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顺义区2012二模数学(理科)含答案

n= n +2S =0，n =2，i =1

i= i +1

S = S +

输出 S 开始

结束

是

否顺义区2012届高三第二次模拟考试

高三数学（理科）试卷 2012.4

一.选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)

1. 已知集合{}0,1,3M =,{}|3,N x x a a M ==∈,则集合M N =I A.{}0 B.{}0,1 C. {}0,3 D. {}1,3

2.已知i 为虚数单位，则复数(1)i i -所对应点的坐标为 A. (1,1)- B. (1,1) C. (1,1)- D. (1,1)--

3.已知p 、q 是简单命题，则“p q ∧是真命题”是“p ?是假命题”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.如图给出的是计算

111124620

+++???+的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是

A.20i <

B.20i >

C.10i <

D.10i >

5.已知直线l ：10x y --= 和圆C ：

cos 1sin x y θ

=??

=+?（θ为参数，R θ∈），则直线l 与圆C 的位置关系为

A. 直线与圆相交

B. 直线与圆相切

C. 直线与圆相离

D.直线与圆相交但不过圆心

6.甲乙两人从4门课程中各选修2门，则甲乙两人所选的课程中恰有1门相同的选法有

A.12 种

B.16 种

C.24 种

D.48 种 7.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.60 B.80

C.100

D.120

8．已知椭圆:G 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2

，⊙M 过椭圆G 的一个

顶点和一个焦点，圆心M 在此椭圆上，则满足条件的点M 的个数是 A. 4 B. 8 C. 12 D. 16

二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡上) 9.若1

()n x x

+展开式中第二项与第四项的系数相等，则n =________; 展开式中间一项的系数为_________.

10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈都有21n n S a =-，则1a 的值为________，数列{}n a 的通项公式

n a =_________.

俯视图

左视图

正（主）视图

344

11.如图所示：圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，030BAC ∠=，过C 作圆

O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线，垂足为D ，则CD 的长为_________.

12.已知O 是坐标原点，点(2,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域101010x y y x y -+≥??

+≥??++≤?

，上

的一个动点，则OA OM ?

的最大值为 .

13.已知A 、B 、P 是双曲线22

221x y a b

-=上不同的三点，且A 、B 两点关于原

点O 对称，若直线,PA PB 的斜率乘积1

P A P B k k ?=，则该双曲线的离心率

e =___________.

14.已知全集为,U P U ?，定义集合P 的特征函数为1,,

()0,.P U x P f x x P ∈??=?∈??e，对于

A U ?，

B U ?，给出下列四个结论：

① 对x U ?∈，有()()1U

A A f x f x +=e；

② 对x U ?∈，若A B ?，则()()A B f x f x ≤； ③ 对x U ?∈，有()()()A B A B f x f x f x =?I ； ④ 对x U ?∈，有()()()A B A B f x f x f x =+ ．其中，正确结论的序号是_______________.

三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15．（本小题共13分）

已知向量(2cos ,1)2x m =u r ，(cos ,1)2

n =-r ，()x R ∈，设函数()f x m n =?u r r .

(Ⅰ)求函数()f x 的值域；

(Ⅱ)已知ABC V 的三个内角分别为A 、B 、C ，

若1(),3

f A =23,3BC AC ==，求边长AB 的值. 16. （本小题共13分）

如图：四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，090ACB ∠=，

PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，2AB =，F

是BC 的中点.

(Ⅰ) 求证：DA ⊥平面PAC ； (Ⅱ)试在线段PD 上确定一点G ，使CG ∥平面PAF ；

（Ⅲ）求平面PAF 与平面

P C D 所成锐二面角的余弦值.

17．（本小题共13分）

计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为：45

、34

、23

，在实际操作考试中“合格”的概率依次为：12

、23

、

，所有考试是否合格相互之间没有影响. （Ⅰ）假设甲、乙、丙3人同时进行理论与实际操作两项考试，

谁获得“合格证书”的可能性大；

（Ⅱ）求这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得“合格证

书”的概率；

（Ⅲ）用X 表示甲、乙、丙3人在理论考试中合格的人数，求X 的分布列和数学期望EX .

18．（本小题共14分）

已知函数()ln ,f x x x =-2

()a g x x x

=+,(其中0a >).

（Ⅰ）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程;

（Ⅱ）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值; （Ⅲ）若对任意的[]12,1,x x e ∈，（e 为自然对数的底数， 2.718e ≈）

都有12()()f x g x ≤，求实数a 的取值范围.

19．（本小题共14分）

已知动圆过点(2,0)M ，且被y 轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C .

