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抛物线平移旋转和翻折

巧用顶点式解决抛物线图形的变换问题例析

通过抛物线图形的平移、旋转、翻折来确定新得抛物线的解析式是二次函数问题中较热门的题目类型,为方便大家理解并掌握此类题型的正确解法,现将有关解题方法小结如下,供同学们参考。

一、抛物线的平移

例1、将抛物线2

=+-向右平移3个单位,再向上平移5个单位,求平移后所

y x x

243

得抛物线的解析式。

分析:抛物线的平移变换只改变抛物线的顶点位置,而不改变抛物线的开口方向与开口大小。

解:将2

y x

2(1)5

=+-,故平移前抛物线的顶点坐标为=+-配方成顶点式,得2

243

y x x

--。由题意知平移后所得新抛物线的顶点坐标为(2,0),而抛物线的开口方向与开口大(1,5)

小均不变,所以平移后所得新抛物线的解析式为2

288

=-+。

y x x

2(2)

y x

=-,即2

〖方法总结〗求抛物线2

a≠)沿坐标轴平移后的解析式,一般可先将

=++(0

y ax bx c

其配方成顶点式()2

a≠),然后利用抛物线平移变换的有关规律将原顶点坐y a x h k

=-+(0

标改变成平移后的新顶点坐标即可。抛物线平移变换的规律是:左加右减(在括号),上加下减(在末梢)。

二、抛物线的旋转

例2、将抛物线2

=+-绕其顶点旋转180°,求旋转后所得抛物线的解析式。

243

y x x

分析:抛物线绕其顶点旋转180°只改变抛物线的开口方向,而不改变抛物线的开口大小及顶点位置。

解:将2

y x

2(1)5

=+-。因旋转前后抛物线的开口方向y x x

243

=+-配方成顶点式,得2

恰好相反,而开口大小及顶点位置均不变,所以旋转后所得新抛物线的解析式为2

247

=---。

y x x

2(1)5

y x

=-+-,即2

〖方法总结〗求抛物线2

a≠)绕其顶点旋转180°后的解析式,同样

=++(0

y ax bx c

可先将其配方成顶点式()2

a≠),然后将二次项系数直接改变成其相反数即

y a x h k

=-+(0

可。

三、抛物线的翻折

例3、将抛物线2

=+-按下列要求进行翻折变换,求翻折后所得抛物线的解析

243

y x x

式:⑴沿y轴翻折;⑵沿x轴翻折。

分析:⑴抛物线沿y轴翻折只改变抛物线的顶点位置,而不改变抛物线的开口方向及开口大小。⑵抛物线沿x轴翻折将同时改变抛物线的开口方向及顶点位置,但抛物线的开口大小不变。

解:将2

y x

=+-,故翻折前抛物线的顶点坐标为

2(1)5

=+-配方成顶点式,得2

243

y x x

--。

(1,5)

⑴、由题意知抛物线沿y轴翻折后所得新抛物线的顶点坐标为(1,5)

-。因翻折后抛物线的开口方向及开口大小均不变,所以翻折后所得新抛物线的解析式为2

=--,即

y x

2(1)5 2

=--。

y x x

243

⑵、由题意知抛物线沿x轴翻折后所得新抛物线的顶点坐标为(1,5)

-。因翻折前后抛物线的开口大小不变而开口方向恰好相反,所以翻折后所得新抛物线的解析式为2

y x x

243

=--+。

2(1)5

=-++,即2

y x

〖方法总结〗求抛物线2

a≠)沿某条坐标轴翻折后的解析式,首先仍

=++(0

y ax bx c

应将其配方成顶点式()2

a≠),然后再根据翻折的方向来确定新抛物线的解

=-+(0

y a x h k

析式——若是沿y轴翻折,则只需将其顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标即可;若是沿x 轴翻折,则除了要将顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标外,还需将二次系数改变成其相反数。

※.同步检测:

将抛物线2

=-+-按下列要求进行变换,求变换后所得新抛物线的解析式:

y x x

241

⑴、先向下平移4个单位,再向左平移3个单位;

⑵、绕其顶点旋转180°;

⑶、沿x轴翻折;

⑷、沿y轴翻折。

(答案参考:⑴、2

241

=-+;⑷、

y x x

y x x

=-+;⑶、2

243

y x x

2811

=---;⑵、2

2

=---。)

241

y x x