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高考数学(理)二轮配套训练【专题4】(3)推理与证明(含答案)

第3讲推理与证明

考情解读 1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．

1．合情推理

(1)归纳推理

①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．

②归纳推理的思维过程如下：

实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论

(2)类比推理

①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．

②类比推理的思维过程如下：

观察、比较→联想、类推→猜测新的结论

2．演绎推理

(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

(2)合情推理与演绎推理的区别

归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．

3．直接证明

(1)综合法

用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Q n?Q

(2)分析法

用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：

Q?P1→P1?P2→P2?P3→…→得到一个明显成立的条件

4．间接证明

反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛

盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用如图所示的框图表示．

肯定条件p否定结论q→导致逻辑矛盾→“既p，又綈q”为假→“若p，则q”为真5．数学归纳法

数学归纳法证明的步骤：

(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．

(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．

由(1)(2)可知，对任意n≥n0，且n∈N*时，命题都成立．

热点一归纳推理

例1(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()

A．26 B．31

C．32 D．36

(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()

A．48,49 B．62,63

C．75,76 D．84,85

思维启迪(1)根据三个图案中的正六边形个数寻求规律；(2)靠窗口的座位号码能被5整除或者被5除余1.

答案(1)B(2)D

解析(1)有菱形纹的正六边形个数如下表：

以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.

故选B.

(2)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件．

思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．

(1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第______号座位上．

A．1 B．2

C．3 D．4

(2)已知f(n)＝1＋1

2＋

3＋…＋

n(n∈N

*)，经计算得f(4)>2，f(8)>5

2，f(16)>3，f(32)>

2，则有

________________．

答案 (1)B (2)f (2n )>n ＋2

(n ≥2，n ∈N *)

解析 (1)考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上，第二次坐在2号位上，第三次坐在4号位上，第四次坐在3号位上，第五次坐在1号位上，因此小兔的座位数更换次数以4为周期，因为202＝50×4＋2，因此第202次互换后，小兔所在的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同，因此小兔坐在2号位上，故选B. (2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>6

2，

f (25)>7

2，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22.

故填f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)．

热点二类比推理

例2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝1

4.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1

V 2

＝________.

(2)已知双曲正弦函数sh x ＝e x －e －

x 2和双曲余弦函数ch x ＝e x ＋e －

与我们学过的正弦函数和余弦

函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角．．．．．公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个．．

类似的正确结论________．思维启迪 (1)平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；(2)可利用和角或差角公式猜想，然后验证．

答案 (1)1

(2)ch(x －y )＝ch x ch y －sh x sh y

解析 (1)平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以V 1V 2＝1

(2)ch x ch y －sh x shy ＝e x ＋e －

x 2·e y ＋e －

y 2－e x －e －

x 2·e y －e －

＝14(e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y ＋e －x －y －e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y －e －x －

y ) ＝14(2e x －y ＋2e －(x －y )

)＝e x －

y ＋e －(x －y )

＝ch(x －y )，故知ch(x ＋y )＝ch x ch y ＋sh x sh y ，

或sh(x －y )＝sh x ch y －ch x sh y ，或sh(x ＋y )＝sh x ch y ＋ch x sh y .

思维升华类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等

比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，例2即属于此类题型．一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等．

(1)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n

，则数列{b n }也为等差数列．类比

这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n

B ．d n ＝c 1·c 2·…·c n

C ．d n ＝

D ．d n ＝n

c 1·c 2·…·c n

(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)

的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2

a 2.那么对于双曲线则有

如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的

中点，则k OM ·k AB ＝________. 答案 (1)D (2)b 2a

解析 (1)由{a n }为等差数列，设公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋n －1

2d ，

又正项数列{c n }为等比数列，设公比为q ，

则d n ＝n

c 1·c 2·…·c n c 112

n q

-，故选D.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则有???

