2014美国数学竞赛AMC10A10B试题及答案

1 / 12

2 / 12

3 / 12

4 / 12

5 / 12

答案：1. C

2. E

3. E

4. B

5. A

2014年广东省高中数学竞赛试题

2014年广东省高中数学竞赛试题 （考试时间：2014年6月21日上午10：00－11：20） 注意事项： 1．本试卷共二大题，全卷满分120分。 2．用圆珠笔或钢笔作答。 3．解题书写不要超过装订线。 4．不能使用计算器。 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上． 1．设集合{} {}2,1,02-==+=B ax x A ，满足B A ?，则实数a 的所有取值为 ． 2．袋中装有大小、形状相同的5个红球，6个黑球，7个白球，现在从中任意摸出14个球，刚好摸到3个红球的概率是 ． 3．复数()+∈? ?? ? ??+N n i n 62321的值是 ． 4．已知???≤-≤-≤+≤. 11,31y x y x 则y x 322 -的最大值是 ． 5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足：343,1432132==-a a a a a ，则数列{}n a 的通项公式为 ． 6．已知α为锐角，向量()()1,1,sin ,cos -==αα满足3 2 2= ?b a ，则 =?? ? ? ? + 125sin πα ． 7．若方程022 2 =++--a x y xy x 表示两条直线，则a 的值是 ． 8．已知( ) 21 221 b a +=+， 其中a 和b 为正整数，则b 与27的最大公约数是 ．

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分） 矩形ABCD中，4 ,2= =AD AB，F E,分别在BC AD, 上，且3 ,1= =BF AE，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上．求二面角F DE A- -的大小．

2014年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试 一、选择题： 1．已知x ，y 为整数，且满足(1x ＋1y ) (1x 2＋1y 2)＝－23(1x 4－1y 4)，则x ＋y 的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．已知非负实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则t ＝2xy ＋yz ＋2xz 的最大值为（ ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225 3．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，BE ⊥AC 于E ，交AD 于P ，已知BP ＝3，PE ＝1，则AE ＝（ ） A ．62 B ．2 C ．3 D ．6 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（ ） A ．12 B ．25 C ．23 D ．34 5．设[t ]表示不超过实数t 的最大整数，令{t }＝t －[t ].已知实数x 满足x 3＋1x 3＝18，则 {x }＋{1x }＝（ ） A ．12 B ．3－5 C ．12 (3－5) D ．1 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝1，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, ∠ADE ＝90° ,则BE 的长为（ ） A ．4－23 B ．2－3 C ．12 (3－1) D ．3－1 二、填空题： 1．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1， 1 a ＋b －c ＋ 1 a ＋c －b ＋ 1 b ＋c －a ＝1，则abc ＝__ 2．使得不等式917＜n n ＋k ＜815 对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为________． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB ＝BC ，∠BPC ＝108°，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则∠P AC ＝________．

2014全国数学竞赛初三决赛试卷

2014年全国初中数学联赛决赛试卷 含参考答案 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441 111211()()()3x y x y x y ++=--，则x y +的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答】 C. 由已知等式得2244 224423x y x y x y xy x y x y ++-?=?，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数， 可求得12, x y =-??=?，或21.x y =-??=?，所以1x y +=或1x y +=-. 因此，x y +的可能的值有3个. 2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225 【答】 A. 21222()2()()4 t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++ 212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734()477 x =--+， 易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值47 . 3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝ （ ） A ．2 B C D 【答】 B . 因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ?=?=，又2B C B D =， 所以BD = DP =.

2014年全国数学竞赛初三决赛试题(含答案)

2014年全国初中数学联赛决赛试题 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441 111211 ()()()3x y x y x y + +=--，则x y +的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答】 C. 由已知等式得2244 224423x y x y x y xy x y x y ++-?=?，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y =-??=? ，或21.x y =-??=?， 所以1 x y +=或1x y +=-. 因此，x y +的可能的值有3个. 2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ． 47 B ．59 C ．916 D ．12 25 【答】 A. 21 222()2()()4 t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++ 212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734 ()477x =--+， 易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值4 7 . 3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝ （ ） A ． 6 2 B ．2 C ．3 D ．6 【答】 B. 因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ?=?=，又2BC BD =，所以6BD = ，所以3DP =. 又易知△AEP ∽△BDP ，所以 AE PE BD DP = ，从而可得1623 PE AE BD DP =?=?=. 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可 以作为三角形的三边长的概率是 （ ）

