一元二次方程综合培优1(难度大-含参考答案)

一元二次方程提高题

1、已知0200052

=--x x

，则

()()2

1

122

3-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________1

2004

4007222=++

-a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a

.

4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a .

5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 .

6、已知0=++c b a ，2=abc ，0φc ，则（ ）

A 、0πab

B 、2-≤+b a

C 、3-≤+b a

D 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a .

10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11φx ，03φ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定

11、已知α是方程041

2

=-+x x 的一个根，则α

αα--331的值为 .

12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （ ）

A 、2011

B 、2010

C 、2009

D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（ ）

A 、14

B 、15

C 、16

D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （ ）

A 、1

B 、1.5

C 、2

D 、2.5 16、方程97

33

322=-+-

+x x x x 的全体实数根之积为（ ）

A 、60

B 、60-

C 、10

D 、10-

17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （ ）

A 、1

B 、2

C 、

21 D 、2

3 18、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα. 19、若关于x 的方程

x

ax x x x x a 1

122++

-=-只有一解，求a 的值。 中考真题

1、若11=-

x x ，则331

x

x -的值为（ ） 2、已知实数α、β满足0132=-+αα，0132=--ββ，且1≠αβ，则βα32+-的值为（ ） A 、1 B 、3 C 、－3 D 、10 3、实数x 、y 满足方程0132222=+-+-+y x xy y x ，则y 最大值为（ ） A 、

21 B 、23 C 、4

3

D 、不存在 4、方程()

113

2=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5

5、已知关于x 的方程02=++c bx ax 的两根分别为3-和1，则方程02=++a cx bx 的两根为（ ） A 、31-

和1 B 、21和1 C 、3

1

和1- D 、21-和1-

6、实数x 、y 满足222=++y xy x ，记22y xy x u +-=，则u 的取值范围是（ ） A 、

632≤≤u B 、23

2

≤≤u C 、61≤≤u D 、21≤≤u 7、已知实数m ，n 满足020092=-+m m ，

()102009112-≠=--mn n

n ，则_____1

=-n m .

9、已知方程()021222=-+++k x k x 的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ） A 、3-或1 B 、3- C 、1 D 、3

10、设a ，b 是整数，方程02=++b ax x 有一个实数根是347-，则______=+b a . 13、已知方程()03324=+--a x a ax 的一根小于2-，另外三根皆大于1-，求a 的取值范围。

14、已知关于x 的方程022=+-k x x 有实数根1x ，2x 且3

231x x y +=，试问：y 值是否有最

大值或最小值，若有，试求出其值，若没有，请说明理由。

15、求所有有理数q ，使得方程()()0112=-+++q x q qx 的所有根都是整数。

一元二次方程培优题及参考答案

1、已知0200052

=--x x

，则

()()2

1

122

3-+---x x x 的值是（ D ） A 、2001 B 、2002 C 、2003 D 、2004 答案：D

解析：由0200052=--x x 得：200042+=-x x x

()()()()200420042

2442

1122

112222223=-+=-+-++-=-+--+-=-+---x x x x x x x x x x x x x

归纳：本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。 2、已知0120042=+-a a ，则_________1

2004

4007222=++-a a a . 答案：2002

解析：由0120042=+-a a 得：a a 200412=+，120042-=a a ，20041

=+a

a 原式()20021

2200420044007120042=+-=+

--=a

a a a a 归纳：本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。 3、若1≠a

b ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b

a

. 答案：

5

7 解析：由05200572

=++b b 得：0712005152

=+?+??

?

??b b

∵1≠ab ，即b

a 1≠ ∴把a 和

b 1

作为一元二次方程07200552=++x x 的两根

∴5

7

1==?

b a b a 归纳：本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。

4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a . 答案：2

考点：根的判别式。

分析：由方程043222=-+-a ax x 没有实数根，得0π?，求的a 的范围，然后根据此范围化简代数式。

解答：解：∵已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根

5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 . 答案：

8

97 考点：二次函数的最值。 专题：计算题；换元法．

分析：此题只需先令06≥=-t x ，用x 表示t ，代入求y 关于t 的二次函数的最值即可。 解答：令06≥=-t x ，26t x -=

则8112412122212622

2

2

+??? ?

?

--=++-=+-=-+=t t t t t x x y

又0≥t ，且y 关于t 的二次函数开口向下，则在4

1

=

t 处取得最大值 即y 最大值为8

112，即897

归纳：本题考查了二次函数的最值，关键是采用换元法，将x -6用t 来表示进行解题比较简便。

6、已知0=++c b a ，2=abc ，0φc ，则（ ）

A 、0πab

B 、2-≤+b a

C 、3-≤+b a

D 、4-≤+b a 答案：B

考点：根的判别式。 专题：综合题。

分析：由0=++c b a ，2=abc ，0φc ，得到a ，b 两个负数，再由c b a -=+，c

ab 2

=，这样可以把a ，b 看作方程022=+

+c cx x 的两根，

根据根的判别式得到02

42≥?-=?c

c ，解得2≥c ，然后由c b a -=+得到2-≤+b a .

解答：∵0=++c b a ，2=abc ，0φc ∴0πa ，0πb ，0φc ∴c b a -=+，c

ab 2=

∴可以把a ，b 看作方程02

2=++c

cx x ∴02

42≥?

