高二上学期寒假数学理科作业答案11~15篇

2011年寒假数学理科作业第11篇DA

（时间：45分钟）

一、客观题（选择或填空题，将正确答案天到指定位置）

1、已知向量a 和向量b

的夹角为30o

，||2,||a b = 则向量a 和向量b 的数量积a b ?

= ▲。

【解析】 考查数量积的运算。 23a b ?==

2、在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ .

【解析】 考查类比的方法。体积比为1：8

3、设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。上面命题中，真命题．．．

的序号 ▲ （写出所有真命题的序号）.【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。

真命题．．．

的序号是(1)(2) 4、如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的四个顶

点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .

【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。 直线12A B 的方程为：

1x y

a b

+=-； 直线1B F 的方程为：

1x y c b

+=-。二者联立解得：2()

(

,)ac b a c T a c a c

+--， 则()

(

,)2()

ac b a c M a c a c +--在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，

22

22222

()1,1030,1030()4()

c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=--，

解得：5e =

二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

5、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1AC 的中

点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。求证：（1）EF ∥平面ABC ；

（2）平面1A FD

⊥平面11BB C C . 【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。

6、在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.

（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为直线l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂

直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。

(1)设直线l 的方程为：(4)y k x =-，即40kx y k --=

由垂径定理，得：圆心1C 到直线l 的距离1d ，

1,=

化简得：2

72470,0,,24

k k k or k +===- 求直线l 的方程为：0y =或7

(4)24

y x =-

-，即0y =或724280x y +-= (2) 设点P 坐标为(,)m n ，直线1l 、2l 的方程分别为：

1(),()y n k x m y n x m k -=--=--，即：11

0,0kx y n km x y n m k k

-+-=--++=

因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等。

41|5|

n m --++=

化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或 关于k 的方程有无穷多解，有：20,30m n m n --=???

?

--=??m-n+8=0

或m+n-5=0

解之得：点P 坐标为313(,)22-或51(,)22

-。

7、在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上。

（1）求抛物线C 的标准方程；

（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；

（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME=2DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式。

【解析】本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。

2011年寒假数学理科作业第12篇DA

（时间：45分钟）

一、客观题（选择或填空题，将正确答案天到指定位置）

1、已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 C 【解析】对于“0a >且0b >”可以推出“0a b +>且0ab >”，反之也是成立的

2、在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是( )

A ．30

B ．45

学网C ．60

D ．90

C 【解析】取BC 的中点E ，则AE ⊥面11BB C C ，AE DE ∴⊥，因此A

D 与平面11BB C C

所成角即为ADE ∠，设AB a =，则AE ，2a DE =，即有

0tan 60ADE ADE ∠=．3、设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0?=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角

形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

C 【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．

4、过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的

两条渐近线的交点分别为,B C ．若12

AB BC =

，则双曲线的离心率是( )

A C 【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为

B ，

C ，

22,,(,)a ab a ab

B C a b a b a b a b ??- ?

++--??，则有22

222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ??=-=- ?

--++??

，因222,4,AB BC a b e =∴=∴ 5、若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3

cm ． 【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1339??=，上面的长方体体积为

3319??=，因此其几何体的体积为18

二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

6、如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ?

是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，

PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==． （I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ； （II ）证明：在ABO ?内存在一点M ，使FM ⊥平面

BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．

证明：（I ）如图，连结OP ，以O 为坐标原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，

建立空间直角坐标系O xyz -， 则()0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),O A B C -(0,0,6),(0,4,3),P E -()4,0,3F ，由题意得，

()0,4,0,G 因(8,0,0),(0,4,3)OB OE ==-

，

因此平面BOE 的法向量为(0,3,4)n = ，(4,4,3FG =--

得0n FG ?= ，又直线FG 不在平面BOE 内，因此有//FG 平面BOE （II ）设点M 的坐标为()00,,0x y ，则00(4,,3)FM x y =--

，因为FM ⊥平面BOE ，所以有

//FM n ，因此有009

4,4x y ==-，即点M 的坐标为

94,,04??-

???

，在平面直角坐标系xoy 中，AOB ?的内部区域满足不等式组008x y x y >??

，经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以在ABO ?内存

在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，由点M 的坐标得点M 到OA ，OB 的距离为94,

4

． 7、已知椭圆1C ：22

221(0)y x a b a b

+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的

焦点且垂直长轴的弦长为1． （I ）求椭圆1C 的方程；

（II ）设点P 在抛物线2C ：2

()y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处

的切线与1C 交于点,M N ．当线段AP 的中点与MN 的中 点的横坐标相等时，求h 的最小值．

解析：（I ）由题意得21

2,,121b a b b a

=?=??

∴??=?=?

