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二次函数中考压轴题平行四边形解析

二次函数中考压轴题（平行四边形）解析精选【例一】（2013嘉兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为

A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．

（1）当m=2时，求点B的坐标；

（2）求DE的长

（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形

考点：二次函数综合题．

专题：数形结合．

分析：（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；

（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；

（3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=﹣m2+m+4，将m=代入y=﹣m2+m+4，即可求出二次函数的表达式；

②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．

解答：解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）2+1，

把x=0代入y=（x﹣2）2+1，得：y=2，

∴点B的坐标为（0，2）．

（2）延长EA，交y轴于点F，

∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，

∴△AFC≌△AED，

∴AF=AE，

∵点A（m，﹣m2+m），点B（0，m），

∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m2+m）=m2，

∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，

∴△ABF∽△DAE，

∴=，即：=，

∴DE=4．

（3）①∵点A的坐标为（m，﹣m2+m），

∴点D的坐标为（2m，﹣m2+m+4），

∴x=2m，y=﹣m2+m+4，

∴y=﹣++4，

∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+x+4，

②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，

（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），

点P的横坐标为3m，

点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4，

把P （3m ，﹣ m 2+m+4）的坐标代入y=﹣x 2+x+4得：

﹣m 2+m+4=﹣

×（3m ）2+×（3m ）+4，

解得：m=0（此时A ，B ，D ，P 在同一直线上，舍去）或m=8．（Ⅱ）当四边形ABDP 为平行四边形时（如图2），点P 的横坐标为m ，

点P 的纵坐标为：（﹣ m 2+m+4）+（m 2）=m+4，把P （m ，m+4）的坐标代入y=﹣x 2+x+4得：

m+4=﹣

m 2+m+4，

解得：m=0（此时A ，B ，D ，P 在同一直线上，舍去）或m=﹣8，综上所述：m 的值为8或﹣8．

点评：本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及

分类讨论．

【例二】已知抛物线的顶点为A (2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为

顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；

(3)连接OA 、AB ，如图②，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP

与△OAB 相似若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。【例三】（2013湘潭）如图，在坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A （1，

0），B （0，2），抛物线y=x 2+bx ﹣2的图象过C 点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l ．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分（3）点P 是抛物线上一动点，是否存在点P ，使四边形PACB 为平行四边形若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．分析：如解答图所示：

（1）首先构造全等三角形△AOB ≌△CDA ，求出点C 的坐标；然后利用点C 的坐标求出抛物线的解析式；

（2）首先求出直线BC 与AC 的解析式，设直线l 与BC 、AC 交于点E 、F ，则可求出EF 的

表达式；根据S △CEF =S △ABC ，列出方程求出直线l 的解析式；

（3）首先作出PACB ，然后证明点P 在抛物线上即可．

解答：解：（1）如答图1所示，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则∠CAD+∠ACD=90°．

A B B

O x x

y y

∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，

∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．

∵在△AOB与△CDA中，

∴△AOB≌△CDA（ASA）．

∴CD=OA=1，AD=OB=2，

∴OD=OA+AD=3，

∴C（3，1）．

∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2上，

∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．

（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．

∴S△ABC=AB2=．

设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），

∴，

解得k=﹣，b=2，

∴y=﹣x+2．

同理求得直线AC的解析式为：y=x﹣．

如答图1所示，

设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．△CEF中，CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x．

由题意得：S△CEF=S△ABC，

即：EFh=S△ABC，

∴（﹣x）（3﹣x）=×，

整理得：（3﹣x）2=3，

解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去），

∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．

（3）存在．

如答图2所示，

过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．

过点A作AP∥BC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形．

过点P作PH⊥x轴于点H，则易证△PAH≌△BCG，

∴PH=BG=1，AH=CG=3，

∴OH=AH﹣OA=2，

∴P（﹣2，1）．

抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣2，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上．

∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．

点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．

【例四】（2013盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y

轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；

（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）

考点：二次函数综合题．

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）平行四边形的对边相等，因此EF=OD=2，据此列方程求出点P的坐标；

