二阶线性微分方程解的结构在求齐次方程通解中的应用

二阶线性微分方程解的结构在求齐次方程通解中的应用

摘要：本文主要通过一些典型例题讲解了二阶线性微分方程解的结构以及在求齐次方程通解中的应用，包括：常数变易法、刘维尔公式法、观察法等。

关键词：解的结构齐次方程通解特解

定义：二阶线性微分方程的一般形式为y″+p（x）y′+q（x）y= f（x），（1）其中f（x）称为自由项或非齐次项。当f（x）≠0时，方程（1）称为非齐次的，当f（x）≡0时，方程（1）成为y″+p（x）y′+

q（x）y=0，（2）称为齐次的。p（x），q（x）为常数时，称为二阶常系数线性微分方程。下面笔者就对二阶线性微分方程解的结构在求齐次方程通解中的应用作一探讨。

1 二阶线性微分方程解的结构

定理（二阶齐次线性微分方程的通解结构）：如果y1（x），

y2（x）是方程（2）的两个线性无关的解，则Y=c1y1+c2y2(c1，c2为任意常数)也是方程的解。

例1:验证y1=c1cosx+c2sinx （c1，c2为任意常数）是方程

y″+y=0的通解。

证：将y1=cosx，y2=sinx分别代入原方程，容易验证它们都是方程y″+y=0的解。因为■=■=tanx不是常数，即y″+y=0的两个解。y1=cosx，y2=sinx是线性无关的。

因此，由定理知: y=c1cosx+c2sinx是方程y″+y=0的通解。

例2:验证y1=x2，y2=x2lnx都是线性齐次方程x2y″-3xy′+4y=0的解，并写出该方程的通解。

解：因为y1′=2x，y1″=2，则x2y1″-3xy1′+4y1=2x2-6x2+4x2=0，

所以y1=x2是方程的解。

又因为y2′=2xlnx+x，y2″=2lnx+3，则

x2y2″-3xy2′+4y2=x2（2lnx+3）-3x（2xlnx+x）+4x2lnx=0，

非齐次线性微分方程通解的证明

非齐次线性微分方程通解的证明 问题重述 如果 是区间上的连续函数， 是 区间上齐次线性微分方程 （5.21） 的基本解组，那么，非齐次线性微分方程 (5.28) 的满足初值条件 的解由下面公式给出 （5.29） 这里 是的朗斯基行列式， 是在 中的第k 行代以 后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式 ，（5.30） 这里 是适当选取的常数。 公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。 我们指出，这时方程（5.28）的通解可以表示为 证明 考虑n 阶线性微分方程的初值问题 12(),(),...,(),() n a t a t a t f t a t b ≤≤12x (),x (),...,x (), n t t t a t b ≤≤()(n-11()+...+()x=0 n n x a t x a t +）()(n-11()+...+()x=() n n x a t x a t f t +）(1)0000()0()=0()=0,[,] n a b t t t t ???-'=∈，，...,0 n 12k 1 12[x (),x (),...,x ()] ()=x (){ }()[x (),x (),...,x ()]t k n k t n W s s s t t f s ds W s s s ?=∑?12[x (),x (),...,x ()] k n W s s s 12x (),x (),...,x () n s s s 12[x (),x (),...,x ()] k n W s s s 12[x (),x (),...,x ()] n W s s s (0,0,...,0,1)T 1122()()()...()() n n u t c x t c x t c x t t ?=++++12,,...,n c c c 1122()()...()() n n x c x t c x t c x t t ?=++++

高阶线性微分方程常用解法介绍

高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根

二阶常系数齐次线性微分方程求解方法

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为

函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x )

