直角坐标系中静电场边值问题的数值模拟
直角坐标系中静电场边值问题的数值模拟
卢学山，张敏，刘少培，张钧波，许彬
南京理工大学动力工程学院，南京 (210094)
E-mail ：mz2455@https://www.wendangku.net/doc/b117428292.html,
摘 要：用自编程序和商用软件ANSYS 对静电场中的电位势分布进行数值计算，并同理论分析的精确解相比较。自编程序采用结构化网格，有限容积法和可视化Fortran 语言。通过三种不同的途径进行求解，为读者展示了一个完整的数值计算和分析过程。
关键词：有限容积法，ANSYS ，静电场，边值问题
静电场、恒定电场和恒定磁场都可引入（标量或矢量）位函数来表示。在均匀媒介中，这些位函数都满足拉普拉斯方程或泊松方程,并且在场域的边界面上，位势函数还满足相应的边界条件。所以边值问题的求解，可归结为在给定边值条件下，对拉普拉斯方程或泊松方程的求解[1-2]。
本文利用自编程序和商用软件ANSYS 对直角坐标系中静电场的电位势进行数值模拟，讨论和分析计算结果。通过算例将数值解与精确解进行比较，得到了一致相似的结果，这充分证明了本文中采用的自编程序和ANSYS 运用方法的正确性与实用性。
1. 基本控制方程和边值问题的分类
对于静电场的计算，在直角坐标系中，一个标量电位势φ的偏微分方程表达式为[3]，
222222()0x y z
φφφερ???+++=??? (1-1) 其中，ρ为电荷体密度，ε为介电常数。在各向均匀同性介质中，电荷分布在有限区域内，电位势参考点在无限远处为零，故有电位势函数φ定义为，
1d 4r τρφτπε=
∫ (1-2)
由此产生的电场强度为， E i j k x
y z φφφφ?????=??=?++???????r r r (1-3)
根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，实际边值问题通常可分为三类： （1） 第一类边值问题是已知位势函数在整个场域边界面上的取值，这类问题又称为狄里赫利问题。
（2） 第二类边值问题是已知位势函数在整个场域边界面上的法向导数值，这类问题又称为纽曼问题。
（3） 第三类边值问题是一部分边界上的位势函数已知，而另一部分边界上位势函数的法向导数值已知，这类问题又称为混合边值间题。
下面我们通过一个具体算例来进行静电场电位势的数值计算。计算分两部分，一部分采用自编程序，此程序采用结构化网格和有限容积法[4-6]；另一部分采用商用软件ANSYS 进行数值模拟
[7-8]。
2. 计算结果及分析
两块无限大的导体平面，分别置于0z =和z =a 处。设在0z =处的导体平面上电位0=φ
；
在z =a 处电位0U =φ，且在两平面之间有电荷分布a /z 0ρρ=，其中1020 1.010/C m ρ?=×。两导体平面之间的电位和电场分布满足泊松方程。由于电荷分布具有对称性，电位φ与x ,y 无关，从方程（1-1）简化有，
0ε为真空中介电常数（m /F 1210
8.854?×）。在边界面0z =和z =a 上，电位势满足边界条
件如下， 积分式(2-1)可得，
式中，1C 和2C 为待定常数，可由边界条件式(2-2)确定， 将上面结果代人式(2-3)，可得电位势函数为，
本函数的极值在z 处的计算如下， 最大值为， 从而可得两导体平面之间的电场强度为，
下面我们来讨论计算结果。图1和图2是采用自编程序计算的电位势。图1在给出网格的同时（20×10），背景云图为精确解的结果，图2同时给出数值解和精确解，虚线为精确解，背景云图为数值解。从图2中我们明显可以看出两种结果完全吻合。
202
0z d dz a ρφε=? (2-1) 0|0z ==φ，0a z U |==φ (2-2) 2136C z C z a
00++?=ερφ (2-3) 00106U a C a ρε=+，02=C (2-4)
z )a a U (z a
00030066ερερφ++?=
(2-5) 1.762m z =
≈ (2-6)
3000001.762()1.76210.2966m U a a a ρρφεε=?++≈ (2-7)
][)a a U (z a dz d E z z 00020062ερερφφ+?=?=??=a a (2-8)
图1 计算网格和电位势（精确解）场分布
图2 电位势（数值解/精确解）场分布 图3为ANSYS 的计算结果，网格和算法都采用有限元（PLANE121单元），比较两个程序的结果可以证明它们的一致性。图4为z 方向的电位势分布，从图中可清晰地看到，在 1.762z =处，电位势有极大值。同样图5
和6
给出了电场强度的结果，其中图6为电场强度在z 方向的分布。
图3电位势场分布(ANSYS)
图4 Z 方向电位势分布
图5 ANSYS 电场E 分布 图6 Z 方向电场E 分布
3.结束语
静电场的理论分析和数值计算，是整个电磁场分析中最基本的第一步。本文采用自编程序和商用软件ANSYS相结合的计算模式，对直角坐标系中，静电场电位势的分布展开数值模拟，并且附有理论精确解的推导和计算结果，从多方面展示了一个完整的分析过程。
自编程序采用结构化网格，有限容积法和Visual Fortran计算语言。ANSYS采用二维建模，非结构化网格和有限元方法。两种方法各有优劣势，只有当它们互相补充，相互检测，才能得到可信正确的结果。
参考文献
1.马信山张济世王平，电磁场基础，第1版.北京：清华大学出版社，2000.3
