材料力学动载荷的概念及分类
第14章动载荷
14.1 动载荷的概念及分类
在以前各章中，我们主要研究了杆件在静载荷作用下的强度、刚度和稳定性的计算问题。所谓静载荷就是指加载过程缓慢，认为载荷从零开始平缓地增加，以致在加载过程中，杆件各点的加速度很小，可以忽略不计，并且载荷加到最终值后不再随时间而改变。
在工程实际中，有些高速旋转的部件或加速提升的构件等，其质点的加速度是明显的。如涡轮机的长叶片，由于旋转时的惯性力所引起的拉应力可以达到相当大的数值；高速旋转的砂轮，由于离心惯性力的作用而有可能炸裂；又如锻压汽锤的锤杆、紧急制动的转轴等构件，在非常短暂的时间内速度发生急剧的变化等等。这些部属于动载荷研究的实际工作问题。实验结果表明，只要应力不超过比例极限，虎克定律仍适用于动载荷下应力、应变的计算，弹性模量也与静载下的数值相同。
动载荷可依其作用方式的不同，分为以下三类：
1．构件作加速运动。这时构件的各个质点将受到与其加速度有关的惯性力作用，故此类问题习惯上又称为惯性力问题。
2．载荷以一定的速度施加于构件上，或者构件的运动突然受阻，这类问题称为冲击问题。
3．构件受到的载荷或由载荷引起的应力的大小或方向，是随着时间而呈周期性变化的，这类问题称为交变应力问题。
实践表明：构件受到前两类动载荷作用时，材料的抗力与静载时的表现并无明显的差异，只是动载荷的作用效果一般都比静载荷大。因而，只要能够找出这两种作用效果之间的关系，即可将动载荷问题转化为静载荷问问题处理。而当构件受到第三类动载荷作用时，材料的表现则与静载荷下截然不同，故将在第15章中进行专门研究。下面，就依次讨论构件受前两类动载荷作用时的强度计算问题。
14.2 构件作加速运动时的应力计算
本节只讨论构件内各质点的加速度为常数的情形，即匀加速运动构件的应力计算。
14.2.1 构件作匀加速直线运动
设吊车以匀加速度a吊起一根匀质等直杆，如图14-1(a)所示。杆件长度为l，横截面面积为A，杆件单位体积的重量为 ，现在来分析杆内的应力。
由于匀质等直杆作匀加速运动．故其所有质点都具有相同的加速度a，因而只要
在每质点上都施加一个大小等于其质量m 与加速度a 的乘积、而方向与a 相反的惯性力，则整个杆件即可认为处于平衡状态。于是这一动力学问题即可作为静力学问题来处理。这种通过施加惯性力系而将动力学问
题转换为静力学问题的处理方法，称为动静
法。
对于作匀加速直线运动的匀质等直杆来
说，在单位长杆上应施加的惯性力，亦即它
所受到的动载荷显然为 a g A γp d = 它的方向与a 相反，并沿杆件的轴线均匀分
布。
为了计算此杆的应力，首先来分析它的内力。为此，应用截面法，在距下端为x 处将杆假想地切开，并保留下面一段杆，其受力情况如
图14-1(b)所示。此段杆受到沿其长度均匀分布的轴向载荷的作用，其集度即单位长杆所受到的载荷为
)1(g
a A γa g A γA γp p p d st +=+=+= 式中，γ=A st p 是单位长杆所受到的重力，即a =0时单位长杆所受到的载荷，亦即静载荷。在上述轴向载荷作用下，直杆横截面上的内力应为一轴力，由平衡条件0=∑x F 得此轴力的大小为
x g
a A γpx F Nd )1(+== (14-1) 轴力在横截面上将引起均匀分布的正应力，于是，该截面上的动应力为
)1(g
a γx A F σNd d +== (14-2) 由式(14-2)可知，这一动应力是沿杆长按线性规律变化的，其变化规律如图14-1(c)所示。
若此杆件静止悬挂或匀速提升时，亦即受静载荷作用时，由于a =0，由公式(14-2)得其静应力为
γx σst =
于是动应力又可以表示为
st )1(σK g
a σσd st d =+= (14-3) g
a σσK d +==1st d (14-4) K d 称为动荷系数。于是，构件作匀加速直线运动的强度条件为
][σ.K σσd max st max d ≤= （14-5）
由于在动载荷系数d K 中已经包含了动载荷的影响，所以][σ即为静载下的许用应力。