-=?c

c ，解得2≥c ∴()2≥+-=b a c ，即2-≤+b a

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式：如方程有两个实数根，则0≥?．也考查了一元二次方程根与系数的关系以及绝对值的含义。

7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 答案：0

考点：因式分解的应用；非负数的性质：偶次方。

分析：本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口。由8=-b a 可得8+=b a ；将其代入0162=++c ab 得：016822=+++c b b ；此时可发现1682++b b 正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求

出b 、c 的值，进而可求得a 的值；然后代值运算即可。

解答：∵8=-b a ∴8+=b a

又∵0162=++c ab ∴016822=+++c b b ，即()0422

=++c b

∴4-=b ，0=c ∴4=a ∴0=++c b a

归纳：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法． 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 答案：2005-

考点：因式分解的应用。 专题：整体思想。

分析：根据已知条件可得到12=+m m ，然后整体代入代数式求值计算即可。 解答：∵012=-+m m ∴12=+m m

∴原式()2005200612006200622-=-=-+=-++=m m m m m m

点评：这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a . 答案：0

考点：拆项、添项、配方、待定系数法。 专题：计算题．

分析：先将字母b 表示字母a ，代入042=++c ab ，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a 、b 、c 的值，从而得到b a +的值。

解答：∵4=-b a ∴4+=b a

代入042=++c ab ，可得（()0442=+++c b b ，即()0222

=++c b

∴2-=b ，0=c ∴24=+=b a ∴0=+b a

归纳：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法。解题关键是将代数式转化为非负数和的形式。

10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11φx ，03φ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定

答案：A

考点：根与系数的关系． 专题：计算题．

分析：方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，根据根与系数的关系及已知条件即可求解。 解答：∵方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ∴p x x -=+21，q x x -=21 ∵11φx ，3-+φq p ∴32121πx x x x ++ ∴231212ππx x x x -+ ∴()2112π+x x ∵211φ+x ∴12πx

归纳：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握1x ，2x 是方程02=-+q px x 的两根时，p x x -=+21，q x x -=21．

11、已知α是方程041

2

=-+x x 的一个根，则α

αα--331的值为 .

答案：5

考点：因式分解的应用。 专题：整体思想。

分析：根据已知条件可得到0412=-+αα，即4

1

2=+αα然后整体代入代数式求值计算即可。

解答：∵α是方程0412=-

+x x 的一个根 ∴0412=-+αα，即4

1

2=+αα ∴原式()(

)

()()54

11

4

1

1111122

2

=+=+++=-+++-=

α

ααααααααα 点评：这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。 12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （ ）

A 、2011

B 、2010

C 、2009

D 、2008 答案：B

考点：因式分解的应用． 专题：计算题；整体思想．

分析：将132=-x x 化简为0132=--x x ，整体代入200872129234+--+x x x x 变形的式子()()()20101321351332222+--+--+--x x x x x x x x ，计算即可求解．

解答：∵132=-x x ，即0132=--x x ∴200872129234+--+x x x x ()()()

20101321351332222+--+--+--=x x x x x x x x 2010=

归纳：本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解。 13、方程22323=--+x x 的解为 . 答案：

3

2

考点：利用方程的同解原理解答。 专题：计算题。

解答：22323=--+x x

两边同时平方得：449223232=---++x x x

整理得：23492-=-x x 再平方得：812-=-x 解得：3

2

=x 归纳：本题考查将无理方程通过平方的方式转化为有理方程解答。 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（ ）

A 、14

B 、15

C 、16

D 、18 答案：B

考点：完全平方公式。

15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （ ）

A 、1

B 、1.5

C 、2

D 、2.5 答案：C

考点：解一元二次方程-公式法；绝对值；一元二次方程的解。 专题：解题方法。

分析：因为方程中带有绝对值符号，所以讨论方程的根分两种情况：当0≥x 时，原方程为m x x =+-222；当0πx 时，原方程为m x x =++222．

解答：当0≥x 时，原方程为：m x x =+-222，化为一般形式为：0222=-+-m x x 用求根公式得：1124

42-±=-±=

m m x

当0πx 时，原方程为：m x x =++222，化为一般形式为：0222=-++m x x 用求根公式得：112

4

42-±-=-±-=

m m x

∵方程的根恰为3个，而当2=m 时，方程的3个根分别是21=x ，02=x ，23-=x ． 归纳：本题考查未知数的取值范围，以确定字母系数m 的值。 16、方程97

33

32

2=-+-

+x x x x 的全体实数根之积为（ ）

A 、60

B 、60-

C 、10

D 、10- 答案：A

考点：换元法解分式方程。 专题：换元法。

分析：设y x x =-+732，原方程化成23

=-y

y ，再整理成整式方程求解即可。 解答：设y x x =-+732，则23

=-

y

y ∴0322=--y y ，解得11-=y ，32=y 当11-=y 时，1732-=-+x x ，解得2

33

3±-=

x 当32=y 时，3732=-+x x ，解得2=x 或5- ∴

()60522

33

32333=-??--?+- 归纳：本题考查了用换元法解分式方程，解次题的关键是把732-+x x 看成一个整体来计算，即换元法思想。

17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （ ）

A 、1

B 、2

C 、21

D 、2

3

答案：C

考点：一元二次方程根与系数的关系及求解。

解答：设0522=--a x x 的两根分别为k 2，k 3，由根与系数的关系得：

2532=

+k k ，2

32a

k k -=? ∴2

1

=

k ，3-=a ∴()2

142442542

121212=-=

-+=-x x x x x x 归纳：本题考查了用根与系数的关系解决问题，关键是利用公式巧妙变形。 18、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα. 答案：5

考点：根与系数的关系；代数式求值；完全平方公式。 专题：计算题。

分析：由方程的根的定义，可知012=-+αα，移项，得αα-=12，两边平方，整理得

αα324-=①；由一元二次方程根与系数的关系，可知1-=+βα②；将①②两式分别代入βα34-，即可求出其值。

解答：∵α是方程012=-+x x 的根 ∴012=-+αα ∴αα-=12 ∴()αααααα321212124-=-+-=+-= 又∵α、β方程012=-+x x 的两个实根

∴1-=+βα ∴()()51323233234=-?-=+-=--=-βαβαβα

归纳：本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系。难度中等。关键是利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解。

19、若关于x 的方程x

ax x x x x a 1

122++

-=-只有一解，求a 的值。 答案：0=a 或2

1=

a 考点：解分式方程。

分析：先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出a 的值。

解答：原方程化为()01322=--+x a ax ① （1）当0=a 时，原方程有一个解，2

1

=

x （2）当0≠a 时，方程①()01452

2φ-+=?a a ，总有两个不同的实数根，由题意知必有一个根是原方程的增根，从原方程知增根只能是0或1，显然0不是①的根，故1=x ，得2

1=

a ． 综上可知当0=a 时，原方程有一个解，21=

x ，2

1

=a 时，2-=x ． 归纳：本题考查了解分式方程。注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方

20、已知二次函数()()02

≠++=a c bx ax x f 满足()01=-f 且()2

1

2+≤≤x x f x 对一切实数恒成

立，求()()02≠++=a c bx ax x f 的解析式。

考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质。 专题：综合题。

分析：取1=x ，由()21

111+≤

≤f ，能够求出()11=f 的值；由()01=-f ，知?

