的， 所 以 有 ()() a b a b ??+≤+,从而有 1111a b a b a b a b a b a b ++≤≤+ ++++++ 令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y z y x z x y z ---≤+ +-+-+- 4.试证明在[]b a C ,1 上，)12.3.2()()(),(?-=b a dt t y t x y x ρ 定义了度量。 证：（1）0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。 []) ,(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dt t y t z dt t z t x dt t y t z dt t z t x dt t y t x y x b a b a b a b a ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=???? 5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明 ∑∑==≤?? ? ??n i i n i i x n x 12 2 1 证：∑∑∑∑=====?≤?? ? ??n i i n i n i i n i i x n x x 12 12 122 11 8.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积 21R R R ?=上定义了度量 {}2 12/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三角不等式。（1）略。 (2) 设12(,)x x x =，12(,)y y y =12R R ∈?，则 第四章赋范空间中的基本定理 1. 设p 是赋范空间X 上的次线性泛函，满足(0)0p =，且在0处连续。 求证：p 是连续映射。 证明：由p 在0处连续，且满足(0)0p =可得： 0,0εδ?>?>使得满足||x ||||0||x δ=-<的x 都有||(x)(0)||||p(x)||p p ε-=<。 从而h ?满足||h ||δ<则||(h)||p ε< 任取0,x x X ≠∈令z x h X =+∈，且满足||||||||z x h δ-=<，由p 是x 的次线性泛函可以得到： (h)p(x h)p(x)p(x)p(h)p(x)p(h)p --≤+-≤+-= 即||(x h)(h)||max{||p(h)||,||p(h)||}p p +-≤-注意到||||,||||h h δδ<-< 从而||(h)||,||p(h)||p εε<-<即得到||(x h)(x)||p p ε+-< 即p 在x 处连续，由x 的任意性可知，p 处处连续，为连续映射。 2. 设X 为线性空间，:p X → 使得任取,,x y X λ∈∈K ，有 (x y)p(x)p(y),p(x)||p(x)p λλ+≤+= 求证：p 是X 上的半范数 证明：=0λ∈K 取，则由条件(x)||p(x)p λλ=得到(0)0p =。由X 是线性空间，其中存在零元和负元。任取,,0x x X x -∈≠则有： 0(0)p(x x)(x)p(x)p(x)p(x)2(x)p p p ==-≤+-=+=即(x)0p ≥ 从而得证半范数的三个条件。即p X 是上的半范数。 3. 设12,a a ∈ 固定，考虑3 的线性子空间 31233{(x ,x ,x ):x 0}Z =∈= 及Z 上的线性泛函1231122(x ,x ,x )a f x a x =+。求出所有f 到3 上的线性延拓 一、设) ,(y x d 为空间 X 上的距离，试证：) ,(1) ,(),(~x y d x y d x y d += 也是X 上的距离。 证明：显然 ,0),(~≥y x d 并且y x y x d y x d =?=?=0),(0),(~ 。 再者， ),(~) ,(1),(),(1),(),(~y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=； 最后，由 t t t +- =+11 11的单调增加性及),(),(),(y z d z x d y x d +≤，可得 ) ,(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(~y z d z x d y z d y z d z x d z x d y z d z x d y z d z x d y x d y x d y x d +++ ++=+++≤+= ),(~),(~) ,(1) ,(),(1),(y z d z x d y z d y z d z x d z x d +=+++≤ 。 二 、设 1p ≥，1()()(,,,)i n n p n x l ξξ=∈L L ，Λ ,2,1=n ， 1(,,,)p i x l ξξ=∈L L ，则 n →∞时， 1()1(,)0p p n n i i i d x x ξξ∞ =? ?=-→ ??? ∑的充要条件为)1(n →∞时，()n i i ξξ→，1,2,i =L ； )2(0ε?>， 存在 0N >，使得 ()1 p n i i N ξε∞ =+<∑ 对任何自然数n 成立。 必要性证明：由1 () 1(,)0p p n n i i i d x x ξξ∞ =??=-→ ??? ∑可知，()n i i ξξ→，1,2,i =L 。 由 1(,,,)p i x l ξξ=∈L L 可知， ε?>，存在 10 N >，使得 11 ()2 p p i i N εξ∞ =+<∑ ，并且 1 n N >时， () 1 ()2 p n p i i i εξξ∞=-<∑。 由此可得， 11 111() ()1 1 1p p p p p p n n p i i i i i N i N i N ξξξξε∞ ∞∞=+=+=+?????? ?≤-+< ? ? ??????? ∑ ∑∑对1n N >成立。 对于 11,2,n N =L ，存在20N >， 2()1 p n p i i N ξε∞ =+<∑ 。取 {}12max ,N N N =，则 ()1 p n p i i N ξ ε∞ =+<∑ 对任何自然数n 成立。 充分性证明：由条件可知， 0ε?>，存在0K >，使得 ()1 ()2p n p i i K ε ξ ∞ =+<∑ 对任何自然数 n 成立，并且 1 ()2 p p i i K εξ∞ =+<∑ 。 由 ()n i i ξ ξ→可知，存在0>N ，使得N n >时，()1 K p n p i i i ξ ξε=-<∑，并且泛函分析答案
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