动载荷系数的概念在结构的动力计算中是非常有用的，因为通过它可将动力计算问题转化为静力计算问题，即只需要将由静力计算的结果乘上一个动载荷系数就是所需要的结果。但应注意，对不同类型的动力问题，其动载荷系数d K 是不相同的。 14.2.2 构件作匀角遮转动时的应力计算
构件作匀角速转动时，构件内各点具有向心加速度，施加离心惯心力后，可采用动静法求解。
图14-2(a)所示为一等直杆绕铅直轴O (垂直于纸面)作匀角速转动。现求杆内最大动应力及杆的总伸长。设匀角速度为ω(rad/s)，杆的横截面积为A ．杆的重量密度为ρ，弹性模量为E 。
因杆绕O 轴作匀角速转动，杆内各点到转轴O 的距离不同，而有不同的向心加速度。对细长杆距杆右端为ξ的截面上各点的加速度为
)(l 2n ξ-ω=a
该处的惯性力集度为
)()(2
ξl g
ρAωξq d -= 取微段ξd ，此微段上的惯性力为
ξξωρ)d (g A d 2
-=l F
计算距杆右端为x 处截面上的内力，运用截面法，保留杆x 截面以右部分，在保留部分上作用有轴力F N (x)及集度为q d 的分布惯性力，如图14-2(b)所示，由平衡条件0=∑x F 得
ξξl g
ρAω(x)F x
N )d (20-=
? 由此得出 )2
()(2
2x lx g ρAωx F N -= 最大轴力发生在x =l 处
22max
2l g
ρAωF N = 最大动应力为 22max 2l g
ρωσ= 可见，本例中杆的动应力与杆的横截面面积无关。
下面计算杆的总伸长。距杆右端为x 处取微段d x ，应用虎克定律，此微段的伸长为
x EA
(x)F l N d )
d(? 进行积分，求得杆的总伸长为 Eg
l ρωx x lx Eg ρωx EA (x)F Δl l l N 3)d 2(d 322200=-==?? 例14-1 图14-3(a)所示之薄壁圆环，以匀角速ω绕通过圆心且垂直于圆环平面的轴转动，试求圆环的动应力及平均直径D 的改变量。已知圆环的横截面面积为A ，材料单位体积的质量为ρ，弹性模量为E 。
解 因圆环作匀角速运动，所以环内各点只有向心加速度。对于薄壁圆环，其壁厚远小于平均直径D ，可近似认为环内各点向心加速度大小相同，且等于平均直径为D 的圆周上各点的向心加速度，即
2
2
ωD a n = 于是，沿平均直径为D 的圆周上均匀分布的离心惯性力集度q d 为
2
2
D ωA ρA ρρq n d == 按动静法，离心惯性力q d 自身组成一平衡力系。为了求得圆环的周向应力，先求通过直径截面上的内力。为此将圆环沿直径分成两部分。研究上半部分，见图14-3(c)，内力以Nd F 表示，由平衡条件0=∑y F ，得
d θD θ
q F π
d Nd 2
sin 20?= 解得 4
222ωA ρρ q D F d Nd ==， 圆环的周向应力为 4
2
2ωρD A F σNd d == 根据强度条件 ][4
2
2σ≤=ωρD σd 可确定圆环的极限匀角速度为
ρD ωu ][2σ=。 可见u ω与横截面面积无关，即面积A 对强度没有影响。
下面计算平均直径的改变量δ。若周向应变为d ε，有
D δπD πD δ)π(D εd =-+=
即D εδd =
根据虎克定律E
σεd d =，代入上式，得平均直径的改变量为 E
ωρD D E σδd 42
3== 若圆环是飞轮的轮缘，它与轮心采用过盈配合，当转速过大时，则由于变形过大而可能自行脱落。
例14-2 在AB 轴的B 端有一个质量很大的飞轮(图14-4)。与飞轮相比，轴的质
量可以忽略不计。轴的另一端A
装有刹车离合器。飞轮的转动惯
量为20.5kNms =x I ，轴的直径
d =100mm ，转速n =300r/min ，刹
车时使轴在10秒内均匀减速停
止转动。试求轴内最大动应力。
解 轴与飞轮的角速度(rad/s)为
πππω1030
300300===
n 刹车时的角加速度(rad/s 2)为 ππωω-=-=-=10
10001t a 等号右边的负号只是表示a 与0ω的方向相反。按动静法，飞轮的惯性力偶矩d m 与轮上的摩擦力矩f m 组成平衡力系。惯性力偶矩(kN ·m)为
