规划论-建模与求解 - 题目

1、一奶制品加工厂生产A1,A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，

或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。

根据市场需求，生产A1,A2能够全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。

现加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，

设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：

1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否做这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？

2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时多少元？

3）由于市场需求变化，公斤A1的获利增加道30元，是否应改变生产计划？

2、问题1中给出的A1,A2两种奶制品的生产条件，利润及工厂的“资源”限制全都不便，为增加工厂获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1,也可以将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶制品B2，每公斤B1获利44元，每公斤B2获利32元，试为该厂制定一个生产销售计划，使每天净利润最大，并讨论如下问题：

1）若投资30元可以增加供应1桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时间，应否做这项投资？若每天投资150元，可赚回多少？

2）每公斤高级奶制品B1,B2的获利经常有10％的波动，对制订的生产销售计划有无影响？若每公斤B1的获利下降10％，计划应该变化吗？

3、某市有甲乙丙丁四个居住区，自来水由ABC三个水库供应，四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别为30，70，10，10千吨，但由于水源紧张，三个水库每天最多只能分别供应50，60，50千吨自来水。由于地理位置不同，自来水公司从各水库向各区送水所付出的饮水管理费不同（见下表，其中丁与C 只见无输水管道），其他管理费用都是450元/千吨。根据公司规定，各区用户按照统一标准900元/千吨收费。此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为50，70，20，40千吨。该公司应如何分配供水量，才能获利最多？

为了增加供水量，自来水公司正在考虑进行水库改造，使三个水库每天最大供

有限制，如下表。并且为了保持飞机平衡。现有四类货物供该货机装运，其有关信息见下表，最后一列指装运后所获得的利润。

5、一汽车生产大中小三种类型的汽车，已知各种类型每辆车劳动时间的需求，利润及每月生产钢材，劳动时间的现有量如下表，试制定月生产计划，使工厂的利润最大。

进一步讨论，由于各种条件限制，如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，

油含原油A的最低比例为50%和60%，每吨售价分别为4800元和5600元。该公司现有原油A和B的库存量分别为500吨和1000吨，还可以从市场上买到不超过1500吨的原油A。原油A的市场价分别为：购买量不超过500吨的部分10000元/吨；过买超过500吨但不到1000吨时，超过500吨的部分8000元/吨；过买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。该公司该如何安排原油的采购与加工？

7、某班准备从5名游泳队员中选择4人组成接力队，参加学校的4×100米混合泳接力比赛。5名队员的4中泳姿的百米平均成绩见下表，该如何选拔接力队员？如果最近丁的蛙泳成绩有较大进步，可以达到1’15”2；而队员戊经过艰苦的训练，自由泳成绩有所进步，达到了57”5，组成接力队的方案是否应该做出调

筹学课和两门计算机课。课程编号，名称学分，所属类别和先修课要求如下表，那么毕业时学生最少可以学习这些课程中的哪些课程？

如果某个学生既希望选修课程数量少，又希望所获得的学分多，他可以选修哪些

定了未来5年的业务量，分别为400，500，600，700和800。该公司已经初步物色了4家销售公司作为其代理候选企业，下表给出了该公司与每个候选企业建立代理关系的一次性费用，以及每个候选企业每年所能承揽的最大业务量和年运

年初可以决定临时中断或重新恢复代理关系，每次临时中断或重新恢复代理关系

10

确定了未来四周该饮料的需求量。计划科根据本厂实际情况给出了未来四周的生产能力和生产成本，见下表。每周当饮料满足需求后有剩余时，要支出存储费，为每周每千箱0.2千元。问应如何安排生产计划，在满足市场需求的条件下，使四周的总费用（生产成本与存储费之和）最小？

如果工厂必须在未来四周的某一周中安排一次设备检修，检修将占用当周15千箱的生产能力，但会使检修以后每周的生产能力提高5千箱，则检修应安排在哪一周？

11、某饮料厂使用同一条生产线轮流生产多种饮料以满足市场需求，如果某周开工生产其中一种饮料，就要清洗和更换部分部件，于是需支出生产准备费8千元。现在只考虑一种饮料的生产，假设其未来四周的需求量、生产能力、生产成本和存储费与上题的完全相同。问应如何安排这种饮料的生产计划，在按时满足市场需求的条件下，使生产该种饮料的总费用最小？

12、某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时所得到的钢管都是19M 。

（1）现有一客户需要50根4M ，20根6M 和15根8M 的钢管，应如何下料最节省？

（2）零售商如果采用不同的切割模式太多，将会导致生产过程复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同的切割模式不能超过3种。此外该客户需要（1）种的三种钢管外，还需要10根5M 的钢管，该如何下料最节省？

13、某公司采用一套冲压设备生产一种罐装饮料的易拉罐，这种易拉罐时用镀锡板冲压制成的。易拉罐为圆柱型，包括罐身，上盖和下底，罐身高10CM ，上盖和下底的直径均为5CM 。该公司使用两种不同规格的镀锡板原料：规格1镀锡板为正方形，边长为24CM ；规格2镀锡板为长方形，长、宽分别为32CM 和28CM 。由于生产设备和生产工艺的限制，对于规格1的镀锡板材料，只能采用下图中模式1-3的三种方式进行冲压；对于规格2的镀锡板原料只能按照下图中模式4进行冲压。使用模式1-4进行每次冲压所需要的时间分别为1.5S ，2S ，1S ，3S 。 该工厂每周工作40小时，每周可供使用的规格1和规格2的镀锡板的原料分别为5万张和2万张。目前每只易拉罐的利润为0.10元，原料余料损失为0.001元/平方厘米（如果周末有罐身，上盖或下底不能配套组装成易拉罐出售，也看作是原料预料的损失）。

