当前位置：文档库 › 考研数学之高等数学加强课讲义(五)

考研数学之高等数学加强课讲义(五)

、

1lim 2n →∞+?

2、设函数f(x)在[-2,2]上二阶可导，且()1f x ≤，又()()22004f f '??+=??，

试证：在(-2,2)内至少存在一点ξ，使得()()0f f ξξ''+=

3、已知f(x)二阶可导，且f(x)>0，()()()()2

0f x f x f x x R '''??-≥∈??

(1)证明()()()2121212,2x x f x f x f x x R +??≥∈ ??? (2)若()01f =,证明()()()0f x f x e x R '≥∈

4、设f(x)为[-a,a]上连续的偶函数

(1)证明0()()1a a x a

f x dx f x dx e -=-?? (2)求622

sin 1x

x dx e π

π--? 5、设f(x)二阶可导，()0f x ''≥，g(x)为连续函数，若a>0，求证：

[]0011()()a a f g x dx f g x dx a a ??≥????

?? 6、若函数x y u xyf xy ??+=

???

，其中f 是可微函数，且()22,u u x y G x y u x y ??-=??，则函数G(x,y)= 7、求ln ln 0xy y y y x '''''-+=满足y(1)=2和()21y e '=的特

8、位于上半平面且图形凹的曲线y=y(x)在点(0,1)处的切线斜率为0，在点(2,2)处的切线斜率为1,

及()21y '+的乘积成正比，求该曲线方程。

考研高数基础练习题及答案解析

考研高数基础练习题及答案解析一、选择题： 1、首先讨论间断点： 1°当分母2?e?0时，x? 2x 2 ，且limf??，此为无穷间断点； 2ln2x? ln2x?0? 2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间断点。 x?0? 再讨论渐近线： 1°如上面所讨论的，limf??，则x? x? 2 ln2 2 为垂直渐近线； ln2 2°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。 x??? x???

当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。 2、f?|x4?x|sgn?|x| sgn?|x|。可见x??1为可导点，x?0和x?3为不可导点。 2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文： f???|??|，当xi?yj时为可导点，否则为不可导点。注意不可导点只与绝对值内的点有关。 ?x ,x?0? 设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是 ? ,x?0?0 x?0 1 2 3 limf?f?0，故f在x?0处连续。 f’?lim x?0

f?f ?0，故f在x?0处一阶可导。 x?0 当x?0时，f’?? ? ?x12x’ ‘????223 ?ln?lnlnxsgnx ? 12 ，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连续。?23x?0ln|x|ln|x|f’’?lim x?0 f’?f’ ??，故f在x?0处不二阶可导。 x?0 a b x?0 对?a,b?0，limxln|x|?0。这是我们反复强调的重要结论。 3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]内

2016考研高数基础精讲

江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷（江西师大附中使用）高三理科数学分析一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。二、亮点试题分析 1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC → → =，则A BA C →→ ?的最小值为（） A ．1 4- B ．12- C ．34- D ．1-

考研高等数学全面复习资料电子版

高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！目录一、函数与极限 ········································································错误!未指定书签。 1、集合的概念····································································错误!未指定书签。 2、常量与变量····································································错误!未指定书签。 2、函数·············································································错误!未指定书签。 3、函数的简单性态······························································错误!未指定书签。 4、反函数··········································································错误!未指定书签。 5、复合函数·······································································错误!未指定书签。 6、初等函数·······································································错误!未指定书签。 7、双曲函数及反双曲函数·····················································错误!未指定书签。 8、数列的极限····································································错误!未指定书签。 9、函数的极限····································································错误!未指定书签。 10、函数极限的运算规则 ······················································错误!未指定书签。

考研高数讲义新高等数学上册辅导讲义——第三章上课资料

第三章中值定理与导数的应用 ?????? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ?????????????? ??必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理第一节微分中值定理