5.0x d π=-=a I m
由平衡条件 0=∑x M ，得0.5πd f
==m m 轴横截面上的最大切应力为 8MPa Pa 0.116
π100.5π3
3max =??==n d W m τ 14-3 构件受冲击时的应力与变形
当不同速度的两个物体相接触，其速度在非常短的时间内发生改变时，或载荷迅速地作用在构件上，便发生了冲击现象。例如汽锤锻造、金属冲压加工、传动轴的突然制动等情况下都会出现冲击问题。通常冲击问题按一次性冲击考虑，对多次重复性冲击载荷来说将产生冲击疲劳。
14.3.1 冲击问题的理想化
冲击应力的计算是一个复杂问题。其困难在于需要分析物体在接触区内的应力状态和冲击力随时间变化的规律。冲击发生时，冲击区和支承处因局部塑性变形等会引起能量损失。同时，由于物体的惯性作用会使冲击时的应力或位移以波动的形式进行传播。考虑这些因素时，问题就变得十分复杂了，其中许多问题仍是目前正在研究和探索的问题。
因此，在工程中通常都在假设的基础上，采用近似的方法进行分析计算。即首先根据冲击物被冲击物在冲击过程中的主要表现，将冲击问题理想化，以便于求解。 这里介绍一种建立在一些假设基础上的按能量守恒原理分析冲击应力和变形的方法，可对冲击问题给出近似解答。
假设当冲击发生时：
1．冲击物为刚体，即略去其变形的影响。
2．被冲击物的惯性可以略去不计，并认为两物体一经接触就附着在一起，成为一个运动系统。
3．材料服从虎克定律，并略去冲击时因材料局部塑性变形和发出声响等而引起的一切其它能量损失。
基于上述假设，任何受冲击的构件或结构都可视为一个只起弹簧作用，而本身不具有质量的受冲击的弹簧。例如图14-5(a)、(b)、(c)、(d)所示的受自由落体冲击时的构件或结构，都可简化为图14-6所示的冲击模型。只是各种情况下与弹簧等效的各自的弹簧常数不同而已。例如图14-5(a)、(b)所示的构件，其等效的弹簧常数应分别为l EA 和33l
EA 。 14.3.2 简单冲击问题的解法
1．自由落体冲击
设一简支梁(线弹性体)受自由落体冲
击如图14-7所示，试分析此梁内的最大
动应力。
设重物的重量为G ，到梁顶面的距
离为h ，并设冲击时梁所受到的冲击力为
F d ，其作用点的相应位移d ?。则冲击物
在冲击前的瞬间所具有的速度为
gh v 2=
而在它与被冲击物一起下降d ?后，这一速度变为零。于是，冲击物在冲击过程中的能量损失包括两部分，一部分是动能损失
22v g
G T =
另一部分是势能损失
d G ΔV =
而被冲击物在这一过程中所储存的变形能，即等于冲击力所作的功。对于线弹性体，有
2
d d d ΔF U = 根据前面的假设，在冲击过程中，冲击物所损失的能量，应等于被冲击物所储存的变形能，则有
V T U d +=
即
d d d G Δv g
G ΔF +=222 (a) 如设冲击点在静载荷G 作用下的相应位移为st ?，对于理想线弹性体，显然有
st
d d ΔG ΔF = 所以得到
d st
d d K ΔΔG F == (b) 式中，d K 为动荷系数。将动载荷系数的表达式(b)代人能量转换式(a)并经整理后得
022
2=--st d d
g Δv K K （c ） 方程(c)显然有两个根，其中负根对于这里讨论的问题来说是无意义的，故舍弃。于是动载荷系数为：
st
d g Δv K 2
11++= (14-6) 式(14-6)适用于所有自由落体冲击，但对于其它形式的冲击不适用。各种冲击形式下的动载荷系数，均可根据各自的能量转换关系导出。
由于gh v 22=，则式(14-6)可表示为
st d Δh K 211++= (14-7) 当动载荷系数确定以后，只要将静载荷的作用效果放大d K 倍，即得动载的作用效果。即有：
G K F d d =
st d d ΔK Δ=
st d d σK σ=
于是，梁的最大动应力为
max max st d d σK σ=
故梁的强度条件为：
][σmax max ≤=st d d σK σ
