闭区间连续函数的性质

有界闭集上连续函数的性质及函数介值性与

连续性间的联系

邵琳华

(绍兴文理学院数学系浙江绍兴312000)

摘要：本文把闭区间上连续函数的重要性质推广到度量空间有界闭集上的连续函数，研究了函数介值性与连续性之间的关系．

关键词：有界闭集；收敛子序列；有限子族覆盖；介值性．

一、引言和结果

在学习一元函数的时候，数学分析教材中着重介绍了闭区间上连续函数的重要性质：有界性、最值性、介值性和一致连续性．那么在度量空间有界闭集上的连续函数是否也具有这四个性质呢？通过对度量空间有界闭集上连续函数的研究发现，它只具有有界性、最值性和一致连续性，没有介值性．（在正文的第二部分中将给出详细证明）．那么，在度量空间中具有何种性质的连续函数才具有介值性．（这只在文章中做简单说明），以及本文研究的第二个重点，具有介值性的函数追加哪些条件后，会成为连续函数，（在正文的第三部分会举出几个相关命题及相应证明）．

本文的主要结果是：

1、有界闭集上连续函数的性质：

E?上的连续函数，则()x f在E上有界，即[有界闭集定理] 设()x f是有界闭集m R

()E

f是有界闭集．

E?上的连续函数，则()x f在E上有最[最大值最小值定理] 设()x f是有界闭集m R

大值与最小值．

E?上的连续函数，则()x f在E上一致连[一致连续性定理] 设()x f是有界闭集m R

续．

2、函数介值性与连续性之间的一些关系：

命题1、设单调函数()x f在[]b a,上具有介值性，则()x f在[]b a,上连续．

命题2、 设函数()x f 在区间I 的任意子区间上满足介值性，并对每一值只取一次，则()x f 在I 上连续．

命题3、设函数()x f 在()b a ,内有定义，且具有介值性，并且一对一的（即若21x x ≠,必有()()21x f x f ≠）．则()x f 在()b a ,上连续．

命题4、设函数()x f 定义于1

R 上，且具有介值性，又对任意有理数r ，集合(){}r x f x E r ==:是闭集，则()x f 在1R 上连续．

命题5、设函数()x f 在[]b a ,上满足介值性，且在()b a ,内可导，导函数()x f

'在()b a ,上

有界，则()x f 在[]b a ,上连续．

二、度量空间有界闭集上连续函数性质的证明

下面我们不加证明地给出两个著名定理，它们在证明本文的结果时扮演着重要的角色．

[Bolzano-weierstrass 定理] 设{}n x 是m

R 中点的有界序列，则{}n x 有收敛的子序列． [Hieine-Borel 有限覆盖定理] 设E 是m R 中的有界闭集，则E 的任何开覆盖都有有限的子覆盖．

有上述两个著名定理，我们就很容易得到如下三个定理的证明了．

[有界闭集定理]证法一. 用反证法，假设f 在E 上无界，那么对任何N n ∈都存在E x n ∈，使得()n x f n >.因为E 是有界集，所以点列{}E x n ?也是有界的．由Bolzano-Weierstrass 定理知，存在{}n x 的收敛子序列{}k n x ．设0x x k n →，则E x ∈0（因为E 是闭集），又因为函数f 在点E x ∈0连续，所以()()0lim x f x f k n k =∞→，这与()k n n x f k >矛盾，说明f 在E 上有界的。

下证()E f 的闭集性，即若0y 是()E f 的任一聚点，欲证0y ∈()E f

设∈n y ()E f ，0lim y y n n =∞

→，且E x n ∈，()n n y x f =,则存在与收敛子列{}{}n n x x k ?,E x x k n k ∈=∞→0lim ，且由于f 在点0x 连续，从而有