??=+-=++01c b a c b a ，

所以2

1

=

=+b c a ，由()x f x ≤，对一切实数恒成立，知x c bx ax ≥++2，即()012≥+-+c x b ax 对一切实数恒成立，由此能求出()x f 的表达式。

解答：解：（1）∵二次函数()()02

≠++=a c bx ax x f 满足()01=-f 且()2

1

2+≤≤x x f x

∴取1=x ，得()2

1

111+≤≤f 所以()11=f

∴???=+-=++0

1c b a c b a ∴21==+b c a

∵()x f x ≤，对一切实数恒成立 ∴()012≥+-+c x b ax 对一切实数恒成立 ∴()???≤--=?04102

ac b a φ ∴??

???≥1610

ac a φ ∵0φa ，016

1

φ≥

ac ∴0φc ∵

1612

221≥≥+=ac c a 当且仅当41==c a 时，等式成立 ∴()4

1

21412++=x x x f 点评：本题考查二次函数的性质的综合应用，考查函数解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数恒成立条件的灵活运用。

21、已知()()02≠++=a c bx ax x f .

（1）对任意1x ，2x ，当21x x π有()()21x f x f ≠，求证：()()()2

21x f x f x f +=两个不相等的

实根且有一根在（1x ，2x ）内。

（2）若()()()2

21x f x f x f +=

在（1x ，2x ）内有一根为m 且1221-=+m x x .若()0=x f 的对

称轴为0x x =.求证：20m x π.

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质；等差数列的性质． 专题：计算题；转化思想．

分析：（1）通过计算一元二次方程的判别式大于0，可得方程有两个不相等的实数根；设方程对应的函数为()x g ，由()()021πx g x g ，可得方程有一个根属于（1x ，2x ）．

（2）由题意可得()()()2

21x f x f m f +=

，即()()022212

2

212=--+--x x m b x x m a ，由于 1221-=+m x x ，故()22

21

2

2x x m a b ---=，由()

2

2222

2212

222120x x m x x m a b x +-

=+-=-=证得结论。

解答：证明：（1）∵()()()221x f x f x f +=

∴()()

c bx ax c bx ax c bx ax x f +++++=++=22

212122

1

整理得：()()022212

2

212=+-+-+x x b x x a bx ax ∴()()[

]()()[]

2

22

1212

2

21222284b ax b ax x x b x x a a b +++=++++=? ∵21x x π ∴b ax b ax +≠+2122 ∵0φ? 故方程有两个不相等的实数根 令()()()()221x f x f x f x g +-

= 则()()()()[]2

21214

1x f x f x g x g -=

又()()21x f x f ≠ 则()()021πx g x g

故方程()()()2

21x f x f x f +=

有一根在（1x ，2x ）内。

（2）∵方程()()()221x f x f x f +=在（1x ，2x ）内有一根为m ∴()()()2

21x f x f m f +=

∴()

()022212

2

2

12=--+--x x m b x x m a ∵1221-=+m x x ∴()2

2

2122x x m a b ---= 故()

22

2212

2221202

222m x x m x x m a b x π+-=+-=-=

点评：本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，等差数列的性质，体现了转化的数学思想。

一元二次方程成都四中考试真题

1、若11=-

x x ，则331

x

x -的值为（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 答案：4

考点：因式分解的应用。 专题：整体思想。

解答：∵11=-x x ∴431111112

2233

=???

?????+??? ??-??? ??-=??? ??++??? ??-=-x x x x x x x x x x

归纳：本题关键是将11=-

x x 作为整体，然后将331

x

x -进行因式分解变形解答。 2、已知实数α、β满足0132=-+αα，0132=--ββ，且1≠αβ，则βα32+-的值为（ ） A 、1 B 、3 C 、－3 D 、10 答案：D

解析：由0132=--ββ得：011312

=???? ??-???? ???-ββ，即ββ3112-=，31

-=ββ ∵1≠αβ，即β

α1

≠ ∴把α和

β

1

作为一元二次方程0132=-+x x 的两根 ∴31-=+

β

α，

1-=β

α

，即βα-= ∴109113133

131

31

32

22=+=????

??--=+-

=+=

+=

+-βββββββαβα 归纳：本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。 3、实数x 、y 满足方程0132222=+-+-+y x xy y x ，则y 最大值为（ ）

A 、

21 B 、23 C 、4

3

D 、不存在 答案：B

考点：根的判别式。 专题：计算题；转化思想。

分析：先把方程变形为关于x 的一元二次方程()01322122=+-+-+y y x y x ，由于此方程有解，所以0≥?，这样得到y 的不等式03842≤+-y y ，解此不等式，得到y 的取值范围，然后找到最大值。

解答：把0132222=+-+-+y x xy y x 看作为关于x 的()01322122=+-+-+y y x y x ，并且此方程有解，所以0≥?，即()()013242122

≥+---y y y

∴03842≤+-y y ，()()01232≤--y y ∴

2

321≤≤y 故y 的最大值是23

点评：本题考查了一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ，a ，b ，c 为常数）根的判别式。当