问改工厂应如何安排每周的生产？

模式1 模式2 模式3

模式4

上盖

下盖

罐

身

14、某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及信用等级、到期年限、收益如表2所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：

（1）政府及代办机构的证券总共至少要够进400万元；

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；

（3）所购证券的平均年限不超过5年；

表2

(1)(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？

(3)在1000万元资金情况下，

若证券A 的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C 的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

15、（指派问题）考虑指派n 个人完成n 项任务（每人单独承担一项任务），使所需的总完成时间（成本）尽可能短已知某指派问题的有关数据（每人完16、(工业区发展规划)某小城市的政府当局拟将一块300英亩的土地发展成工业区以增加税收，有5家工厂与政府当局签定了初步协议，市府允诺对这些工厂所需的资金，施工力量及长期出租有关厂房及设备方面加以支持。

市府现有一切公用设施，且最近完成了一项为这些工厂所需的发展，以便需求能有节制地增长，可用资金最多六百万元。

对该地劳动力情况的研究表明，可得到的本地临时工与外地工不超过表1所列数字:

研究表明，在缴纳州与国家的税收后，净收在本地消费的情况（计算是以每

种收水平的家庭的平均大小为基础进行的）列于表１－２中。

还估算了城市从财产税与销售收入及公用设施、燃料、卫生设施及其它方面所得的税收，平均为每人在市内消费额的 2.5%，市府从各种工人所得税收汇总于表1-3中:

城市拥有的公共设施可承担下列负荷:

电力；14.5百万度／年

水；75百万加仑／年

.煤气：40百万立方英尺／年

下水：40百万加仑／年

.废品处理；2万吨／年

城市的公共服务所得的单位利润；

1.电力：0.0007元／度

2.水：7元／百万加仑

3.下水：1元／百万加仑

4.煤气：0.004元／立方英尺

5.废品；0.15元／吨

市政府与之签订初步协定的五家拟建工厂，将主要使用本地原材料，加上工厂引起的其它利润虽将提高社会的收入水平，但因不能确定的加以定量，故在最优化对策中未于考虑。然而，在决定实施此计划时，将这些看作为有利的因素。

表1-5 各工厂所需人力资源的数

该厂区的地价为：2000元/每英亩,各厂厂房的平均造价为: 1厂(电子器件)——15元/平方英尺2厂(压力罐)——17元/平方英尺3厂(铸件)——19元/平方英尺4厂(塑料薄膜)——22元/平方英尺5厂(再生轮胎)——16元/平方英尺

市府已同意将厂房(包括场地)按每年1.75元/平方英尺建筑面积租给工厂，维修费估计为0.05元/平方英尺建筑面积。

市府怎样确定对各厂的空间分配,以使政府的岁收为最多?

17、一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向７个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个销售代理点应该建在何处，才能使所能供应的大学生的数量最大？建立该问题的模型并求解。

18、某储蓄所每天的营业时间是上午9：00到下午5：00。根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下：

00到下午5：00工作，但中午12：00到下午2：00之间必须安排1小时的午餐时间。储蓄所每天可以雇用不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，每天的报酬40元。

问储蓄所应如何雇用全时和半时服务员？并讨论不雇用半时工及雇用半时工人数不限两种情形。

19、(招聘保姆问题)一家保姆服务公司专门向顾主提供保姆服务。根据统计，下年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗。每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是从顾主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束时，将有15%的保姆自动离职（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划；哪些季度的增加不影响招聘计划？可以增加多少？（2）如果公司允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划!!

20、在甲乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月，由于乙方封锁了所有水陆交通通道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给，运送4个月的供给分别需要2次，3次，3次，4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成（每架飞机需要3名飞行员），可以运送10万吨物资，每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每个月也只能飞行一次，在执行完运输任务后的返回途中有20%的飞机会被乙方部队击落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪，在第1个月开始时，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员，在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞行，每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导20名飞行员（包括他自己在内）进行训练，每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假期，假期结束后才能再投入飞行。已知各项费用（单位略去）如下表所示，请你为甲方安排一个飞行计划。

如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过20名飞行员（包括他

种产品(分

别记为A，B)．按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒人混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A，B．已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3，l，2，l(％)，进货价格分别为6，16，10，15(千元／吨)；

产品A ，B 的含硫量分别不能超过2．5，1．5(％)，售价分别为9，15(千 元／吨)．根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50吨；产品A ，B 的市场需求量分别为100吨、200吨．问应如何安排生 产

22、 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm 。现有一客户需要15根290mm 、28根315mm 、21根350mm 和30根455mm 的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm 。为了使总费用最小，应如何下料？

23、 某电力公司经营两座发电站，发电站分别位于两个水库上，位置如下图所

已知发电站A 可以将水库A 的1万3

m 的水转换为400千度电能，发电站B 只能将水库B 的1万3m 的水转换为200千度电能。发电站A ，B 每个月的最大发电能力分别是60000千度，35000千度，每个月最多有50000千度电能够以200元/千度的价格售出，多余的电能只能够以140元/千度的价格售出。水库A ，B 的其他有关数据如下（单位：万立方米）