()()()E f x f x f y y k k n k n k ∈===∞

→∞→00lim lim ， 这就证明了()m R E f ?是有界闭集．

证法二. 因为f 在E 上连续，故对E 上每个x ′，都存在包含x ′的领域)(x U ′，对一切E x U x ∩′∈)(，都有1)()(+′

i x f , 则有()()M x f x f i ≤+<1，这说明f 在E 上界，证明()E f 是闭集同证法一．

[最大值最小值定理]证法一. 为证明f 在E 上有最大值，设()E Supf M =, 需证必有一点E x ∈′, 使()M x f =′．

如若不然，对任意E x ∈,都有()0>?x f M .考察E 上的连续正值函数F ()()

,1x f M x ?= 由有界闭集定理知，F 在E 上有界，又因为f 不能在E 上达到上确界M ，所有存在收敛点列{}?n x E , 使()M x f n n =∞→lim , 于是有()+∞=∞→n n x F lim , 这与F 在

E 上有界的结论相矛盾，从而f 在E 上有最大值．

证法二. 设()E Supf M =, 需证必有一点E x ∈′，使().M x f =′ 若不然，对任意E x ∈，都有()M x f <,由于f 在E 上连续，存在含有x ′的邻域().x U ′对一切()x U x ′∈E ∩，皆有()()().2

1M x f x f +′< 但E 是有界闭集，存在有限个()x U ′, 它们仍能覆盖E ：()().1n x U x U E ∪∪?L 记(){},max 1i n i x f A ≤≤= 由于E 中的各个x 属于某邻域

()i x U , 因而有()()()()M A M x f x f i +≤+<

2121. 故()M A +2

1是()x f 在E 上的一个上界，但这是不可能的，因为()M M A <+21, 且M 是上确界，所以f 在E 上有最大值． 类似地，存在E x ∈′′，使得x ′′处()x f 到达最小值.

[一致连续性定理]证明：用反证法，假设f 在E 不是一致连续的，那么对某个0>ε，

不论n n 1=δ怎样小，总存在E x x n n ∈′,, 使得n

x x n n 1<′?,ε≥′?)()(n n x f x f ，因为{}E x n ?是有界序列，它必有收敛子序列{}k n

x ,设0x x k n →，则E x ∈0（E 是闭集），因为0001x x n x x x x x x k k k k n k n k

n n n ?+

→∞→，但这与ε≥′?)()(k k n n x f x f 矛盾，故f 在E 上是一致连续的．

三、函数介值性与连续性之间的联系

从上内容中可以看出在度量空间有界闭集上的连续函数有有界闭集性，最值性和一致连续性，但是它不具有介值性，下面举例说明。

由有限个孤立点组成的函数是有界闭集上的连续函数，显然它没有介值性。

同样地，具有介值性的函数未必是连续函数，如定义在区间[]2,0上的分段函数

[)[]

???∈?∈=2,1,11,0,)(x x x x x f ． 但它显然不是连续函数． 这样自然的会问在度量空间中具有何种性质的连续函数才具有介值性，要回答这个问题则要涉及到度量空间中的连通性问题，在本文中不作介绍，可以参阅参考文献［2］．

下面我们着重来解决具有介值性的函数追加了哪些条件后，会成为连续函数，即函数介值性与连续性之间存在着哪些关系．

命题1、设单调函数()x f 在[]b a ,上具有介值性，则()x f 在[]b a ,上连续．

证明：不妨设)(x f 单调递增，任取),(0b a x ∈．由f 单调知)0(),0(00+?x f x f 存在，若)(x f 在0x 不连续，则)()0(),()0(0000x f x f x f x f ≠+≠?中至少有一个成立，不妨设),0()(00+≠x f x f 则有)0()(00+

],[b a 上有介值性相矛盾，故)(x f 在0x 处连续，类似可得)(x f 在端点也连续．所以)(x f 在

],[b a 上连续．

命题2、 设函数()x f 在区间I 的任意子区间上满足介值性，并对每一值只取一次，则()x f 在I 上连续．

证明：若存在)(,0x f I x ∈在0x 处不连续，则存在00>ε，以及点列{}∞→→?n x x I x n n ,,0．但

00)()(ε≥?x f x f n ．显然下面两个不等式中至少有一个

对无穷个n x 成立， 0000)()(,)()(εε?≤?≥?x f x f x f x f n n ，

不妨设对所有n x ,第一个不等式成立，有)()()(000x f x f x f n >+≥ε,取任意i n I x f x f c )),(),((0∈是I 的的任意子区间),2,1(L =i , 则有