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3.赵家升杨显清王圆，电磁场与电磁波，第3版.北京：高等教育出版社，2003.12
4.许彬张敏寻征轩，有限容积法在电磁场中的数值计算，中国科技论文在线，2007.5。
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6.Zhang．M．Modeling of Radiative Heat Transfer and Diffusion Processes Using Unstructured
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7.阎照文，ANSYS10.0工程电磁分析技术与实例详解，第1版.北京：中国水利出版社，2006.11
8.邓凡平，ANSYS10.0有限元自学手册.第1版，北京：人民邮电出版社，2007.1
Numerical Simulating Electric-Magnetic Fields in Cartesian Coordinate Using Commercial Software ANSYS
Lu Xueshan，Zhang Min，Liu Shaopei，Zhang Junbo，Xu Bin School of Power Engineering，Nanjing University of Science & Tech.，Nanjing (210094)
Abstract
Numerical calculation the electric potential distribution of electrostatic field with the self- processing program and the commercial software ANSYS were presented, comparing with the exact result of the theoretical analysis. The self-processing code used structured mesh, finite volume method (FVM) and Visual Fortran language. Through three different ways, it demonstrates a complete procedure of numerical calculation and analysis for the reader.
Keywords：Finite volume method，ANSYS，electrostatic field，boundary-value problem
第七讲坐标系中的几何问题(包含答案)
中考数学重难点专题讲座 第七讲 坐标系中的几何问题 【前言】 前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面，相信很多同学都已经掌握了。但是中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质体现。所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且基本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学，这类问题一定要重视。此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发，去彻底攻克此类问题。 第一部分 真题精讲 【例1】2010，石景山，一模 已知：如图1，等边ABC ?的边长为x 轴上且() 10A ，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ． （1）直接写出点B C 、的坐标； （2）若直线()10y kx k =-≠将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值； （3）如图2，过点A B C 、、的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点()2,0G -作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段 OB 上运动时，现给出两个结论： 。 ① GNM CDM ∠=∠ ②MGN DCM ∠=∠，其中有且只有一个结论是正确的，请你判 断哪个结论正确，并证明．
图2 图1 【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻，稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。第一问不难，C 点纵坐标直接用tg60°来算，七分中的两分就到手了。第二问看似较难，但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于EFAB 还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分到手。最后三分收起来有点麻烦，不过稍微认真点画图，不难猜出①式成立。抛物线倒是好求，因为要证的是角度相等，所以大家应该想到全等或者相似三角形，过D 做一条垂线就发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此，一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了。 【解析】解：（1 ）() 10B ；()13C ，． （2）过点C 作CP AB ⊥于P ，交EF 于点Q ，取PQ 的中点R ． ∵ABC ? 是等边三角形，() 10A ． ∴60EAO ∠=? ． 在Rt EOA ?中，90EOA ∠=?． ∴( tan 6013EO AO =??=-= ∴(0,3E ． … ∵EF ∥AB 交BC 于F ，()13C ， ．