请你为该电力公司制定本月和下月的生产经营计划。（千度是非国际单位制单位，1千度＝103千瓦时）

24、 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首

先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即任何一个阶段4名同学的顺序是一样的）。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示（单位：分钟）

这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨8:00，问他们最早何时能离开公司？

25、 某工厂生产两种产品Ａ、Ｂ，分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的预测销售量、生产率和盈利如下表。

制定一合理的生产方案，要求依次满足下列目标：

（1）充分利用现有能力，避免设备闲置；

（2）周加班时间限制在10小时以内；

（3）两种产品周生产量应满足预测销售量，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比；

（4）尽量减少加班时间。

26、如下图，有若干工厂的污水经排污口流入某江，各口有污水处理站，处理站对面是居民点。工厂1上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染浓度，以及各 个工厂的污水流量和污水浓度均已知道。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差和污水流量成正比，使每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用为已 知。处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，自然状态下的江水也会使污水浓度降低一个比例系数，该系数可以估计。试确定各污水处理站出口的污水浓 度，使在符合国家标准规定的条件下总的处理费用最小。

先建立一般的数学模型，再求解以下的具体问题：

设上游江水流量为1000×1012l/min ，污水浓度为0.8mg/l ，三个工厂的污水流量均为5×1012l/min

，污水浓度（从上游到下游排 列）分别为100，60，50（mg/l ），处理系数均为1万元/（（1012 l/min ）×(1mg/l)），3个工厂之间的两段江面的自净系数（从上游到下游）分别为0.9，0.6。国家标准规定的污染浓度不超过1mg/l 。

（1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？

（2）如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？

工厂1 工厂2 工厂3

居民点1 居民点2 居民点3

27、生产裸铜线和塑包线的工艺如下图所示：

某厂现有Ⅰ型拉丝机和塑包机各一台,生产两种规格的裸铜线和相应达到两种规格的塑包线,没有拉丝塑包联合机(简称联合机).由于市场需求不断扩大和现有塑包 机设备陈旧,计划新增Ⅱ型拉丝机或联合机(由于场地限制,每种设备最多1台),

的需求分别为10000km 和8000km.按照规定,新购及改进设备 按每年5%提取折旧费,老设备不提;每台机器每年最多只能工作8000h.为了满足需求,确定使总费用最小的设备选用方案和生产计划.

塑包线 塑包线

概率论复习题及答案

概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。

数学建模线性规划的求解

实验二线性规划的求解 学号：４1０1１ 姓名:何科 班级：201５级10班 一、实验目的 1.熟悉并掌握MATLAB的线性规划求解函数ｌinprｏg()及其用法； 2.熟悉并掌握LINGＯ软件求解线性规划的方法； 3.能运用LＩNGO软件对线性规划问题进行灵敏度分析。 二、实验任务 1.对例1和例2,在MAＴLAB进行求解。 2.对例３、４、5，在LIＮGO软件进行求解，并作灵敏度分析. 3.对“3．3 投资的收益与风险"的模型I，在MAＴLＡB中进行求解。 4.对“习题5,６，7,8”进行建模与求解。 三、实验过程与结果(对重要实验结果,截取全屏图，保存为JＰＧ／PＮＧ图 片） 1.例1: 代码： f=[13 9 10 11 12 8］; A=［0。４ 11 1 0 ００； 0 0 0 0.5 1。2 １。3]; b＝［800；９00］； Aeｑ＝［1 ００１０ 0; ０ 1 0 0 1 0; 0 ０１ 0 0 1]; bｅq=[４00；600;500］； vlb=ｚeｒos(６，1)； vub＝[］； [ｘ,fval］=ｌｉｎprog（f，Ａ,ｂ，Aｅq,ｂeq,vlｂ,vｕｂ） 结果： ｘ = ０.000０ 600.00０0 0。0000 400．０0０0 0．0000 5０0.0000 ｆｖal =1.３800e+０4 例2: 代码： c=［4０ 3６］； Ａ=[-5 —3］；

b=［-45]; Ａｅq＝[]; beｑ=［］; ｖlb=zeros(２，１）； vub＝［9;15]; ［ｘ，ｆｖａl]=ｌiｎprog（ｃ,A，b,Aeq，beq,ｖlb，vub) ?结果: ?x ＝ 9．00０0 0.0０００ fval = ３6０ 例３: ?代码： maｘ＝72*x1＋64＊ｘ2； x1+ｘ2＜＝５０; 1２＊x1+8＊ｘ2〈=48０; 3*ｘ１<＝100； ?结果： ?? Globａl oｐtimal solutｉｏn founｄ. Objective value：336０。000 Iｎｆｅaｓｉｂilｉties：０．0000０0 Ｔotal solver itｅｒａtions: 2 Ｖariａｂle Ｖaｌuｅ Rｅduｃeｄ Cost X1 2０。０00０0 0．00０0０0 Ｘ2 30.00０00 ０.0０00０0 ＲｏｗＳlack or Surplus DuaｌＰr ｉｃe 1 3360.00０ 1．00000０ 2 0.00０00０４8。00000 3 0。000０0０ 2。000０00 ４ 40.0０000 0.０0０000 ?灵敏度分析: ?