L 2,1),()(0=<

由题设知I 中任意子区间i I 满足介值性，对每一个n ,存在介于n x 和0x 之间的n ξ, 满足c f n =)(ξ,与每一值只取一次相矛盾，所以)(x f I 上连续．

命题3、设函数()x f 在()b a ,内有定义，且具有介值性，并且一对一的（即若21x x ≠,必有()()21x f x f ≠）．则()x f 在()b a ,上连续．

证明：先证),()(b a x f 在上严格单调，由于)(x f 是一对一的，假若)(x f 不严格单调，则必存在321x x x <<，使得

)()(),()()()(),()(32213221x f x f x f x f x f x f x f x f <>><或，

不妨设第一种情况存在（类似可以证明第二种），任取实数M ，使得{})()(),(max 231x f M x f x f <<，由介值性知，存在),(),,(322211x x x x ∈∈ξξ，使得)()(21ξξf M f ==，这与)(x f 具有一对一的性质相矛盾，故)(x f 只能是严格单调的，再证)(x f 在),(b a 上连续，根据命题1可得)(x f 在),(b a 上连续．

命题4、设函数()x f 定义于1

R 上，且具有介值性，又对任意有理数r ，集合(){}r x f x E r ==:是闭集，则()x f 在1R 上连续．

证明：若存在)(,1

0x f R x ∈在0x 处不连续，则存在00>ε，以及点列{}R x n ′?，∞→→n x x n ,0，00)()(ε≥?x f x f n ，显然下面两个不等式至少有一个对无穷多个n 成立：

0000)()(,)()(εε?≤?≥?x f x f x f x f n n ．

不妨设对所有的n ，第二个不等式成立，取有理数r 满足)()(000x f r x f <

R 上连续． 命题5、设函数()x f 在[]b a ,上满足介值性，

且在()b a ,内可导，导函数()x f '在()b a ,上有界，则()x f 在[]b a ,上连续．

证明：若存在[]b a x ,0∈，()x f 在0x 处不连续，则存在00>ε，以及点列{}000)()(,

,],,[ε≥?∞→→?x f x f n x x b a x n n n ， 虽然下面两个不等式至少有一个对

无穷多个n x 成立： 0000)()(,)()(εε?≤?≥?x f x f x f x f n n

不妨设对所有n x ，第一个不等式成立，取任意实数c 满足

L 2,1),()(,)()(000=<<+<

由函数)(x f 的介值性可知，对每一个n ，存在介于n x ，0x 之间存在n ξ满足c f n =)(ξ，又由于),()(b a x f 在内可导，应用Lagrange 中值定理，在介于n ξ，0x 之间存在n η，使得))(()()(00x f x f f n n n ?′+=ξηξ，由题意知),()(b a x f 在′上有界，则存在M x f M ≤>)(',0，有

0000))(()()(x x M x M x f x f f n n n n n ?

故c x f f n ==)()(0ξ，与ε+<<)()(00x f c x f 矛盾，所以],[)(b a x f 在上连续．

最后，作者衷心感谢汪文珑教授的指导．

参考文献：

[1] 汪文珑，教学分析选讲[M]，绍兴：绍兴文理学院数学系，2002.

[2] 薛昌兴编，实变函数与泛函分析（下册）[M], 北京：高等教育出版社 1993.

[3] G .克莱鲍尔（美），数学分析[M]，上海：上海科学技术出版社，1981.

[4] 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法[M]，北京：高等教育出版社，1993.

[5] 华东师范大学数学系编，数学分析(上册)[M], 北京：高等教育出版社，1993.