2014年全国高中数学联赛A卷真题word版

一试 一、填空题 1. 若正数b a ,满足()b a b a +=+=+632log log 3log 2，则b a 11+的值为________. 2. 设集合??????≤≤≤+213b a b a 中的最大元素与最小元素分别为m M ,，则m M -的值为__________. 3. 若函数()12-+=x a x x f 在[)+∞,0上单调递增，则实数a 的取值范围是__________. 4. 数列{}n a 满足21=a ，()() *+∈++=N n a n n a n n 1221，则=+++2013212014a a a a Λ . 5. 正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，N M ,分别是边BC AB ,的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是__________. 6. 设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,.若212F F PF =，且1143QF PF =,则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________. 7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I .若点P 满足1=PI ，则APB ?与APC ?的面积之比的最大值为__________. 8. 设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以2 1的概率在每对边之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为__________. 二、解答题 9. 平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件： 过P 可作抛物线x y 42=的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直. 设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为R Q ,. （1）证明R 是一个定点； （2）求 QR PQ 的最小值. 10. 数列{}n a 满足61π =a ，()n n a a sec arctan 1=+()*∈N n .求正整数m ，使得 1001sin sin sin 21= ???m a a a Λ. 11. 确定所有的复数α，使得对任意复数21,z z () 2121,1,z z z z ≠<，均有 ()()222121z z z z αααα++≠++.

2014年全国初中数学竞赛试题及答案

初三数学竞赛试题中国教育学会中学数学教学专业委员会 2014年全国初中数学竞赛试题 题号 一 二 三 总分 1～5 6～10 11 12 13 14 得分 评卷人 复查人 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交． 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分．每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．设非零实数，，满足则的值为（）．（A） （B） （C） （D） 2．已知关于的不等式组 恰有个整数解，则的取值范围是（）．（A）＜＜ （B）≤＜ （C）＜≤ （D）≤≤ （A）OD （B）OE （C）DE （D）AC （A）3 （B）4 （C）6 （D）8

5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为： ， 且，则的值为（）． （A） （B） （C） （D） 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．设，是的小数部分，是的小数部分，则的值为． 7．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是． 8．已知正整数a，b，c满足，，则的最大值为． 11．如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线与轴交于点D．求∠DBC∠CBE． 12．设△的外心、垂心分别为，若共圆，对于所有的△，求所有可能的度数． 14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数，满足对任意一个正整数m，在中都至少有一个为m的魔术数． 中国教育学会中学数学教学专业委员会 2013年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题 1．A

2014届八年级全国数学竞赛赛前专项训练_命题及三角形边角不等关系(详解)

初中数学竞赛专项训练 （命题及三角形边角不等关系） 一、选择题： 1、如图8-1，已知AB ＝10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作两个等边三角形APC 和BPD ，则线段CD 的长度的最小值是 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. )15(5- 2、如图8-2，四边形ABCD 中∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝8，AB ＝7， 则BC ＋CD 等于 （ ） A. 36 B. 53 C. 43 D. 33 3、如图8-3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝9，AB ＝6，CD ＝4，若EF ∥BC ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，则EF 的长为 （ ） A. 745 B. 533 C. 539 D. 215 4、已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C 且α＝A+B ，β＝C+A ，γ＝C+B ，则α、β、γ中，锐角的个数最多为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 5、如图8-4，矩形ABCD 的长AD ＝9cm ，宽AB ＝3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别为 （ ） A. 4cm cm 10 B. 5cm cm 10 C. 4cm cm 32 D. 5cm cm 32 6、一个三角形的三边长分别为a ，a ，b ，另一个三角形的三边长分别为a ，b ，b ，其中a>b ，若两个三角形的最小内角相等，则b a 的值等于 （ ） A. 213+ B. 215+ C. 2 23+ D. 225+ 7、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是 （ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 8、若函数)0(>=k kx y 与函数x y 1= 的图象相交于A ，C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则△ABC 的面积为 （ ） A. 1 B. 2 C. k D. k 2 二、填空题 1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d ，另一组对边的长分别为a ，b ，则d 与 2b a +的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿ 60° A B C D A C D P 图8-1 图8-2 图8-3 图8-4

2014年全国初中数学竞赛试题和答案解析

2014年全国初中数学竞赛试题和答案解析 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441 111211 ()()()3x y x y x y + +=--，则x y +的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答】 C. 由已知等式得2244 224423x y x y x y xy x y x y ++-?=?，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4 x y +- =-.又,x y 为整数，可求得12, x y =-??=?， 或21.x y =-??=? ， 所以1x y +=或1x y +=-. 因此，x y +的可能的值有3个. 2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ． 47 B ．59 C ．916 D ．12 25 【答】 A. 21 222()2()()4 t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++ 212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734 ()477x =--+， 易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值4 7 . 3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知 3BP =，1PE =，则AE ＝ （ ） A B C D 【答】 B . 因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ?=?=，又2BC BD = ，所以BD = DP =.