概率论经典实例

概率论经典实例 概率论的研究问题大多与现实世界联系十分密切，有的甚至引人入胜，非常值得我们探讨以便激发我们对概率论学习的兴趣，同时引导我们对生活的思考，这对我们每一个大学生思维能力的培养有着重要的意义。下面我列举几个典型的概率实例加以说明其重要意义。 1990 年9 月9 日，美国一家报纸检阅提出一个有趣的概率问题：电视主持人指着三扇关着的门说，其中一扇后是汽车，另两扇后各有一只山羊。你可随意打开一扇，后面的东西就归你了。你当然想得到汽车。当你选定一扇门，如1 号门(但未打开) ，这时主持人打开有山羊的另一个扇门，不妨说是3号门( 主持人清楚哪扇门后是汽车) ，并对你说：现在再给你一次机会，允许你改变原来的选择。你为了得到汽车是坚持1号门还是改选2号门？问题及答案公诸于众后引发了出乎意料的轰动，编辑部收到了上万封从小学二年级的学生到大学教授的来信，给出了不尽相同的答案（当然正确的答案是唯一的），热烈讨论持续两年之久。此时，无论是一号门还是二号门都有可能门后是汽车，看上去好像每一个都是一半的几率。但从主持人的角度看，他不会让你轻易就得到汽车，于是打开三号门来迷惑你的思想，让你放弃一号门。由此看出，可能一号门的几率会大一点。若从主持人的话语中判断出他没有那种想法，则可以这样思考这个问题。将一号门看成一部分，里面有汽车的概率为0.33，将二号门和三号门看成另一部分，里面有汽车的概率为0.67。当发现三号门里没有汽车时，则一号门和二号门有汽车的概率分别为0.33和0.67。因此，选择二号门比较理智。 稍加留意就会发现若利用概率统计提供的科学思维方法就会大大提高获胜的几率。比如抛两颗均匀骰子，规定如下规则：总数之和小于6为出现小点，大于6为大点，则每局可押大点或小点，若押对了，以出现的点数为对应的奖品数目，若押不中则同样以出现的点数为惩罚品的数目。可以这样思考，当假设骰子理论意义上是均匀的，则六面中点数少的面较重，在抛出后点数多的面朝上的可能性较大，从而抛出点数大的情况的概率应大一些，这样，即可作如下观察：(1)随机抛2颗骰子若干次，观察出现的点数，若点数大于6的次数占多数，则初步判断骰子是均匀的。(2) 当比赛开始时，可做以下决策：刚开始可先押大点，无论押中或不中，第二轮可接着押大点，然后观察一轮，当出现小点后，可继续押大点，当然也可在连续出现几个大点后押一次小点，也有取胜的把握。这是因为，出现大点的机会要多于出现小点的机会，开始出现大点的概率要大一些，故应押大点，当出现几次大点后，小概率的事件也是会发生的，故可押一次小点，若一次不中可继续押，此时出现小点的概率将变大。另外，当连续出现几次小点或大点，则情况即将发生转变，应考虑押相反的情况。运用概率的思想来解决此类问题让我们更有把握赢得我们所要的东西，对此类问题，一味的乱猜，只能让我们处于劣势。 在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一个优秀的数学家的作用超过10 个师的兵力，这句话有一个非同寻常的来历。1943年以前，在大西洋的英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击。当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间德国的潜艇战搞得盟军焦头烂额。为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后，舰队与潜艇相遇是一个随机事件。从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性，一定数量的船（为100艘），编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌

线性规划模型及其举例

线性规划模型及其举例 摘要：在日常生活中，我们常常对一个问题有诸多解决办法，如何寻找最优方案，成为关键，本文提出了线性规划数学模型及其举例，在一定约束条件下寻求最优解的过程，目的是想说明线性规划模型在生产中的巨大应用。 关键词：资源规划；约束条件；优化模型；最优解 在工农业生产与经营过程中，人们总想用有限的资源投入，获得尽可能多的使用价值或经济利益。如：当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多，利润最大）。 一.背景介绍 如果产出量与投入量存在（或近似存在）比例关系，则可以写出投入产品的线性函数式： 1()n i ij j j f x a x ==∑，1,2,,,1i m m =+ (1) 若将（1）式中第（1m +）个线性方程作为待求的目标函数，其余m 个线性方程作为资源投入的限制条件（或约束条件），则（1）式变为： OPT. 1()n j j j f x c x ==∑ ST. 1 n ij j j a x =∑> ( =, < )i b , 1,2,,i m = (2) 0,j x ≥ 1,2,,j n =… （2）式特点是有n 个待求的变量j x （1,2,,j n =…）；有1个待求的线性目标函数()f x ，有m 个线性约束等式或不等式，其中i b （1,2,,i m =…）为有限的资源投入常量。将客观实际问题经过系统分析后，构建线性规划模型，有决策变量，目标函数和约束条件等构成。 1．决策变量（Decision Variable,DV ）在约束条件范围内变化且能影响（或限定）目标函数大小的变量。决策变量表示一种活动，变量的一组数据代表一个解决方案，通常这些变量取非负值。 2．约束条件（Subject To,ST ）在资源有限与竞争激烈的环境中进行有目的性的一切活动，都

数学建模-线性规划

-1- 第一章线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济 效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947 年G. B. Dantzig 提出 求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性 规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000 元与3000 元。 生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2 小时和1 小时；生产乙机床 需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时 数分别为A 机器10 小时、B 机器8 小时和C 机器7 小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1 x 台甲机床和2 x 乙机床时总利润最大，则1 2 x , x 应满足 （目标函数）1 2 max z = 4x + 3x (1) s.t.（约束条件） ?? ? ?? ? ? ≥ ≤ + ≤ + ≤ , 0 7 8 2 10 1 2 2 1 2 1 2 x x x x x x x （2） 这里变量1 2 x , x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性