七下平面直角坐标系压轴题
平面直角坐标系压轴题 ①能熟练解平面直角坐标系中的面积存在性问题； ②能将几何问题代数化，并能运用数形结合思想解题． 探究案 【例1】如图，在平面直角坐标中，A(0，1)，B(2，0)，C（2，1.5）． （1）求△ABC的面积； （2）如果在第二象限内有一点P（a，0.5），试用a的式子表示四边形ABOP的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【例2】在平面直角坐标系中，已知A（-3，0），B（-2，-2），将线段AB平移至线段CD. 图2 （1）如图1，直接写出图中相等的线段，平行的线段； （2）如图2，若线段AB移动到CD，C、D两点恰好都在坐标轴上，求C、D的坐标； （3）若点C在y轴的正半轴上，点D在第一象限内，且S△ACD=5，求C、D的坐标； （4）在y轴上是否存在一点P，使线段AB平移至线段PQ时，由A、B、P、Q构成的四边形是平行四边形面积为10，若存在，求出P、Q的坐标，若不存在，说明理由；
【例3】如图，△ABC 的三个顶点位置分别是A （1，0），B （－2，3），C （－3，0）． （1）求△ABC 的面积； （2）若把△ABC 向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A B C '''， 请你在图中画出△A B C '''； （3）若点A 、C 的位置不变，当点P 在y 轴上什么位置时，使2ACP ABC S S =V V ； （4）若点B 、C 的位置不变，当点Q 在x 轴上什么位置时，使2BCQ ABC S S =V V ． 【例4】如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，2），且满足2 (2)20a b ++-=，过C 作CB ⊥x 轴于B ． （1）求三角形ABC 的面积； （2）若过B 作BD ∥AC 交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分∠CAB ，∠ODB ，如图2，求∠AED 的度数；
七年级数学下册平面直角坐标系压轴题
七年级数学下册平面直角坐标系压轴题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1 平面直角坐标系压轴题(1) ①能熟练解平面直角坐标系中的面积存在性问题； ②能将几何问题代数化，并能运用数形结合思想解题． 探究案 【例1】如图，在平面直角坐标中，A (0，1)，B (2，0)，C （2，1.5）． （1）求△ABC 的面积； （2）如果在第二象限内有一点P （a ，0.5），试用a 的式子表 示四边形ABOP 的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． y x P O C B A 【例2】在平面直角坐标系中，已知A （-3，0），B （-2，-2），将线段AB 平移至线段CD ，连AC 、BD ． 图1 y x D O C B A 图2y x D O C B A 图3 y x O B A 图4 y x O B A （1）如图1，直接写出图中相等的线段，平行的线段； （2）如图2，若线段AB 移动到CD ，C 、D 两点恰好都在坐标轴上，求C 、D 的坐标； （3）若点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第一象限内，且S △ACD =5，求C 、D 的坐标； （4）在y 轴上是否存在一点P ，使线段AB 平移至线段PQ 时，由A 、B 、P 、Q 构成的四边形是平行四边形面积为10，若存在，求出P 、Q 的坐标，若不存在，说明理由； 【例3】如图，△ABC 的三个顶点位置分别是A （1，0），B （－2， 3），C （－3，0）． （1）求△ABC 的面积； （2）若把△ABC 向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， 得到△A B C '''，请你在图中画出△A B C '''； （3）若点A 、C 的位置不变，当点P 在y 轴上什么位置时，使 2ACP ABC S S =； （4）若点B 、C 的位置不变，当点Q 在x 轴上什么位置时，使2BCQ ABC S S =． 【例4】如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ， 2），且满足2(2)20a b ++-=，过C 作CB ⊥x 轴于B ． （1）求三角形ABC 的面积； （2）若过B 作BD ∥AC 交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分 ∠CAB ，∠ODB ，如图2，求∠AED 的度数； （3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由． 训练案