The properties of continuous function in closed set and

the relations for continuous and intermediate value

Shao Lin-Hua

(Dept of Math. Shaoxing College of Arts and Science, Shaoxing, Zhejiang, 312000)

Abstract : This paper generalized important properties of continuous function in a closed interval to continuous function on metric space, and study some relations for continuous intermediate value property of function.

Key words : bounded closed set; convergence subsequence; finite subset covering; intermediate value property.

求函数的连续区间

求函数的连续区间，并求极限 2 解：x 3x 2 0 (x 1)(x 2) 0 x 1 , x 2 （初等函数在其定义区间内是连续的） 1 函数f（x）二的连续区间是（，1）（1,2）（2,） x 3x 2 lim0 f (x)lim 2 x 0 x2 3x 2 把0代入式 1 lim 2解得x 0 x2 3x 2，解得 lim —1- x 0 x 3x 2 2 2. f(x)\ x1 x，lim f (x) x 5 解：x10，x1 8x0，x8（初等函数在其疋乂区间内是连续 的） 函数f (x)vx 18x的连续区间是[1,8] lim f (x) lim v x 1 \ 8 x x 5 x 5 把5代入式lim x 1 「8 x，解得 x 5 lim x x 1 \ 8 x 2 \ 3 x 5 1. f(x) 厂厂，！叩（刈

3. f (x) ln(1 x 2 )， l j m i f (x) X 2 解：1 x 2 0， 1 x 1 （初等函数在其定义区间内是连续的） 4 f （x ） & e x ， lim f （x ） X 1 解：1 e 0， x 0 （初等函数在其定义区间内是连续的） X e ，解得 lim \'1 e x 丁1 e X 1 函数 f(x) ln(1 x ）的连续区间是［1,1］ lim ln( x 2 1 x 2) 把2代入式 lim ln(1 X 夕 2 、 ） lim 1 l n( 1 X 2 ) in 4 函数f (x) X e 的连续区间是［ ,0] lim X 1 f (x) 1代入式

「X X 因把2代入式X im 2 —2)3后，分母为o,故X im 2 —2『不 存在 X X 2 是函数y E 的第二类间断点 解：X 2 3X 2 0，X 1，X 2 / 小 X 1 X 1，x 2是函数y — X X 1 叽 m ，但函数 X 1 x 2 3x 2在 X 1 处无定 义。 ^x 2 3x 2不存在。 X 1 X 1 是函数y 严厂 的可去间断点，X 2是函数 1. y X （X 2）3 解： x 2 0，x 2 求函数的间断点，并判断其类型 2是函数y x （X 2） 3 的间断点 2. y X 1 X 2 3X 2 3X 2的间断点。

(整理)闭区间上连续函数的性质

§4.2 闭区间上连续函数的性质 一、 性质的证明 定理1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即?M >0,∈?x [a,b],有|)(x f |≤M . 证法：由已知条件得到函数)(x f 在[a,b]的每一点的某个邻域有界.要将函数 )(x f 在每一点的邻域有界扩充到在闭区间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从 而得到M >0. 证明：已知函数)(x f 在[a,b]连续，根据连续定义， ∈?a [a,b]，取0ε=1，0δ?>0,∈?x (00,δδ+-a a )?[a,b],有 |)(x f )(a f -|<1.从而∈?x (00,δδ+-a a )?[a,b]有 |)(x f |≤|)(x f )(a f -|+|)(|a f <|)(|a f +1 即∈?a [a,b]，函数)(x f 在开区间(00,δδ+-a a )有界。显然开区间集 { (00,δδ+-a a )|∈a [a,b] }覆盖闭区间[a,b].根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n 个开区间 {（k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b] }，k=1,2,3,…,n 也覆盖闭区间[a,b] ，且 ∈?x （k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b]，有|)(x f |≤|)(|k a f +1，k=1,2,3,…,n 取M =max{|)(||,......,)(||,)(|21n a f a f a f }+1. 于是∈?x [a,b]，∈?i {1，2,…，n},且∈x （i i a i a i a a δδ+-,）?[a,b]， 有|)(x f |≤|)(|i a f +1≤M 定理2（最值性）：若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，则函数()f x 在区间