极值:设) f在0x的某一邻域) (x U内有定义，若 (0x 对一切) ) ( (0x f≤,则 f≥)) x f ( U (0x x ( x∈有) f (0x ) 称) (x f的极f在0x取得极小（大）值，称0x是) (x 小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。费马引理：设) f在0x (x f'存在， (0x x=取极值，又)

则0)(0='x f 。在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。

驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。定理1（罗尔定理）：条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论：一定存在),(b a ∈ξ，

使得0)(='ξf 。几何意义：设AB 是（1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =；（2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线；（3）两端点纵坐标相等则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的．即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示）

考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤

第一讲极限与连续主要内容概括（略）重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限：（1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ；（2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π；（3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限：（1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限：（1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ；（2）n n n n !lim ∞ →；（3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限：（1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ；（2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限：（1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+；（3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++；（4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限：（1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→；（2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→；（3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ；（4）)tan 1 1(lim 220x x x -→；

经济类、管理类考研数学基础班课程讲义

《附件3》----2018届管理类考研数学基础班课程讲义导论一、管理类联考数学考试大纲管理类专业学位联考(MBA,MPA,MPAc等)综合能力考试数学部分要求考生具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力. 综合能力考试中的数学部分(75分)主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，以及分析问题和解决问题的能力，通过问题求解(15小题，每小题3分，共45分)和条件充分性判断(10小题，每小题3分，共30分)两种形式来测试. 数学部分试题涉及的数学知识范围有： (一)算术 1．整数 (1)整数及其运算(2)整除、公倍数、公约数(3)奇数、偶数(4)质数、合数 2. 分数、小数、百分数 3．比与比例 4．数轴与绝对值 (二)代数 1．整式 (1)整式及其运算(2)整式的因式与因式分解 2．分式及其运算 3．函数 (1)集合(2)一元二次函数及其图像(3)指数函数、对数函数 4．代数方程 (1)一元一次方程(2)一元二次方程(3)二元一次方程组 5．不等式 (1)不等式的性质(2)均值不等式(3)不等式求解：一元一次不等式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式. 6. 数列、等差数列、等比数列 (三)几何 1．平面图形 (1)三角形(2)四边形(矩形、平行四边形、梯形) (3)圆与扇形 2．空间几何体 (1)长方体(2)柱体(3)球体 3．平面解析几何 (1)平面直角坐标系(2)直线方程与圆的方程(3)两点间距离公式与点到直线的

距离公式 (四)数据分析 1. 计数原理 (1)加法原理、乘法原理 (2)排列与排列数 (3)组合与组合数 2．数据描述 (1)平均值 (2)方差与标准差 (3)数据的图表表示：直方图，饼图，数表 3．概率 (1)事件及其简单运算 (2)加法公式 (3)乘法公式 (4)古典概型 (5)伯努利概型二、数学基础两种考查题型数学基础共25道题，满分75分,有两种考查题型：第一种是问题求解，1-15题,每道小题3分,共45分；第二种是条件充分性判断，16-20题,每道小题3分,共30分. 两种考查形式说明如下： 1. 问题求解题型说明联考中的问题求解题型是我们大家非常熟悉的一般选择题，即要求考生从5个所列选项(A)、(B)、(C)、(D)、(E)中选择一个符合题干要求的选项，该题型属于单项选择题，有且只有一个正确答案. 该题型有直接解法(根据题干条件推出结论)和间接解法(由结论判断题干是否成立)两种解题方法. 下面举例说明：【范例1】(200901)方程214x x -+=的根是( ). (A)5x =-或1x = (B)5x =或1x =- (C)3x =或53x =- (D)3x =-或5 3x = (E) 不存在【答案】C 2. 条件充分性判断题型说明

考研高数讲义第六章上课资料

第六章定积分的应用 ?? ??? ?? ??? ????????? ????????????? ???? 基本方法—微元法平面图形的面积与旋转体的体积一元几何应用—平面曲线的弧长，旋转体的侧面积函数平行截面面积已知的立体体积（数一数二）定积应用—分的变力做功、引力、侧压力、质心（形心）应用物理应用—函数平均值（数一数二）简单的经济应用（数三）