在上述讨论中，由于忽略了其它形式的能量损失，如振动波、弹性回跳以及局部塑性变形所消耗的能量，而认为冲击物所损失的能量，全部都转换成了被冲击物的变形能，因而这一算法事实上是偏于安全的。但是，值得注意的是，如果按这一算法算出的构件的最大工作应力，超过了材料的比例极限，即
p d σσ>max
时，上述算法将不再适用，因为这一算法是在被冲击物为理想线弹性体的前提下导出的。
例14-3 重量G = l kN 的重物自由下落在矩形截面的悬臂梁上，如图14-8所示。
已知b =120mm ，h =200mm ，H =40mm ，l =2m ，
E =10GPa ，试求梁的最大正应力与最大挠度。
解 此题属于自由落体冲击，故可直接应用前面导出
的公式计算。即
max max st d d σK σ=
max max st d d v K v =
而动载荷系数
st
d ΔH K 211+
+= 于是求解过程可分为两个步骤：
1．动载荷系数的计算
为了计算d K ，应先求冲击点的静位移st ?。悬臂梁受静载荷G 作用时，载荷作用点的静位移，即自由端的挠度为 mm 310mm 1220012010103)102(1013333333max =???????===EI Gl v Δst st 则动载荷系数
63
10
40211=?++=d K 2．静载荷作用下的应力与变形
如图14-7所示，悬臂梁受静载荷G 作用时，最大正应力发生在靠近固定端的截面上，其值为
2.5MPa MPa 20012010210166G 2
332max max =?????===bh l W M σst 而最大挠度发生在自由端，即
mm 3
10Δv st stmax =
= 于是，此梁的最大动应力与最大动挠度分别为 15MPa 6MPa 2.5σdmax =?=
20mm 6mm 3
10v dmax =?= 2．水平冲击
重量为G 的重物以水平速度v 撞在直杆上，
如图14-9所示。若已知杆的抗弯刚度EI 为常数，
而抗弯截面系数为W ，试求杆内的最大正应力。
此问题不属于自由落体冲击，因而一些相关
的公式，需要根据冲击过程中的能量转换关系重
新推导。
设杆件受到的水平方向的冲击力为F d ，其
作用点的相应位移为d ?，则杆件的变形能为
2
d d d ΔF U = 而重物在冲击过程中早有动能损失，其值为
22v g
G T =
于是，这时的能量转换关系为 222v g
G ΔF d d = 如设沿冲击方向，即水平方向，作用静载荷G 时，其作用点的相应位移为st ?，对于线弹性体则有下述关系存在
d st
d d K ΔΔG F == 将这一关系式，代人上面的能量转换关系式，并经整理后得
st d
g Δv K 2
2= 舍去无意义的负根，得水平冲击时的动载荷系数为
st
d g Δv K 2
= 此杆在静载荷G 作用下，其作用点的相应静位移为
EI
Gl Δst 33
= 而杆内的最大静应力为
W
Gl W M σst ==
max max 于是，杆内的最大动应力为 gl
GEI W v W Gl EI Gl g v σK σst d d 3332max max ===
例14-4 图14-10(a)中所示的变截面
杆a 的最小截面与图14-10(b)所示的
等截面杆b 的截面相等，在相同的冲
击载荷下，试比较柱两杆的强度。两
杆的材料相同。
解 在相同的静载荷作用下，两
杆的静应力st σ相同，但杆a 的静变形
a st
Δ；显 然小于杆b 的静变形b st Δ，则杆a 的动应力必然大于杆b 的动应力。而且杆a 的削弱部分的长度s 越小，则静变形越小，就更加增大了动应力的数值。
从公式(14-7)、式(14-9)都可看到，在冲击问题中，如能增大静位移st ?，就可以降低冲击载荷和冲击应力。这是因为静位移的增大表示构件较为柔软，因而能更多地吸收冲击物的能量。但是，增加静变形st ?应尽可能地避免增加静应力st σ，否则，降低了动载荷系数d K ，却又增加了st σ，结果动应力未必就会降低。汽车大梁与轮轴之间安装叠板弹簧，火车车厢架与轮轴之间安装压缩弹簧，某些机器或零件上加上橡皮座垫或垫圈，都是为了既提高静变形st ?，又不改变构件的静应力。这样可以明显地降低冲击应力，起很好的缓冲作用。