高数闭区间上连续函数的性质教案

第17、18课时： 【教学目的】 1、 掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质； 2、 熟练掌握零点定理及其应用。 【教学重点】 1、介值性定理及其应用； 2、零点定理及其应用。 【教学难点】 介值性定理及其应用 §1. 10 闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值与最小值 最大值与最小值: 对于在区间I 上有定义的函数f (x ), 如果有x 0∈I , 使得对于任一x ∈I 都有 f (x )≤f (x 0 ) (f (x )≥f (x 0 )), 则称f (x 0 )是函数f (x )在区间I 上的最大值（最小值）. 例如, 函数f (x )=1+sin x 在区间[0, 2π]上有最大值2和最小值0. 又如, 函数f (x )=sgn x 在区间(-∞, +∞)内有最大值 1和最小值-1. 在开区间(0, +∞)内, sgn x 的最大值和最小值都是1. 但函数f (x )=x 在开区间(a , b )内既无最大值又无最小值. 定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值. 定理1说明, 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 那么至少有一点ξ1∈[a , b ], 使f (ξ1)是f (x )在[a , b ]上的最大值, 又至少有一点ξ 2∈[a , b ], 使f (ξ 2)是f (x )在[a , b ]上的最小值. 注意: 如果函数在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值. 例: 在开区间(a , b ) 考察函数y =x . 又如, 如图所示的函数在闭区间[0, 2]上无最大值和最小值. ?????≤<+-=<≤+-==2 1 31 110 1)(x x x x x x f y . 定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 二、零点定理与介值定理 零点: 如果x 0 使f (x 0 )=0, 则x 0 称为函数f (x )的零点. 定理3（零点定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且f (a )与f (b )异号, 那么在开区间(a , b )内至少有一点ξ 使f (ξ)=0. 定理4（介值定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值 f (a )=A 及f (b )=B ,

浅论闭区间上连续函数的性质.doc

浅论闭区间上连续函数的性质 中山大学数学与应用数学04级数统基地班黎俊彬 摘要:本文就闭区间上连续函数的性质进行了一定程度上的探讨，从直观感觉和理论论证两面方面论述了有界性，最值定理,介值定理和一致连续性定理，并且将之与开区间上连续函数及不连续函数作一定的对比. 关键字：闭区间连续函数实数的连续性和闭区间的紧致性 实数的连续性和闭区间的紧致性，使闭区间上的连续函数有丰富的性质，而且可由实数的各等价命题推出?本文主要从对连续函数的直观理解深入到纯分析的论证?在论证过程屮，严格地不出现微分学和积分学的内容，只是从连续函数本身的性质及实数系的性质入手. 从直观上理解，连续函数的图像是一条连续不断的曲线，这对于一?般初等函数來说都是成立的?而闭区间b"］上的连续函数/（X）的图像两端必须紧紧地连接着定义在端点处的点（67,/?））,（/>,/⑹X-8 v ./（Q），/⑹V +8）上形成一条封闭的曲线，即与直线x = a,x = b.y =0形成一个或多个封闭的区域.直观理解虽然不完全正确，但却能帮助我们了解和发现闭区间连续函数的性质，某些时候还能帮助我们找到证明.但直观的认识不一定是正确的，的确存在一些连续函数,其图像并不能作岀来?直观认识，在科学里面只是充当一个开路先锋的角色，到最后，一定要用严格的推理来证明. 先看何谓闭区间上的连续函数?连续的定义首先是点连续的定义. 称/（X）在兀=兀0连续，如果lim /（%） = /（x0）, 2X（） B|j/（x）4x o附近有定义W > 0,? > 0,当X G u（x°0）时有|/（x）-/（x°）| < 称/⑴在兀=兀0左连续，如果w > o,? > 0,当兀w （兀0 - 兀0 ］时有（兀）-f（兀0 ）| < ￡? 称 f（x）在兀=%右连续，如果>0,3^ >0,当x w ［x0,x0 +5）时有|/（兀）-/（%）| < 若函数该点的极限值不等于函数值，经验告诉我们函数在该点必定断开，连续的定义与我们的直观认识相符合?而若函数在［G,b］连续,是指函数在区间的每点都连续，在左端点右连续,右端点左连续.下面讨论闭区间连续函数的相关性质, 并从直观和理论上与非闭区间的情况作比较,体会闭区间的独特的性质.