0φ?，方程有两个不相等的实数根；当0=?，方程有两个相等的实数根；当0π?，方程没有

实数根。同时考查了转化思想的运用和一元二次不等式的解。

4、方程x

x x 2

22=

-的正根的个数为（ ） A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个

5、方程()

113

2=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5 答案：C

考点：零指数幂。 专题：分类讨论。

分析：方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论。第1种可能：指数为0，底数不为0；

第2种可能：底数为1；第3种可能：底数为1-，指数为偶数。

解答：（1）当03=+x ，012≠-+x x 时，解得3-=x ；（2）当112=-+x x 时，解得2-=x 或1；（3）当112-=-+x x ，3+x 为偶数时，解得1-=x

因而原方程所有整数解是3-，2-，1，1-共4个。

点评：本题考查了：10=a （a 是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于1。本题容易遗漏第3种可能情况而导致误选B ，需特别注意。

6、关于x 的方程02=++c bx ax 的两根分别为3-和1，则方程02=++a cx bx 的两根为（ ） A 、31-

和1 B 、21和1 C 、3

1

和1- D 、21-和1-

答案：B

考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．

分析：因为方程的两个根为3-和1，所以方程可以方程因式为()()013=-+x x a ，用含a 的式子表示b 和c ，代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根。

解答：∵02=++c bx ax 的两根为3-和1 ∴()()013=-+x x a 整理得：0322=-+a ax ax ∴a b 2=，a c 3-= 把b ，c 代入方程02=++a cx bx ，得：0322=+-a ax ax ()()0112=--x x a

∴2

1

1=

x ，12=x 归纳：本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程的两根代入方程，整理后用含a 的式子表示b 和c ，然后把b ，c 代入后面的方程，用因式分解法可以求出方程的根。

7、实数x 、y 满足222=++y xy x ，记22y xy x u +-=，则u 的取值范围是（ ） A 、

632≤≤u B 、23

2

≤≤u C 、61≤≤u D 、21≤≤u

8、已知实数m ，n 满足020092=-+m m ，()102009112-≠=--mn n

n ，则_____1

=-n m .

考点：一元二次方程根与系数的关系。

分析：根据题意：由020092

=-+m m 得：011120092

=-+??

?

??m m ；由02009112=--n n 得：

()()0120092

=--+-n n ，又因为1-≠mn ，即

n m -≠1，因此可以把m

1

，n -作为一元二次方程0120092=-+x x 的两根，由根与系数的关系得：

2009

1

1-

=-n m . 解答：∵020092=-+m m ，

020091

12=--n

n ∴011120092

=-+??

? ??m m ，()()0120092

=--+-n n

∵1-≠mn ∴n m

-≠1

∴把

m 1，n -作为一元二次方程0120092=-+x x 的两根 ∴()2009

111-=-+=-n m n m 归纳：本题考查的是用构造一元二次方程，利用根与系数的关系解答问题，本题的关键是利用已知进行变形是关键所在，不要忽视了1-≠mn 这个条件隐含的题意。

9、已知方程()021222=-+++k x k x 的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ） A 、3-或1 B 、3- C 、1 D 、3 答案：C

考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式。

分析：由题意设方程()021222=-+++k x k x 两根为1x ，2x ，得()1221+-=+k x x ，2221-=k x x ，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k 值。

解答：设方程()021222=-+++k x k x 两根为1x ，2x

得()1221+-=+k x x ，2221-=k x x ，()()094241222

φ+=--+=?k k k ∴4

9-φk

∵112221=+x x ∴()112212

21=-+x x x x ∴()()11221222

=--+k k 解得1=k 或3-

∴4

9

-φk

归纳：此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题。

10、设a ，b 是整数，方程02=++b ax x 有一个实数根是347-，则______=+b a . 答案：3-

考点：一元二次方程的解；二次根式的化简求值。 专题：方程思想。

分析：一个根32347-=-代入方程，得到a ，b 等式，再由a ，b 是整数，可以求出a ，b 的值。

解答：32347-=-，把32-代入方程有：()

032347=+-+-b a

()()

03427=--+++a b a

∵a ，b 是整数 ∴?

??=--=++040

27a b a ∴???=-=14b a ∴3-=+b a

归纳：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，由a ，b 是整数就可以求出a ，b 的值。

11、已知函数()c x b x y +-+=12，（b ，c 为常数），这个函数的图象与 x 轴交于两个不同的两点A （1x ，0）和B （2x ，0）且满足112φx x -.

（1）求证：()c b b 22+≥

（2）若1x t π，试比较c bt t ++2与1x 的大小，并加以证明。 考点：抛物线与x 轴的交点。 专题：证明题；探究型。

分析：（1）首先利用求根公式求出x 的值，再由112φx x -求解；

（2）已知()()()2121x x x x c x b x --=+-+推出()()121+--x t x t ．根据1x t π推出答案。 解答：证明：（1）∵令()c x b x y +-+=12中0=y 得到()012=+-+c x b x ∴()()2

4112c

b b x --±

--=

又112φx x - ∴

()1412φc b -- ∴14122φc b b -+- ∴()c b b 22+≥

（2）由已知 ∴()()x x x x x c bx x +--=++212

一元二次方程综合培优难度大含参考复习资料

一元二次方程提高题 1、已知0200052 =--x x ，则 ()()2 1 122 3-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________1 2004 4007222=++ -a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a . 4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a . 5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 . 6、已知0=++c b a ，2=abc ，0φc ，则（ ） A 、0πab B 、2-≤+b a C 、3-≤+b a D 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a . 10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11φx ，03φ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定 11、已知α是方程041 2 =-+x x 的一个根，则α αα--331的值为 . 12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （ ） A 、2011 B 、2010 C 、2009 D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（ ） A 、14 B 、15 C 、16 D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （ ） A 、1 B 、1.5 C 、2 D 、2.5 16、方程97 33 322=-+- +x x x x 的全体实数根之积为（ ） A 、60 B 、60- C 、10 D 、10- 17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （ ）