2014全国大学生数学建模竞赛A题获奖论文

承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期：年月日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 摘要 在进行载人登月或月面勘测时，需要使飞行器实现月面软着陆以保证人员或设备的安全，但关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。本文通过物理中的力学知识以及协方差分析等方法，进行了合理的轨道设计及优化。 针对问题一，对嫦娥三号软着陆的轨道以及六个阶段进行分析，通过机械能守恒定律、开普勒三定律等力学知识，建立了动力学模型。因为嫦娥三号绕月球运行的轨道是偏心率很小的椭圆，所以可以近似看作圆周轨道运动，然后迅速减速进入椭圆轨道，由动能改变量等于重力势能改变量及开普勒第二定律，算出着陆器在近月点与远月点的速度大小分别是1.69km/s和1.633km/s，方向沿运行轨道切线方向。然后根据质点运动学知识求出近月点与着陆点水平距离，进而利用坐标正反算软件算出近月点的经纬度为18.63W,40.83N，进而由空间解析几何知识得出了远月点的坐标（1323.67，1216.08，627.037），并采用Matlab软件画出近月点和远月点在三维空间中的示意图。 针对问题二，嫦娥三号着陆轨道近月点和远月点的位置以及相应速度的大小与方向确定后，需要描述的是嫦娥三号软着陆过程中在不同阶段的运动状态，进而确定出嫦娥三号着陆轨道。由于轨道的设计要以燃料消耗最优为出发点，所以 可以在Matlab的平台上采用SFLA[]1优化方法，建立优化模型。将软着陆的动力 学方程做归一处理，经过将软着陆轨道离散化，从而将轨道优化问题转变为参数优化问题。通过仿真实验，作出嫦娥三号在软着陆过程中径向速度、推力控制角以及月心距的变化曲线，即设计出了最优软着陆轨道。 针对问题三，在一般的发射任务中，软着陆轨道修正都会选取将着陆器送到满足要求的目标轨道上（例如形成满足条件的环月轨道）的方式，而并非送到目标点上，这是因为后者需要选择合适的目标点使得轨道修正的能耗不会太大，且着陆器还需要在目标点进行变轨从而使得实际轨道与标称轨道重合。考虑到轨道参数的误差相对于轨道参数的标称值是小量，因此可以将轨道运动方程进行线性化，从而得到能够反映轨道参数偏差量的传播关系的误差方程。因此该问题采用协方差分析的方法，将着陆器发动机的一些技术指标的误差作为待考察的随机误差源，通过考虑嫦娥三号的运动轨迹进而评估位置误差和速度误差对飞行轨道的影响。最后，通过对变量F的敏感性分析，当F在1500N到6000N时，位移变化较小，运动轨迹影响较小，因此变量F对运动轨迹不敏感；当F在6000N到7500N时，位移变化较大，对运动轨迹影响较大，因此变量F对运动轨迹比较敏感。 通过仿真计算等验证，说明了建立的模型和计算结果都是可靠的。 关键词：动力学模型，轨道优化，混合蛙跳算法，协方差分析法

2014年全国高中数学联赛试题及答案

2014年全国高中数学联赛(B 卷) 一 试 一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数 x x x f 3245)(---=的值域是 . 2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 . 3. 双曲线122 =-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个 数是 . 4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中352211 3,,1,3b a b a b a ====，且存在常 数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα . 5. 函数 )1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值 是 . 6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获 胜概率是 . 7. 正三棱柱 111C B A ABC -的 9条棱长都相等， P 是1CC 的中点，二面角α =--11B P A B ,则 =αsin . 8. 方程2010=++ z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分） 9. （16分）已知函数 )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值. 10.（20分）已知抛物线 x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ?面积的最大值. 11.（20分）证明：方程02523 =-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得 +++=3215 2 a a a r r r . 解 答 1. ]3, 3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为 ]3,3[-.