求函数的连续区间

求函数的连续区间，并求极限 1. 2 31)(2 +-= x x x f ，)(lim 0 x f x → 解： 0232 ≠+-x x 0)2)(1(≠--x x 1≠x ，2≠x （初等函数在其定义区间内是连续的） ∴函数2 31)(2 +-= x x x f 的连续区间是),2()2,1()1,(+∞??-∞ 231lim )(lim 2 0+-=→→x x x f x x 把0代入式 231 lim 2 0+-→x x x ，解得 2 12 31lim 2 0= +-→x x x 2. x x x f ---= 81)(，)(lim 5 x f x → 解： 01≥-x ，1≥x 08≥-x ，8≤x （初等函数在其定义区间内是连续的） ∴函数x x x f ---= 81)(的连续区间是]8,1[ x x x f x x -- -=→→81lim )(lim 5 5 把5代入式 x x x -- -→81lim 5 ，解得 3281lim 5 - =---→x x x

3. )1ln()(2x x f -=，)(lim 2 1 x f x → 解： 012 >-x ，11<<-x （初等函数在其定义区间内是连续的） ∴函数)1ln()(2x x f -=的连续区间是]1,1[- )1ln(lim )(lim 2 2 12 1x x f x x -=→ → 把 2 1代入式 )1ln(lim 2 2 1 x x -→ ，解得 43ln )1ln(lim 2 2 1=-→ x x 4. x e x f -=1)(，)(lim 1 x f x -→ 解： 01≥-x e ， 0≤x （初等函数在其定义区间内是连续的） ∴函数x e x f -=1)(的连续区间是]0,[-∞ x x x e x f -=-→-→1lim )(lim 1 1 把1-代入式 x x e --→1lim 1，解得 1 1 11lim --→-=-e e x x

闭区间上连续函数性质证明

§2 闭区间上连续函数性质的证明 教学目的：掌握闭区间上连续函数性质证明思路与方法，加深对实数完备性若干定理的理解。 重点难点：重点与难点为其证明思路与方法。 教学方法：讲练结合。 在本节中，我们利用实数完备性的基本定理，来证明闭区间上连续函数的基本性质． 有界性定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界． 证 [证法一](应用有限覆盖定理) 由连续函数的局部有界性(定理4．2)，对每一点[],,b a x ∈'都存在邻域);(x x U ''δ及正数x M '，使得[].,);(,)(b a x U x M x f x x '''∈≤δ 考虑开区间集 []{} b a x x U H x ,);(∈''='δ, 显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 ()[]{}k i b a x x U i i i ,,2,1,,;* =∈=H δ 覆盖了[]b a ,，且存在正数k M M M ,,,21 ，使得对一切()[]b a x U x i i ,; δ∈有 ().,,2,1,k i M x f i =≤ 令 ,m a x 1i k i M M ≤≤= 则对任何[]b a x ,∈，x 必属于某()()M M x f x U i i i ≤≤?δ;．即证得f 在[]b a ,上有界． [证法二](应用致密性定理) 倘若f 在[]b a ,上无上界，则对任何正整数n ，存在[]b a x n ,∈，使得()n x f n >．依次取 ,2,1=n ，则得到数列{}[]b a x n ,?．由致密性定理，它含有收敛子列{} k n x ，记ξ=∞ →k n k x lim 。由b x a k n ≤≤及数列极限的保不等式性，[]b a ,∈ξ．利用f 在点ξ连续，推得 () ()+∞<=∞ →ξf x f k n k lim 另一方面，由n x 的选取方法又有()() +∞=?+∞→≥>∞ →k k n k k n x f k n x f lim 与(1)式矛盾．所以f 在[]b a ,有上界．类似可证f 在[]b a ,有下界，从而f 在[]b a ,上有界. 最大、最小值定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有最大值与最小值． 证 (应用确界原理) 已证f 在[]b a ,上有界，故由确界原理，f 的值域[]()b a f ,有上确界，记为M ．以下我们证明：存在[]b a ,∈ξ，使()M f =ξ．倘若不然，对一切[]b a x ,∈都有()M x f <．令

