答案：1，1＋ 2
8．函数f (x )＝ln x ＋3x －2的零点个数是________．
解析：由f (x )＝ln x ＋3x －2＝0，得ln x ＝2－3x ，设g (x )＝ln x ，
h (x )＝2－3x ，图象如图所示，两个函数的图象有一个交点，故函数f (x )＝ln x ＋3x －2有一个零点．
答案：1
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f (x )＝－x 2＋2x －1；
(2)f (x )＝x 4－x 2；
(3)f (x )＝4x ＋5；
(4)f (x )＝log 3(x ＋1)．
解：(1)令－x 2＋2x －1＝0，解得x 1＝x 2＝1，
所以函数f (x )＝－x 2＋2x －1的零点为1.
(2)因为f (x )＝x 2(x －1)(x ＋1)＝0，
所以x ＝0或x ＝1或x ＝－1，
故函数f (x )＝x 4－x 2的零点为0，－1和1.
(3)令4x ＋5＝0，则4x ＝－5＜0，
∵4x ＞0恒成立，∴方程4x ＋5＝0无实数解．
所以函数f (x )＝4x ＋5不存在零点．
(4)令log 3(x ＋1)＝0，解得x ＝0，
所以函数f (x )＝log 3(x ＋1)的零点为0.
10．已知函数f (x )＝2x －x 2，问方程f (x )＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？
解：有解．因为f (－1)＝2－1－(－1)2＝－12
＜0， f (0)＝20－02＝1＞0，
且函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1，0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解．
B级——面向全国卷高考高分练
1．函数f(x)＝x3－4x的零点为()
A．(0，0)，(2，0)B．(－2，0)，(0，0)，(2，0)
C．－2，0，2 D．0，2
解析：选C令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.
2．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是()
A．a＞0 B．a≤0
C．a≥0 D．a＜0
解析：选B函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0.
3．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1，2)上的零点()
A．至多有一个B．有一个或两个
C．有且仅有一个D．一个也没有
解析：选C若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若f(x)在(1，2)上有两个零点，则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．故选C.
4．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为()
A．(0，2) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选C令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log32
3
＜0，f(3)＝log33＋3－3
＝1＞0，那么方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2，3)．
5．函数f(x)＝|x－2|－ln x的零点的个数为________．
解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，函数f(x)在(0，
＋∞)内的零点就是方程|x－2|－ln x＝0的根．令y1＝|x－2|，y2＝ln
x(x>0)，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，由图知，两个函数图象有两个交点，故方程|x－2|－ln x＝0有2个根，即对应函数有2个零点．
答案：2
6．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.
答案：30
7．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点．
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
解：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4.
故b的取值范围为(4，＋∞)．
C级——拓展探索性题目应用练
已知函数f (x )＝log 12x ＋
12x －172
. (1)用单调性的定义证明：f (x )在定义域上是单调函数；
(2)证明：f (x )有零点；
(3)设f (x )的零点x 0落在区间???
?1n ＋1，1n 内，求正整数n 的值． 解：(1)证明：显然，f (x )的定义域为(0，＋∞)．
任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，不妨设x 10，x 1x 2>0，则12x 1－12x 2＝x 2－x 12x 1x 2
>0，log 12x 1>log 12x 2，即log 12x 1－log 12x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)＝(log 12x 1－log 12
x 2)＋????12x 1－12x 2>0，所以f (x 1)>f (x 2)．故f (x )在定义域(0，＋∞)上是减函数．
(2)证明：因为f (1)＝0＋12－172＝－8<0，f ????116＝4＋8－172＝72
>0，所以f (1)·f ????116<0，又因为f (x )在区间????116，1上是连续的，所以f (x )有零点．
(3)f ????111＝log 12
111＋112－172 ＝log 211－3>log 28－3＝0，
f ????110＝lo
g 12
110＋5－172 ＝log 210－72＝log 25－52
＝log 225－log 232<0，
所以f ????110f ????111<0，
所以f (x )的零点x 0落在区间????111，110内．故n ＝10.