2014年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题及详细解析(Word版)

2014年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷） 参考答案及评分标准 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。 1. 若正数b a ,满足)(log log 3log 2632b a b a +=+=+，则b a 1 1+的值为_________ 答案：108. 解：设k b a b a =+=+=+)(log log 3log 2632，则2 2 -=k a ，3 3-=k b ，k b a 6=+，从 而108323 26113232=?=?=+= +--k k k ab b a b a 。 2. 设集合}21|3 {≤≤≤+b a b a 中的最大元素与最小元素分别为M ，m ，则m M -的值 为___________ 答案：325-。 解：由21≤≤≤b a 知， 521 3 3=+≤+b a ，当1=a ，2=b 时，得最大元素5=M ，又323 3≥+≥+a a b a ，当3==b a 时，得最小元素32=m 。因此，325-=-m M 。 3. 若函数|1|)(2-+=x a x x f 在),0[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是________ 答案：]0,2[- 解：在),1[+∞上，a ax x x f -+=2 )(单调递增，等价于12 ≤- a ，即2-≥a 。在]1,0[上，a ax x x f +-=2)(单调递增，等价于 02 ≤a ，即0≤a ，因此实数a 的取值范围是]0,2[- 4. 数列}{n a 满足21=a ，*)(1) 2(21N n a n n a n n ∈++=+，则=+++2013 212014...a a a a _____ 答案： 2013 2015 。 解：由题设???=-?+=+= --2112)1(2)1(2n n n a n n n n a n n a )1(22 3212)1(211+=??????-?+=-n a n n n n n 记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则 )1(24232212++???+?+?+=-n S n n 所以)1(242322223 2 ++???+?+?+?=n S n n

2014年全国高中数学联赛试题及解答

全国高中数学联合竞赛试题（A 卷） 一试 一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+，则11 a b +的值为________． 答案：设连等式值为k ，则2 3 2 ,3 ,6k k k a b a b --==+=，可得答案108 分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过 2. 设集合3|12b a b a ?? +≤≤≤????中的最大元素与最小你别为,M m ，则M m -的值为______． 答案：33251b a +≤+= ，33 b a a a +≥+≥ ，均能取到，故答案为5-分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______． 答案：零点分类讨论去绝对值，答案[]2,0- 分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过 4. 数列{}n a 满足12a =，()()*1221n n n a a n N n ++=∈+，则 2014 122013a a a a =+++______． 答案：()1221 n n n a a n ++=+，迭乘得()121n n a n -=+，()212232421n n S n -=+?+?+++， 乘以公比错位相减，得2n n S n =，故答案为2015 2013 ． 分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前n 项和，集训队讲义专门训练并重点强调过 5. 正四棱锥P ABCD -中，侧面是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB BC 的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是________ ． 答案：OB 为公垂线方向向量，故距离为12OB =分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过 6. 设椭圆Γ的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点,P Q ．若212PF F F =，且1134PF QF =，则 椭圆Γ的短轴与长轴的比值为________． 答案：不妨设焦点在x 轴（画图方便），设114,3PF QF ==，焦距为2c ，224a c =+， 可得△2PQF 三边长为7,21,2c c + ，过2F 作高，利用勾股可得5c =． 分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关 7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足1PI =，则△APB 与△APC 的面积之 比的最大值为________． 答案：sin sin APB APC S PAB S PAC ∠=∠，又两角和为60 最大，即AP 与 (),1I 切于对称轴右侧

2014年第六届全国大学生数学竞赛非数学类试题

2014年全国大学生数学竞赛预赛试题 非数学类 一、 填空题(共有5小题，每题6分，共30分) 1. 已知x e y =1和x xe y =1是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是___ _________________________________ 2. 设有曲面222:y x z S +=和平面022:=++z y x L 。则与L 平行的S 的切平面方程是_______________________________ 3. 设函数)(x y y =由方程?-??? ??=x y dt t x 124sin π所确定。求==0x dx dy _______________ 4. 设∑=+=n k n k k x 1)! 1(。则=∞→n n x lim ______________________ 5. 已知310)(1lim e x x f x x x =??? ? ?++→。则=→20)(lim x x f x ____________________ 二、 （本题12分）设n 为正整数，计算?-?? ? ??=121ln cos πn e dx x dx d I 。

三、（本题14分）设函数) (" |。证 f |) A,使得B (x f在]1,0[上有二阶导数，且有正常数B x

明：对任意]1,0[∈x ，有2 2|)('|B A x f +≤。 四、 （本题14分）（1）设一球缺高为h ，所在球半径为R 。证明该球缺体积为2)3(3h h R -π 。