动态规划习题答案

2.某公司有资金4百万元向A,B和C3个项目追加投资，各个项目可以有不同的投资额（百万元计），相应的效益如表所示。问怎样分配 资金，使总效益值最大？## 表8－47 解：设S－A,B,C项目的总投资额，S－B、C项目的总投资额21S－C 项目的投资额；3X－k项目的投资额；k（X－A项目的投资额，X －B项目的投资额，X－C项目的投资额）312W（S,X）－对K项目投资X后的收益：W（S,X）＝W (X) kkkkkkkkk T (S,X)－S=S-X k k+1kkkk f (S)－当K至第3项目允许的投资额为S时所能获得的最大收益。kkk为获得最大利润，必须将4百万全部投资，假设有4阶段存在，有S＝0，建立递归方程4f(S)=0 k4

f (S)=max{ W (X)+f(S)} k=3,2,1 k+1kk +1kkk X∈D(S) kkk第一步，K=3 f(S)=0 44 f (S)=max{W (X)+f (S)} 434333X∈D(S) 333S=S-X3 34 第二步：)} f (S (X (S)=max{W)+f K=2 322322) X ∈D(S 222-X =S S232 W (X)+f (S-X) 22322

第三步：)} (S (X) =max f (S {W)+ f K=1 211121) D X∈(S111- X S= S 1 21 ) (X- X)+ f (SW1 12 11 S=4 →S=1 →S=1 312↓↓ ↓ X*=3 X*=0 X*=1 312百万。1投资C 不投资B 百万，3投资A． 总收益164百万元。 3.（最优分配问题）有一个仪表公司打算向它的3个营业区设立6家销售店。每个营业区至少设一家，所获利润如表。问设立的6家销售店数应如何分配，可使总利润最大？

数学建模(教案)第一章--线性规划

数学建模 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足 （目标函数） 2134m ax x x z += (1) s.t. （ 约 束 条 件 ） ?????? ?≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。

上述即为一规划问题数学模型的三个要素。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min 其中c 和x 为n 维列向量，b 为m 维列向量，A 为n m ?矩阵。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max 的Matlab 标准型为 b Ax x c x T -≤-- that such min 1.3 线性规划问题的解的概念 一般线性规划问题的标准型为 ∑==n j j j x c z 1min (3) ∑==≤n j i j ij m i b x a 1,,2,1 s.t.Λ (4) 可行解 满足约束条件（4）的解),,,(21n x x x x Λ=，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（3）达到最小值的可行解叫最优解。

运筹学-线性规划模型在实际生活中的应用

线性规划模型在实际生活中的应用 【摘要】线性规划在实际生活中扮演着很重要的角色，研究对象是计划管理工作中有关安排和估值的问题,其广泛应用于经济等领域，是实际生活中进行管理决策的最有效的方法之一。解决的主要问题是在给定条件下,按某一衡量指标来寻找安排的最优方案。本文通过对例题利用线性规划分析，如何合理的分配利用，最终找到最优解使企业利润最大，说明了线性规划在实际生活中的应用，而且对线性规划问题模型的建立，模型的解进行了分析，运用图解法和单纯形法解决问题。 【关键词】线性规划、建模、实际生活、图解法、单纯形法 前言：线性规划（Linear programming,简称LP）是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。 在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益的问题，而这正是线性规划研究的基本容，它在实际生活中有着非常广泛的应用．任何一个组织的管理者都必须对如何向不同的活动分配资源的问题做出决策，即如何有效地利用人力、物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下如何耗用最少的人力、物力去实现目标。在许多情况下，大量不同的资源必须同时进行分配，需要这些资源的活动可以是不同的生产活动，营销活动，金融活动或者其他一些活动。随着计算技术的不断发展，使成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题能迅速地求解，更为线性规划在经济等各领域的广泛应用创造了极其有利的条件。线性规划已经成为现代化管理的一种重要的手段。本文运用常用的图解法和单纯形法解决利润最大化决策问题，贴近生活，很好的吧线性规划应用到生活实践中。 1、简单线性问题步骤简单介绍 建模是解决线性规划问题极为重要的环节，一个正确的数学模型的建立要求建模者熟悉线性规划的具体实际容，要明确目标函数和约束条件，通过表格的形式把问题中的已知