人教培优一元二次方程辅导专题训练附答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程 2 (1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式221 6 k k k -+-的值． 【答案】0. 【解析】 【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】 解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2 则12123940x x x x a a +-?? ??-≥? ＝＝＝ ， 由条件，知12 1212 11x x x x x x ++==3， 即 33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1， 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0， Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则221 06 k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，?=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则17 8 k ≤ ， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使221 6k k k -+-无意义. 综上，代数式221 6 k k k -+-的值为0 【点睛】 本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程， 2．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC= ，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，

人教数学一元二次方程的专项培优练习题及详细答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．阅读下列材料 计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则： 原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝ 在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+） （2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3 【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2 【解析】 【分析】 （1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算． （2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a． （3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解． 【详解】 （1）令+＝t，则： 原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝ （2）令a2﹣5a＝t，则： 原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令x2+4x＝t，则原方程转化为： （t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴t1＝0，t2＝﹣4 当x2+4x＝0时， x（x+4）＝0

解得：x 1＝0，x 2＝﹣4 当x 2+4x ＝﹣4时， x 2+4x +4＝0 （x +2）2＝0 解得：x 3＝x 4＝﹣2 【点睛】 本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算． 2．解下列方程： （1）x 2﹣3x=1． （2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-= = ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】 试题分析：（1）利用公式法求解即可； （2）利用直接开方法解即可； 试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0， ∵b 2﹣4ac=13＞0 ∴ ． ∴12313313,22 x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或， ∴12223,223y y =-+=-- 3．如图，在△ABC 中，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2cm/s 的速度向C 点移动．如果P 、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm 2？ 【答案】经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2． 【解析】 【分析】

一元二次方程提高培优题

1 一元二次方程提高题 一、选择题 1．已知a 是方程x 2 +x ﹣1=0的一个根，则 的值为（ ） A ． B ． C ．﹣1 D ．1 2．一元二次方程(2)2x x x -=-的根是（ ） =1 =0 =1和x=2 =-1和x=2 3．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ． 289（1﹣x ）2=256 B ． 256（1﹣x ）2 =289 C ． 289（1﹣2x ）=256 D ． 256（1﹣2x ）=289 4．岑溪市重点打造的天龙顶山地公园在20XX 年12月27日试业了．在此之前，公园派出小曾等人到某旅游景区考察，了解到该景区三月份共接待游客20万人次，五月份共接待游客50万人次．小曾想知道景区每月游客的平均增长率x 的值，应该用下列哪一个方程来求出（ ） A ．20（1+x ）2=50 B ．20（1﹣x ）2=50 C ．50（1+x ）2 =20 D ．50（1 ﹣x ）2 =20 5．某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念,全班共送了2070张相片,如果全班有x 名学生,根据题意,列出方程为（ ） A ．(1)2070x x -= B ．(1)2070x x += C ．2(1)2070x x += D ． (1) 2070x x x -= 6．若关于x 的方程x 2 ﹣4x+m=0没有实数根，则实数m 的取值范围是 A ．m ＜﹣4 B ．m ＞﹣4 C ．m ＜4 D ．m ＞4 7．已知实数a ，b 分别满足22a 6a 40b 6b 40-+=-+=，，且a≠b，则 b a a b +的值是【 】 A ．7 B ．－7 C ．11 D ．－11 8．已知关于x 的方程()2kx 1k x 10+--=，下列说法正确的是 A.当k 0=时，方程无解 B.当k 1=时，方程有一个实数解 C.当k 1=-时，方程有两个相等的实数解 D.当k 0≠时，方程总有两个不相等的实数解 9．若22 4x Mxy y -+是一个完全平方式，那么M 的值是（ ） A. 2 B. ±2 C. 4 D.±4 二、填空题 10．已知方程x 2 +（1﹣ ）x ﹣=0的两个根x 1和x 2，则x 12+x 22 = 11．已知m 和n 是方程2x 2 －5x －3＝0的两个根，则 1m ＋1 n ＝________． 12．若将方程2 67x x +=，化为()2 16x m +=，则m ＝________. 13．已知（x 2 ＋y 2 ）（x 2 －1＋y 2 ）－12=0，则x 2 ＋y 2 的值是_________? 14．某种药品原价为60元/盒，经过连续两次降价后售价为元/盒．设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意，可列方程为 ． 15a 4+b 10--=，且一元二次方程2kx ax b 0++=有实数根，则k 的取值范围是 . 三、计算题 16．解方程：（x+3）2 ﹣x （x+3）=0． 按要求解方程：

第二章一元二次方程培优奥赛讲义

九上第二章一元二次方程培优讲义一．填空题（共15小题） 1．已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为．2．附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为． 3．若m为实数，方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根，则x2﹣3x+m=0的根是． 4．已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根，那么的值是． 5．已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b，则这个等腰三角形的周长为． 6．若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，则200a+9b+c=． 7．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．8．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．9．已知：a2+b2=1，a+b=，且b＜0，那么a：b=． 10．方程（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2的解是．11．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．12．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是． 13．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为． 14．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有人被感染． 15．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x，则方程可列为．

一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)

一元二次方程拓展提高题 1、已知0200052 =--x x ，则 ()()2 1 122 3-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________1 2004 400722 2=++ -a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a . 4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a . 5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 . 6、已知0=++c b a ，2=abc ，0 c ，则（ ） A 、0 ab B 、2-≤+b a C 、3-≤+b a D 、4-≤+b a % 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a . 10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11 x ，03 ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定 11、已知α是方程041 2 =-+x x 的一个根，则α αα--331的值为 . 12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （ ） A 、2011 B 、2010 C 、2009 D 、2008 { 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（ ） A 、14 B 、15 C 、16 D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （ ） A 、1 B 、 C 、2 D 、 16、方程97 33 322=-+- +x x x x 的全体实数根之积为（ ） A 、60 B 、60- C 、10 D 、10- 17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （ ）