由弹性模量较低的材料制成的杆件，其静变形较大。所以如用弹性模量较低的材料代替弹性模量较高的材料，也有利于降低冲击应力。但弹性模量较低的材料往往许用应力也较低，所以还应注意是否能满足强度条件。
上述计算方法，省略了其它形式能量的损失。事实上，冲击物所减少的动能和势能不可能全部转变为被冲构件的变形能。所以，按上述方法算出的被冲构件的变形能的数值偏高，由这种方法求得的结果偏于安全。
14.3.3 其它类型的冲击问题
为了进一步掌握冲击过程中的能量转换关系，现在讨论几例工程中常见的冲击问题。图14-11所示吊索的一端悬挂着重量为G 的重物，另一端绕在绞车的鼓轮上。已知吊索的横截面面积为A ，弹性模量为E ，重物以匀速v 下降。当吊索的长度为l 时，绞车突然刹住，试求吊索内的最大正应力。
此例与前面问题的差别就在于，刹车前吊索已经受到静载荷G 的作用，产生了静变形st ?，并且已经储存了变形能/2Δst st G U =。因此，如设吊索最终变形为d ?，相应的载荷为d F ，则由图14-11知，吊索在冲击过程中所储存的变形能为
22st d d d G ΔΔF U -= 则重物在这一过程中，损失的能量有动能
22v g
G T =
及势能 )ΔG(ΔV st d -=
于是，这时的能量转换关系为
)ΔG(Δv g
G G ΔΔF st d st d d -+=-2222 再借助于
d st
d d K ΔΔG F == 即可求得此时的动载荷系数为
st
d g Δv K 2
1+= 吊索在静载荷G 作用下的静应力与静变形分别为
AE
Gl ,ΔA G σst st == 于是，突然刹车时吊索中的最大动应力为
A
G )gGl AEv (A G )g Δv (σK σst st d d 2211+=+== 例14-5 若例14-2中的AB 轴在A 端突然刹车(即A 端突然停止转动)，试求轴内最大动应力。设切变模量G =80GPa 。轴长l =lm 。
解 当A 端刹车时，B 端飞轮具有动能。固而AB 轴受到冲击，发生扭转变形。在冲击过程中，飞轮的角速度最后降低为零，它的动能T 全部转变为轴的变形能U d 。飞轮动能的改变为
22
1ωI T x = AB 轴的扭转变形能为 p
d d GI l T U 22=
由T U =d 解出扭矩 l GI I ωT p x d = 轴内最大切应力为 2
max t p x t d d lW GI I ωW T τ== 对于圆轴 A )πd (πd W I t p 2163223
42=?= 所以 Al
G I ωτx d 2max = 可见扭转冲击时的最大动应力max d τ与轴的体积有关。体积Al 越大，max d τ越小。把 巳知数据代入上式，得
MPa 3171MPa 1
)1050(1080105.02102333max =???π????π=--d τ 与例14-2比较．可知这里求得的max d τ是在那里所得最大切应力的396倍。对于常用钢材，许用扭转切应力约为][τ=80~100MPa ，上面求出的max d τ已经远远超过了许用
应力。所以对保证轴的安全来说，冲击栽荷是
十分有害的。
例14-6 横截面积为A 1，弹性模量为E 1，
长度为l 1，单位体积重量为γ的匀质等直杆1以
水平速度v 与等直杆2相撞，如图l0-12所示。
若杆2的长度为l 2，横截面积为A 2，弹性模量
为E 2，试求两杆中的最大动应力。
解 在这一冲击过程中，两杆都将产生变
形，因而两杆都储存了变形能。如设两杆之间
的冲击力为F d ，则2杆的变形能为
2
22222E A l F U d d = 这时，1杆将受到沿轴线均匀分布的惯性力的
作用， 图14-12所示，其集度为
1l F p d =
于是，任意横截面上的轴力为故其变形能为
111211201621
E A l
F E A dx F U Nd Nd l d ==?
