7机械振动习题思考题

习题7

7-1．原长为m 5.0的弹簧，上端固定，下端挂一质量为kg 1.0的物体，当物体静止时，弹簧长为m 6.0．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g 取9.8）

解：振动方程：cos()x A t ω?=+，在本题中，kx mg =，所以9.8k =；

∴ ω=

== 取竖直向下为x 正向，弹簧伸长为0.1m 时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A =0.1m ，

当t =0时，x =-A ，那么就可以知道物体的初相位为π。

所以：0.1cos x π=+） 即：0.1)x =-。

7-2．有一单摆，摆长m 0.1=l ，小球质量g 10=m ，0=t 时，小球正好经过rad 06.0-=θ处，并以角速度0.2rad/s θ= 向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g 取9.8）

解：振动方程：cos()x A t ω?=+ 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。

（1）角频率： 3.13/rad s =，

频率：0.5Hz ν=

== ，

周期：22

T s π

===； （2）振动方程可表示为：cos 3.13A t θ?=+（），

∴ 3.13sin 3.13A t θ?=-+ （）

根据初始条件，0t =时：cos A θ?=，0(12sin 0(343.13A θ?>=-<

，象限），象限）

可解得：2

8.810227133 2.32A m ?-=?==-=-，，

所以得到振动方程：28.810cos

3.13 2.32t m θ-=?-（） 。

7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方10.0cm 处，求：（1）

振动频率；（2）物体在初始位置下方cm 0.8处的速度大小。 解：（1）由题知2A =10cm ，所以A =0.05m ，选弹簧原长下方0.05m 处为平衡位置；

由0k x m g =，知2

9.8196510

k g m

x -=

=

=?，∴

14ω=

==，

振动频率：7

()H z νπ

=

=

；

（2）物体在初始位置下方8.0cm 处，对应着是x =0.03m 的位置，所以：

3cos 5x A ?==，由22cos sin 1??+=，有：4

sin 5

?=±，

而sin v A ?ω=-，那么速度的大小为：4

0.56/5

v A m s ω== 。

7-4．一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周期为s 2。当0=t 时，位移为cm 6，且向x 轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）s 5.0=t 时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于cm 6-=x ，且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。

解：（1）由题已知 A =0.12m ，T =2 s ，∴ 2T

π

ωπ== 又∵t =0时，06x cm =，00v >，由旋转矢量图，可知：3

π

?=-

故振动方程为：0.12cos

3

x t m ππ=-（）；

（2）将t =0.5 s 代入得：

0.12cos 0.12cos 0.10436x t m ππ

π=-==（），

0.12sin 0.12cos 0.188/36v t m s ππ

ππ=--==-（），

222

0.12cos 0.12cos 1.03/36

a t m s πππππ=--=-=-（）

方向指向坐标原点，即沿x 轴负向； （3）由题知，某时刻质点位于6cm 2

A x =-=-

，

且向x 轴负方向运动，如图示，质点从P 位置回到

平衡位置Q 处需要走32ππ??=+，建立比例式：2t

T ?π??=，

有：56t s ?=

。

x

7-5．两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 2/1A x =处，且向左运动时，另一个质点2在 2/2A x -= 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。

解：由旋转矢量图可知：

当质点1在 2/1A x =处，且向左运动时， 相位为

3

π

，

而质点2在 2/2A x -= 处，且向右运动， 相位为

43

π。

所以它们的相位差为π。

7-6. 质量为m 的密度计，放在密度为ρ的液体中。已知密度计圆

管的直径为d 。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。

解：平衡位置：当F G =浮时，平衡点为C 处。设此时进入水中的

深度为a ：mg gSa =ρ

可知浸入水中为a 处为平衡位置。

以水面作为坐标原点O ，以向上为x 轴，质心的位置为x ，分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用a x -来表示，所以力