第一节定积分的元素法微元法:把一个所求量分解，近似，求和，取极限，最后表示成定积分的分析方法。复习上一章第一节中的引例：求由曲线() y f x =及直线x a =，x轴所 =，x b 围成的图形（曲边梯形）的面积A。

步骤：1、分割：1 n i i A A ==?∑ 2、取近似：1()()i i i i i i A f x x x ξξ-?≈??≤≤ 3、求和得：1()n i i i A f x ξ=≈??∑ 4、求极限：0 1 lim ()()n b i i a i A f x f x dx λξ→==??=∑?

取消这里的下标i ,同时[][,],i i i x x dx x x x +?+?； x ξ?；dA A ??。事实上，因为A A =?∑且 ()A f x dx dA ?≈=，所以()A f x dx ≈∑，即： lim ()()b b a a A f x dx f x dx dA ===∑??

一般地，若所求量A 满足： 1）A 是一个与变量x 的变化区间[],a b 有关的量； 2）A 对于区间[],a b 具有可加性； 3）A 的部分量i A ?可近似地表示为()i i f x ξ??，其差别是i x ?的高阶无穷小，则A 可用定积分 ()b a A f x dx =?计算.

高等数学考研讲义第八节

第八章无穷级数（数学一和数学三）引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如：历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 0)11()11()11(=+-++-+-ΛΛ 第二种 1)11()11()11(1=-------ΛΛ 第三种设S n =+-++-+-+ΛΛ1 )1(1111 则[]S =+-+--Λ11111 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？ 3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。 § 8.1 常数项级数（甲）内容要点一、基本概念与性质 1. 基本概念无穷多个数ΛΛ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式ΛΛ+++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 称为数项级数（简称级数）。 ∑===n k k n u S 1 123n u u u u ++++L （Λ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和， {}),3,2,1(Λ=n S n 称为部分和数列。 n n S ∞ →lim 若不存在，则称级数∑∞ =1n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2．基本性质（1）如果（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。（3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不

[整理]考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)

课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资汤家凤——主讲高等数学、线性代数。著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版）文都网校 2011年5月27日

公开课二：定积分理论一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。（1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -???= ，其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=?-；（2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i t f S ?≈ ∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f S ?=∑=→)(lim 1 ξλ 2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ，其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-；（2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i x f A ?≈ ∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f A ?=∑=→)(lim 1 ξλ。二、定积分理论（一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数，（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ，其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-；（2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作 i n i i x f ?∑=)(1 ξ；（3）取}{m a x 1i n i x ?=≤≤λ，若i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为) (x f 在],[b a 上的定积分，记 ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(i n i i x f ?=∑=→)(lim 1 ξλ。

考研数学基础班概率统计讲义-汤家凤

考研数学基础班概率统计讲义第一章随机事件与概率一、随机试验与随机事件（一）基本概念 1、随机试验—具备如下三个条件的试验：（1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。（3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。 2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。（二）事件的运算 1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A,B的积，记为AB。 2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件，记为A+ B。 3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件，记为A- B。（三）事件的关系 1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为A? B。若 A? B且B? A，称两事件相等，记A= B。 2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即AB= φ ，称事件A,B不相容或互斥。 3、对立事件—若AB = φ 且A+ B = ∧ 称事件A,B为对立事件。【注解】（1）A= (A- B)+ AB，且A- B与AB互斥。（2）A+ B= (A- B)+ (B- A)+ AB，且A- B,B- A,AB两两互斥。（四）事件运算的性质 1、（1）AB? A(或B)? A+ B；（2）AB= BA,A+ B= B+ A； 2、（1）A? A= A,A? A= A；（2）A? (B? C)= (A? B)? (A? C),A? (B? C)= (A? B)? (A? C)； 3、（1）A= (A- B)? A；（2）(A- B)? A= A- B；（3）A+ B= (A- B)? AB? (B- A)。 4、（1）A+ A= ∧ ；（2）A? A= φ 。二、概率的定义与性质（一）概率的定义—设随机试验的样本空间为∧ ，满足如下条件的随机事件的函数P(?)称为所对应事件的概率：