x 0

＝x 1

＋x 2

，y 0

＝y 1

＋y

将A ，B 代入双曲线x 2a 2－y 2

2＝1中得

x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22

a 2－y 2

2＝1，

两式相减，得x 21－x 22a 2＝y 21－y 2

2，

即

(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2

，

即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝b 2

a 2，即k OM ·k AB ＝

b 2

热点三直接证明和间接证明

例3 已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )

1－a n ＋1

，a n a n ＋1<0 (n ≥1)；数列{b n }满足：

b n ＝a 2n ＋1－a 2

n (n ≥1)．

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．

思维启迪 (1)利用已知递推式中的特点构造数列{1－a 2n }；(2)否定性结论的证明可用反证法． (1)解已知3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1化为1－a 2n ＋11－a 2n ＝23，而1－a 21＝34

，

所以数列{1－a 2n }是首项为34，公比为2

3的等比数列，则1－a 2n ＝34×????23n －1，则a 2n

＝1－34×????23n －1，由a n a n ＋1<0，知数列{a n }的项正负相间出现，因此a n ＝(－1)n ＋

1－34×???

?23n －1

， b n ＝a 2n ＋1－a 2

＝－34×????23n ＋34×????23n －1 ＝14×???

?23n －1. (2)证明假设存在某三项成等差数列，不妨设为b m 、b n 、b p ，其中m 、n 、p 是互不相等的正整数，可设m

而b n ＝14×????23n －1

随n 的增大而减小，

那么只能有2b n ＝b m ＋b p ，

可得2×14×????23n －1＝14×????23m －1＋14×????23p －1

，

则2×????23n －m

＝1＋???

?23p －m .(*)

当n －m ≥2时，2×????23n －m ≤2×????232＝89，(*)式不可能成立，则只能有n －m ＝1，此时等式为4

＝1＋????23p －m ，即13＝????23p －m ，那么p －m ＝log 2313，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等．所以假设不成立，那么数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．

思维升华 (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可． (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．

等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.

(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；

(2)设b n ＝S n

(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

(1)解由已知得???

a 1＝2＋1，

3a 1＋3d ＝9＋32，

所以d ＝2，

故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)，n ∈N *. (2)证明由(1)得b n ＝S n

＝n ＋ 2.

假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ≠q ≠r )成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.

∵p ，q ，r ∈N *

，∴?

????

q 2

－pr ＝0，

2q －p －r ＝0，

∵(p ＋r 2)2

＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r 与p ≠r 矛盾．

所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．热点四数学归纳法

例4 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足S 2n －1＝12a 2

n ，n ∈N *，

数列{b n }满足b n ＝????

2n －1

，n 为奇数，12a n －1，n 为偶数，T n 为数列{b n }的前n 项和．

(1)求a n ，b n ；

(2)试比较T 2n 与2n 2＋n

的大小．

思维启迪 (1)利用{a n }的前n 项确定通项公式(公差、首项)，{b n }的通项公式可分段给出；

(2)先求T n ，归纳猜想T n 与2n 2＋n

3的关系，再用数学归纳法证明．

解 (1)设{a n }首项为a 1，公差为d ，在S 2n －1＝1

2a 2n

中，

令n ＝1,2得????? a 21＝2S 1，a 22＝2S 3，即?????

a 21＝2a 1，

(a 1＋d )2

＝2(3a 1＋3d )，

解得a 1＝2，d ＝4，所以a n ＝4n －2.

所以b n ＝?

????

2n －

1，n 为奇数，

2n －3，n 为偶数.

(2)T 2n ＝1＋2×2－3＋22＋2×4－3＋24＋…＋22n －

2＋2×2n －3

＝1＋22＋24＋…＋22n －

2＋4(1＋2＋…＋n )－3n

＝1－4n 1－4＋4·n (n ＋1)2－3n ＝4n 3－1

3＋2n 2－n .