初三数学培优——一元二次方程应用题

一元二次方程应用题 数字问题 1 两个数的和为8，积为9.75，求这两个数。 2两个连续偶数的积是168,则这两个偶数是__________. 3 .一个两位数，个位数字与十位数字之和为5，把个位数字与十位数字对调，所得的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。 增长（降低）率问题 1，（2009年江苏省）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程． 2.（莱芜）某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每 年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为____万元． 3，（2010年兰州）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是 A． 128 ) % 1( 1682= +a B．128 ) % 1( 1682= -a C． 128 ) % 2 1( 168= -a D．128 ) % 1( 1682= -a 4．（2009山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由 3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是． 5，(2010台州市)某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为____________ ． 6，某木器厂今年一月份生产课桌500张，因管理不善，2月份的产量减少了10%，从3月份起加强 了管理，产量逐月上升，4月份的产量达到了648张，求工厂3月份和4月份的平均增长率。 7，某城市按该市的“九五”国民经济发展规划要求，1997年的社会总产值要比1995年增长21%，求平均每年增长的百分率.

一元二次方程培优试卷

一元二次方程培优检测卷 一、选择题（每题2分，共20分） 1．对于任意实数k ，关于x 的方程x 2－2(k +1)x －k 2+2k －1=0的根的情况为 ( ) A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法确定 2．如果一元二次方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根互为相反数，那么有 ( ) A ．m ＝0 B ．m ＝－1 C ．m ＝1 D ．以上结论都不对 3．方程x 2＋3x －1＝0的两个根的符号为 ( ) A ．同号 B ．异号 C ．两根都为正 D ．不能确定 4．把边长为1的正方形木板截去四个角，做成正八边形的台面，设台面边长为x ，可列出方程 ( ) A ．（1－x)2＝x 2 B ． 14 （1－x)2＝x 2 C ．(1－x)2＝2x 2 D ．以上结论都不正确 5．已知方程x 2＋bx ＋a ＝0的一个根是－a ，则下列代数式的值恒为常数的是 ( ) A ．b B ．a C ．a ＋b D ．a －b 6．设a 2＋1＝3a ，b 2＋1＝3b 且a ≠b ，则代数式11a b +的值为 ( ) A ．5 B ．3 C ．9 D ．11 7．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1k >- B ．1k <且0k ≠ C ． 1k ≥-且0k ≠ D ． 1k >-且0k ≠ 8．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A ．2310x x -+= B ．2 10x += C ．2210x x -+= D ．2230x x ++= 9．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ） A ． 50（1+x 2）=196 B ． 50+50（1+x 2）=196 C ． 50+50（1+x ）+50（1+x 2）=196 D ． 50+50（1+x ）+50（1+2x ）=196 10．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-. 若我们规定一个新数“i ”,使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ）。并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于

一元二次方程专题能力培优含答案

第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1.已知2 (3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A.m ≠3 B.m ≥3 C.m ≥-2 D. m ≥-2且m ≠3 2. 已知关于x 的方程2 1 (1)(2)10m m x m x +++--=，问： （1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？ 专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值 3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2 -1=0的常数项为0，求m 的值． 4.若一元二次方程2 (24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 . 专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 5.已知关于x 的方程x 2 +bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.2 6.若一元二次方程ax 2 +bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 . 7.已知实数a 是一元二次方程x 2 －2013x+1=0的解，求代数式22 1 20122013 a a a +--的值. 知识要点： 1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根. 温馨提示： 1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件. 2.一元二次方程的根是两个而不再是一个. 方法技巧： 1.ax k +bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论. 2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领

一元二次方程综合培优

一元二次方程拓展提高题 1、已知0200052 =--x x ，则 ()()2 1 122 3-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________1 2004 4007222=++ -a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a . 4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a . 5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 . 6、已知0=++c b a ，2=abc ，0 c ，则（ ） A 、0 ab B 、2-≤+b a C 、3-≤+b a D 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a . 10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11 x ，03 ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定 11、已知α是方程041 2 =-+x x 的一个根，则α αα--331的值为 . 12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （ ） A 、2011 B 、2010 C 、2009 D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（ ） A 、14 B 、15 C 、16 D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （ ） A 、1 B 、1.5 C 、2 D 、2.5 16、方程97 33 322=-+- +x x x x 的全体实数根之积为（ ） A 、60 B 、60- C 、10 D 、10- 17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （ ）

一元二次方程培优题(易错题和难题)

一元二次方程培优题 1.解方程3(25)2(25)x x x +=+ 2.已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰等腰三角形ABC 的两条 边长，求三角形ABC 的周长。 3.已知关于x 的方程2 (1)4120a x x a ---+=的一个根为3x =， （1）求a 的值及方程的另一个解 （2）如果一个三角形的三条边长都 是这个方程的根，求三角形ABC 的周长。 4.已知x 1, x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m +1)x +m 2+5=0的两实数根，等腰三角形ABC 的一边长为7，若x 1, x 2恰好是?ABC 另外两边的长，求这个三角形的周长。 5.已知a,b,c ,是三角形的三条边长，且关于x 的方程23())()04 b c x a c x a c +---=有两个相等的实数根，试判断三角形的形状。

6.若k >1,关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=的根的情况是( 写出计算过程 ) A.根和一个负根 B.有两个正根 C.有两个负根 D.没有实数根 解: 7.已知m 是一元二次方程2910x x -+=的解,求221871 m m m -++的值. 8.已知关于x 的一元 二次方程2 (3)10.x m x m ++++= （1）求证:无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根。 （2）若12,x x 是原方程的两根，且12x x -=m 的值，并求出此时方程的两根。 9.如果方程20x px q ++=的两个根是1x ，2x ，那么12x x p +=-，12x x q =，请根据以上结论，解决下列 问题： （1）已知关于x 的方程20(0)x mx n x ++=≠，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程 两根的倒数。 （2）已知a 、b 满足21550a a --=，21550b b --=，求a b b a +的值。 （3）已知a 、b 、c 满足0a b c ++=，16abc =，求正数c 最小值。