考研数学：高数重要公式总结(曲线积分)

凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！考研数学：高数重要公式总结（曲线积分）考研数学中公式的理解、记忆是最基础的，其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式，希望能帮助考研生更好的复习。曲线积分

凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！其实，考研数学大多题目考查的还是基础知识的运用，难题异题并不多，只要大家都细心、耐心，都能取得不错的成绩。考研生加油哦! 凯程考研：凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；

凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里；信念：让每个学员都有好最好的归宿；使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构；激情：永不言弃，乐观向上；敬业：以专业的态度做非凡的事业；服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。如何选择考研辅导班：在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。

高等数学考研讲义第三章

第三章一元函数积分学 §3.1 不定积分（甲）内容要点一、基本概念与性质 1、原函数与不定积分的概念设函数f(x)和F(x)在区间I 上有定义，若()F x '= f(x)在区间I 上成立。则称F(x)为f(x)在区间I 的原函数，f(x)在区间I 中的全体原函数成为f(x)在区间I 的不定积分，记为? f(x)dx 。其中 ? 称为积分号，x 称为积分变量，f(x)称为被积分函数，f(x)dx 称为被积表达式。 2、不定积分的性质设? f(x)dx ＝F(x)＋C ,其中F(x)为f(x)的一个原函数，C 为任意常数。则 (1)()?'dx x F ＝F(x)＋C 或? )x (d F ＝F(x)＋C (2)[ ]' ?f(x )dx = f(x) 或 d []?f(x)dx ＝f(x)dx (3)?dx )x (kf ＝k ? dx )x (f (4) []dx )x (g )x (f ?±=??±dx )x (g dx )x (f 3、原函数的存在性设f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如dx )sin(x 2 ? ，dx )x (cos 2 ? ， dx x sinx ?，dx x cosx ?，?lnx dx ， dx e 2 x ?－等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。二、基本积分表（略）三、换元积分法和分部积分法 1、第一换元积分法（凑微分法）设 ()f (u)du F(u)+C, x ?=?又可导， ()()()() f x x dx f x d x ????'??????????则＝()x u ?＝令?du u )(f =F(u)+C=F[()x ?]+C 这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流” ，也就是非常熟练地凑出微分。