??所求的椭圆方程为

2

214

y x +=， （II ）不妨设2

1122(,),(,),(,),M x y N x y P t t h +则抛物线2C 在点P 处的切线斜率为

2x t

y t ='

=，直线MN 的方程为22y tx t h =-+，将上式代入椭圆1C 的方程中，

得

x

y z

与椭圆1C 有两个不同的交点，所以有422

1162(2)40t h t h ???=-++-+>??，

设线段MN 的中点的横坐标是3x ，则21232()22(1)x x t t h x t +-==

+， 设线段PA 的中点的横坐标是4x ，则41

2

t x +=，由题意得34x x =，即有2(1)10t h t +++=，

其中的22(1)40,1h h ?=+-≥∴≥或3h ≤-；

当3h ≤-时有220,40h h +<-<，因此不等式422

1162(2)40t h t h ???=-++-+>??不

成立；

因此1h ≥，当1h =时代入方程2

(1)10t h t +++=得1t =-，将1,1h t ==-代入不等式422

1162(2)40t h t h ???=-++-+>??成立，因此h 的最小值为1．

2011年寒假数学理科作业第13篇DA

（时间：45分钟）

一、客观题（选择或填空题，将正确答案天到指定位置）

1、如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则下列结论正确的是 D

Ａ.PB AD ⊥ Ｂ.平面PAB PBC ⊥平面 C. 直线BC ∥平面PAE

Ｄ.PD ABC ?

直线与平面所成的角为45

2、已知,,,a b c d 为实数，且c d >。则“a b >”是“a c b d ->-”的 B A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3、已知双曲线22

21(0)

2x y b b -=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为y x =，

点0)P y 在该双曲线上，则12PF

PF ? = C A. 12- B. 2- C .0 D. 4 4、如图，在半径为3的球面上有,,A B C 三点，90,ABC BA BC ?

∠==，

球心O 到平面ABC 的距离是2，则B C 、两点的球面距离是 B

A.3π

B.π

C.43π

D.2π

5、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线2

4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 A

A.2

B.3

C.115

D.37

16

二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

6、如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?

==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；

（II ）设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM BCE 平面？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； （III ）求二面角F BD A --的大小。

（6）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角

等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。 解法一：

（Ⅰ）因为平面ABEF ⊥平面ABCD ,BC ?平面ABCD ，

平面ABEF 平面ABCD AB =， 所以BC ⊥平面ABEF

所以BC ⊥EF .

因为ABE ?为等腰直角三角形， AB AE =，

所以45AEB ∠=

又因为45AEF ∠=

，

所以454590FEB ∠=+=

， 即EF ⊥BE B =,

所以EF ⊥平面BCE 。 ……………………………………4分

（Ⅱ）存在点M ,当M 为线段AE 的中点时，PM ∥平面BCE

取BE 的中点N ，连接AN,MN ，则MN ∥＝12AB ∥＝PC

所以PMNC 为平行四边形，所以PM ∥CN

因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内，

所以PM ∥平面BCE ……………………………………8分 （Ⅲ）由EA ⊥AB,平面ABEF ⊥平面ABCD ，易知，EA ⊥平面ABCD

作FG ⊥AB,交BA 的延长线于G ，则FG ∥EA 。从而，FG ⊥平面ABCD 作GH ⊥BD 于G ，连结FH ，则由三垂线定理知，BD ⊥FH 因此，∠AEF 为二面角F-BD-A 的平面角 因为FA=FE, ∠AEF=45°, 所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.

设AB=1,则AE=1,AF=2.

FG=AF·sinFAG=1

2

在Rt △FGH 中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+12=32,

3224

在Rt △FGH 中，tanFHG= FG GH

=

故二面角F-BD-A 的大小为

arctan 3. ………………………………12分

解法二:

(Ⅰ)因为△ABE 为等腰直角三角形,AB=AE,

所以AE ⊥AB.

又因为平面ABEF ⊥平面ABCD,AE ?平面ABEF,

平面ABEF∩平面ABCD=AB, 所以AE ⊥平面ABCD. 所以AE ⊥AD.

因此,AD,AB,AE 两两垂直,以A 为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.

设AB=1,则AE=1，B （0，1，0），D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因为FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°.

从而，

11

(0,,)

22F -. 所以

11(0,,)22EF =- ,(0,1,1)BE =-

,(1,0,0)BC = . 110022EF BE ?=+-= ,0EF BC ?=

.

所以EF ⊥BE, EF ⊥BC.

因为BE ?平面BCE,BC∩BE=B ,

所以EF ⊥平面BCE.

(Ⅱ)存在点M,当M 为AE 中点时,PM ∥平面BCE.

M ( 0,0, 12 ), P ( 1, 1

2,0 ).