所以T 2n －(2n 2＋n 3)＝1

3(4n －4n －1)．

当n ＝1时，13(4n －4n －1)＝－1

3<0，

当n ＝2时，13(4n －4n －1)＝7

3>0，

当n ＝3时，13(4n －4n －1)＝51

3>0，…

猜想当n ≥2时，T 2n >2n 2＋n

3，

即n ≥2时，4n >4n ＋1. 下面用数学归纳法证明：

①当n ＝2时，42＝16,4×2＋1＝9,16>9，成立； ②假设当n ＝k (k ≥2)时成立，即4k >4k ＋1. 则当n ＝k ＋1时，4k ＋

1＝4·4k >4·(4k ＋1)

＝16k ＋4>4k ＋5＝4(k ＋1)＋1，所以n ＝k ＋1时成立．

由①②得，当n ≥2时，4n >4n ＋1成立．综上，当n ＝1时，T 2n <2n 2＋n 3，

当n ≥2时，T 2n >2n 2＋n

思维升华在使用数学归纳法证明问题时，在归纳假设后，归纳假设就是证明n ＝k ＋1时的已知条件，把归纳假设当已知条件证明后续结论时，可以使用综合法、分析法、反证法．

已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－1

2，n ∈N *.

(1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．解 (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)，

当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝11

8，所以f (2)

当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312

216，

所以f (3)

(2)由(1)，猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明 ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立 ②假设当n ＝k (k ≥3)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－1

2k 2，

那么，当n ＝k ＋1时，

f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3<32－12k 2＋1(k ＋1)3，因为12(k ＋1)2－(12k 2－1(k ＋1)3) ＝k ＋32(k ＋1)3－1

2k 2 ＝

－3k －12(k ＋1)3k 2

<0.

所以f (k ＋1)<32－1

2(k ＋1)2＝g (k ＋1)，

即当n ＝k ＋1时，不等式成立．

由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立．

1．合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式．

2．直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．

3．数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，在遇到与正整数有关的数学命题时，要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明．

(1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n＝k＋1时要用上n＝k时的假设，其次要明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同，中间的计算过程千万不能省略．

(2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少，切忌忘记归纳结论．

真题感悟

1．(2014·福建)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：

①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4.有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，

d)的个数是________．

答案 6

解析由题意知①②③④中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数：(1)若①正确，即a＝1，则②③④都错误，即b＝1，c≠2，d ＝4.其中a＝1与b＝1矛盾，显然此种情况不存在；

(2)若②正确，即b≠1，则①③④都错误，即a≠1，c≠2，d＝4，则当b＝2时，有a＝3，c ＝1；当b＝3时，有a＝2，c＝1，此时有2种有序数组．

(3)若③正确，即c＝2，则①②④都错误，即a≠1，b＝1，d＝4，则a＝3，即此种情况有1种有序数组．

(4)若④正确，即d≠4，则①②③都错误，即a≠1，b＝1，c≠2，则当d＝2时，有a＝3，c ＝4或a＝4，c＝3，有2种有序数组；当d＝3时，有c＝4，a＝2，仅1种有序数组．

综上可得，共有2＋1＋2＋1＝6(种)有序数组．

2．(2014·陕西)观察分析下表中的数据：

答案F＋V－E＝2

解析观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.

押题精练

1．圆周上2个点可连成1条弦，这条弦可将圆面划分成2部分；圆周上3个点可连成3条弦，这3条弦可将圆面划分成4部分；圆周上4个点可连成6条弦，这6条弦最多可将圆面划分成8部分．则n个点连成的弦最多可把圆面分成________部分．()

A ．2n －1

B ．2n

C ．2n ＋

D ．2n ＋

答案 A

解析由已知条件得：

由此可以归纳出，当点数为n 时，连成的弦数为n (n －1)2；弦把圆面分成的部分数为2n －

1，故

选A.