中考数学难点分类讲解 第七讲 坐标系中的几何问题
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【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻，稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。第一问不难，C 点纵坐标直接用tg60°来算，七分中的两分就到手了。第二问看似较难，但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于EFAB 还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分到手。最后三分收起来有点麻烦，不过稍微认真点画图，不难猜出①式成立。抛物线倒是好求，因为要证的是角度相等，所以大家应该想到全等或者相似三角形，过D 做一条垂线就发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此，一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了。 【解析】解：（1）() 10B ；()13C ，． （2）过点C 作CP AB ⊥于P ，交EF 于点Q ，取PQ 的中点R ． ∵ABC ?是等边三角形，() 10A ． ∴60EAO ∠=? ． 在Rt EOA ?中，90EOA ∠=?． ∴(tan 6013EO AO =??=-= ∴(0,3E ． ∵EF ∥AB 交BC 于F ，()13C ， ． ∴1R ? ?? ． （就是四边形对角线的中点，横坐标自然和C 一样，纵坐标就是E 的纵坐标的一半） ∵直线1y kx =-将四边形EABF 的面积两等分． ∴直线1y kx =-必过点1R ? ?? ． ∴1k -= ，∴k
平面直角坐标系中如何求几何图形的面积
图1 图2 图3 平面直角坐标系中如何求几何图形的面积 一、 求三角形的面积 1、有一边在坐标轴上或平行于坐标轴 例1：如图1，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为（-3,0）、（0,3）、（0，-1），你 能求出三角形ABC 的面积吗 2、无边在坐标轴上或平行于坐标轴 例2：如图2，平面直角坐标系中，已知点A （-3，-1）、B （1,3）、C （2，-3），你能求出三角形ABC 的面积吗 归纳：求三角形面积的关键是确定某条边及这条边上的高，如果在坐标系中，某个三角形中有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，则根据这条边的两个顶点的坐标易求出这边的长，根据这条边的相对的顶点可求出他的高。 二、求四边形的面积 例3：如图3，你能求出四边形ABCD 的面积吗 分析：四边形ABCD 是不规则的四边形，面积不能直接求出，我们可以利用分割或补形来求。
归纳：会将图形转化为有边与坐标轴平行的图形进行计算。 怎样确定点的坐标 一、 象限点 解决有关象限点问题的关键是熟记各象限的符号特征，由第一到底四象限点的符号特征分别为（+，+）、 （-，+）、（-，-）、（+，-）。 例1：已知点M （a 3-9,1-a ）在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、0 二、轴上的点 解决有关轴上点问题的关键是把握“0”的特征，x 轴上点的纵坐标为0，可记为（x ，0）；y 轴上点的横坐标为0，可记为（0，y ）；原点可记为（0,0）。 例2：点P （m+3,m+1）在直角坐标系的x 轴上，则P 点的坐标为（ ） A 、（0，-2） B 、（2,0） C 、（4,0） D 、（0，-4） 三、象限角平分线上的点 所谓象限角平分线上的点，就是各象限坐标轴夹角平分线上的点。解决这类问题的关键是掌握“y x =”的特征，一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可记为（x ，x ）；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数，可记为（x ，-x ）。 例3：已知点Q （8,4m 22 2++++m m m ）在第一象限的角平分线上，则m=_________. 四、对称点 对称点的横、纵坐标之间有很密切的关系，点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标上（a ，-b ）；关于y 轴对称的点的坐标是（-a ，b ）；关于原点对称的点的坐标是（-a ，-b ）；关于一、三象限角平分线对称的点的坐标是（b ，a ）；关于二、四象限角平分线对称的点的坐标是（-b,-a ）. 例4：点（-1,4）关于原点对称的点的坐标是（ ） A 、（-1，-4） B 、（1，-4） C 、（1,4） D 、（4，-1） 五、平行于坐标轴的直线上的点 平行于x 轴的直线上点的纵坐标相同，平行于y 轴的直线上点的横坐标相同。 例5：点A(4,y)和点B （x ，-3），过A 、B 的直线平 行于x 轴，且AB=5，则x=____,y=_____.