（3）本问利用中心对称的性质求解．平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与ODEF 对称中心的直线平分ODEF的面积．

解答：解：（1）∵点A（﹣1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，

∴，

解得a=﹣1，b=2，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．

（2）在抛物线解析式y=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：

，

解得k=﹣1，b=3，

∴y=﹣x+3．

设E点坐标为（x，﹣x2+2x+3），则P（x，0），F（x，﹣x+3），

∴EF=y E﹣y F=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．

∵四边形ODEF是平行四边形，

∴EF=OD=2，

∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0，

解得x=1或x=2，

∴P点坐标为（1，0）或（2，0）．

（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与ODEF对称中心的直线平分ODEF的面积．

①当P（1，0）时，

点F坐标为（1，2），又D（0，2），

设对角线DF的中点为G，则G（，2）．

设直线AG的解析式为y=kx+b，将A（﹣1，0），G（，2）坐标代入得：

，

解得k=b=，

∴所求直线的解析式为：y=x+；

②当P（2，0）时，

点F坐标为（2，1），又D（0，2），

设对角线DF的中点为G，则G（1，）．

设直线AG的解析式为y=kx+b，将A（﹣1，0），G（1，）坐标代入得：

，

解得k=b=，

∴所求直线的解析式为：y=x+．

综上所述，所求直线的解析式为：y=x+或y=x+．

点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、平行四边形的性质、中心对称的性质等知识点．第（3）问中，特别注意要充分利用平行四边形中心对称的性质，只要求出其对称中心的坐标，即可利用待定系数法求出所求直线的解析式．

【例五】（2013沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（，0）和

点B（1，），与x轴的另一个交点为C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．

①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；

②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=∠MFO时，

请直接写出线段BM的长．

考点：二次函数综合题．

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；

（2）由∠BDA=∠DAC，可知BD∥x轴，点B与点D纵坐标相同，解一元二次方程求出点D 的坐标；

（3）①由BE与OA平行且相等，可判定四边形OAEB为平行四边形；

②点M在点B的左右两侧均有可能，需要分类讨论．综合利用相似三角形的性质、等腰三角

形的性质和勾股定理，求出线段BM的长度．

解答：

解：（1）将A（，0）、B（1，）代入抛物线解析式y=x2+bx+c，得：

，

解得：．

∴y=x2x+．

（2）当∠BDA=∠DAC时，BD∥x轴．

∵B（1，），

当y=时，=x2x+，

解得：x=1或x=4，

∴D（4，）．

（3）①四边形OAEB是平行四边形．

理由如下：抛物线的对称轴是x=，

∴BE=﹣1=．

∵A（，0），

∴OA=BE=．

又∵BE∥OA，

∴四边形OAEB是平行四边形．

②∵O（0，0），B（1，），F为OB的中点，∴F（，）．

过点F作FN⊥直线BD于点N，则FN=﹣=，BN=1﹣=．

在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF==．

∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，

∴∠FBM=2∠BMF．

（I）当点M位于点B右侧时．

在直线BD上点B左侧取一点G，使BG=BF=，连接FG，则GN=BG﹣BN=1，在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG==．

∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG．

（第26题图）

又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF ， ∴∠BFG=∠BMF ，又∵∠MGF=∠MGF ， ∴△GFB ∽△GMF ， ∴

，即

，

∴BM=；

（II ）当点M 位于点B 左侧时．

设BD 与y 轴交于点K ，连接FK ，则FK 为Rt △KOB 斜边上的中线， ∴KF=OB=FB=，

∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF ，又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK ， ∴∠BMF=∠MFK ， ∴MK=KF=，

∴BM=MK+BK=+1=．

综上所述，线段BM 的长为或．

点评：本题是中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解方程、相似三角形、等腰

三角形、平行四边形、勾股定理等知识点．难点在于第（3）②问，满足条件的点M 可能有两种情形，需要分类讨论，分别计算，避免漏解．

【例六】如图，抛物线经过5(1,0),(5,0),(0,)2

A B C --三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标； (3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A,C,M,N 四点构成的四边形为平行四边形若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由.