第八节二阶常系数齐次线性微分方程

第八节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种 情况，通解的三种不同形式。 教学重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。 教学难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。 教学内容： 若 22()()0d y dy P x Q x y dx dx ++= （1） 中(),()P x Q x 为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程，而(1)称之为二阶变系数齐次微分方程。 记： '''0y py qy ++= （2） 将rx y e =代入（2）中有2()0rx r pr q e ++=，称20r pr q ++=为（2）的特征方程。 20r pr q ++= （3） 设12,r r 为（3）的解。 （1）当12r r ≠即240p q ->时，1 212r x r x y C e C e =+为其通解。 （2）当12r r r ==即240p q -=时， （3）只有一个解rx y Ce =。 （3）当r i αβ=±即240p q -<时，有()i x y e αβ±=是解。 利用欧拉公式可得实解，故通解为 12(cos sin )x y e C x C x αββ=+。 求二阶常系数齐次线性微分方程 '''0y py qy ++= （2） 的通解的步骤如下： 1． 写出微分方程（2）的特征方程 2 0r pr q ++= （3） 2． 求出特征方程（3）的两个根1r 、2r 。

3． 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解： 例1 求微分方程230y y y ''--=的通解。 解 所给微分方程的特征方程为 2230r r --= 其根121 ,3r r =-=是两个不相等的实根，因此所求通解为 312x x y C e C e -=+ 例2 求方程222 0d s ds s dt dt ++=满足初始条件0|4t s ==，0|2t s ='=-的特解。 解 所给方程的特征方程为 2210r r ++= 其根121r r ==-是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为 ()12t s C C t e -=+ 将条件0|4t s ==代入通解，得14C =，从而 ()24t s C t e -=+ 将上式对t 求导，得 ()224t s C C t e -'=-- 再把条件0|2t s ='=-代入上式，得22C =。于是所求特解为 ()42t s t e -=+ 例3 求微分方程250y y y '''-+=的通解。 解 所给微分方程的特征方程为

二阶线性微分方程解的结构

附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ?

注意到上面等式的左端 因此有 两端积分 其中C 是任意常数。进一步有 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --? ??=+?‘ （A.5） 其中C 是任意常数。 观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的解等于 一阶线性齐次常微分方程（ A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=?。容易验证，*()y x 是方程（A.1）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。 例1 求解一阶常微分方程 解 此时()2()1p x f x =-=，,由（A.5）式，解为 其中C 是任意常数。 A.2 二阶线性常微分方程 将具有以下形式的方程 "()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （A.6） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称 "()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （A.7） 为与（A.6）相伴的齐次方程. A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构 首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。

齐次微分方程

1 第二讲一阶微分方程 【教学内容】 齐次微分方程、一阶线性微分方程 【教学目的】 理解齐次微分方程的概念，掌握齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。 【教学重点与难点】 齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法 【教学过程】 、齐次微分方程: 形如 凹f （-）的微分方程；叫做齐次微分方程 dx x u ■y 原方程便化为可分离变量的微分方程来求解。 x 此方程是可分离变量的微分方程。按可分离变量微分方程的解法，求出方程的通解，再将变量 为y ，所得函 数就是原方程的通解。 x 解：方程可化为 1 C)2 X 2(乂) x 分离变量，则有 u 1 u 2 两边积分，得 例1、 求微分方程（x )dx 2xydy ，满足初始条件y x 1 0的特解。 它是齐次方程。令u ，代入整理后，有 du dx 2xu 对它进行求解时，只要作变换 于是有 dy y ux,亠 u dx du dx du x 一 dx f(u) u x pl ，从而原方程可化为 u x —— f （u ）， dx u 还原 dy dx 2 x_ 2xy du 2x dx

(2)ln(1 u 2) (2)ln x (1 )ln c cx(1 u 2) 1 将u y 代入上式，于是所求方程的通解为 x x 2 二、一阶线性微分方程 形如 的方程称为一阶线性微分方程，其中 P （x ）、Qx ）都是连续函数。 当Qx ） = 0时，方程 y P (x)y 0 称为一阶线性齐次微分方程; 当Qx ）工0，方程称为一阶线性非齐次微分方程。 1. 一阶线性齐次微分方程的解法 将方程 P(x)y 0 分离变量得 两边积分得 方程的通解为 求微分方程 y 2xy 0的通解。 c(x 2 y 2 ) x 2 把初始条件y 0代入上式，求出c 1，故所求方程的特解为 y P (x)y Q(x) dy P(x)dx In y P(x)dx InC Ce P （x ）dx （C 为任意常数） 解法1 （分离变量法）

二阶非齐次线性微分方程的解法.