平面直角坐标系知识结构图
平面直角坐标系知识结构图 平面直角坐标系是沟通代数和几何的桥梁，是非常重要的数学工具．要掌握以下几点： 1．坐标平面内的点和有序实数对一一对应 已知点P(x，y)，它的横坐标x和纵坐标y的顺序是不能任意交换的，A(3，2)和B(2，3)表示两个不同的点． 对于坐标平面内的任意一点P，存在唯一的一对有序实数(x，y)和它对应；反过来，对于任意一对有序实数(x，y)，在坐标平面内有唯一的P点和它对应．这里，(x，y)称为点P 的坐标，x是横坐标，y是纵坐标，x写在前，y写在后． 各象限内坐标的符号 点P（x，y）在第一象限内，则x＞0，y＞0，反之亦然． 点P（x，y）在第二象限内，则x＜0，y＞0，反之亦然． 点P（x，y）在第三象限内，则x＜0，y＜0，反之亦然． 点P（x，y）在第四象限内，则x＞0，y＜0，反之亦然． 2．特殊点的坐标 x轴上点的纵坐标为零，即(x，0)，如果某点的坐标为(x，0)，则它在x轴上． y轴上点的横坐标为零，即(0，y)，如果某点的坐标为(0，y)，则它在y轴上． 第一、三象限角平分线上点的横坐标和纵坐标相等，即(x，x)，如果点的坐标为(x，x)，则它必定在一、三象限角平分线上． 第二、四象限角平分线上点的横坐标和纵坐标互为相反数，即(x，－x)，如果点的坐标为(x，－x)，则它在二、四象限角平分线上． 原点的坐标是(0，0)，反之，坐标是(0，0)的点是原点． 3．对称点 关于x轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数． 关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等． 关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数．如果一个点的坐标为(a，b)，那么这个点关于x轴、y轴、原点的对称点分别是(a，－b)，(－a，b)，(－a，－b)．它的逆命题亦成立． 4．点P(x，y)到两坐标轴的距离 点P(x，y)到x轴和y轴的距离分别是|y|和|x|． 点P(x，y)．（由勾股定理可证）
平面直角坐标系中的几何综合题
2015年七年级下学期期末备考之《平面直角坐标系中几何综合 题》 2015-06-15一．解答题（共17小题） 1．（2015春?玉环县期中）如图在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），（﹣1，2）．且|2a+b+1|+=0． （1）求a、b的值； （2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使S△COM=S△ABC，求点M的坐标．（标注：三角形ABC 的面积表示为S△ABC） ②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使S△COM=S△ABC仍成立若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标． 2．（2015春?汕头校级期中）如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C （3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+=0． （1）求a、b、c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积不小于△AOP面积的两倍若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
3．（2015春?鄂城区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=+﹣1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC． （2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由． （3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由． 4．（2014春?富顺县校级期末）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2）（见图1），且|2a+b+1|+=0 （1）求a、b的值； （2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=△ABC的面积，求出点M的坐标； ②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积仍然成立若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；
用坐标系解立体几何常见方法
建立空间直角坐标系，解立体几高考题 立体几重点、热点： 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等． 常用公式： 1 、求线段的长度： 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离： PN = ，（N 为垂足，M 为斜足，n 为平面α的法向量） 3、求直线l 与平面α所成的角：|||||sin |n PM ?= θ(l PM ?,α∈M ,n 为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos = θ 5、求二面角的平面角θ：|||||cos |21n n ?= θ，（ 1n ，2n 为二面角的两个面的法向量） 6、求二面角的平面角θ：S S 射影 = θ cos ，（射影面积法） 7、求法向量：①找；②求：设b a , 为平面α的任意两个向量，)1,,(y x n =为α的法向量， 则由程组?????=?=?0 n b n a ，可求得法向量n ．