解析：解：（1）设抛物线的解析

式为

2y ax bx c =++，

（第26题图）

根据题意，得0,2550,5.2a b c a b c c ?

?-+=?

++=???=-?，

解得1,22,5.

2a b c ?

=??

=-???=-?

∴抛物线的解析式为：21

52.2

y x x =-- ………(3分) （2）由题意知，点A 关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC 交抛物线的对称轴于点P ，则P 点即为所求.

设直线BC 的解析式为y kx b =+，

由题意，得50,5

.2k b b +=???=-??解得 1,2

5.2

k b ?

=????=-?? ∴直线BC 的解析式为15.22

y x =- …………(6分)

∵抛物线21522

2y x x =--的对称轴是2x =，

∴当2x =时，153

.222y x =-=-

∴点P 的坐标是3

(2,)2

-. …………(7分)

（3）存在 …………………………(8分)

(i)当存在的点N 在x 轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM 是平行四边形，∴C N ∥x 轴，∴点C 与点N 关于对称轴x=2对称，∵C 点的坐标为5(0,)2

-，∴点N 的坐标为

(4,).2

- ………………………(11分)

（II ）当存在的点'N 在x 轴上方时，如图所示，作'N H x ⊥轴于点H ，∵四边形''

ACM N 是平行四边形，∴'

,AC M N N M H CAO =∠=∠, ∴R t △CAO ≌R t △'

N M H ,∴'

N H OC =.

∵点C 的坐标为'

55(0,),2

2N H -∴=,即N 点的纵坐标为52

， ∴

2155

2,222

x x --=即24100x x --= 解得12214,214.x x =+=-

∴点'

N 的坐标为5

(214,)2-和5(214,)2

+. 综上所述，满足题目条件的点N 共有三个，

分别为5(4,).2-，5(214,)2+，5(214,)2

- ………………………(13分) 26．（2013山西，26，14分）（本题14分）综合与探究：如图,抛物线2

x x 与x 轴交于A,B 两点(点B 在点A 的右侧)与y 轴交于点C,连接BC,以BC 为一边,点O 为对称中心作菱形BDEC,点P 是x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为（m ，0），

过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q

（1）求点A,B,C 的坐标。

（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD ，BC 于点M,N 。试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由。

（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点 Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）当y=0时，21

404

x x ，解得，12

2,8x x

∵点B 在点A 的右侧，

∴点A,B 的坐标分别为：（-2，0），（8，0）

当x=0时，y=-4

∴点C的坐标为（0，-4），

（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）.

设直线BD的解析式为y＝kx＋b，则

k b

.解得，k=

，b=4.

∴直线BD的解析式为

y x.

∵l⊥x轴，∴点M，Q的坐标分别是（m，1

m），（m ，2

m m）

如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形.

∴（1

m）-(2

m m)=4-(-4)

化简得：240

m m.解得，m1=0，（舍去）m2=4.

∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形.

此时，四边形CQBM是平行四边形.

解法一：∵m=4，∴点P是OB中点.∵l⊥x轴，∴l∥y轴.

∴△BPM∽△BOD.∴

BP BM

BO BD

.∴BM=DM.

∵四边形CQMD是平行四边形，∴DM CQ∴BM CQ.∴四边形CQBM为平行四边形.

解法二：设直线BC的解析式为y=k

1x+b

，则1

k b

.解得，k

，b

=-4

∴直线BC的解析式为y=1

x-4

又∵l⊥x轴交BC于点N.∴x=4时，y=-2. ∴点N的坐标为（4，-2）由上面可知，点M,Q的坐标分别为：（4，2），Q(4,-6).

∴MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.∴MN=QN.

又∵四边形CQMD是平行四边形.∴DB∥CQ，∴∠3=∠4，

又∠1=∠2，∴△BMN≌△CQN.∴BN=CN.

∴四边形CQBM为平行四边形.

（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q

1（-2，0），Q

（6，-4）.