2015年普通高等学校招生全国
统一考试(江苏卷)
数学(理科)
数学Ⅰ
参考公式:
圆柱的体积公式:V 圆柱=S h ,其中S 是圆柱的底面积,h 为高.
圆锥的体积公式:V 圆锥=13
S h ,其中S 是圆锥的底面积,h 为高.
一二填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.已知集合A ={1,2,3},B ={2,4,5
},则集合A ?B 中元素的个数为 .
2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为 .
3.设复数z 满足z 2
=3+4i (i 是虚数单位)
,则z 的模为 .
S ?1
i ?1W h i l e
i <8S ?S +2i ?i +3
E n d W h i l e
P r i n t S
(第4题)
4.根据如图所示的伪代码,
可知输出的结果S 为 .5.袋中有形状二大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.6.已知向量a =(2,1),b =(1,-2).若m a +n b =(9,-8)(m ,n ?R ),则m -n 的值为 .
7.不等式2
x
2-x <4的解集为 .
8.已知t a n α=-2,t a n (α+β)=17
,则t a n β的值为 .9.现有橡皮泥制作的底面半径为5二
高为4的圆锥和底面半径为2二高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和
圆柱各一个,则新的底面半径为 .
10.在平面直角坐标系x O y 中,
以点(1,0)为圆心与直线m x -y -2m -1=0(m ?N )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .
11.设数列{a n }满足a 1=1,且a n +1-a n =
n +1(n ?N *),则数列1a n
{}前
1
0项的和为 .
12.在平面直角坐标系x O y 中,
P 为双曲线x 2-y 2
=1右支上的一个动点.若点P 到直线x -y +1=0的距离大于c 恒成立,
则实数c 的最大值为 .13.已知函数f (x )=|l n x |,g (
x )=0,0 |x 2 -4|-2,x >1, { 则方程|f (x )+g (x )|=1实根的个数为 . 14.设向量a k =c o s k π6,s i n k π6+c o s k π6 ( ) (k =0,1,2, ,12),则e11 k =0(a k 四a k +1) 的值为. 二二解答题:本大题共6小题,共计90分, 解答时应写出文字说明二证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分) 在?A B C 中,已知A B =2,A C =3,A =60?. (1)求B C 的长;(2)求s i n 2C 的值. 16.(本小题满分14分) 如图,在直三棱柱A B C-A1B1C1中,已知A C?B C,B C=C C1.设A B1的中点为D,B1C?B C1=E. 求证:(1)D E?平面A A1C1C; (2)B C1?A B1. (第16题) 17.(本小题满分14分) 某山区处围有两条相互垂直的直线型公路,为进一点改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l.如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米.以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系x O y.假设曲线C符合函数y=a2+b(其中a,b为常数)模型. (1)求a,b的值; (2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域: ②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度. (第17题) 18.(本小题满分16分) 如图,在平面直角坐标系x O y 中,已知椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的离心率为22,且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1 )求椭圆的标准方程;(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段A B 的垂直平分线分别交直线l 和A B 于点P , C ,若P C =2A B ,求直线A B 的方程. (第18题) 19.(本小题满分16分) 已知函数f (x )=x 3+a x 2 +b (a ,b ?R ).(1)试讨论f (x ) 的单调性;(2)若b =c -a (实数c 是与a 无关的常数),当函数f (x )有三个不同的零点时,a 的取值范围 恰好是(-?,-3)?1,32()?32 ,+?() , 求c 的值. 20.(本小题满分16分) 设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d?0)的等差数列. (1)证明:2a1,2a2,2a3,2a4依次构成等比数列; (2)是否存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列?并说明理由; (3)是否存在a1,d及正整数n,k,使得a n1,a n+k2,a n+2k3,a n+3k4依次构成等比数列?并说明 理由. 数学Ⅱ(附加题) 21.?选做题?本题包括A 二B 二C 二D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明二证明过程或演算步骤. A .(本小题满分10分) [选修4-1:几何证明选讲]如图,在?A B C 中,A B =A C ,?A B C 的外接圆☉O 的弦A E 交B C 于点D . 求证:?A B D ??A E B . (第21-A 题) B .(本小题满分10分) [选修4-2:矩阵与变换]已知x ,y ?R , 向量α=1-1[]是矩阵A =x y 1 []的属于特征值-2的一个特征向量,求矩阵A 以及它的另一个特征值. C .(本小题满分10分) [选修4-4:坐标系与参数方程]已知圆C 的极坐标方程为ρ2 +s i n θ-π4 () -4=0,求圆C 的半径. D .(本小题满分10分) [选修4-5:不等式选讲]解不等式x +|2x +3|?2. ?必做题?第22题二第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明二证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分) 如图,在四棱锥P-A B C D中,已知P A?平面A B C D,且四边形A B C D为直角梯形, ?A B C=?B A D=π2,P A=A D=2,A B=B C=1. (1)求平面P A B与平面P C D所成二面角的余弦值; (2)点Q是线段B P上的动点,当直线C Q与D P所成的角最小时,求线段B Q的长. (第22题) 23.(本小题满分10分) 已知集合X={1,2,3},Y n={1,2,3, ,n}(n?N*),设S n={(a,b)|a整除b或b整除a, a?X,b?Y n},令f(n)表示集合S n所含元素的个数. (1)写出f(6)的值; (2)当n?6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.