目 录 待定系数法 常数变异法 幂级数法 特征根法 升阶法 降阶法 关键词：微分方程，特解，通解， 二阶齐次线性微分方程 常系数微分方程 待定系数法 解决常系数齐次线性微分方程[]21220, (1) d x dx L x a a x dt dt ≡++= 12,. a a 这里是常数 特征方程212()0F a a λλλ=++= (1.1) (1)特征根是单根的情形 设 12,,,n λλλ 是特征方程的 (1.1)的2个彼此不相等的根，则相应的方程 (1)有如 下2个解： 12,t t e e λλ (1.2) 如果(1,2)i i λ=均为实数，则 (1.2)是方程 (1)的2个线性无关的实值解，而方程 (1)的通解可表示为 1212t t x c e c e λλ=+ 如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设 i λαβ=+是一特征根，则i λαβ=-也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程 (1)有两个复值解 (i)t (cos t sin ),t e e i t αβαββ+=+

(i)t (cos t sin ).t e e i t αβαββ-=- 它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根 i λαβ=±，我们可求得方程 (1)的两个实值解 cos ,sin .t t e t e t ααββ （2）特征根有重跟的情形 若10λ=特征方程的 k 重零根，对应于方程 (1)的k 个线性无关的解21 1,t,t ,k t - 。 若这个 k 重零根10, λ≠设特征根为12,,,,m λλλ 其重数为 1212,,,k (k 2)m m k k k k ++= 。方程 (1)的解为 11112222111,t ,t ;,t ,t ;;,t ,t ;m m m m t t k t t t k t t t k t e e e e e e e e e λλλλλλλλλ--- 对于特征方程有复重根的情况，譬如假设i λαβ=+是k 重特征根，则i λαβ=- 也是k 重特征根，可以得到方程 (1)的2k 个实值解 2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin ,,sin .t t t k t t t t k t e t te t t e t t e t e t te t t e t t e t ααααααααββββββββ-- 例1 求方程 220d x x dt -=的通解。 解 特征方程 210λ-=的根为121,1λλ==-有两个实根，均是单根，故方程的通 解为 12,t t x c e c e -=+ 这里12,c c 是任意常数。 例2 求解方程 220d x x dt +=的通解。 解 特征方程 210λ+=的根为12,i i λλ==-有两个复根， 均是单根，故方程的通解 为 12sin cos ,x c t c t =+

一阶常系数线性齐次微分方程组的求解

一阶常系数线性齐次微分方程组的求解 【模型准备】一只虫子在平面直角坐标系内爬行. 开始时位于点P 0(1, 0)处. 如果知道虫子在点P (x , y )处沿x 轴正向的速率为4x - 5y , 沿y 轴正向的速率为2x - 3y . 如何确定虫子爬行的轨迹的参数方程? 图31 虫子爬行的轨迹 【模型假设】设t 时刻虫子所处位置的坐标为(x (t ), y (t )). 【模型构成】由已知条件和上述假设可知 d 45,d d 23,d x x y t y x y t ?=-????=-??而且(x (0), y (0)) = (1, 0). 现要由此得出虫子爬行的轨迹的参数方程. 【模型求解】令A =4523-?? ?-?? , 则|λE -A | =4523λλ--+= (λ+1)(λ-2). 可见A 的特征值为λ1 = -1, λ2 = 2. (-E -A )x = 0的一个基础解系为: ξ1 = (1, 1)T ; (2E -A )x = 0的一个基础解系为: ξ2 = (5, 2)T . 令P = (ξ1, ξ2), 则P -1AP =1002-?? ??? . 记X =x y ?? ???, Y =u v ?? ??? , 并且作线性变换X = PY , 则Y = P -1X , d d t Y = P -1d d t X = P -1AX = P -1APY =1002-?? ??? Y , 即 d d d d u t v t ?? ???=1002-?? ???u v ?? ??? , 故u = c 1e -t , v = c 2e 2t , 即Y =122t t c e c e -?? ??? . 因而 12c c ?? ??? = Y |t =0 = P -1X |t =0 =2/35/31/31/3-?? ?-??10?? ???=2/31/3-?? ???. 于是 x y O 1 何去何从?

