初三数学知新班第一期第十三天二次函数的应用(一)
一、教学目标:
1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。
2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离、利润等的函数最值问题。
3、发展应用数学解决问题的能力,体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。
教学重点和难点:
重点:利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析,即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。
难点:例3将现实问题数学化,情景比较复杂。
二、复习:
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质?并指出顶点、对称轴、与坐标轴的交点、与x轴两交点间的距离?
2.各类二次函数顶点位置与a、b、c的关系?
(顶点在x轴上、y轴上、原点、经过原点)
3.求二次函数y=-2x2+10x+1的最大(或最小)值?
思考:如何求下列函数的最值:
(1) y=-2x2+10x+1(3≤x≤4)
(2)y=2x2+4x+5
(3)y=
1 100-5x2
(4) y=x2+1
x2
2利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题,它的一般方法是:
(1)列出二次函数的解析式,列解析式时,要根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围。
(2)在自变量取值范围内,运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。
三、例题讲解解题循环图:
例题1:B船位于A船正东26km处,现在A、B两船同时出发,A船发每小时12km 的速度朝正北方向行驶,B船发每小时5km的速度向正西方向行驶,何时两船相距最近?最近距离是多少?
分析:设经过t 时后AB 两船分别到达A ’,B ’,两船之间距离为A ’B ’=AB'2+AA'2 =(26-5t)2+(12t)2 =169t 2-260t+676 。因此只要求出被开方式169t 2-260t+676的最小值,就可以求出两船之间的距离s 的最小值。
解:设经过t 时后,A ,B AB 两船分别到达A ’,B ’,两船之间距离为 S=A ’B ’=AB'2+AA'2 =(26-5t)2+(12t)2 =169t 2-260t+676 =
169(t-10
13
)2+576 (t>0)
当t=1013 时,被开方式169(t-10
13 )2+576有最小值576。
所以当t=10
13
时,S 最小值=576 =24(km )
答:经过10
13
时,两船之间的距离最近,最近距离为24km
例3某饮料经营部每天的固定成本为200元,某销售的饮料每瓶进价为5元。 销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量(瓶)
480
440
400
360
320
280
240
(1)若记销售单价比每瓶进价多x 元时,日均毛利润(毛利润=售价-进价-固定成本)为y 元,求y 关于x 的函数解析式和自变量的取值范围;
(2)若要使日均毛利润达到最大,销售单价应定为多少元(精确到0.1元)?最大日均毛利润为多少?
练习:
1.(06福建泉州)27(13分)施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM 为12米.现以O 点为原点,OM 所在直线为X 轴建立直角坐标系(如图所示).
(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标; (2)求出这条抛物线的函数解析式;
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ,使A 、D 点在抛物线上,B 、C 点在地面OM 上.为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度..之和..
的最大值是多少?请你帮施工队计算一下.
2、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物
售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7. 5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x (元),该经销店的月利润为y (元).
(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;
(2)求出y 与x 的函数关系式(不要求写出x 的取值范围); (3)该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元? (4)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由.
3、心理学家研究发现:一般情况下,学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的注意力y 随时间t 的变化规律有如下关系式:
()()()??
?
??≤<+-≤<≤<++-=04t 20 380702t 10
24010t 0 100242t t t y (1)讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较,何时学生的注意力更集中? (2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟?
(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,为了效果较好,要求学生的注意力最低达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.
九年级数学专题二次函数的应用题 一、解答题 1.一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为 2.5米时,达到最大高度 3.5米,然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。 (1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的解析式; (2)该运动员身高1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少? 2.某商场购进一批单价为16元的日用品,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件,若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件,假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数.(1)试求y与x之间的关系式; (2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少? 3.在体育测试时,初三的一名高个子男同学推铅球,已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分,如图所示,如果这个男同学的出手处A点的坐标(0,2),铅球路线的最高处B点的坐标为(6,5)(1)求这个二次函数的解析式; 米,)2)该男同学把铅球推出去多远?(精确到0.01 ( 元的价钱购进一种服装,根据试销得知:这种服装每天的销售量(件)某商场以每件42,4.
件)可看成是一次函数关系:/(元与每件的销售价 之间的函数关系式(每天的销售与每件的销售价写出商场卖这种服装每天的销售利润1. 利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差); 2.通过对所得函数关系式进行配方,指出:商场要想每天获得最大的销售利润,每件的销售价定为多少最为合适;最大销售利润为多少? 5.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路 线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件),在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面10米,入水处距池边的距离为4米,运动员在距水面高度为5米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误。 (1)求这条抛物线的解析式; (2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为3米,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由 6.某服装经销商甲,库存有进价每套400元的A品牌服装1200套,正常销售时 每套600元,每月可卖出100套,一年内刚好卖完,现在市场上流行B品牌服装,此品牌服装进价每套200元,售出价每套500元,每月可买出120套(两套服装的市场行情互不影响)。目前有一可进B品牌的机会,若这一机会错过,估计一年内进不到这种服装,可是,经销商手头无流动资金可用,只有低价转让A品牌服装,经与经销商乙协商,达成协议,转让价格(元/套)与转让数量(套)有 如下关系: 转让数量(套)120011001000900800700600500400300200100 价格(元/套)240250260270 280290 300310 320330 340 350 方案1:不转让A品牌服装,也不经销B品牌服装; 方案2:全部转让A品牌服装,用转让来的资金购B品牌服装后,经销B品牌服装; 方案3:部份转让A品牌服装,用转让来的资金购B品牌服装后,经销B品牌服装,同时经销A品牌服装。 问: ①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元?