而这两部分变形能都是由1杆的动能转换而来的。在这一冲击过程中，l 杆损失的动能为
2112v g
γl A T =
于是，由T U U d2d1=+解出冲击力 )g E A l E A l (γv l A F d 2
221112113+= 固两杆的最大动应力分别为
11A F σd d =，2
2A F σd d = 14.4 冲击韧度
在静载荷下塑性较好的构件，受冲击载荷作用时塑性降低。变形速度越高，材料越呈现脆性。尤其是构件存在应力集中以及在低温下，脆性断裂的危险性更大。
材料抵抗冲击的能力由材料的冲击试验确定。我国目前采用的标准试件是两端简支中央具有切槽的弯曲试件图14-13。
x l F px F d Nd 1
==
图14-13
冲击试验时，将U 型切槽试件放置于冲击试验机的支架上，切槽位于受拉一侧，图14-14(b)，试验机的摆锤从一定高度下落并将试件撞断，图14-14(a)，撞断试件所消耗的功等于试件所吸收的能量。将此功W 除以切槽处最小截面面积A ，定义为材料的冲击韧度，用)J/mm (2k α表示，则 A W αk = 14-13） 在冲击试件上开U 形槽是为了在切槽附近产生高度应力集中，使切槽附近区域吸收较多的冲击能量。为此，有时采用V 形切槽试件图14-13(b)。采用V 形切槽试件进行试验时，其冲击韧度用冲断试件时摆锤所作的功来表示，而不除以切槽处的横截面面积。
材料的冲击韧度k α随温度降低而减小。图14-15表示低碳钢的冲击韧度和温度之间的关系曲线。由图可见，在C o 40-附近，低碳钢的冲击韧度急剧降低，材料变得很脆，一般称之为冷脆现象。使冲击韧度急剧降低的温度称为转变温度。
图 14-14 图14-15
有些金属材料，如铜、铝合金和某些合金钢的冲击韧度k α变化很小，其冷脆现象不明显。
在选择受冲击构件的材料时，应根据设计规范的要求，材料在最低使用温度下应具有某一冲击韧度值，以防止发生脆性断裂。
习 题
14-1 长度为l ，重量为G ，横截面面积为A 的均质等直杆，水平放置在一排光滑的辊子上，杆的两端受轴向力F l 和F 2作用，且F 2>F 1。试求杆内的正应力沿杆长的变
化规律(设滚动摩擦可以忽略不计)。
14-2 桥式起重机上悬挂—重量G=50kN 的重物，以匀速度v = l m/s 向前移 （在图中，移动的方向垂直于纸面)。当起重机突然停止时，重物像单摆一样向前摆动。若梁为14号工字钢，吊索横截面面积24m 105-?=A ，试问此时吊索内及梁内的最大应力增加多少?设吊索的自重以及由重物摆动引起的斜弯曲影响都忽略不计。
14-3 飞轮的最大圆周速度v =25m/s ，材料的密度是7.26kg ／m 3。若不计轮辐的影响，试求轮缘内的最大正应力。
14-4 冲击试验机的摆锤CD 可绕水乎轴AB 旋转。在试验前摆锤置于图示位置，然后使它在重力的作用下下落。已知F =250N ，r=0.75m ，l =0.25m ，d =20mm 。试求由摆锤的惯性力在AB 轴内所引起的最大弯曲正应力的数值。杆CD 及轴AB 的自重略去不计，角度α可认为接近于零。
14-5 在直径为100mm 的轴上装有转动惯量I =0.5kN.m.s 2的飞轮，轴的转速为300r ／min 。制动器开始作用后，在20转内将飞轮刹停，试求轴内最大切应力。设在制动器作用前，轴已与驱动装置脱开，且轴承内的摩擦力可以不计。
14-6 图示钢轴AB 的直径为80mm ，轴上有一直径为80mm 的钢质圆杆CD ，CD
垂直于AB，若AB以匀角速度ω=40rad/s转动，材料的许用应力[σ]=70MPa，密度为7800kg／m3,试校核AB轴及CD杆的强度。
14-7 圆轴AD以等角速度ω转动，在轴的纵向对称平面内，于轴线的两侧装有两个重量均为G的偏心球。试求图示位置时，轴内的最大弯矩。
14-8 卷扬机开动时，鼓轮旋转，将重物G=40kN以加速度a=5m/s2向上提升，鼓轮重量为4kN，直径1.2m，其回转半径ρ=450mm，轴长l=1m，许用应力[σ]=100MPa，设鼓轮的两端可视为铰支，试按第三强度理论设计轴的直径。
14-9 用同一材料制成长度相等的等截面与变截面杆，二者最小截面相同。问二杆承受冲击的能力有无不同?为什么？
14-10 若冲击高度、被冲击物、支承情况和冲击点均相同，问冲击物重量增加一倍时冲击应力是否也增大一倍?为什么?
14-11 设重物G在距梁的支座B为l／3处的D点，自高为H处自由落下，梁的EI及弹簧系数C均为已知，试求梁受冲击时最大的动应力和动变形。
14-12 图示钢杆的下端有一圆盘，其上放置一弹簧。弹簧在1kN的静荷作用下
缩短0.625mm。钢杆直径d=40mm，l=4m，许用应力[σ]=120MPa，E=200GPa。今有重量为G=15kN的重物自由下落，试求其许可高度H，又若无弹簧，则许可高度将等于多大?
