矩形中的折叠问题

专题训练(一) 矩形中的折叠问题

(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( )

A．12 B．10 C．8 D．6

2．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＝60°.现沿直线GE将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则图中与∠BEG相等的角的个数为( )

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

3．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于________．

4．把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3 cm，BC＝5 cm，则重叠部分△DEF的面积是________cm2.

5．如图，折叠矩形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10 cm，AB＝8 cm，求：

(1)FC的长；

(2)EF的长．

AD＝8 cm，DE＝6 cm.

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)求BF的长；

(3)求折痕AF长．

7．将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m＞0)，点D(m，1)在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.

(1)当m＝3时，求点B的坐标和点E的坐标；(自己重新画图)

(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10.

(1)求矩形ABCD的周长；

(2)E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．

①求DE的长；

②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．

(3)M是AD上的动点，在DC上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．

参考答案

1.B

2.A

3.56°

4.

5.1

5.(1)由题意可得AF＝AD＝10 cm，

在Rt△ABF中，AB＝8 cm，AF＝10 cm，

∴BF＝6 cm.

∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．

（2）由题意可得EF＝DE，可设EF的长为x，

则在R t△EFC中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，

即EF的长为5 cm.

6.(1)证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，

∴AE＝AB＝10，AE2＝102＝100.

又∵AD2＋DE2＝82＋62＝100，

∴AD2＋DE2＝AE2.

∴△ADE是直角三角形，且∠D＝90°.

又∵四边形ABCD为平行四边形，

∴四边形ABCD是矩形．

（2）设BF＝x，则EF＝BF＝x，EC＝CD－DE＝10－6＝4(cm)，FC＝BC－BF＝8－x，

在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2，

即42＋(8－x)2＝x2.

解得x＝5.

故BF＝5 cm.

(3)在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2＋BF2＝AF2，

∵AB＝10 cm，BF＝5 cm，

∴AF＝102＋52＝55(cm)．

7．(1)如图，点B的坐标为(3，4)．

∴∠BAD ＝45°.

∴∠DAE ＝∠BAD ＝45°.

∴E 在y 轴上．AE ＝AB ＝BD ＝3，

∴四边形ABDE 是正方形，OE ＝1. ∴点E 的坐标为(0，1)．

（2）点E 能恰好落在x 轴上．

理由如下：∵四边形OABC 为矩形，

∴BC ＝OA ＝4，∠AOC ＝∠DCO ＝90°.

由折叠的性质可得：DE ＝BD ＝OA －CD ＝4－1＝3，AE ＝AB ＝OC ＝m. 假设点E 恰好落在x 轴上，

在Rt △CDE 中，由勾股定理可得EC ＝DE 2－CD 2＝32－12＝2 2. 则有OE ＝OC －CE ＝m －2 2.

在Rt △AOE 中，OA 2＋OE 2＝AE 2.

即42＋(m －22)2＝m 2.

解得m ＝3 2.

8.(1)周长为2×(10＋8)＝36.

(2)①∵四边形ABCD 是矩形，

由折叠对称性得AF ＝AD ＝10，FE ＝DE.

在Rt △ABF 中，由勾股定理得BF ＝6，

∴FC ＝4.

在Rt △ECF 中，42＋(8－DE)2＝EF 2，

解得DE ＝5.

②分三种情形讨论：若AP ＝AF ，∵AB ⊥PF ，∴PB ＝BF ＝6；

若PF ＝AF ，则PB ＋6＝10.解得PB ＝4； 若AP ＝PF ，在Rt △APB 中，AP 2＝PB 2＋AB 2，设PB ＝x ，则(x ＋6)2－x 2＝82.

解得x ＝73

. ∴PB ＝73

. 综合得PB ＝6或4或73

. （3）当点N 与C 重合时，CT 取最大值是8，

当点M 与A 重合时，CT 取最小值为4，

所以线段CT 长度的最大值与最小值之和为12.