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明教学提纲

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为 12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? (1)

一阶线性非齐次微分方程

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程 方程 dy dx P x y Q x += ()() 1 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 如果 Q x()≡0，则方程称为齐次的； 如果 Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。 a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程 dy dx P x y += ()0 2 的通解问题。 分离变量得dy y P x dx =-() 两边积分得ln()ln y P x dx c =-+ ? 或 y c e P x dx =?-?() 其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。 将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换 y u e P x dx =?-?() 两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()() ?=-? 两边求导得dy dx u e uP x e P x dx P x dx ='- -?-? ()() () 代入方程1得

'=-?u e Q x P x dx ()() ， '=?u Q x e P x dx ()() u c Q x e dx P x dx =+??()() 于是得到非齐次线性方程1的通解 []y e c Q x e dx P x dx P x dx =?+-???()()() 将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =?+?--????()()()() 【例1】求方程 dy dx y x x -+=+21 132() 的通解。 解：] 23)1([1212dx e x c e y dx x dx x ??++??=+-+-- ] 23)1([22)1(ln )1(ln dx e x c e x x +-+??++?= =+?++-?()[()]x c x dx 1121 2 =+?++()[()]x c x 12121 2 由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。

一阶齐次线性微分方程组解的一个结论-2019年精选文档

一阶齐次线性微分方程组解的一个结论 1 预备知识 在实际问题中,我们将会看到稍微复杂的物理系统(例如两个或两个以上回路电流变化规律,几个互相作用的质点的运动等等)的数学模型会导出多于一个微分方程的方程组。通过某些简化的假设,在相当广泛的问题里,这种方程组可以化为一阶线性微分方程组。本文主要给出了一个一阶齐线性微分方程组解的伏朗斯基行列式的结论。为讨论问题的方便,引入以下定义。 定义1 对于线性微分方程组 (1) 其中A(t)是区间a≤x≤b上的已知n×n连续矩阵,它的元素为aij(t),i,j=1,2,…,n。f (t)是区间a≤x≤b上的已知n 维连续列向量。如果f (t)≠0,则方程组(1)称为非齐线性的;如果f (t)=0,则方程组的形式为 (2) (2)称为齐线性的。 本文主要讨论齐线性微分方程组(2)的问题。 定义2 设有n个定义在区间a≤x≤b上的向量函数 由这n个向量函数构成的行列式 称为这些向量函数的伏朗斯基行列式。 定理 1

2 一阶齐线性微分方程组(2)解的伏朗斯基行列式的结论 定理2 考虑一阶齐线性微分方程组(2),其中A(t)是区间 a≤x≤b上的已知n×n连续矩阵,它的元素为 aij(t),i,j=1,2,…,n。 a.如果x1(t),x2(t),…xn(t)是方程组(2)的任意n个解,那么他们的伏朗斯基行列式W[x1(t),x2(t),…xn(t)]≡W(t)满足下面的一阶线性微分方程 W′=[a11(t)+a22(t)+…+ann(t)]W (6) b.解上面的一阶线性微分方程,有下式 成立。 证明 a.设 因为根据定理1 而由已知x1(t),x2(t),…xn(t)是方程组(2)的任意n个解,故 所以(8)式等于 根据行列式的性质 即满足(6)式。 b.将上面的一阶线性微分方程(6)变量分离 积分求解得 结论b.得证 3 总结 本文结合微分方程和矩阵代数的有关理论,给出的一阶齐线