2．在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项，k (k ＋1)＝1

3[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，

由此得1×2＝1

3(1×2×3－0×1×2)，

2×3＝1

3(2×3×4－1×2×3)，

…

n (n ＋1)＝1

[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．

相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝1

n (n ＋1)(n ＋2)．

类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)·(n ＋2)”的结果为____________．答案 1

n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)

解析类比k (k ＋1)＝1

[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，

可得到k (k ＋1)(k ＋2)＝1

4[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]，

先逐项裂项，然后累加即得1

n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)．

(推荐时间：50分钟)

一、选择题

1．下列推理是归纳推理的是( )

A ．A ，

B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式

C ．由圆x 2

＋y 2

＝r 2

的面积πr 2

，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2

2＝1的面积S ＝πab

D ．以上均不正确答案 B

解析从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理． 2．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．199

答案 C

解析观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．

继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…，第十项为123，即a 10＋b 10＝123. 3．已知x >0，观察不等式x ＋1

≥2

x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4

x 2≥33x 2·x 2·4x 2

＝3，…，由此可得一般结论：x ＋a

x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a 的值为( )

A ．n n

B ．n 2

C ．3n

D ．2n

答案 A

解析根据已知，续写一个不等式：

x ＋33x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋33

x 3≥44x 3·x 3·x 3·33x

3＝4，由此可得a ＝n n .故选A. 4．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( ) A ．恒为正数 B ．恒为负数 C ．恒为0

D ．可正可负

答案 A

解析由已知得f (0)＝0，a 1＋a 5＝2a 3>0，所以a 1>－a 5.

由于f (x )单调递增且为奇函数，所以f (a 1)＋f (a 5)>f (－a 5)＋f (a 5)＝0，又f (a 3)>0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)>0. 故选A.

5．在平面内点O 是直线AB 外一点，点C 在直线AB 上，若OC →＝λOA →＋μOB →

，则λ＋μ＝1；类似地，如果点O 是空间内任一点，点A ，B ，C ，D 中任意三点均不共线，并且这四点在同一平面内，若DO →＝xOA →＋yOB →＋zOC →

，则x ＋y ＋z 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．±1

答案 B

解析在平面内，由三角形法则，得AB →＝OB →－OA →，BC →＝OC →－OB →. 因为A ，B ，C 三点共线，

所以存在实数t ，使AB →＝tBC →，即OB →－OA →＝t (OC →－OB →

)，所以OC →＝－1t OA →＋(1t

＋1)OB →

因为OC →＝λOA →＋μOB →

，所以λ＝－1t ，μ＝1t ＋1，

所以λ＋μ＝1.

类似地，在空间内可得OD →＝λOA →＋μOB →＋ηOC →

，λ＋μ＋η＝1. 因为DO →＝－OD →

，所以x ＋y ＋z ＝－1.故选B.

6．已知f (n )＝32n ＋

2－8n －9，存在正整数m ，使n ∈N *时，能使m 整除f (n )，则m 的最大值为

( ) A ．24 B ．32 C ．48 D ．64

答案 D

解析由f (1)＝64，f (2)＝704＝11×64，f (3)＝6 528＝102×64，所以f (1)，f (2)，f (3)均能被64整除，猜想f (n )能被64整除．下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，由上得证；

②假设当n ＝k (k ∈N *)时，f (k )＝32k ＋

2－8k －9＝9k ＋

1－8k －9能被64整除，

则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝9(k

＋1)＋1

－8(k ＋1)－9＝9×9k ＋

1－8k －17＝9f (k )＋64(k ＋1)．

由归纳假设，f (k )是64的倍数，又64(k ＋1)是64的倍数，所以f (k ＋1)能被64整除，所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立．因为f (1)不能被大于64的数整除，所以所求m 的最大值等于64.故选D. 二、填空题

7．如图所示的是由火柴棒拼成的一列图形，第n 个图形由n 个正方形组成，

通过观察可以发现第4个图形中，火柴棒有________根；第n 个图形中，火柴棒有________根．

答案 13,3n ＋1

解析易得第四个图形中有13根火柴棒，通过观察可得，每增加一个正方形，需增加三根火柴棒，所以第n 个图形中的火柴棒为4＋3(n －1)＝3n ＋1.

