第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切

第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切

一、复习目标：

1、了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程。

2、能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式，体会化归思想的应用；掌握上述两角和与差的三角函数公式，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

3、能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体会化归思想的应用，掌握二倍角公式（正弦、余弦、正切），能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

4、能运用两角和与差的三角函数公式进行简单的恒等变换，推导出积化和差、和差化积公式及半角公式（不要求记忆和应用）。

二、基础梳理：

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

1）C αβ-:cos()αβ-= ；

2）C αβ+:cos()αβ+= ；

3）S αβ+:sin()αβ+= ；

4）S αβ-:sin()αβ-= ；

5）T αβ+:tan()αβ+= ；

6）T αβ-:tan()αβ-= ；

2、二倍角的正弦、余弦、正切公式：

1）2S α:sin 2α= ；

2）2C α:cos 2α= ；

3）2T α:tan 2α= ；

3、有关公式的逆用、变形：

1）2cos α= ；2sin α= ；

2）1sin 2α+= ；sin cos αα±= ；

3）tan tan αβ±= ；

4）()cos sin f x a x b x =+= ；（a ,b 是常数）.

4、两个技巧：

1)拆角、合角技巧：2()()ααβαβ=++-；()ααββ=+-；22αβ

αβ

β+-=-；

2）化简技巧：切化弦；“1”的代换等.

5、三个变化

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．

(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．

三、双基自测：

1、sin 15°cos 15°= .

2、若tan 3α=，则2sin 2cos αα

= . 3、已知3

4、已知

5、tan 20例1

方法总结：

练习1、化简

(sin cos 1)(sin cos 1)sin 2ααααα

+--+.

考点二、三角函数式的求值

例2、已知02πβαπ<<<<,且1cos()29βα-=-,2sin()23

αβ-=,求cos()αβ+的值.

方法总结：

练习2、已知,

αβ∈β的值.

例3、已知71cos =α，求β.

方法总结：

练习3、已知)2

,2(,ππβα-

∈，且βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两个根，求βα+的值．

考点四、三角函数的综合应用

例4、已知函数x x x f 2sin 2cos 2)(+=.

(1)求)3

(πf 的值；(2)求)(x f 的最大值和最小值．

方法总结：

练习4、已知函数x f )((1)求)(x f

难点突破10——1、给值求值：

示例1、已知2)4tan(=+π

x ，则x

x 2tan tan 的值为________．

2、给值求角：

示例2、已知,7

1tan ,21)tan(-==-ββα，且),0(,πβα∈，求βα-2的值

3、三角恒等变换与向量的综合问题

示例3、(sin 2)(1cos )a b θθ 已知向量=,-与=，互相垂直,(0,)2

πθ∈其中. ()1sin cos θθ求和的值；

()

25cos()0cos 2π

θ????若－=，＜＜,求的值．