动态规划练习试题和解答

动态规划练习题 [题1] 多米诺骨牌（DOMINO） 问题描述：有一种多米诺骨牌是平面的，其正面被分成上下两部分，每一部分的表面或者为空，或者被标上1至6个点。现有一行排列在桌面上：顶行骨牌的点数之和为6+1+1+1=9；底行骨牌点数之和为1+5+3+2=11。顶行和底行的差值是2。这个差值是两行点数之和的差的绝对值。每个多米诺骨牌都可以上下倒置转换，即上部变为下部，下部变为上部。 现在的任务是，以最少的翻转次数，使得顶行和底行之间的差值最小。对于上面这个例子，我们只需翻转最后一个骨牌，就可以使得顶行和底行的差值为0，所以例子的答案为1。 输入格式： 文件的第一行是一个整数n（1〈=n〈=1000〉，表示有n个多米诺骨牌在桌面上排成一行。接下来共有n行，每行包含两个整数a、b（0〈=a、b〈=6，中间用空格分开〉。第I+1行的a、b分别表示第I个多米诺骨牌的上部与下部的点数（0表示空）。 输出格式： 只有一个整数在文件的第一行。这个整数表示翻动骨牌的最少次数，从而使得顶行和底行的差值最小。 [题2] Perform巡回演出 题目描述: Flute市的Phlharmoniker乐团2000年准备到Harp市做一次大型演出,本着普及古典音乐的目的,乐团指挥L.Y.M准备在到达Harp市之前先在周围一些小城市作一段时间的巡回演出,此后的几天里,音乐家们将每天搭乘一个航班从一个城市飞到另一个城市,最后才到达目的地Harp市(乐团可多次在同一城市演出). 由于航线的费用和班次每天都在变,城市和城市之间都有一份循环的航班表,每一时间,每一方向,航班表循环的周期都可能不同.现要求寻找一张花费费用最小的演出表. 输入: 输入文件包括若干个场景.每个场景的描述由一对整数n(2<=n<=10)和k(1<=k<=1000)开始,音乐家们要在这n个城市作巡回演出,城市用1..n标号,其中1是起点Flute市,n是终点Harp市,接下来有n*(n-1)份航班表,一份航班表一行,描述每对城市之间的航线和价格,第一组n-1份航班表对应从城市1到其他城市(2,3,...n)的航班,接下的n-1行是从城市2到其他城市(1,3,4...n)的航班,如此下去. 每份航班又一个整数d(1<=d<=30)开始,表示航班表循环的周期,接下来的d个非负整数表示1,2...d天对应的两个城市的航班的价格,价格为零表示那天两个城市之间没有航班.例如"3 75 0 80"表示第一天机票价格是75KOI,第二天没有航班,第三天的机票是80KOI,然后循环:第四天又是75KOI,第五天没有航班,如此循环.输入文件由n=k=0的场景结束. 输出: 对每个场景如果乐团可能从城市1出发,每天都要飞往另一个城市,最后(经过k天)抵达城市n,则输出这k个航班价格之和的最小值.如果不可能存在这样的巡回演出路线,输出0. 样例输入: 样例输出：

动态规划讲解大全(含例题及答案)

动态规划讲解大全 动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。 基本模型 多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。 记忆化搜索 给你一个数字三角形, 形式如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 找出从第一层到最后一层的一条路,使得所经过的权值之和最小或者最大. 无论对与新手还是老手，这都是再熟悉不过的题了，很容易地，我们写出状态转移方程：f(i, j)=a[i, j] + min{f(i+1, j)，f(i+1, j + 1)} 对于动态规划算法解决这个问题，我们根据状态转移方程和状态转移方向，比较容易地写出动态规划的循环表示方法。但是，当状态和转移非常复杂的时候，也许写出循环式的动态规划就不是那么

动态规划习题

第七章动态规划 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划（dynamic programming）同前面介绍过的各种优化方法不同，它不是一种算法，而是考察问题的一种途径。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。当然，由于动态规划不是一种特定的算法，因而它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，动态规划必须对具体问题进行具体的分析处理。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。1961年贝尔曼出版了他的第二部著作，并于1962年同杜瑞佛思（Dreyfus）合作出版了第三部著作。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数学性质做出了巨大的贡献。 动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。在经济管理方面，动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。许多规划问题用动态规划的方法来处理，常比线性规划或非线性规划更有效。特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。 动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法，并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。 §7.1 动态规划的基本理论 1.1多阶段决策过程的数学描述 有这样一类活动过程，其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策，以使整个过程达到最佳的活动效果。任何一个阶段（stage，即决策点）都是由输入（input）、决策（decision）、状态转移律（transformation function）和输出（output）构成的，如图7-1（a）所示。其中输入和输出也称为状态（state），输入称为输入状态，输出称为输出状态。

动态规划典型例题

1、单调递增最长子序列 描述 求一个字符串的最长递增子序列的长度 如：dabdbf最长递增子序列就是abdf，长度为4 输入 第一行一个整数0

2、最长公共子序列 描述 如题，需要写一个程序，得出最长公共子序列。 tip：最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则S 称为已知序列的最长公共子序列。 输入 第一行给出一个整数N(0

3、括号匹配 时间限制：1000 ms | 内存限制：65535 KB 描述 给你一个字符串，里面只包含"(",")","[","]"四种符号，请问你需要至少添加多少个括号才能使这些括号匹配起来。 如： []是匹配的 ([])[]是匹配的 ((]是不匹配的 ([)]是不匹配的 输入 第一行输入一个正整数N，表示测试数据组数(N<=10) 每组测试数据都只有一行，是一个字符串S，S中只包含以上所说的四种字符， S的长度不超过100 输出 对于每组测试数据都输出一个正整数，表示最少需要添加的括号的数量。每组 测试输出占一行 样例输入 4 [] ([])[] ((] ([)] 样例输出 3 2