（Ⅰ）求曲线C 的方程；

（Ⅱ）过点M 的直线交曲线C 于A ，B 两点,若在x 轴上存在定点(,0)P a ，使PM 平分APB ∠，求P 点的坐标.

20. （本小题共13分）

对于定义域为A 的函数)(x f ，如果任意的A x x ∈21,，当21x x <时，都有()()21x f x f <，

则称函数()x f 是A 上的严格增函数；函数()k f 是定义在*N 上，函数值也在*N 中的严格增函数，并且满足条件()()k k f f 3=. （Ⅰ）证明：)(3)3(k f k f =；（Ⅱ）求*))(3(1N k f k ∈-的值；

（Ⅲ）是否存在p 个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p 值，若不存在，请说明理由.

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高三数学（理科）试卷参考答案及评分标准 2012.4

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案

二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)其它答案参考给分

9．4,6；10.1，12n -；11,

332；12．3；13．6

；14 ．①、②、③；三．解答题（本大题共6小题，共80分）

15．（本小题共13分）

解：(Ⅰ)2()2cos 1cos 2

f x m n x =?=-=u r r ，__________4分

x R ∈Q ∴()cos f x x =的值域为[]1,1-. __________6分

(Ⅱ) 1

()cos 3

f A A ==，

由余弦定理2222cos BC AC AB AC AB A =+-??__________8分

∴

21129233

c c =+-???

，即

230c c --=__________10分

∴3AB c ==.__________13分 16. （本小题共13分）

解：分别以,,AC AD AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，

则1

(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2

A C

B D F P --.__________（建系正确，坐

标写对给3分）

(Ⅰ) 证明方法一：：Q 四边形是平行四边形，∴090ACB DAC ∠=∠=，

Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ， ∴DA ⊥平面PAC . __________4分

方法二：易证DA uu u r

是平面平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .______4分

(Ⅱ)方法一：设PD 的中点为G ，在平面PAD 内作GH PA ⊥于H ，

则GH 平行且等于1

AD ，连接FH ，则四边形FCGH 为平行四边形，_____6分

∴GC ∥FH ，Q FH ?平面PAE ，CG ?平面PAE ，

∴CG ∥平面PAE ，∴G 为PD 中点时，CG ∥平面PAE .__________8分

方法二：

设G 为PD 上一点，使CG ∥平面PAE ，令(0,,),(02)PG PD λλλλ==-≤≤u u u r u u u r ，(1,,1)GC PC PG λλ=-=--+u u u r u u u r u u u r

可求得平面PAE 法向量(1,2,0)m =u r

，

要CG ∥平面PAE ，∴0m GC ?=u r uu u r ，解得1

λ=.

∴G 为PD 中点时，CG ∥平面PAE .

（Ⅲ）可求得平面PCD 法向量(1,1,1)n =r

，__________10分

||15cos ,5||||

m n m n m n ?<>==u r r

u r r u r r

∴所求二面角的余弦值为

.__________13分 17．（本小题共13分）解：（Ⅰ）记“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C

则41236()52590P A =?==，32145()43290P B =?==，25550

()36990

P C =?==

()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性大. __________4分

（Ⅱ）设3人考试后恰有2人获得“合格证书”为事件D

∴()(,,)(,,)(,,)P D P A B C P A B C P A B C =++

=21421531511

52952952930

??+??+??=.__________8分

（Ⅲ）0,1,2,3.X =，

1111

(0)54360

P X ==??=，

4111311129

(1)54354354360P X ==??+??+??=，

43141213226

(2)54354354360P X ==??+??+??=，

43224

(3)54360

P X ==??=.__________10分

X 的分布列为：

13360

EX =；

__________13分

18．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）222()()()ln 2ln a a h x f x g x x x x x x x x

=+=-++=+-

定义域()0,+∞__________1分

∴222

12()2a x x a h x x x x

--=--=，__________3分法一：令'(1)0h =，解得21a =，又0a >，∴1a =，__________4分

经验证1a =符合条件. __________5分

法二：令22

2()0x x a h x x

--==，∴2220x x a --=，2181a ?=+> ∴21,21184a x ±+=

，Q 0x >，∴2

1184a x ++=为极值点， ∴2

11814a x ++=

=，解得21a =，又0a >，∴1a =，（Ⅱ）对任意的[]12,1,x x e ∈都有12()()f x g x ≤成立，

等价于对任意的[]1,x e ∈都有max min ()()f x g x ≤成立，__________7分当[]1,x e ∈，'11()10x f x x x