初三数学一元二次方程教案综合培优练习

一元二次方程 知识点一、一元二次方程的定义 1、方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程． 注：一元二次方程的定义包括三个要素： ①只含一个未知数． ②未知数的最高次数是2． ③整式方程． 例1：判断下列方程是否是一元二次方程，为什么？ （1）() ()22123a x x x a x a -+-=+； （2）() ()22221m x m x x x m ++=+-． 【变式一】求下列各题m 的值或取值范围 （1）方程()22510m x x +++=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是________． （2）若方程()1 131m m x x +-+=是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________． （3）m =__________时，关于x 的方程2 ((3)43m m x m x m -+=+是一元二次方程． 【变式二】关于x 的方程1 (1)320a a x x +--+=是一元二次方程，则（ ） A ．1a ≠± B ．1a = C ．1a =- D ．1a =± 2、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：()200ax bx c a ++=≠ 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中2ax 是二次项，a （0a ≠）是二次项系数；bx 是一次项，b （b 为任意实数）是一次项系数；c （c 为任意实数）是常数项． 注：一元二次方程的一般形式中，0a ≠的条件十分重要，一般地，如果题目中明确说明“关于x 的一元二次方程”，都需要检验一下二次项系数是否为0． 知识点&例题

一元二次方程培优专题讲义(最新整理)

数学培优专题讲义：一元二次方程 一.知识的拓广延伸及相关史料 1．一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:（1）配方法:如，经配方得 2670x x ++=，再直接用开平方法； 2(3)2x +=（2）公式法；（3）因式分解法。 这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程，只2670x x ++=要变形为 即可，或原方程 22(3)0x +-=经配方化为，再求解时， 2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。因式分解法还可推广到高次方程。 2．我国古代的一元二次方程 提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。 下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.” 这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题. 上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解. 3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。 本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。 （1）转化思想 我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。在本章，转化无所不在，无处不有， 可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面： ①未知转化为已知，这是解方程的基本思路: ②一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的: ③特殊转化为一般，一般转化为特殊。例如，通过用配方法解数字系数的一元二次方程归纳出用配方法解一般形式2670x x ++=的一元二次方程的方法，进而得出20ax bx c ++=一元二次方程的求根公式，而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程，推导出一元二次方程根与系数的关系。又如，通过设未知数，找出等量关系，列方程，把实际问题转化为解方程问题，等等。 掌握转化思想并举一反三，还可以解决很多其他方程问题，如高次方程转化为一元一次或一元二次方程，分式方程转化为整式方程，无理方程转化为有理方程，二元二次方程组转化为二元一次方程组，总之，本章学习的关键之一是学会如何”转化”. 练习: ;222 1 1.510a x x a a -+=+ 是方程的一根,求的值 2421032. a x a ?--=--是方程x 的一根,求a 的值 2 2 42 3101 x x x x x --=-+、若，求的值。 （2）类比思想 本章多次运用类比找出新旧知识的联系,在新旧知识间进行对比,以利于更快更好地掌握新知识. 如用配方法解一元二次方程时,可类比平方根的概念和意义,列一元二次方程解应用题,可类比列一元一次方程解应用题的思路和一般步骤. 类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于帮助我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知识、巩固旧知识，学习时应特别重视。

一元二次方程提高培优题

一元二次方程提高题 一、选择题 1. 已知a是方程x2+x-仁0的一个根，则- 的值为( ) a - 1 a - a A .-严 B . 1 C . - 1 D . 1 7 2. 一元二次方程x(x2) 2 x的根是( ) A.x=1 B.x=0 C.x=1 和x=2 D.x=-1 和x=2 3 .为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( ) 2 2 A. 289 (1 - x) =256 B . 256 (1 - x) =289 C. 289 (1 - 2x) =256 D . 256 (1 - 2x) =289 4.岑溪市重点打造的天龙顶山地公园在2013年12月27日试业了.在此之 前，公园派出小曾等人到某旅游景区考察，了解到该景区三月份共接待游客 20万人次，五月份共接待游客50万人次?小曾想知道景区每月游客的平均 增长率x的值，应该用下列哪一个方程来求出？( ) 2 2 2 A. 20 (1+x) =50 B . 20 (1 - x) =50 C . 50 (1+x) =20 D . 50 ( 1 -x) 2=20 5?某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一 张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( ) A. x(x 1) 2070 B . x(x 1) 2070 C. 2x(x 1) 2070 D . x(x 1 2070 x 6.若关于x的方程x2- 4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是 A . m<- 4 B . m>- 4 C . m< 4 D . m> 4 7.已知实数a, b分别满足a2 6a 4 0, b2 6b 4 0,且a工b，则b - a b 的值是【】 A. 7 B . —7 C . 11 D . —11 &已知关于x的方程kx2 1 k x 1 0，下列说法正确的是 A. 当k 0时，方程无解 B. 当k 1时，方程有一个实数解 C. 当k 1时，方程有两个相等的实数解 D. 当k 0时，方程总有两个不相等的实数解 9.若x2 Mxy 4y2是一个完全平方式，那么M的值是( ) A. 2 B. ± 2 C. 4 D. ± 4 二、填空题 10 .已知方程x2+ ( 1 - _上；)x -」.=0的两个根X1和X2，贝U X/+X22= ______ 2 1 1 11.已知m和n是方程2x —5x —3 = 0的两个根，^ U —+—=___________. m n 2 2 12 .若将方程x 6x 7，化为x m 16，则m = __________________ . 13 .已知(x2+ y2) (x2—1+ y2)—12=0，则x2+ y2的值是___________ ? 14 .某种药品原价为60元/盒，经过连续两次降价后售价为48.6元/盒.设平 均每次降价的百分率为x，则根据题意，可列方程为_________ . 15 .若Va 4+ b 1 0 ,且一元二次方程kx2 ax b 0有实数根，则k 的取值范围是________ ? 三、计算题 2 16 .解方程：(x+3) - x (x+3) =0 . 按要求解方程：