14-13 直径d=300mm、长为l=6m的圆木桩，下端固定，上端受重W=2kN的重锤作用。木材的E1=10GPa。试求下列三种情况，木桩内的最大正应力：
(1)重锤以静载荷的方式作用于木桩上；
(2)重锤从离桩顶0.5m的高度自由落下；
(3)在桩顶放置直径为150mm、厚为40mm的橡皮垫，橡皮的弹性模量E2=8MPa。重锤也是从离橡皮垫顶面0.5m的高度自由落下。
14-14 一个700N体重的跳水运动员，设从300mm高处落到跳板上，跳板尺寸如图所示，E=10GPa，试求跳板中的最大弯曲应力。
14-15 如图安置一废的灰铸件，未能将其冲断，为了将其冲断，试述可能的措施
有哪些?为什么？0l增大些好还是减小些好?
14-16 图(a)、(b)所示二刚架的材料、截面形状，尺寸、长度均相同．承受图示冲击载荷作用，冲击点位置D都在水平杆BC的中点，弹簧系数为C。试问：(1)图(a)，
K大，(2)图(a)，(b)在相同点处的冲击应力dσ何者为大? (b)中何者的动载荷系数d
材料力学习题册答案-第10章 动载荷
第十章动载荷 一、选择题 1、在用能量法计算冲击应力问题时，以下假设中（ D ）是不必要的。 A 冲击物的变形很小，可将其视为刚体； B 被冲击物的质量可以忽略，变形是线弹性的； C 冲击过程中只有应变能、势能和动能的变化，无其它能量损失； D 被冲击物只能是杆件。 2．在冲击应力和变形实用计算的能量法中，因不计被冲击物的质量，所以计算结果与实际情况相比（ D ）。 A 冲击应力偏大，冲击变形偏小； B 冲击应力偏小，冲击变形偏大； C 冲击应力和冲击变形均偏大； D 冲击应力和冲击变形均偏小。 3．四种圆柱及其冲击载荷情况如图所示，柱C上端有一橡胶垫。其中柱（ D ）内的最大动应力最大。 A B C D 二、计算题 1、重量为P的重物从高度H处自由下落到钢质曲拐上，试按第三强度准则写出危险点的相 当应力。
解：在C 点作用静载荷P 时，BC 段产生弯曲变形，AB 段产生弯扭组合变形，C 点的静位移： a GI Pal EI Pl EI Pa a f f PAB AB BC AB B C st ?++=?++=?3333? st d H K ?++=211 式中，b h I BC 123=，644d I AB π=，32 4d I PAB π= 危险点在A 截面的上下端，静应力为： Z Z r W l a P W T M 2 2223+=+=σ 式中，323 d W Z π= 则动应力为： Z d r d d W l a P K K 223+=?=σσ 2、图示横截面为m m 25m m 75?=?h b 的铝合金简支梁，在跨中增加一刚度kN/m 18=K 的 弹簧支座，重量为N 250=P 的重物从高度mm 50=H 自由下落到梁的中点C 处。若铝合金的弹性模量GPa 70=E ，试求冲击时梁内的最大正应力。 解：在C 点作用静载荷P 时，AB 梁为静不定问题，变形协调条件为梁中点变形等于弹簧变形，故有：
重庆大学材料力学教案b动荷载
第十五章动荷载 一、教学目标和教学内容 1．教学目标 通过本章学习，唤起学生对动荷载问题的注意。 让学生知道动荷载问题的两个方面，目前应当掌握在较简单的工程问题中，动荷载引起杆件的应力、应变和位移的计算。对于材料在动荷载下的力学行为，以后根据工作的需要再进一步补充学习。 让学生掌握动荷载问题的基本知识，如杆件作等加速运动时的应力计算，作等速旋转圆盘的应力分析，简单的自由落体冲击和水平冲击，以及循环应力问题的有关概念。 能够深刻认识动荷系数概念，并能够熟练地进行杆件作等加速运动时的应力计算，作等速旋转圆盘的应力分析，完成简单的自由落体冲击和水平冲击的计算。 2．教学内容 介绍杆件作等加速运动拉伸、压缩及弯曲时的应力计算。 介绍等角速度旋转的动荷应力计算。 讲解简单冲击时，能量守恒的基本方程，分别导出自由落体冲击和水平冲击时的动荷系数公式，及杆件经受冲击时的应力计算公式。 二、重点难点 重点：建立三类动荷载概念。 掌握杆件作等加速运动时的应力计算。 作等速旋转圆盘的应力分析。 简单的自由落体冲击和水平冲击问题的计算 难点：对动静法和动荷系数的理解。 对于动荷载问题与静荷载问题的联系与区别。 