奥数 二年级 讲义 小二教案 第九讲 整数的分拆
第九讲整数的分拆
例1小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示．他们每人打了两发子弹．小兵共打中6环，小军共打中5环．又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发．你知道他俩打中的都是哪几环吗?
解：已知小兵两发子弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆6＝1+5＝2+4；同理，要求小军每次打中的环数，可将5分拆5＝l+l＝2+3．
由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：
小兵打中的是l环和5环，小军打中的是2环和3环．
例2某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想买7分钱的一件商品，他应如何付款?买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢?他又将如何付款?
解：这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进行分拆． 7＝1+2+4
9＝1+8
10＝2+8
13＝1+4+8
14＝2+4+8
15＝1+2+4+8
∴外星人可按以上方式付款．
例3 有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好．现有200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案．
解：可以这样想：因为200的个位数是0，又知只有5个8相加才能使和的个位数字为0，这就是说，可以把200分成5个数，每个数的个位数字都应是8．
这样由8×5＝40及200－40＝160，
可知再由两个8作十位数字可得80×2＝160即可．
最后得到下式：88+88+8+8+8＝200．
例4试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和．
解：1＝l×l＝12－1 (特例)
4＝2×2＝22==1+3
9＝3×3==32＝1+3+5
16＝4×4＝42＝1+3+5+7
25＝5×5＝52＝1+3+5+7+9
36=6×6=62＝1+3+5+7+9+11
49＝7×7＝72＝1+3+5+7+9+11+13
64＝8×8＝82
＝1+3+5+7+9+11+13+15
81＝9×9＝92
＝1+3+5+7+9+11+13+15+17
100＝10×10＝102
＝1+3+5+7+9+11+13+15+17+19．
观察上述各式，可得出如下猜想：
一个完全平方数可以写成从l开始的若干连续奇数之和，这个平方数就等于奇数个数的自乘积(平方)．
检验：把11×11＝121，和12×12＝144，两个完全平方数分拆，看其是否符合上述猜想．
121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+2l
144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23
结论：上述猜想对121和144两个完全平方数是正确的．
例5 从l～9九个数中选取，将1l写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法?
解：将1～9的九个自然数从小到大排成一列：
1，2，3，4，5，6，7，8，9．
分析先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求．
但用次大的2和最大的9相加，和为11符合要求，得11＝2+9．
逐个做下去，可得11＝3+8，1l＝4+7，11＝5+6．
可见共有4种不同的写法．
例6将12分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请把它们一一列出．
解：可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的自然数之和，三个数中最小的数应为1，其次是2，那么第三个数就应是9得：12＝1+2+9．
下面进行变化，如从9中取1加到2上，
又得12＝1+3+8．
继续按类似方法变化，可得下列各式：
12＝1+4+7＝2+3+7，
12＝1+5+6＝2+4+6，
12＝3+4+5．
共有7种不同的分拆方式．、
例7将21分拆成四个不同的自然数相加之和，但四个自然数只能从l～9中选取，问共有多少种不同的分拆方式，请你一一列出．
解：也可以先从最大的数9考虑选取，其次选8，算一算21－(9+8)=4，所以接着只能
选3和1．这样就可以得出第一个分拆式：21＝9+8+3+1，
以这个分拆式为基础按顺序进行调整，就可以得出所有的不同分拆方式：
以9开头的分拆方式有6种
以8开头的分拆方式有4种
21＝7+6+5+3} 以7开头的分拆方式有1种
∴共有11种不同的分拆方式．
例8 从1～12这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同的自然数之和．解：
以12开头的分拆方式共10种
以ll开头的分拆方式共10种
以10开头的分拆方式共8种
以9开头的分拆方式共4种
26＝8+7+6+5} 以8开头的分拆方式共1种
不同的分拆方式总数为：
10+10+8+4+1＝33种．
总结：由例4明显看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆过程按一定的顺序进行．
习题九
1．把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出． 2．将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出． 3．将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请一一列出． 4．将15分拆成不大于9的四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出．
5．将15分拆成四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出．
6．把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法?(此题是美国小学数学奥林匹克试题)．
7．七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果．现在要从这七只箱子里取出87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法? 8．把100个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头的数目都带有6字，想想看，应该怎样分?
9．把1000个鸡蛋放到五只筐子里，每只筐子里的鸡蛋数都由数字8组成，请你想一想该怎样分?
10．美国硬币有1分、5分、10分和25分四种．现有10枚硬币价值是1元钱，其中有3枚25分的硬币．问余下的硬币有哪几种，每种各有多少枚?(此题是美国小学数学奥林匹克试题)．
11．(1，1，8)是一个和为10的三元自然数组．如果不考虑数字排列的顺序，即把(1，1，8)与(1，8，1)及(8，1，1)看成是相同的三元自然组．那么和为IO的自然数组共有多少个?
习题九题答
1．解：共有2种不同的分拆方式：
15==9+6
15＝8+7
2．解：共8种．
15＝9+5+1 15＝7+6+2
＝9+4+2 ＝7+5+3
15＝8+6+1 15＝6+5+4
＝8+5+2
＝8+4+3
3．解：共12种．
15＝12+2+1 15＝8+6+l
15＝ll+3+l ＝8+5+2
15＝10+4+l ＝8+4+3
＝10+3+2 15＝7+6+2
15＝9+5+1 ＝7+5+3
＝9+4+2 15＝6+5+4
4．解：共6种．
15＝9+3+2+1
15＝8+4+2+1
15＝7+5+2+l
＝7+4+3+l
15＝6+5+3+1
＝6+4+3+2
5．解：同第4题答案．
6．解：同第4题答案．
7．解：可这样想：总数要87个，最先取数最多的一箱64个苹果，这样还差87－64＝23个苹果；再取则不能取装有32个苹果的那箱，只能取装有16个的那箱，这样还差23－16＝7个苹果；再取装有1个、2个、4个的三箱苹果，正好：
87＝64+16+4+2+1．．
8．解：从已有经验中可知6×6＝36，这样就可以把每个盒里装6个馒头，共装6个盒，还有一个盒装100－36＝64个馒头．64个这个数，刚好含有数字6，满足题目要求．即得100＝64+6+6+6+6+6+6．
9．解：仿例7解法，得下列分拆式：
1000＝888+88+8+8+8．
10．解：由于有3枚25分的硬币，它们的价值是：
25×3＝75(分)．
所以其余的7枚硬币的价值是：
100－75＝25(分)．
将25分拆成7个数之和，(注意没有各数不同的限制)
25＝1+1+1+1+1+10+10．
所以这7枚硬币是5枚1分，2枚10分．
11．解：共8个．它们是(1，1，8)，(1，2，7)，(1，3，6)，(1，4，5),(2，2，6)，(2，3，5)，(2，4，4)，(3，3，4)．