()F g a x S gaS gS x ρρρ=--=-，利用牛顿定律：2

2

d x F m

dt

=，

再令：2

2

4gS g d m

m

ρρπω=

=

，可得：02

2

2

=+x dt

x d ω，可见它是一个简谐振动；

周期为：2T π

ω

==

。

7-7．证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为：m

k k k k )(212121+=

π

ν。

证明：两根弹簧的串联，由相互作用力相等，有：1122k x k x =，将串联弹簧等效于一根弹簧，仍有：1122k x k x k x ==，考虑到x x x =+21，

可得：

1

2

111k

k k =

+

，所以：1212

k k k k k =

+ 代入频率计算式，可得：m

k k k k m

k )(21212121+==

π

π

ν 。

7-8．当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？ 解：由2

12

P E k x =

，2

12

k E m v =

，有：22

1cos ()2

P E k A t ω?=+，

2

2

2

2

2

11sin ()sin ()2

2

k E m A t k A t ωω?ω?=

+=+，

（1）当2

A x =

时，由cos()x A t ω?=+，

有：1cos()2

t ω?+=

，sin()2

t ω?+=

，

∴14

P E E

=，34

k E E

=；

（2）当12

P k E E E ==

时，有：22

cos ()sin ()t t ω?ω?+=+

∴cos()t ω?+=±

0.707x A A =±

=±。

7-9．两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) （1）求合振动的振幅。

（2）求合振动的振动表达式。 解：通过旋转矢量图做最为简单。 由图可知，两个振动同频率，且

1A 初相：12

π?=，2A 初相：22

π

?=-，

表明两者处于反相状态，

（反相21(21)k ???π?=-=±+，012k = ，，，） ∵12A A <，∴合成振动的振幅：21A A A =- ； 合成振动的相位：22

π

??==-

；

合成振动的方程：）（）（2

2cos 12ππ-

-=

t T A A x 。

7-10．两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为cm 20，与第一个振

动的位相差为6

π

。若第一个振动的振幅为cm 310。则（1）第二个振动的振幅

为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？ 解：如图，可利用余弦定理：

由图知 ?-+=30cos 2122122A A A A A =0.01 m ∴A ２=0.1 m ， 再利用正弦定理：

2

sin sin 30A

A θ=，有：

2

sin 12A A θ=

=，∴2

π

θ=

。

说明A １与A ２间夹角为π/2，即两振动的位相差为π/2 。

7-11．一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为cm 30=A ，经过110t s =后，振幅变为cm 11=A 。问：由振幅为0A 时起，经多长时间其振幅减为cm 3.02=A ？

解：根据阻尼振动的特征，00cos ()t x A e t βω?-=+，知振幅：t

e A A β-=0。

∵cm 30=A ，当110t s =时，cm 11=A ，可得：1013

e β

-=

，

上式两边取对数，得：1ln 310β=

；

那么当振幅减为20.3A cm =时，有：2

110

t e β-=

， 两边取对数，有：2ln 10t β=，∴210ln 10101021ln 3

lg 3

0.4771

t s =

==

=。

7-12．某弹簧振子在真空中自由振动的周期为0T ，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经过每个周期振幅降为原来的90%，求：

（1）求振子在水中的振动周期T ；

（2）如果开始时振幅100=A 厘米，阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路程为多少？

解：（1） 有阻尼时：2

202β

ωπT -=

，而0

02ωπT =

，0t A A e β-=

过一个周期，振幅降为原来的90%，有：000.9T A A e β-=， 可求得：ln 0.9T

β=-

，代入2

2

2βωπT -=

，有：

2

2

2

2

0ln 0.9[()]4T T

ωπ--

= ?

01.00014T T =

=

（2）由题意可列出等比数列：04A ，040.9A ?，0(40.9)0.9A ??， 则：204(10.90.90.9)n

S A =+++++ 010.9

4()10.9

n

A n -=→∞-

∴0014404000.1

S A A cm === 。

7-13．试画出cos(2)4

x A t π

ω=+和cos y B t ω=的李萨如图形。 解：∵2x y ωω=，∴:2:1x y

ωω=

又∵4

x y π

??-=

，可参考书上的图形。

7-14. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动： （1） 4c o s 864c o s 86x t y t ππππ???=+ ??

??

??

???=- ????

?

；（2） 4c o s 8654c o s 86x t y t ππππ???=+ ??