8．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为________．答案 n 2＋n ＋22

解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋2

个区域．

9．(2014·课标全国Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此判断乙去过的城市为________．答案 A

解析由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A.

10．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23???

5，33??

???

，

?????

1719

，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m ＝________.

答案 8

解析由已知可观察出m 3可分裂为m 个连续奇数，最小的一个为(m －1)m ＋1.当m ＝8时，最小的数为57，第二个便是59.所以m ＝8. 三、解答题

11．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4

b 2＋1－2m ＝0.

(1)求证：1a 2＋4b 2≥9

a 2＋

b 2；

(2)求证：m ≥7

证明 (1)(分析法)要证1a 2＋4b 2≥9

a 2＋

b 2成立，

只需证(1a 2＋4

b 2)(a 2＋b 2)≥9，

即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2

b 2≥9，

即证b 2a 2＋4a 2

2≥4.

根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2

b 2≥2

b 2a 2·4a 2

b 2

＝4成立，所以原不等式成立．

(2)(综合法)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4

b 2＝2m －1，

由(1)，知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2－5m －7≥0，解得m ≤－1或m ≥7

又∵a 2＋b 2＝m －2>0 ∴m >2,故m ≤－1舍去， ∴m ≥72

12．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>a

对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并

证明结论．

解方法一当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a

24，

即2624>a

，所以a <26. 而a 是正整数，所以取a ＝25，下面用数学归纳法证明 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. ①当n ＝1时，已证得不等式成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即

1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>25

. 则当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1

3(k ＋1)＋1

＝

1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1>2524＋[13k ＋2＋13k ＋4－2

3(k ＋1)

]．因为13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)

＝

6(k ＋1)(3k ＋2)(3k ＋4)－2

3(k ＋1)

＝18(k ＋1)2－2(9k 2＋18k ＋8)(3k ＋2)(3k ＋4)(3k ＋3)

＝

(3k ＋2)(3k ＋4)(3k ＋3)

>0，

所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．

由①②知，对一切正整数n ，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>25

24，

所以正整数a 的最大值为25.

方法二设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1

3n ＋1

则f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋2＋13n ＋3＋13n ＋4－1

n ＋1

＝

13n ＋2＋13n ＋4－23n ＋3＝2

(3n ＋2)(3n ＋4)(3n ＋3)

>0， ∴数列{f (n )}为递增数列， ∴f (n )min ＝f (1)＝12＋13＋14＝26

，

∴

n＋1

＋

n＋2

＋

n＋3

＋…＋

3n＋1

24对一切正整数n都成立可转化为

24<

24，

∴a<26.

故正整数a的最大值为25.

高考数学理试题分类汇编.doc

高考数学理试题分类汇编----立体几何一、已给三视图求立体图形的体积/表面积 1、（2016年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A. B. C. D. 【答案】A 2、（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（A ）π3 2+31 （B ）π32+ 31 （C ）π62+31 （D ）π62 +1 【答案】C 3、（2016年全国I 高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径. 若 16131 2 1

该几何体的体积是28π 3 ，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A 4、（2016年全国II 高考）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C 5、（2016年全国III 高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

（A ）（B ）（C ） 90 （ D ）81 【答案】B 6、（2016年四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________． 7、（2016年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3 . 【答案】2 二．求值 8、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2 ，体积是 cm 3. 18+54+

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1，侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是（） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