研究生基础数学1考试复习资料数论练习题

一、整除理论 1．证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。 2．设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。证明：设不然，n 1 = n 2n 3，n 2 ≥ p ，n 3 ≥ p ，于是n = pn 2n 3 ≥ p 3 ，即p ≤3n ，矛盾。 3．设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。写a = 3q 1 + r 1，b = 3q 2 + r 2，r 1, r 2 = 0, 1或2，由3∣a 2 + b 2 = 3Q + r 12 + r 22知r 1 = r 2 = 0，即 3∣a 且3∣b 4．证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。设给定的n 个整数为a 1, a 2, , a n ，作 s 1 = a 1，s 2 = a 1 + a 2，，s n = a 1 + a 2 + + a n ，如果s i 中有一个被n 整除，则结论已真，否则存在s i ，s j ，i < j ，使得s i 与s j 被n 除的余数相等，于是n ∣s j - s i = a i + 1 + + a j 5．设a ，b ，c 是正整数，证明：) ,)(,)(,(),,(],][,][,[],,[2 2a c c b b a c b a a c c b b a c b a = 因为，故只须证明(a , b , c )(ab , bc , ca ) = (a , b )(b , c ) (c , a )，此式用类似于例3的方法即可得证。 6．设k 是正奇数，证明：1 + 2 + …… + 9∣1k + 2k + …… + 9k 。设s = 1k + 2k + + 9k ，则由2s = (1k + 9k ) + (2k + 8k ) + + (9k + 1k ) = 10q 1及2s = (0k + 9k ) + (1k + 8k ) + + (9k + 0k ) = 9q 2得10∣2s 和9∣2s ，于是有90∣2s ，从而1 + 2 + + 9 = 45∣s 7．设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。只须证，即只须证(b , a + b ) = (a , b )，此式显然。 8．用扩展欧几里德算法法求整数x ，y ，使得1387x - 162y = (1387, 162)。作辗转相除：1387 = (-162)?(-8) + 91，-162 = 91?(-2) + 20，91 = 20?4 + 11，20 = 11?1 + 9，11 = 9?1 + 2，9 = 2?4 + 1，2 = 1?2 + 0，由此得n = 6，q 1 = -8，q 2 = -2，q 3 = 4，q 4 = 1，q 5 = 1，q 6 = 4，x = (-1)n -1Q n = 73，y = (-1)n P n = 625，又(1387, 162) = r n = 1，故1387?73 - 162?625 = 1 = (1387, 162) 9. 若四个整数2836，4582，5164，6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少。设除数为d ，余数为r ，则由 d ∣4582 - 2836 = 1746，d ∣5164 - 4582 = 582，d ∣6522 - 5164 = 1358 知d ∣(1746, 582, 1358) = 194，由此得d = 97，r = 23或d = 194，r = 120 9．证明：在1, 2, , 2n 中任取n + 1数，其中至少有一个能被另一个整除。写i = ，i = 1, 2, , 2n ，则λi 为1, 2, , 2n 中的奇数，即λi 只能取n 个数值，在n + 1个这样的数中，必存在λi = λj （i ≠ j ），于是易知i 与j 成倍数关系 10．求最大的正整数k ，使得10k ∣199!。

(整理)年考研数学一高等数学考试大纲附录.

2012年考研数学一高等数学考试大纲一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限: 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则. 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．

9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系． 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数． 4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数. 5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理． 6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．

考研数学复习需要了解的时间点

考研数学复习需要了解的时间点对于2020的考研同学们，数学也是一门不得不全力攻克的关键点吗，但对于如何着手准备，你是不是也有些无从下手呢?小编为大家精心准备了考研数学复习的时间分配，欢迎大家前来阅读。考研数学复习的时间轴一、3月初到4月初这个时间点，对于准备考研的同学已经可以安心备考了。刚开始不要急着做题，首先要把本科教材看一遍。相信绝大多数同学都在本科期间修过高等数学+线性代数+概率论这三门课，不管这些知识有没有忘，不管忘了多少，首先把本科教材拿出来温习一遍还是有必要的。从3月初到4月初，这一个月的时间内，过一遍教材应该是绰绰有余的，建议大家根据自己的实际情况分配一下时间。二、4月初到6月底

这段时间集中精力攻克复习全书。建议除了复习全书之外，大家尽量买本线代讲义和概率论讲义，因此复习全书里面的线代和概率论部分就不看了，全书不如讲义详细。近三个月的时间，建议大家根据自己的实际情况分配一下时间。但是无论如何都要把全书和讲义仔仔细细过一遍，题目认认真真做一遍，不会的或者做错的要做好标记，做标记的题以后还有用。三、暑假期间建议暑假就不要回家了，回家不仅看不进去书，还会把之前看的忘记]老老实实在学校看书就行。因为暑假是整个考研期间最重要的阶段，暑假期间的复习状况将直接决定你最终的数学成绩。这段时间的主要任务就是刷题，遇到不会的题不能立即看答案，哪怕毫无头绪也要经过认真思考一下。和看全书一样，不会的题或者做错的题要做好标记。四、暑假开学到填志愿期间这段时间的主要任务就是做真题。建议从06年开始