-=-

=≥，∴()f x 在[]1,e 上单调递增， max ()()1f x f e e ==-.__________8分

X 0 1

P 160

960

2660

2460

Q 2'

()()

()1a x a x a g x x x -+=-=

，[]1,x e ∈，0a > ∴（1）若01a <≤，222'

222

()()

()10a x a x a x a g x x x x

--+=-==≥， 2

()a g x x x

=+在[]1,e 单调递增，

∴2min ()(1)1g x g a ==+， ∴211a e +≥-，解得21e a -≤≤.__________10分

（2）若1a e <<

当1x a ≤<，则'2

()()

()0x a x a g x x

-+=

< 当a x e ≤≤，则'2

()()

()0x a x a g x x

-+=≥ ∴()g x 在[)1,a 递减，在[],a e 递增，min max ()()2()1g x g a a f x e ==≥=-， ∴1

e a -≥，又1a e <<，∴()1,a e ∈__________12分

（3）当a e ≥时'2

()()

()0x a x a g x x

-+=

≤， ∴()g x 在[]1,e 递减， 2

min max ()()()1a g x g e e f x e e

==+≥=-，∴2a e ≥-恒成立. __________13分

综上所述)

2,a e ?∈-+∞?.__________14分 19．（本小题共14分）

（Ⅰ）解：设动圆圆心的坐标为),(y x .

依题意，有 222

2)2(2y x x +-=+，化简得 x y 42=. 所以动圆圆心的轨迹方程为x y 42=.__________5分

（Ⅱ）解法1：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+. 将直线AB 的方程与曲线C 的方程联立，消去x 得：2480y my --=.

所以124y y m +=，128y y =-.__________7分

若PM 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以0=+PB PA k k .

(,0)P a ，则有

12120y y

x a x a

+=--.__________10分将 112x my =+，222x my =+代入上式，整理得 1212122(2)()

0(2)(2)

my y a y y my a my a +-+=+-+-，

所以 12122(2)()0my y a y y +-+=. 将 124y y m +=，128y y =-代入上式，得 (2)0a m +?=对任意实数m 都成立，

所以2-=a .故定点P 的坐标为(2,0)-.__________14分

解法2：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，

当过点(2,0)M 的直线斜率不存在，则AB l ：2x =，，,A B 两点关于x 轴对称，

x 轴上任意一点(,0)P a (2)a ≠均满足PM 平分APB ∠,不合题意. __________6分当过点(2,0)M 的斜率k 存在时(0)k ≠，设AB l ：(2)y k x =-，

联立2(2)4y k x y x

=-??=?，消去y 得22224(1)40k x k x k -++=

32160k ?=+>，2122

,k x x k

++=124x x =，__________7分 PM 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，∴0=+PB PA k k . (,0)P a ，(2)a ≠,则有

12120y y

x a x a

+=--.__________10分将11(2)y k x =-22(2)y k x =-代入上式，整理得

122112(2)()(2)()

0()()

k x x a k x x a x a x a --+--=--,

∴1221(2)()(2)()0k x x a k x x a --+--=

整理得12122()(2)40x x x x a a -+++=，将212244

,k x x k ++=

124x x =代入化简得 2a =-,故定点P 的坐标为(2,0)-.__________14分

20. （本小题共13分）

解：（Ⅰ）证明：对()()k k f f N k 3*,=∈()()[]()k f k f f f 3=∴①_________2分由已知()()k k f f 3=∴()()[]()k f k f f f 3=②，由①、②()()k f k f 33=∴__________3分

（Ⅱ）若(),11=f 由已知()()k k f f 3=得()31=f ，矛盾；设(1)1f a =>，∴((1))()3f f f a ==，③ 由()k f 严格递增，即()().311=

∴*(1)1(1)3(1)f f f N

?≠?

∴(1)2f =，(2)3f =.

()()()()(),923236,6133==?===f f f f f

()()()()()()()().

8118354,549327,

276318,18339========f f f f f f f f ??????

依此类推归纳猜出：*)(32)3(11N k f k k ∈?=--.__________8分下面用数学归纳法证明：（1）当1=k 时，显然成立；

（2）假设当)1(≥=l l k 时成立，即1132)3(--?=l l f ，

那么当1+=l k 时，111(3)(33)3(3)32323

l l l l l

f f f ---=?==??=?.猜想成立，由（1）、（2）所证可知，对*k N ∈1132)3(--?=k k f 成立. __________10分

（Ⅲ）存在,131+=-k p 当p 个连续自然数从11323--?→k k 时，函数值正好也是p 个连

续自然数从k k k k f f 3)32(32)3(111=?→?=---.__________13分