高阶齐次线性微分方程

第七章常微分方程7.8 高阶齐次线性微分方程 数学与统计学院 赵小艳

1 2 高阶线性微分方程的概念 1 主要内容 3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关 高阶齐次线性微分方程通解的结构

1 2 高阶线性微分方程的概念 1 主要内容 3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关 高阶齐次线性微分方程通解的结构

解 受力分析 1 高阶线性微分方程的概念 例1 （弹簧的机械振动） 如图，弹簧下挂一物体.设在垂直方向有一随时间变化的外力 作用在物体上，物体将受外力驱使而上下振动，求物体的振动规律. pt H t f sin )(1= 以物体的平衡位置为坐标原点，x 轴的方向垂直 向下. x x o )(1t f ;sin )()1(1pt H t f =外力;)2(kx f -=弹性力v f μ-=0)3(介质阻力,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2可得.t x d d μ-= 设振动开始时刻为0，t 时刻物体离开平衡位 置的位移为x (t ).

,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2 可得t t 2d d 物体自由振动的微分方程 .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：

一般地，称 )()()(2122t F x t P t x t P t x =++d d d d 为二阶线性微分方程， ,0)(时当≡t F 称为二阶齐次线性微分方程, ,0)(时当≠t F 称为二阶非齐次线性微分方程. )()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- n 阶线性(微分)方程 ,0)(时当≡t F n 阶齐次线性微分方程, t t 2d d .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：物体自由振动的微分方程

(整理)二阶常系数线性微分方程的解法word版.

第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)

的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,

二次微分方程的通解

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数 如果y i、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么y Gy i Cy就是它 的通解 我们看看能否适当选取r 使y e”满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将y e"代入方程 y py qy 0 得 2 rx ( r pr q) e 0 由此可见只要r满足代数方程r pr q 0 函数ye”就是微分方程的解 2 特征方程方程r pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程特征方程的两个根「1、「2可用公式 p Jp24q 2 122 求出 特征方程的根与通解的关系 (1) 特征方程有两个不相等的实根r i、「2时函数y1 e rix、y2 e r2X是方程的两个线性无

关的解 这是因为

y 函数y 1 e riX 、y 2 e r2X 是方程的解 又丄1春e (ri r2)x 不是常数 y e r2X 因此方程的通解为 y C i e rix C 2e r2X (2) 特征方程有两个相等的实根 r i 「2时 函数比e riX 、y 2 xe riX 是二阶常系数齐次线性 微分方程的两个线性无关的解 这是因为 y i e riX 是方程的解 又 p(xe 「iX ) q(xe 「iX ) (2r i xr i 2)e riX p(i xr-i )e riX qxe 「iX e riX (2r i p ) xe riX (r i 2 pr i q ) 0 所以y 2 xe riX 也是方程的解 因此方程的通解为 y Ce riX C 2xe riX (3) 特征方程有一对共轭复根 两个线性无关的复数形式的解 rx 且昱X 不是常数 y i e riX r i, 2 i 时 函数y e ( 函数 y e x cos x 、y e x sin 的实数形式的解 可以验证 y i e x cos x 、y 2 e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y i e ( i )X X e (cos X i sin x ) y 2 e ( i )x X e (cos X i sin x ) y i y 2 2e X cos X e x cos X 珈 Y 2) y i y 2 2ie X si n X e x sin x 2i (y i y 2) 函数 y i e ( i )x 和 y 2 e ( i )x 都是方程的解 故e x cos x 、y 2 e x sin x 也是方程解 (xe riX ) i )x 、y e ( i )x 是微分方程的 x 是微分方程的两个线性无关 而由欧拉公式

一阶线性微分方程组

第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy （） 的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ??? 称为通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x 则称这个方程组为（）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。 令n 维向量函数 Y )(x =? ??? ?? ??????)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=????????????),,,,( ),,,,(),,,,(21212211n n n n y y y x f y y y x f y y y x f

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02 =++q p λλ的特征根为12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? …（1） 1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为