从而PM =

11

(1,,)

22--, 于是PM ·

EF =11(1,,)22--·11

(0,,)

22--=0 所以PM ⊥FE,又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内，

故PMM ∥平面BCE. ………………………………8分

(Ⅲ)设平面BDF 的一个法向量为1n ，并设1n

=（x,y,z ）. 110BD =-（，，）uu u v ，

31

022BF =-（，，）

uu u v

11n 0

n 0BD BF ?=??=??u v uu u v g u v uu u v g 即

x y 0

31y z 022-=???-+=??

取y=1，则x=1，z=3。从而1n 113=

（，，）。

取平面ABD 的一个法向量为2n =

（0，0，1）。

12212

n n cos(n ,n )11n n ==

=1u v u u v

u u v u u v g u v u u v 。

故二面角F —BD —A 的大小为

arccos 。……………………………………12分

7、已知椭圆222

1(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F

，离心率

2e =，右准线方程为2x =。

（I ）求椭圆的标准方程；

（II ）过点1F 的直线l 与该椭圆交于,M N 两点，

且223F M F N +=

，求直线l 的方程。

（7）本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。

解：（Ⅰ）有条件有2c a a

2c {

=

，解得a c=1=。

b 1∴=。

所以，所求椭圆的方程为2

2x y 1

2+=。…………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(1,0)F -、210F （，）。

若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x=-1. 将x=-1

代入椭圆方程得y =。

不妨设

(M -

、1N -（，

22((2,(4,0)

F M F N ∴+=-+-=-uuuu v uuuv .

224

F M F N ∴+=uuuu v uuuv ,与题设矛盾。 ∴直线l 的斜率存在。

设直线l 的斜率为k ，则直线的方程为y=k （x+1）。 设11(x y )M ，、22(,)N x y ，

联立

2

2x y 12

y=k(x+1)

{

+=，消y 得2222

(12)4220k x k x k +++-=。

由根与系数的关系知

2122412k x x k -+=+，从而1212

22(2)12k

y y k x x k +=++=+， 又211(1,)F M x y =- ，222(1,)F N x y =-

， 221212(2,)F M F N x x y y ∴+=+-+

。 2

22

221212(2)()F M F N x x y y ∴+=+-++

2

22

22

822(

)()1212k k k k +=+++

42424(1691)441k k k k ++=

++

42242

4(1691)441k k k k ++∴=++。

化简得42

4023170k k --=

解得

2217140k k ==-

或者

1.

11k l y x y x ∴=±∴=+=--所求直线的方程为或者

2011年寒假数学理科作业第14篇DA

（时间：45分钟）

一、客观题（选择或填空题，将正确答案天到指定位置）

1、直线1y x =+与圆2

2

1x y +=的位置关系为（ B ）

A ．相切

B ．相交但直线不过圆心

C ．直线过圆心

D ．相离

2、已知1,6,()2==-=

a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ C ） A ．6π

B ．4π

C ．3π

D ．2π

3、已知二面角l αβ--的大小为0

50，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面

β所成的角都是025的直线的条数为（ B ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

4、已知双曲线22

2

21(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使

1221sin sin PF F a

PF F c =

，则该双曲线的离心率的取值范围是 ． (4) (1,

21)

5、如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧 棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是 。 （5）90

二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

6、如题（19）图，在四棱锥S ABCD -中，AD BC 且AD CD ⊥；平面CSD ⊥平面

ABCD ，,22CS DS CS AD ⊥==；E 为BS 的中点，

2,3CE AS =．求：

（Ⅰ）点A 到平面BCS 的距离；

（Ⅱ）二面角E CD A --的大小．

6、解法一：

（Ⅰ）因为AD//BC,且,BC BCS ?平面所以//,AD BCS 平面从而A 点到平面BCS 的距离等于D 点到平面BCS 的距离。

因为平面,CSD ABCD AD CD ⊥⊥平面，故AD CSD ⊥平面,从而AD SD ⊥，由AD//BC ，得

BC DS ⊥,又由CS DS ⊥知DS BCS ⊥平面，从而DS 为点A 到平面BCS

的距离，因此在Rt ADS ?中

22312DS AS AD -=-(Ⅱ)如答（19）图1，过E 电作,EG CD ⊥交CD 于点G ，又过G 点作GH CD ⊥,交AB 于H ，故EGH ∠为二面角E CD A --的平面角，记为θ，过E 点作EF//BC,交CS 于点F,连结GF,因平面,,ABCD CSD GH CD GH GF ⊥⊥⊥平面易知,故2

EGF π

θ=-∠.