求函数的连续区间

习题1-9 1. 求函数6 33)(2 2 3-+--+= x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0 x f x →, )(lim 3 x f x -→及)(lim 2 x f x →. 解 ) 2)(3()1)(1)(3(6 33)(2 2 3 -++-+= -+--+= x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续 的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 2 1)0()(lim 0 = =→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞ =-++-+=→→) 2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 2 2 x x x x x x f x x , 5 82 ) 1)(1(lim )(lim 3 3 - =-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ?(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续. 证明 已知)()(lim 00 x f x f x x =→, )()(lim 00 x g x g x x =→. 可以验证 ] |)()(|)()([21 )(x g x f x g x f x -++=?, ] |)()(|)()([2 1 )(x g x f x g x f x --+=ψ. 因此 ] |)()(|)()([2 1 )(00000x g x f x g x f x -++=?, ] |)()(|)()([2 1 )(00000x g x f x g x f x --+=ψ. 因为 ] |)()(|)()([2 1lim )(lim 0 x g x f x g x f x x x x x -++=→→? ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210 x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++= ] |)()(|)()([2 1 0000x g x f x g x f -++==?(x 0), 所以?(x )在点x 0也连续. 同理可证明ψ(x )在点x 0也连续. 3. 求下列极限: (1)5 2lim 2 +-→x x x ;

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法_1

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法连续函数是数学分析中非常重要的一类函数，下面是小编搜集整理的一篇探究闭区间上连续函数的有界性定理证明的论文范文，欢迎阅读参考。 一、引言 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。 在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基

本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。 二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。 三、有界性定理在数学建模中的应用 本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。 在2013年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基于投保人、保险公司和政府三方面的利益，按照公平合理的定价原则设计，由保险公司经营的保险产品，三方各承担不同的责任、义务和风险。根据题目中附件所给的P省的具体情况，可以将有界性定理灵活的用在自然灾害保险的风险评估和费率拟定上。假设时间是一个连续状态，则以时间t为自变量，根据题中所给数据，以日最高最低气温为例，很明显它与时间t是呈周期性变化的，以一年为一个周期，故只考虑在某一年内的变化规律，即. 将日最高最低气温拟合成一个关于时间的函数f(t),则由于自变量

闭区间上连续函数的性质答案

高等数学II 练习题 第二章 极限与连续 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ 习题2.6 闭区间上连续函数的性质 一．选择题 1．若1,1 ()1, 1x x f x x +≠?=? =?，则下列说法中正确的是 （ B ） （A ）()f x 无间断点 （B ）()f x 只有一个间断点 （C ）()f x 只有2个间断点 （D ）()f x 只有3个间断点 2．若函数ln 1()sin ,12 x x f x a x x π ≥?? =?

分段函数的连续性

分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 2 1)10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1==--→→x x f x x 11lim )(lim 1 1==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 21)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 00x f x f x f x x x x x x →→→+-=才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2+-=x x x f ，

（1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象； （2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2-=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2-=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ???-=--≠+-=)2(4)2(24)(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致．