(完整word版)2019年高考数学理科试卷全国一卷Word版和PDF版。

2019年高考理科数学全国一卷一、单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。 1．已知集合M={x |-4＜x ＜2}，N={x | -x -6＜0}，则M∩U = A{x |-4＜x ＜3} B{x |-4＜x ＜-2} C{x |-2＜x ＜2} D{x |2＜x ＜3} 2．设复数z 满足|z -i|=1，z 在复平面内对应的点为(x ，y)，则 A B C D 3．已知a =2.0log 2，b =2.02,c =3 .02 .0,则 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜b D.b ＜c ＜a 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是 ??? ? ??≈称之为黄金分割.618.021 -521-5，著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 2 1 -5 。若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 5．函数()][ππ，的-cos sin 2 x x x x x f ++= 图像大致为 A B C D 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的６个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“- -”，右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有３个阳爻的概率是 A. 165 B.3211 C.3221 D.16 11 7．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 A. 6π B.3π C.32π D.6 5π

2015高考数学专题复习：函数零点

2015高考数学专题复习：函数零点函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标． ()x g x f y -=)(的零点（个数）?函数()x g x f y -=)(的图像与x 轴的交点横坐标（个数） ?方程()()0=-x g x f 即()x g x f =)(的实数根（个数） ?函数)(x f y =与)(x g y =图像的交点横坐标（个数） 1.求下列函数的零点 1.232-+=x x y 2.x y 2log = 3.62 -+=x x y 4.1ln -=x y 5.2 1sin + =x y 2.函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为 3.函数()x f =???>-≤-+) 0(2ln ) 0(322x x x x x 的零点个数为 4.函数() () ???>+-≤-=13.41.44)(2x x x x x x f 的图像和函数()ln g x x =的图像的交点个数是（） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 5.函数5 ()3f x x x =+-的零点所在区间为 ( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[2,3] D ．[3,4] 6.函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为（） A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 7.函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为（） A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6) 8.方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是 9.函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是（） A ．()21， B ．()32， C ．()43， D ．()54， 10.若函数2 ()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______

高考数学大题练习

高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2）（1）若a ⊥b ，求tan θ的值；（2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分）在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小；（2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值；（2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由：（3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值；（3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围.

2018届高考数学立体几何(理科)专题02-二面角

2018届高考数学立体几何（理科）专题02 二面角 1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1,90A A AB ABC =∠=?侧面11A ABB ⊥底面ABC . (1)求证： 1AB ⊥平面1A BC ； (2)若15360AC BC A AB ==∠=?，，,求二面角11B A C C --的余弦值.

2．如图所示的多面体中，下底面平行四边形与上底面平行，且，,，，平面平面，点为的中点．（1）过点作一个平面与平面平行，并说明理由；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 2AB AD =， BD =，且PD ⊥底面ABCD . （1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）若Q 为PC 的中点，且1AP BQ ?=u u u v u u u v ，求二面角Q BD C --的大小.

4．如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面. （1）求证：；（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.

5．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点. （1）求证： //EF 平面PCD ；（2）若0 ,120,AD AP PB APB ==∠=，求平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值.

6．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形, ,90AD BC ADC ∠=o P ,平面PAD ⊥底面ABCD , Q 为AD 中点, M 是棱PC 上的点, 1 2,1,2 PA PD BC AD CD === ==（Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点,求证: PA P 平面BMQ ; （Ⅱ）求证:平面PQB ⊥平面PAD ; （Ⅲ）若二面角M BQ C --为30o ,设PM tMC =,试确定t 的值.

2018年新课标Ⅰ卷高考数学理试题有答案【2020新】

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ． 1 2 C ．1 D ．2 2．已知集合{} 2 20A x x x =-->，则A =R e A ．{} 12x x -<< B ．{} 12x x -≤≤ C ．}{}{ |1|2x x x x <->U D ．}{}{ |1|2x x x x ≤-≥U 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r A ．3144 AB AC - u u u r u u u r B ．1344 AB AC -u u u r u u u r C ．3144 AB AC +u u u r u u u r D ．1344 AB AC +u u u r u u u r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．设抛物线C ：y 2 =4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ?≤=? >?，，，， ()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞） 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则

2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习(各种专题训练)Word版

2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一．课标要求： 1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?；记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：