由于E 为BS 边中点，故1

12

CF CS =

=,在Rt CFE ?中， 22211EF CE CF --,因EF CSD ⊥平面，又EG CD ⊥

故由三垂线定理的逆定理得FG CD ⊥,从而又可得,CGF CSD ??: 因此

GF CF

DS CD

=而在Rt CSD ?中， 22426,

263

CD CS SD CF GF DS CD =+=+=?=故

在Rt FEG ?中，tan 3EF EGF FG =

=3EGF π∠=，故所求二面角的大小为6

π

θ= 解法二：

（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC 分别为x 轴，y 轴正向，建立空间坐标系，设(,,)A A A A x y z ，因平面,,COD ABCD AD CD AD COD ⊥⊥⊥平面故平面 即点A 在xoz 平面上，因此01A A y z AD ===uuu v

， 又2

2213,22A A x AS x A +===uu v 从而（，，）

因AD//BC ，故BC ⊥平面CSD ，即BCS 与平面

yOx 重合，从而点A 到平面BCS

的距离为A x =(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E 为BS 的中点. ΔBCS 为直角三角形 ,

知

2BS CE ==uu v uuv

设B(0,2, B Z )，B Z ＞0，则A Z ＝2，故B （0，2，2），所以E （0，1，1） .

在CD 上取点G ，设G （11,,0x y ），使GE ⊥CD .

由112,0),(,1,1),0CD GE x y CD GE =-=--+?=u u u v u u u v u u u v u u u v

故

112(1)0y --= ①

又点G 在直线CD 上，即//CG CD uu u v uu u v ，由CG uu u v =（11,2,0x y -

12

2y -=- ②

联立①、②，解得G

＝4

,0)3

, 故GE uu u v

=2(,1)33

--.又由AD ⊥CD ，

所以二面角E －CD －A 的平面角为向量GE uu u v 与向量DA uu u v 所成的角，记此角为θ .

因为GE uu u v

，(0,0,1),1,1DA DA GE DA ==?=uu u v uu u v uu u v uu u v

,所以

cos 2GE DA GE DA

θ?==?uu u v uu u v uu u v uu u v

故所求的二面角的大小为

6

π

.

7、已知以原点O 为中心的椭圆的一条准线方程为43y =

，离心率3

e =

，M 是椭圆上

的动点．

（Ⅰ）若,C D 的坐标分别是(0,3),(0,3)-，求

MC MD 的最大值；

（Ⅱ）如题（20）图，点A 的坐标为(1,0)，

B 是圆2

2

1x y +=上的点，N 是点M 在

x 轴上的射影，点Q 满足条件：

OQ OM ON =+ ，0QA BA =

．求线段QB 的中点P 的轨迹

方程；

7、解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y 轴上，故设椭圆方程

为22

221x y a b

+=（a ＞b ＞ 0 ）. 设22c a b =-43y =

.由3e =3c

a =，解得 a = 2 ,c

3 b = 1，椭圆方程为2

2

14

y x += . 又易知C ，D 两点是椭圆2

2

1

4

y x +=的焦点，所以,24MC MD a +==

从而2

2(

)242

MC MD MC MD +?≤==，当且仅当

MC MD =，即点M 的坐标为(1,0)± 时上式取等号，MC MD

?的最大值为4 .

（II ）如图（20）图，设M(,),(,)m m B B x y B x y

(,)Q Q Q x y .因为(,0),N N x OM ON OQ +=

，故

2,,Q N Q M x x y y ==

222(2)4y Q Q M x y x y +=+= ①

因为0,QA BA ?=

(1)(1)(1)(1)0,

Q Q N n Q N Q N x y x y x x y y --?--=--+=

所以 1Q N Q N N Q x x y y x x +=+-. ② 记P 点的坐标为(,)P P x y ，因为P 是BQ 的中点 所以 2,2P Q P P Q P x x x y y y =+=+

由因为 221N N x y +=，结合①，②得

22221

(()())4P P Q N Q N x y x x y y +=

+++ 2222

1(2())4Q N Q n Q N Q N x x y y x x y y =+++++

1

(52(1))4Q N x x =++-

3

4

P x =+

故动点P 的估计方程为

221

()12

x y -+=

2011年寒假数学理科作业第15篇DA

（时间：45分钟）

一、客观题（选择或填空题，将正确答案天到指定位置）

1、给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

2、一质点受到平面上的三个力1F ，2F ，3F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成60?角，且1F ，2F 的大小分别为２和４，则3F 的大小为

3、若平面向量a ，b 满足1a b +=

，a b + 平行于x 轴，(2,1)b =-，则a = 。

学

4、已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为2

，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 。

二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

5、如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形

11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点。设点11,E G 分别是

点Ｅ、Ｇ在平面11DCC D 内的正投影。

（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；

（２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值。

6、已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且

A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为

D 。设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合。

（１）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程； （２）若曲线2

2

2

51

:24025

G x ax y y a -+-++

=与D 有公共点，试求a 的最小值。