球冠面积为Rh π2；（2）设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截得小球缺为Ω，记球冠为∑，方向指向球外。求第二型曲面积分 ??∑++=zdxdy ydzdx xdydz I 五、 （本题15 分）设f 在],[b a 上非负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得

2014年全国初中数学竞赛试题和答案解析

2014年全国初中数学竞赛试题和答案分析 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441 111211 ()()()3x y x y x y + +=--，则x y +的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答】 C. 由已知等式得2244 224423x y x y x y xy x y x y ++-?=?，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12, x y =-?? =?， 或 21.x y =-??=? ， 所以1x y +=或1x y +=-. 因此，x y +的可能的值有3个. 2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ． 47 B ．59 C ．916 D ．12 25 【答】 A. 21 222()2()()4 t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++ 212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734 ()477x =--+， 易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值4 7 . 3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知 3BP =，1PE =，则AE ＝ （ ） A ． 6 2 B 2 C 3 D 6 【答】 B . 因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ?=?=，又2BC BD =，所以6BD = 3DP =.

2014年全国高中数学联赛试题及标准答案

201４年全国高中数学联赛（B 卷) 一 试 一、填空题(每小题8分,共64分，) 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 . 2. 已知函数 x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 ． 3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点(纵横坐标均为整数的点）的个数是 . 4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常 数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ,则=+βα . 5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正三棱柱 111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin . 8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ，z ）的个数是 . 二、解答题(本题满分５６分） 9. （16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ,当10≤≤x 时，1)(≤'x f ,试求a 的最大值． 1０.(20分)已知抛物线 x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ?面积的最大值． 11．（2０分)证明:方程02523=-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得 +++=3215 2a a a r r r . 解 答 1. ]3,3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为 ]3,3[-.

2014年全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 2014年全国初中数学竞赛试题 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交． 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分．每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=??++=?，，则222 ab bc ca a b c ++++的值为（ ）． （A ）1 2 - （B ）0 （C ）12 （D ）1 2．已知关于x 的不等式组 25 533 2 x x x t x +?->-??+?-

3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不．一定．． 是有理数的为（ ）． （A ）OD （B ）OE （C ）DE （D ）AC 4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）． （A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8 5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为： ()() 322333 3345 1160 x y x y xy x y x y +++*= +++-， 且()x y z x y z **=**，则2013201232**** 的值为（ ）． （A ） 607 967 （B ） 1821 967 （C ） 5463 967 （D ） 16389 967 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．设a =b 是a 的小数部分，c 是2a 的小数部分，则(4)b b c ++的值为 ． 7．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是 ． 8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ． 9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一 元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，， a b c d 为 ． 10++ …的值为 ．

2014年全国初中数学竞赛预赛试题及答案

2014年全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案 （竞赛时间：2014年3月2日上午9:00--11:00） 一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分）以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则的值为【】 （A）2013 （B）2014 （C）2015 （D）0 【答】D． 解：最大的负整数是－1，∴=－1； 绝对值最小的有理数是0，∴=0； 倒数等于它本身的自然数是1，∴=1. ∴= =0. 2. 已知实数满足则代数式的值是【】 （A）（B）3 （C）（D）7 【答】A． 解：两式相减得 3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN在图2中的对应线段是【】 （A）（B）（C）（D） 【答】C． 解：将图1中的平 面图折成正方体，MN 和线段c重合.不妨设 图1中完整的正方形 为完整面，△AMN和 △ABM所在的面为组合 面，则△AMN和△ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图2，首先确定B点，所以线段d与AM重合，MN与线段c重合.

4. 已知二次函数的图象如图所示，则下列7个代数式，，，，，，中，其值为正的式子的个数为【】 （ A ） 2 个 （ B ）3个（C）4个（D）4个以上 【答】C． 解：由图象可得：，，，∴，，. 抛物线与轴有两个交点，∴.当=1时，，即. 当=时，，即.从图象可得，抛物线对称轴在直线=1的左边，即，∴.因此7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个. 5. 如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=2BO，当A 点在反比例函数（x>0）的图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式为【】（A）（x<0）（B）（x<0） （C）（x<0）（D）（x<0） 【答】B． 解：如图，分别过点分别做轴的垂线，那么∽，则，故.

