第10讲二次函数应用

第10讲 二次函数的应用

一、知识梳理：

1、()2

235y x =--+，当x = 时，y 取最 值是 ；

2、2367y x x =--，当x = 时，y 取最 值是 ；

3、()()315y x x =---，当x = 时，y 取最 值是 ；

二、直击考点：

考点一、用二次函数求解经济问题中的最大利润：

问题1 某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售 量（件），与每件的销售价（元/件）可看成是一次函数关系： 1. 写出商场卖这种服装每天的销售利润与每件的销售价之间的函数关系式（每天

的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；

2. 通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件

的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？

问题2．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去。假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时的市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。

（1）设x 天后每千克活蟹的市场价为P 元，写出P 关于x 的函数关系式；

（2）如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q 元，写出Q 与x 的函数关系式；

（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润＝销售总额－收购成本－费用）？增大利润是多少？

问题3．（2011黄冈）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府

对该特产的销售投资收益为：每投入x 万元，可获得利润()21

6041100P x =--+（万

元）．当地政府拟在“十二?五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润()()299

294

1001001601005Q x x =--+-+（万元）

⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？

⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？

变形练习1、某宾馆有50个房间供游客居住。当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆每天对每个房间需支出20元的各种费用。房价为多少时，宾馆利润最大？

练习2、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的销售价（元）满足一次函数：

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件的销售价间的函数数关系式.

（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

考点二、已知图象解应用题：

问题4. 某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和成本进行了调研，结果如下：每件商品的售价M （元）与时间t （月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1），每件商品的成本Q （元）与时间t （月）的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示（如图2）。

图1（每件商品的售价M （元）与 图2 （每件商品的成本Q （元）

时间t （月）的函数图象） 与时间t （月）的函数图象

M(元) 8

6 O 3 4 5 6

7 t(月) O 3 4 5 6 7 Q(元)

4

1

t(月)

（说明：图1、图2中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本。） 请你根据图象提供的信息回答：

（1）每件商品在3月份出售时的利润（利润＝售价－成本）是多少元？

（2）求图2中表示的每件商品的成本Q （元）与时间t （月）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；

（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利润W （元）与时间t （月）之间的函数关系式吗？（请写出计算过程，不要求写自变量的取值范围）若该公司共有此种商品30000件，准备在一个月内全部售完，请你计算一下至少可获利多少元？

问题5.某公司推出了一种高效环保洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，如图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 和t 之间的关系）.根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s （万元）

与时间t （月）之间的函数关系式；

（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；

（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

变形练习1、（山东日照）容积率t 是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即t =用地面积建筑面积

S M ，为充分利用土地资源，更好地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的

高度，一般地容积率t 不小于1且不大于8.一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M （m 2）与容积率t 的关系可近似地用如图（1）中的线段l 来表示；1 m 2

建筑面积上的资金投入Q （万元）与容积率t 的关系可近似地用如图（2）中的一段抛物线段c 来表示．

（Ⅰ）试求图（1）中线段l 的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积；

（Ⅱ）求出图（2）中抛物线段c 的函数关系式.

变形练习2. 某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产的情况进行调查的基础上．对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，得到了以下图象：

请你根据图象提供的信息说明：

(1)在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少？（收益=售价-成本）

(2)哪个月出售这种蔬菜，每克的收益最大？请说明理由．

望子成龙学校家庭作业

校区：教室：科目：数学学生姓名：_________

第次课授课老师：赵老师作业等级：______

1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共700千克,已知进价为30元/千克,物价部门规定其销售价在30元~70元之间.市场调查发现:若单价定为70元时,日均销售60千克.价格每降低1元,平均每天多售出2千克.在销售过程中,每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时,按整天计算). 求销售单价为x(元/千克)与日均获利y(元)之间的函数关系式,并注明x的取值范围(提示:日均获利=每千克获利与×均销售量-其它费用)和获得的最大利润.

2. 某高科技发展公司先投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，再投资1500万元进行批量生产。已知生产每件产品的成本为40元。在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件。设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额-生产成本-投资）为z（万元）。

（1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（2）试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（3）计算销售单价为160元时的年获利；并说明对同样的年获利，销售单价还可以是多少元，相应的年销售量分别是多少万件；

（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130万元，请你借助函数的大致图像说明，第二年的销售单价x（元），应确定在什么范围。