微积分第八章课后习题答案

微积分第八章课后习题答案

习题8-1

1.（1）一阶；（2）二阶；（3）一阶；（4）三阶；（5）三阶；（6）一阶；（7）二阶；（8）一阶。

2.（1）、（2）、（3）、（4）、（5）都是微分方程的通解。

3.1

22

y x =+.4.将所给函数及所给函数的导数代人原方程解得：

21

()(1)2

u x x dx x x C =+=++?.

习题8-2

1.（1）原式化为：ln dy

x y y dx =

分离变量得：

11

ln dy dx y y x = 两边积分得：11

ln dy dx y y x

=?? 计算得：()11ln ln d y dx y x

=?

? 即：()1ln ln ln y x C =+ 整理：1ln y C x =

所以：原微分方程的通解为：Cx y e =； （2）原式化为：()()2211y x dy x y dx -=-- 分离变量得：

()()22

11y x

dy dx y x -=-- 两边积分得：()()

22

11y x

dy dx y x -=--?? 计算得：

()()()

()22

22

1111112211d y d x y x -=----?? 即：()()221ln 1ln 1y x C -=--+ 整理：22(1)(1)y x C --=

所以：原微分方程的通解为：22(1)(1)y x C --=；

（3）xydx =-

分离变量得：

1dy y =

两边积分得：

1dy y =?

计算得：()2

1ln 12y x =

-

即：1ln y C =

整理：y =

所以：原微分方程的通解为：y =

（4）

1y e Cx -=-；

（5）sin 1y C x =-； （6）1010

x y

C -+=；

（7）2

2

ln 22arctan y y x x C -=-+； （8）当sin

02y ≠时，通解为ln |tan |2sin 42y y C =-；当sin 02

y

=时，特解为2(0,1,2,)y k k π==±±；

（9）22

2ln x y x C +-=； （10）22

ln ln x y C +=。

2.（1）tan 2

x

y e

=；（2）(1)sec x e y +=；（3）2(1)22y

x e y +-=；（4）

1ln |1|1a x a y

=--+；（5）24x y =；（6）323223235y y x x +--=；（7）sin y x =；

（8）cos 0x y =。

3.（1）2y Cx =；（2）1Cx y xe +=；（3）sin

ln ||y

x C x

=+；（4）ln |ln |y x C x =--；（5）arctan

y x

xy Ce -=；（6）ln

1y Cx x

=+；

（7）22

(2ln ||)y x x C =+；（8）3

3

2x y Cx -=。

4.（1）ln(1ln )y x x =--；（2）2

2(ln 2)y x x =+；（3）2

2tan(ln )4

y x x π

=+

；

（4）222ln y x x =；（5）y x =；（6）222(ln 2)y x x =+。

5.31

()2x x

?=-

。 习题8-3

1.（1）2x

x y Ce

e =-；（2）()n x y x e C =+；（3）sin ()x y e x C -=+；（4）2

(1)()y x x C =++；

（5）2sin ()y x x C =+；（6）()x y e x C -=+；（7）2

2y x Cx =-+；（8）22

1

2

x x y Ce

e --=-；

（9）32433(1)

x C

y x +=+；（10）1(1)y C x =++。

2.（1）32(4)3x

y e -=-；（2）x e y x =；（3）1cos x y x π--=；（4）cos x y x

=；（5）

(1)x y e x =+；（6）2ln 2y x x =-+；（7）sin 2sin 1x

y e x -=+-；（8）2

sin 1

1

x y x -=

-。 3.（1）5

5352y

Cx x -=+；

（2）4414

x

y x Ce --=-++；（3）2133ln |1|(ln |3|)2x C C C y ++==；（4）3

3(2ln 1)4C y x x x -=--或323(2ln 1)4

xy x x C -+-=；（5）12

333

17y Cx x -=-或

1

2

33

3

7y

Cx x -

=-；（6）4414

x

y Ce x --=-+

。 习题8-4

1.（1）12(2)x

y x e C x C =-++；（2）12ln |cos()|y x C C =-++；（3）

21212x y C e x x C =--+；（4）1221(0)C x

y C e C =+≠；（5）41211cos3129y x x C x C =

-++；（6）4321211432

C y x x x C =+-+；（7）12()x

y C x e C -=-+；（8）12C x y C e =。

2.（1）y =；（2）1ln(1)y ax a =-+；（3）lnsec y x =；（4）4

1(1)2

y x =+；

（5）ln()ln 2x x

y e e -=+-；（6）1122x x y e e -=

-；

（7）3

1cos 16

y x x x =-++；（8）211

22

y x =

-。 习题8-5

1.（1）2312x

x

y C e C e

--=+；（2）34

12()x

y C C x e

=+；（3）12cos sin y C x C x =+；（4）

412(cos3sin 3)x

y e

C x C x -=+；（5）52

12()x y C C x e =+；（6）212(cos sin )x

y e C x C x =+；

（7）2512x

x y C e

C e -=+；（8）212()x y C C x e =+；（9）212(cos3sin 3)x

y e C x C x =+；（10）

12y C C =+。

2.（1）2

(2)x

y x e

-=+；（2）23sin 5x

y e

x -=；（3）342x x y e e =+；（4）sin x

y e x =；（5）

1cos33x y e x =-；

（6）1

cos sin y x x πππ

=+。 3.'''20y y y -+=。4. '''