做。每天按照考研数学的考试时间，抽出三小时的完整时间去做真题。切记一定是三小时，哪怕你只用一个半小时就做完了，也不能去对答案，要严格按照考研时间来。建议做的快的同学在做完真题之后，尽量用另一种解法再算一遍。如果两次算得不一样就要好好检查一下了。五、填完志愿到考前一个月这段时间主要是小修小补查漏补缺。由于要复习其他三科，留给数学的时间不很多，更应该用好时间。主要的工作还是做题，推荐400题和最后十套卷，时间没必要要求太严格，能做到查漏补缺就好。不会的和错的还是要做标记。六、考前一个月到考前两天再刷一遍真题，体会真题的考察点，还要把做标记的题目再做一遍，尤其要注意连续错两遍的题目。考研数学拿高分的攻略第一个“识”。就是我们要把考试大纲重头到尾进行梳理一下。我们要对大纲要求的知识，要进行识记，并且要熟

高等数学考研辅导讲义(精品文档)

高等数学考研辅导讲义概念清楚题型全面方法得当灵活熟练

多元函数微分学一、二元函数 1、二元函数的解析式例1 设2 (,),xy f x y x y = +求(,(,))f x f x x 例2.设22(,)y f x y x y x +=-，求(,)f x y 本例小结 2、二元函数的极限例3 设22 22 22 0(,)0 0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?，讨论(,)(0,0)P x y O →时函数极限例4 设22242 22 0(,)0 0x y x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0)P x y O →时函数极限本例小结例5 0x y →→ 2 1lim 1x x y x y a xy +→∞→?? + ?? ?（0a ≠常数）例6 22200sin lim x y x y x y →→+ 22 2200 1lim()sin x y x y x y →→++ 332200lim x y x y x y →→++

例7 00 x y →→ 22 22200 lim()x y x y x y →→+ 本例小结 3、二元函数连续；偏导存在；可微的讨论连续可微偏导函数连续偏导存在（1）.函数在()00x y ，处连续?()()00 00lim x x y y f x y f x y →→=，，（2）. 函数在()00x y ，处的偏导 ()00x f x y '，=()() 00000 lim x f x x y f x y x ?→+?-?，，或 ()00x f x y '，=()() 0000 lim x x f x y f x y x x →--，，（3）. 函数在()00x y ，处可微 ?0 (,)lim 0x f x x y y f x y f x y x f x y y ?→→''+?+?--?-?=，，，

考研数学春季基础班线性代数辅导讲义汤家凤

2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义- 主讲：汤家凤第一讲行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为 )(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。定义3 行列式—称nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 = 称为n 阶行列式，规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D 21212121)()1(∑ -= τ。定义4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 = 中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如 n a a a 000 21 称为对角行列式，n n a a a a a a 2121 00 =。

2、上（下）三角行列式—称 nn n n a a a a a a 0 022211211 及 nn n n a a a a a a 21 2221 11 0为上（下）三角行列式， nn nn n n a a a a a a a a a 2211222112110 0=，nn nn n n a a a a a a a a a 2211212221 11 0=。 3、 ||||B A B O O A ?=， ||||B A B O C A ?=， ||||B A B C O A ?=。 4、范得蒙行列式—形如1121 121211 11 ),,,(---= n n n n n n a a a a a a a a a V 称为n 阶范得蒙行列式，且 n i j j i n n n n n n a a a a a a a a a a a V ≤<≤----== 11121 121 21)(1 11 ),,,(。【注解】0),,,(21≠n a a a V 的充分必要条件是n a a a ,,,21 两两不等。三、行列式的计算性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质 1、行列式与其转置行列式相等，即T D D =。 2、对调两行（或列）行列式改变符号。 3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。 4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即 nn n n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a 2 121112112 121112 11212 21 111211 +=+++。 5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即

考研数学之高等数学 加强课讲义(五)