21.1二次函数 教学目标 【知识与技能】 以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点. 【过程与方法】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 【情感、态度与价值观】 联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想. 重点难点 【重点】 二次函数的概念. 【难点】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的? [一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)] 2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系? (正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.)
3.物体解放下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系?(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.) 上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系? 这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题) 二、新课教授 师:我们再来看几个问题. 问题1某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米? 这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为 Sm2,则有S=x(20-x)=-x2+20x. 问题2有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少? 设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850. 这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的. 二次函数的定义:大凡地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项. 二次函数的自变量的取值范围大凡都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1- 学 科 中考数学 课题名称 二次函数综合应用 教学目标 二次函数属于中考压轴题,知识点不仅多,考点灵活多变,而且难度较高,这就要求学生在复习二次函数时,须得把相关性质及相关解题技巧掌握扎实,理解透彻。本专题通过梳理二次函数的知识点(拓展知识点),并结合近几年上海市中考数学最后2道题二次函数的考点,把握中考二次函数命题方向,提高学生利用二次函数和结合相似等综合知识点解决问题的能力。 教学重难点 重点:二次函数解析式的确定,二次函数与x 轴交点问题,二次函数最值问题,二次函数图像上点的 存在问题,二次函数与相似等其它知识点的结合。 难点:二次函数与相似等其它知识点的结合。 知识精解 二次函数性质及相关扩展 1、一般式:y=ax 2+bx+c(a≠0), 函数图像是抛物线; 2、开口方向:(1)a>0, 开口向上, (2)a<0, 开口向下; 3、顶点坐标:(-b/2a, (4ac-b 2)/4a ), 对称轴:x= -b/2a 4、 顶点式:y=a(x+h)2+k(a≠0) h= -b/2a, k=(4ac-b 2)/4a 5、平移问题: ①将一般式化为顶点式; ②遵循原则:“左+ 右-,上+ 下-”(左右是指沿x 轴平移,上下是指沿y 轴平移) 例:将y=x 2+4x+3先向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到的新抛物线解析式是多少? 6、交点式:y=a(x-x 1)(x-x 2)(a≠0) ①一元二次方程根与系数的关系:x 1+x 2= -b/a, x 1.x 2=c/a ②求根公式:x =2 42b b ac a -±-,其中△=b 2-4ac 叫做根的判别式。 当△>0时,抛物线与x 轴有两个交点; 当△=0时,抛物线与x 轴有一个交点; 当△<0时,抛物线与x 轴没有交点。 ③运用抛物线的对称性: 若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y , 则对称轴方程可以表示为:12 2 x x x += 7、增减性: ①a>0时,在对称轴的左侧,y 随x 的增大而减小; 在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大。 ②a<0时,在对称轴的左侧,y 随x 的增大而增大; 教材分析 本节课是数学新人教版九级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面: 1.理解并掌握二次函数的概念; 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式,培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面:通过学生的主动参与,师生、学生之间的合作交流,提高学生的学习兴趣,激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面,它是在正比例函数,一次函数,对函数认识的完善与提高;也是对方程的理解的补充,同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情,给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例,进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式; 难点是从实例中抽象出二次函数的定义,会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程: 一、提出问题,导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的?图象形状各是什么? 2、教师提出问题:投篮球时篮球运行的路线是什么曲线?这种曲线的形状是怎样的?是否象以前学过的函数图象?能否用新的函数关系式来表示?怎样计算篮球达到最高点时的高度?这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗? 二、合作交流,形成概念。1.列式表示下面函数关系。 问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形 的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。 问题2:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注: (1)学生参与小组合作讨论后,能否明白题意,写出相应关系式。 (2)问题3中可先分析一年后的产量,再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察,分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论,它们的共同点: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数,且a≠0 (2)等式的右边最高次数为,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项。(3)x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫二次函数。 二次函数应用题专题复习(含答案) 1、(2016?葫芦岛)某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系:当销售单价为22元时,销售量为36本;当销售单价为24元时,销售量为32本. (1)请直接写出y与x的函数关系式; (2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元 (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大最大利润是多少 * 2.某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每件20元,调查发现当销售价为24元时,平均每天能售出32件,而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件. (1)若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少 (2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为多少元 ( 3.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式; (2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大最大利润是多少 (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量) ^ 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0(完整版)初三数学二次函数所有经典题型
初中数学二次函数综合应用
人教版九年级数学上册二次函数教案
初三数学二次函数应用题专题复习
最新史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结