320y y y -+=。

5.（1）*01y b x b =+；（2）*201y b x b x =+；（3）*0x

y b e =；（4）*2012()x y b x b x b e =++；（5）*01cos 2sin 2y b x b x =+；（6）*01(cos sin )y x b x b x =+。

6.（1）32121123x

y C C e x x -=++-；

（2）121(cos sin )2

x

y C C e x x =++-；

（3）22

12117(cos

sin )22224

x

y e C x C x x x -=++--； （4）122

cos sin 1x

e y C ax C ax a =+++；

（5）312113

cos sin ()1050

x y C x C x x e =++-； （6）31234()(cos sin )2525

x x y e C C x e x x =++-。

（7）2

121(cos sin )(1)2

x y e C x C x x =+++；

（8）32

12x

y C e

C x =++；（9）2

1232

x x

x y C e C e e -=++；

（10）22212()224x

x y C C x e x x e =++++。

7.（1）275522

x

x y e e =-+

+；

（2）(1)x x x

y e e x x e -=-+-；

（3）211(cos sin )sin 22

x

y e x x e x π=-+；

（4）311

(37cos 429sin 4)(5sin 14cos )102102

x y x x e x x =

-++； （5）11cos sin sin 233y x x x =--+；（6）41155

16164

x y e x =+-。

习题8-6

1.（1）三阶；（2）六阶。

2.略。

3.（1）2t t y C =；（2）(1)t t y C =-；（3）21122t y C t t =+

-；

（4）2

111()623

t y C t t t =+-+；（5）1(1)23t

t t y C =-+

；（6）1222

t

t t y C t =+。 4.（1）23t y t =+；（2）13()2t t y =-；（3）111()442t t y =+-；（4）11(2)224

t

t t y =-+。

5.（1）1234t t

t y C C =+；（2）1211(

(22

t t t y C C +=+；（3）12()3t

t y C C t =+； （4）122(cos sin )2

2

t

t y C t C t π

π

=+；

（5）12(1)4t t

t y C C =-+； （6）122(cos

sin

)3

3

t

t y C t C t π

π

=+。

6.（1）1

[1(3)]

2

t

t y =-+-；（2）sin

3

t t y t π

=

；（3）2cos

4

t

t y t π

=?。

习题8-7 略

总复习题八

1.（1）三；（2）''

'

560y y y -+=；（3）2129t t t y y y +++-=。 2.（1）C ；（2）B ；（3）D ；（4）A ；（5）D 。3.略。

4.（1）2

2

1(1)y C x +=-；（2）(1)(1)x

y

e e C +-=；（3）ln[(2)]02x

C y x y x

++

=+；

（4）2x

y ye x C +=；（5）ln C

y ax x

=+

；（6）22124ln 39C x x x y x =--或

2

3222(ln )33x C x x y =-+；（7332x xy C =++；（8）22

2arctan y x y C x

+-=；（9）2y Cx =；（10）2

2xy y C -=。

5.（1）1x e y +=或(1)sec x e y +=；（2）220x y x y +--=；（3）

2

2

25x y +=；（4）2

(12ln )0x y y +-=；（5）cos 15sin x e y x

-=或cos sin 51x

y x e +=；（6）

2(1)x x x x e e e y e x x

-==-。

6.()(1)x

y x e x =+。7.1

(ln ln )y x x e -=+。

8.（1

）3

2212

[)23

x C C C =±-；（2

）

2x C =±+；（3）5322121373525x y C C e

x x x -=++-+；（4）21213(1)2

x x x y C e C e x x e ---=++-；（5）121(cos 2sin 2)cos 24x x y e C x C x xe x =+-；（6）1211cos 2210

x x

y C e C e x -=+-+；

（7）2(cos3sin 3)x

y e

A x

B x -=+；（8）2

12x

x x

y C e C e e -=++。

9.（1）4x

x y e

e -=-；（2）2sin 3x y e x =；（3）2(73)x y x e -=-；（4）2arctan x

y e =。

10.(cos sin )()2

x

x x e x ?++=

。

11.（1）21t y t ?=+；（2）21t y t ?=+；（3）1

2cos ()sin

22

t a y a t ?=+?；（4）34t y t ?=。 12.（1）(2)t

y C =-；（2）21(3)()2255

t

t y C t =-+-

+；

（3）12(3)t

y C C =-+；（4）1221

3(2)()32515

t t t y C C t t =+-+-

+?。 13.（1）12(1)3t t t y A =?+?-，152(1)33

t t

t y =?+?-；

（2）174()()22t t t y A B =+?+?-，31174()()2222t t

t y =+?+?-。