连续函数的运算 闭区间上连续函数的性质

第六讲 Ⅰ 授课题目： §1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 §1.10闭区间上连续函数的性质 Ⅱ 教学目的与要求： 1明确初等函数连续性的结论；会利用初等函数连续性求函数的极限。 2掌握闭区间上连续函数的性质 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：会利用初等函数求函数的极限及介质定理 难点：介值定理的应用 Ⅳ 讲授内容： §1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 定理1 若)(x f 和)(X g 在点0X 连续，则它们的和（差）g f ±，积f g ?及商g f （当连续时）都在点0)(00x g x ≠ 二、反函数与复合函数的连续性 定理2 如果函数)(x f y =在区间x I 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的 反函数)(1y f x -=也在对应的区间{}x x I x x f y y I ∈==),(|上单调增加（或单调减 少）且连续。如sin y x =与arcsin y x = 定理3 设函数??)(x g f y =由函数)(u f y =与函数)(x g u =复合而成，,00 )(g f d x U ?? 若0)(lim 0u x g x x =→，而函数)(u f y =在0u u =连续，则[])()(lim )(lim 000u f u f x g f u u x x ==→→ 例3 求93lim 23--→x x x 解 932--=x x y 可看作由u y =与9 32--=x x u 复合而成，因为6193lim 23=--→x x x ，而函数u y =在点6 1=u 连续，所以 9 3lim 23--→x x x =93lim 23--→x x x =6661= 定理4 设函数??)(x g f y =由函数)(u f y =与函数)(x g u =复合而成，,00 )(g f d x U ??若函数)(x g u =在0x x =连续，且00)(u x g =，而函数)(u f y =在0u u =连续，则复合函数??)(x g f y =在0x x =也连续。 三、初等函数的连续性： 结论1 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 结论2 一切初等函数在其定义域内都是连续的

闭区间上连续函数的性质

浅论闭区间上连续函数的性质 中山大学数学与应用数学 04级数统基地班 黎俊彬 摘要:本文就闭区间上连续函数的性质进行了一定程度上的探讨,从直观感觉和理论论证两面方面论述了有界性,最值定理,介值定理和一致连续性定理,并且将之与开区间上连续函数及不连续函数作一定的对比. 关键字:闭区间 连续函数 实数的连续性和闭区间的紧致性 实数的连续性和闭区间的紧致性,使闭区间上的连续函数有丰富的性质,而且可由实数的各等价命题推出.本文主要从对连续函数的直观理解深入到纯分析的论证.在论证过程中,严格地不出现微分学和积分学的内容,只是从连续函数本身的性质及实数系的性质入手. 从直观上理解,连续函数的图像是一条连续不断的曲线,这对于一般初等函数来说都是成立的.而闭区间[]b a ,上的连续函数()x f 的图像两端必须紧紧地连接着定义在端点处的点()()()()()()()+∞<<∞-b f a f b f b a f a ,,,,上,形成一条封闭的曲线,即与直线0,,===y b x a x 形成一个或多个封闭的区域.直观理解虽然不完全正确,但却能帮助我们了解和发现闭区间连续函数的性质,某些时候还能帮助我们找到证明.但直观的认识不一定是正确的,的确存在一些连续函数,其图像并不能作出来.直观认识,在科学里面只是充当一个开路先锋的角色,到最后,一定要用严格的推理来证明. 先看何谓闭区间上的连续函数.连续的定义首先是点连续的定义. .)()(),[,0,0,)(.)()(],(,0,0,)(.)()(),(,0,0,)(),()(lim ,)(00000000000000 εδδεεδδεεδδε<-+∈>?>?=<--∈>?>?=<-∈>?>?==→x f x f x x x x x x f x f x f x x x x x x f x f x f x U x x x f x f x f x x x f x x 时有当如果右连续在称时有当如果左连续在称时有当附近有定义在即如果连续在称 若函数该点的极限值不等于函数值,经验告诉我们函数在该点必定断开,连

闭区间上连续函数的性质答案

1 / 2 高等数学II 练习题 第二章 极限与连续 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ 习题2.6 闭区间上连续函数的性质 一．选择题 1．若1 ,1()1, 1 x x f x x +≠?=? =?，则下列说法中正确的是 （ B ） （A ）()f x 无间断点 （B ）()f x 只有一个间断点 （C ）()f x 只有2个间断点 （D ）()f x 只有3个间断点 2．若函数ln 1()sin ,12 x x f x a x x π ≥?? =?