??

?????=- ?????

；

（3） 4c o s 8624c o s 83x t y t ππππ??

?=+ ??

??

??

??

?=+ ????

?

。试判别质点运动的轨迹。 解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。

对于cos()x x A t ω?=+，4cos()y y t ω?=+的叠加，可推得： 2

2

2

2

2cos()sin ()x y x y x y x y A ????+--=-

（1）将6

x π

?=

，6y π

?=-

代入有：222

2cos

16sin

3

3

x y x y π

π

+-=，

则方程化为：2212x y x y +-=，轨迹为一般的椭圆； （2）将6

x π

?=

，56

y π?=-

代入有：2222cos 16sin x y x y ππ+-=

则方程化为：2220x y x y +-=，即0x y +=，轨迹为一直线； （3）将6

x π

?=

，23

y π?=

代入有：22

2

2cos

16sin

2

2

x y x y π

π

+-=

则方程化为：2224x y +=，轨迹为圆心在原点，半径为4m 的圆。

7-15．在示波器的水平和垂直输入端分别加上余弦式交变电压，荧光屏上出现如图所示的李萨如图形。已知水平方向振动频率为z 4H 107.2?，求垂直方向的振

动频率。

解：从图中可见，李萨如图形在水平方向的切点 是2个，在竖直方向的切点是3个，所以： :3:2x y ωω=， 那么，23

x

y

νν=

=

42 2.7103

??=4

1.810

()H z ?。

思考题

7-1．试说明下列运动是不是简谐振动：

（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；

（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。 答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：

① 描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常

量；

② 系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动； ③ 在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。 或者说，若一个系统的运动微分方程能用02

22

=+ξωξdt

d 描述时，其所作的运动

就是谐振动。

那么，（1）拍皮球时球的运动不是谐振动。第一、球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二、球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力。要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一、描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二、系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三、在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。或者说，若一个系统的运动微分方程能用

2

2

20d d t

ξωξ+=描述时，其所作的运动就是谐振动。

（2）小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动。显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O ；而小球在运动中的回复力为

sin mg θ-。题中所述，S R ?<<，故0S R

θ?=

→，所以回复力为mg θ-。（式

中负号表示回复力的方向始终与角位移的方向相反）即小球在O 点附近的往复运

动中所受回复力为线性的。若以小球为对象，则小球在以O ′为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有 mR 2

2d m R

m g d t

θθ=，令R

g =

2

ω

，则有：

02

2

2

=+θωθdt

d 。

7-2．简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小?

答： 简谐振动的速度： sin()v A t ωω?=-+；

加速度：2

cos()a A t ωω?=-+；

要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。

加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，

速率也不一定在减小。

只有当速度和加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时，加速度使速率减小。

7-3．分析下列表述是否正确，为什么?

（1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动；

（2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。 答：（1）的表述是正确的，原因参考7-1；

（2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。

7-4．用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。

方法1：使其从平衡位置压缩l ?，由静止开始释放。 方法2：使其从平衡位置压缩2l ?，由静止开始释放。

若两次振动的周期和总能量分别用21T T 、和21E E 、表示，则它们满足下面那个关系？ （A ） 2121E E T T == （B ） 2121E E T T ≠= （C ） 212

1E E T T =≠ （D ） 212

1E E T T ≠≠

答：根据题意，这两次弹簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。选择（B ）。

7-5．一质点沿x 轴作简谐振动，周期为T ，振幅为A ，质点从2

1A x =运动到A

x =2处所需要的最短时间为多少？ 答：质点从2

1A x =运动到A x =2处所需要的最短相位变化为

4

π

，所以运动的时

间为：/48

T t πω

?==。

7-6．一弹簧振子，沿x 轴作振幅为A 的简谐振动，在平衡位置0=x 处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为50J ，问振子处于2/A x =处时；其势能的瞬时值为多少？

答：由题意，在平衡位置0=x 处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为50J ，

所以该振子的总能量为50J ，当振子处于2/A x =处时；其势能的瞬时值为：

J E A k kx

M 5.124

504

12

12

12

12

2

==

=

=

）（

。