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案)

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案) 一、一元二次方程 1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点． 己知函数2 22(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点； （2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且 12111 4 x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式． 【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-． （2）见解析, （3）AM 的解析式为1 12 y x =--． 【解析】 【分析】 （1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点； （2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式 【详解】 （1）当m =0时，该函数的零点为6和6-． （2）令y=0，得△= ∴无论m 取何值，方程 总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有， 由 解得 ．

∴函数的解析式为． 令y=0，解得 ∴A( )，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点． 易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，） 设直线AB’的解析式为y kx b =+，则 20{106k b k b -+=+=-，解得112 k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为1 12 y x =--， 即AM 的解析式为1 12 y x =- -． 2．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析. 【解析】 试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm ，较长的这段就为（40﹣x ）cm ．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm 2建立方程求出其解即可； （2）设剪成的较短的这段为mcm ，较长的这段就为（40﹣m ）cm ．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm 2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确． 试题解析：设其中一段的长度为cm ，两个正方形面积之和为cm 2，则 ， （其中 ），当 时， ，解这个方程，得 ，，∴应将之剪成12cm 和28cm 的两段；

第一讲一元二次方程培优专题含答案

第一讲一元二次方程培优专题（含答案） 一．选择题（共14小题） 1．（2016?包头）若关于x的方程x2+（m+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（） A．﹣B．C．﹣或D．1 2．（2016?乐山）若t为实数，关于x的方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实数根为a、b，则代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是（） A．﹣15 B．﹣16 C．15 D．16 3．（2016?河北）a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．无实数根D．有一根为0 4．（2016?黄冈校级自主招生）设x1，x2是方程x2+x﹣4=0的两个实数根，则x13﹣5x22+10=（） A．﹣29 B．﹣19 C．﹣15 D．﹣9 5．（2016?岱岳区一模）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数：“i“，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2?i=（﹣1）?i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1．从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1=i4n?i=（i4）n?i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（） A．0 B．1 C．﹣1 D．i

6．（2015?株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a?c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（） A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 7．（2015?南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m ﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（） A．0个B．1个C．2个D．3个 8．（2013?呼和浩特）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m的值是（） A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1 9．（2013?船山区校级自主招生）若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b 10．（2013?涟水县校级一模）已知方程x2﹣4x+2=0的两根是x1，x2，则代数式 的值是（） A．2011 B．2012 C．2013 D．2014 11．（2012?富顺县校级模拟）已知方程a3﹣5a2+3a=0三个根分别为a1，a2，a3，则计算a1（a2+a3）+a2（a1+a3）+a3（a1+a2）的值（） A．﹣5 B．6 C．﹣6 D．3

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题附答案.docx

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题附答案 一、一元二次方程 1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家 庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008 年底全市汽车拥有量为14.4 万辆．已知 2006 年底全市汽车拥有量为10 万辆． （1）求 2006 年底至 2008 年底我市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，要求我市到2010 年底汽车拥有量不超过15.464 万辆，据估计从2008 年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数 量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同） 【答案】详见解析 【解析】 试题分析：（ 1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（ 1+增长率）解决问题； （2）参照增长率问题的一般规律，表示出 2010 年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式 来判断正确的解． 试题解析：（ 1）设年平均增长率为 x，根据题意得： 10（ 1+x）2=14.4， 解得 x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2， 答：年平均增长率为20%； （2）设每年新增汽车数量最多不超过y 万辆，根据题意得： 2009年底汽车数量为14.4 × 90%+y， 2010年底汽车数量为（14.4 × 90%+y）× 90%+y， ∴（ 14.4 ×90%+y）×90%+y≤15.464， ∴y≤2． 答：每年新增汽车数量最多不超过 2 万辆． 考点：一元二次方程—增长率的问题 2．阅读下列材料 计算：（ 1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则： 原式＝（ 1﹣ t ）（ t+ ）﹣（ 1﹣ t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t 2＝ 在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想 方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算：（ 1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（ +）

一元二次方程综合测试题培优

一元二次方程培优训练 一部分 1.已知方程3ax 2-bx-1=0和ax 2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= , b= . 2．关于x 的方程03)3(12=+---x x m m 是一元二次方程，则=m ； 3.设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2222=+++b a b a ，则这个直角 三角形的斜边长为 ； 4. 当_______=x 时，代数式2 1212--x x 的值为0 5. 已知：21=-m ，则关于x 的二次方程04)5()1(2=++-+x m x m 的解 是 ； 6． 方程x x =+2)32(的解是 ； 7.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为1,则a+b+c= ;若有一个根为-1,则b 与a 、c 之间的关系为 ;若有一个根为零,则c= . 8.某食品连续两次涨价10%后价格是a 元,那么原价是_______ ___. 9.长方形铁片四角各截去一个边长为5cm 的正方形, 而后折起来做一个没盖的盒子,铁片的长是宽的2倍,作成的盒子容积为 1. 5 立方分米, 则铁片的长等于________,宽等于________. 10、2690y y +-+=则xy= 11、写出以4，-5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是 12、在一条线段上取n 个点，这n 个点连同线段的两个端点一共有（n+2）个点，若以这（n+2）个点中任意两点为端点的线段共有45条，则n= 13、方程0322=+x x 的根是 。 14、如果()4122++-x m x 是一个完全平方公式，则=m 。 15、已知两个数的差等于4，积等于45，则这两个数为 和 。 16、当____=m 时，关于x 的方程() ()021122=--+-x m x m 为一元二次方程。 17．（x －3）2=1的根是 ．