概率论题目

概率论感觉测试（答案） 1. 假设考试周为1个礼拜（周一到周日），且考试时间为均匀分布，假使你有3门考试，则最后一门考试大约在 A 周五 B 周六 C 周日 Answer: B. 一般的讲在[0,1]之间n个均匀分布的随机变量最大值期望为n/(n+1),也就是可以认为这n 个随机变量分别大约在1/(n+1),2/(n+1),...,n(n+1)。这道题那么算一下大概就是在周六的上午。 2. 如果你去参与一项赌博，每次的回报为正态分布，假设你赌了100把发现赢了10000块（明显是很小概率事件，但假设确实发生了），那么你觉得你最有可能是因为 A 有一把赢了巨多 B 一直在慢慢的赢 C 两种情况都有可能 Answer: B. 也许答案对很多人有些出乎意料。在这种情况下，可能有人觉得能够连续赢很多把很难，但是实际上赢一把大的更难。这个问题是随机问题中的长尾和短尾的问题。长尾的意思就是取大的值的概率不是很小，而短尾正好相反。但是题目中的正态分布属于短尾，因为密度函数是指数下降的，如果稍微改一下题目中的分布，则有可能是因为一次赢了很大而最后赢的。另外说一句，有一本书叫《长尾理论》，里面说明了现在的经济中有很多东西是长尾的，比如说一年销量排在100000名之后的歌曲仍然能占据市场的一部分。这是电子商务流行的很重要原因，因为不必支付储存这个长尾的cost。 3. 有一根密度不均匀的绳子，你想通过测量多点的密度来估计他的重量（你知道截面积）。则如果给你n 次测量密度的机会的话，如果n很大，（估算质量就通过这些点取平均然后乘以截面积） A 按规律等间隔选取测量点会测得准些 B 随机选取测量点会测得准些 C 两种方法差不多 Answer: A. 也许这个也略有些意外。对于一维的情况，方法A略好于方法B。但是在高维的情况下方法A就一般情况下不如方法B了，原因是要想获得相同的效果，这个“有规律的点”需要选取太多。这是所谓的Quasi-Monte Carlo Sampling 和Monte Carlo Sampling之间的关系 4. 台湾大选，假定马英九最终得到600000票，谢长廷得到400000票，如果一张一张的唱票，则过程中马英九一直领先谢长廷的概率为 A 0.1 B 0.2 C 0.3 D 0.4

概率统计经典习题

立足概率基础 关注横向联系 诸暨中学 邵跃才 随着高考改革的深入，概率统计问题已经成为高考命题的一个重点内容。其考查的内容主要有：等可能性事件发生的的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，随机事件的分布列和数学期望等基本概念和求解方法。概率问题虽然常常以实际应用题的形式出现，但近几年也逐渐开始和传统知识及相关学科的交汇融合，形成一些背景新颖、结构精巧的综合题。 一、典型例题 1．等可能性事件发生的概率 例1 先后抛掷两枚均匀的正方形骰子（六个面上分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X ，Y 则满足1log 2=Y X 的概率为（ ） Ａ．16 Ｂ．536 Ｃ．112 Ｄ． 12 解： 满足1log 2=Y X 即Y=2X 的有序数对为（１，２），（２，４），（３，６） ∴231612 P == 故选C 例2 将1，2，…，9这9个数平均分成三组，每组的三个数成等差数列的概率为（ ） A ．561 B ．701 C ．3361 D ．420 1 解：本题的关键是求“每组的三个数成等差数列”这一事件中的基本事件数，基本事件 总数为n=28033 333639=A C C C ，每组三数成等差数列的分法可按前两组的公差大小分类计数，则有（1，2，3）（4，5，6）（7，8，9）； （2，3，4）（6，7，8）（1，5，9）； （1，3，5）（2，4，6）（7，8，9）； （4，6，8）（5，7，9）（1，2，3）； （1，4，7）（2，5，8）（3，6，9）。 ∴m=5, 56 12805==P ，故选A 例3某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等 可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 . 解：“6位乘客按0，1，2，3的人数分配到4节车厢”这一事件中基本事件的个数，

数学建模之规划问答

一、线性规划 1.简介 1.1适用情况 用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。如： （1）资源的合理利用 （2）投资的风险与利用问题 （3）合理下料问题 （4）合理配料问题 （5）运 输 问 题 （6）作物布局问题 （7）多周期生产平滑模型 （8）公交车调度安排 1.2建立线性规划的条件 （1）要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数； （2）要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述。 1.3线性规划模型的构成 决策变量、目标函数、约束条件。 2、一般线性规划问题 数学标准形式： 目标函数： 1 max == ∑ n j j j z c x 约束条件：1 ,1,2,...,,..0,1,2,...,.=?==???≥=?∑n ij j i j j a x b i m s t x j n matlab 标准形式：

min , ,.,.?≤?? ?=??≤≤? T s t Aeq beq lb ub f x A x b x x 3、可以转化为线性规划的问题 例：求解下列数学规划问题 1234123412341234min ||2||3||4||,2,..31,123. 2=+++? ?--+≤-?-+-≤-???--+≤-? z x x x x x x x x s t x x x x x x x x 解：作変量変换1||||,,1,2,3,4,22 +-= ==i i i i i x x x x u v i 并把新变量重新排序成一维变量[]1414,,,,,??==???? L L T u y u u v v v ，则可把模型转化为线性规划模型 []min , ,,..0.???-≤???????≥? T c y u A A b s t v y 其中：[]1,2,3,4,1,2,3,4;=T c 12,1,;2??=---??? ?T b 111111131 - - ?? ??= - -???? -1 -1 3??A 。 利用matlab 计算得最优解：12342,0,=-===x x x x 最优值z=2。 程序如下： 略