全国数学竞赛预赛试题分类：数列

2014数学预赛试题分类：数列 天津3．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，并且对任意正整数n 成立243n n S S +=+，则2a 的值是（） (A)．2(B)．6(C)．2或6(D)．2或-6 天津9．数列｛n a ｝满足11,2n n n a a a n +-=+≥．若78a =，则1210a a a ++ +等于． 河北11、设{n a }是等差数列，且满足：①n a ∈N *，②项数≥3，③d>0，记{n a }所有项的和为S. （1）写出满足S=30的所有{n a }； （2）求证：对大于8的合数m ，总存在{n a }使得S=m. 河北14、数列{n a }满足：2 11,11 1- = =+n n a a a 。 （1）求证：3 2≥ n a ； （2）求证： 27 102< -n n a a . 山西1、将正整数数列1，2，3，…按如下方式自左至右分段，使得第一段有1×2个数，第二段有2 ×3个数，…，第n 段有n ×(n+1)个数，…，则2014位于第段。 山西10、数列{n a }，{n b }满足条件：n n n n n n b a b b a a b a +=+===++1111,2,1；证明：对每个 正整数n ，下式成立：（1） 2,2221212><--n n n n b a b a ； （2） 2211-<-++n n n n b a b a 辽宁5．正项数列{}n a 满足 *1212 111 1()n n n n n n n a a a a a a ++++++=∈N ，136a a +=，1a ，2a ，3a 单调递增且成等比数列，n S 为 {}n a 的前n 项和，则[]2014S 的值是（其中表示不超过实数的最 大整数）（） A ．5368 B ．5367 C ．5363 D ．5362 辽宁15．（本小题满分25分） 已知数列 {}n a 中，12a =，对于任意的*,p q ∈N ，有p q p q a a a +=+． （1）求数列 {}n a 的通项公式； （2）数列 {}n b 满足1 3124234(1)21212121 21 n n n n b b b b b a -= -+-++-+++++* ()n ∈N ，求数

2014年小学数学竞赛决赛试题及参考解答

2014年小学数学竞赛决赛试题及参考解答 1、计算 1371524816+++ = （ 1316 ） 2、计算。21411.123493927??+++÷ ?? ? = 300 。 3、五个分数341749100,,,,7935101201 中，第三大的分数是 49101 。 4、如图，取3π ，则阴影部分的面积是 114 。 5、将数字1,2,3,4,5,6 分别填入下列算式中的六个[ ]中，使算式成立。(此题有多个解，填入一个即可) [][]()[][][][]7?-÷-+= 解 此题有多个解，例如[][]()[][][][] [][]()[][][][][][]()[][][][] [][]()[][][][] 6725314175246327431566734215?-÷-+=?-÷-+=?-÷-+=?-÷-+= 6、由棱长为1厘米的若干个立方体堆成一个长、宽、高分别是11,9,7 （厘米）的长方体。将它的表面全部涂上红色，然后将只有一面是红色的立方体取出，再将取出的立方体堆成一个长宽高都不同的实心长方体。 那么，这个新的长方体的表面积的最大值是 862 平方厘米。 7、矿泉水、果汁、豆奶三种饮料共计180瓶。第一种取法是以瓶为单位刚好可以从中取出矿泉水的12 ，果汁的13 ，豆奶14 ，共计取出60瓶；第二种取法是以瓶为单位刚好可以从中取出矿泉水的14，果汁的13，豆奶的12 ，共计取出70瓶。那么，这180瓶饮料中，有果汁60 瓶。

8、甲组10人和乙组9人一起去看电影。这两组人中有14人各带一包花生米入场，与本组的人共同食用。看完电影后发现，这两组的总消费（电影票钱和花生米钱之和）相同。 如果电影票每张18元，花生米每包的价格以元为单位也是整数，那么，花生米每包的价格是9 元。 是9、语文书和数学书共有88本，分给甲、乙两班使用。甲班得到的书中有2 9 数学书，乙班得到的书中有13 是语文书。那么，语文书共有69 本。 16 10、一套机器由主机、马达和机座三个部件组装而成。车间一天可生产2件主机，5件马达和7件机座。生产一个主机的时间可生产3件马达或5件机座.。那么，生产380套机器，需时115 天。 11、快递公司的一辆货车前往某地送货，货车在高速路上以每小时108公里的速度行进。路旁有一条与高速路平行的铁路，上面有一列火车与货车同向匀速前进。货车从火车后边位置赶到火车前面位置用的时间是15.4秒。到达目的地后，货车以同一速度返回。路上又遇到了那一列火车正在保持原速度行进。这次，货车从火车的前面位置开到火车后边位置用的时间是1.4秒钟。那么，火车的长度是77 米。 12、一个四位数abcd，它的各位数字满足条件如下：322 -=。 c d -=，327 a b 那么,，abcd= 3521 。