线性规划建模实验题全解

线性规划建模实验题 一、李四企业的生产经营规划问题 李四经营着一个小企业，这个企业最近出现了一些问题，资金周转出现困难。该企业一共生产经营着三种产品，当前有两种产品赔钱，一种产品赚钱。其中，第一种产品是每生产一件赔100元，第二种产品每生产一件赚300元，第三种产品每生产一件赔400元。 三种产品分别消耗（或附带产出）三种原料，其中第一种产品每生产一件附带产生100千克原料A，需要消耗100千克原料B和200千克原料C；第二种产品每生产一件需要消耗100千克原料A和100千克原料C，附带产生100千克原料B；第三种产品每生产一件需要消耗原料 A、B、C各100千克。由于生产第一种产品的设备已经损坏，且企业也无能力筹集资金修复之，所以该企业现已无法组织生产第一种产品。 现在仓库里还存有A原料40000千克，后续货源供应难以得到保证；库存B原料20000千克，如果需要，后续容易从市场采购得到；库存C原料30000千克，如果需要，后续容易从市场采购得到。 李四想转行经营其他业务，但苦于仓库里还积压着90000千克原料，如果直接出售原料，则比生产后出售成品赔得更多。没有办法，李四只好向运筹学专家咨询，看看如何组织生产才能将损失降到最低。 请对李四企业的生产经营情况进行考查和分析，建立该问题的线性规划模型，并使用Excel软件和LINDO软件求解该问题（要求附带结果分析报告）。

二、王五管理的科研课题的经费使用规划问题 王五管理着一个科研课题，根据课题进展情况看，不久就要结题了。由于课题的管理采用经费与任务包干制，所以可以通过节约开支来预留课题完成后的产业推广经费。现王五需要制订出这样的一个方案：既按期完成科研任务，又要尽可能多地节省费用，人员的收入还不能减少。同时他还想知道这笔可节省的费用究竟是多少？ 课题组的费用构成有两个部分：一是人员经费开支，二是试验消耗与器材采购费用开支。其中，由于出台了增收节支激励政策，所以人员经费开支与原计划相比每月可节省1万元，试验消耗与器材采购费用开支每月可节省4万元。 该课题由两个子课题构成。其中第一个子课题的开支情况为：每月人员经费为1万元，每月试验与器材经费的开支为10万元；第二个子课题的开支情况为：人员经费计划为1万元，实际上该子课题每月可通过边研制边推广应用的方式获得净收入1万元，这样就可以保证每月正常的人员经费开支，所节余的1万元可向课题组上缴，同时该子课题的试验与器材经费开支需求是每月8万元。 第一个子课题的总经费还剩20万元，但如果申请，还可以增加；第二个子课题的经费还有40万元，但即使申请也不可能再增加。 课题组研究后一致决定采用如下原则进行决策： （1）所节余的人员经费用于奖励，不计入节省费用的总额当中。 （2）在保证圆满完成课题任务的前提下，最大限度地积累课题应用性推广经费。 请建立该问题的线性规划模型，帮助王五制订最合理的科研结题周期以及可节省的费用（要求使用Excel软件和LINDO软件求解该问题，并附带结果分析报告）。

概率学经典计算题

1. (袋中有红球6个, 白球4个, 从中取两次, 每次任取一个, 作不放回抽样. 设事件A 表示 “第一次取的是红球”, 事件B 表示 “第二次取的是白球”, 用B A ,表示下列事件, 并求其概率: 1)两个都是红球; 2)两球中，白球和红球各有一个; 3)第二次取的是红球. 解：1) 262101 ()3C P AB C ==................................................(5’) 2) 11462 108 ()15C C P AB C ==.....................................................(10) 3）1124662 103 ()5 A A A P B A +==......................................................(15’) 2．(7分) 某宾馆大楼有3部电梯，通过调查，知道某时刻T ，各电梯正在 运行的概率均为0.8，求：(1) 在此时刻恰有一台电梯运行的概率； (2) 在此时刻至少有一台电梯运行的概率. 解： (1) 096.02.08.032 =??=P 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(3’) (2) 992.02.013=-=P 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(7’) 3．（8分）某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，如果每个车间的次品率分别为6%,3%，2%，已知甲、乙、丙三个车间的产量分别占总产量的25％，25％ ，50% 。现从全厂产品中任取一件产品，求取到的为次品的概率。 解：设123,,A A A 分别表示“取到的产品为甲、乙、丙车间生产的” B 表示“取到的产品为次品”，则 123()25%,() 25%,()50%P A P A P A === 123(|)6%,(|)3%,(|)2%P B A P B A P B A ===。 。。。。。。。。。。。。。。。。(3’) 由全概率公式，所求概率为 3 1()()(|) i i i P B P A P B A ==∑ 25%6%25%3%50%2%=?+?+? 3.06%=。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(8’) 4. (8分) 设随机变量X 在区间],0[π上服从均匀分布，求随机变量

线性规划问题及其数学模型

第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题 1. 写出下列线性规划问题的对偶问题。 (1)????? ? ?≥=++≤++≥++++=无约束 3213213213213 21,0,5343 32243422min x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ????? ? ?≤≥≤++≥-+-=++++=0 ,0,8374355 22365max 3213213213213 21x x x x x x x x x x x x x x x z 无约束 (3)?? ??? ??? ???==≥=====∑∑∑∑====) ,,1;,,1(0) ,,1(),,1(min 1 111n j m i x n j b x m i a x x c z ij m i j ij n j i ij m i ij n j ij (4)???????????=≥++==<=<=∑∑∑===),,,,1(0),,2,1() ,,1(min 1 211111n n j x m m m i b x a m m i b x a x c z j n j i j ij n j i j ij n j j j 无约束 2. 判断下列说法是否正确，为什么? (1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； (2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； ( 3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值； (4)任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。 3. 已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。