在简单冲击问题中，被冲击杆件冲击点的相应静荷位移的理解和计算，特别是水平冲击时的静荷位移的理解和计算。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 3学时 五、讲课提纲 1、概述 前面研究了静荷载作用下的强度、刚度和稳定性问题。所谓静荷载（Static Load）是指构件所承受的荷载从零开始缓慢地增加到最终值，然后不再随时间而改变。这时，构件在变形过程中各质点的加速度很小，加速度对变形和应力的影响可以忽略不计。当荷载引起构件质点的加速度较大，不能忽略它对变形和应力的影响时，这种荷载就称为动荷载（Dynamic Load）。 构件在动荷载作用下产生的应力和变形分别称为动应力（Dynamic Stress）和动变形（Dynamic Deformation）。实验表明，在静荷载下服从胡克定律的材料，
材料力学动载荷
动载荷 一、选择题 11.1、由于冲击载荷作用过程十分短暂，所以构件内会产生较大的加速度。 A正确 B错误 11.2研究冲击时的应力和应变已经不属于动载荷问题。 A正确 B错误 11.3、交变应力作用下的塑性材料破坏并不表现为脆性断裂。 A正确 B错误 二、简答题 11.4、动载荷作用下构件内产生的应力称为____。 11.5、当具有一定速度的物体（冲击物）作用到静止的构件（被冲击物）上时，冲击物的速度发生急剧的变化，由于冲击物的惯性，使被冲击物受到很大的作用力，这种现象称为 _______。 11.6 三、计算题 11.7、图示宽为b，高为h的矩形截面梁ABC，材料弹性模量为E，在BC中部受重力P的物体自由落体冲击，求最大工作应力。 11.8 11.9
11.10、组合梁如图所示，AB段与CD段的截面都是边长为a的正方形，且材料弹性模量都为E，重物P从高H处自由落到AB的中点D（H很大），求冲击造成的梁中最大动应力。解： 【答案】 一、选择题 11.1 A 11.2 B 11.3 B 二、简答题 11.4动应力 11.5冲击 11.6 三、计算题 11、7
题31图单位载荷法求D处的静位移D y。 2 max 3 3 3 3 3 2 1 3 2 2 2 2 1 2 1 3 2 5 8 1 1 5 96 1 1 2 1 1 ) ( 48 5 )2 16 1 6 1 3 1 4 1 ( 2 6 1 16 3 1 4 2 1 bh Pl K W Pl K W M K Pl EHbh Pl EIH y H K EI l P l P EI EI M M y l M M Pl l M Pl d Z d Z A d d D d C C D C C C = = = + + = + + = + + = ↓ ? = ? ? ? + ? = ? + = = = = = σ ω ω ω ω ω ο ο ο ο ο＝ ＝ ； 11.8 11.9 11.10
材料力学动荷的概念及分类
第14章动载荷 14.1 动载荷的概念及分类 在以前各章中，我们主要研究了杆件在静载荷作用下的强度、刚度和稳定性的计算问题。所谓静载荷就是指加载过程缓慢，认为载荷从零开始平缓地增加，以致在加载过程中，杆件各点的加速度很小，可以忽略不计，并且载荷加到最终值后不再随时间而改变。 在工程实际中，有些高速旋转的部件或加速提升的构件等，其质点的加速度是明显的。如涡轮机的长叶片，由于旋转时的惯性力所引起的拉应力可以达到相当大的数值；高速旋转的砂轮，由于离心惯性力的作用而有可能炸裂；又如锻压汽锤的锤杆、紧急制动的转轴等构件，在非常短暂的时间内速度发生急剧的变化等等。这些部属于动载荷研究的实际工作问题。实验结果表明，只要应力不超过比例极限，虎克定律仍适用于动载荷下应力、应变的计算，弹性模量也与静载下的数值相同。 动载荷可依其作用方式的不同，分为以下三类： 1．构件作加速运动。这时构件的各个质点将受到与其加速度有关的惯性力作用，故此类问题习惯上又称为惯性力问题。 2．载荷以一定的速度施加于构件上，或者构件的运动突然受阻，这类问题称为冲击问题。 3．构件受到的载荷或由载荷引起的应力的大小或方向，是随着时间而呈周期性变化的，这类问题称为交变应力问题。 实践表明：构件受到前两类动载荷作用时，材料的抗力与静载时的表现并无明显的差异，只是动载荷的作用效果一般都比静载荷大。因而，只要能够找出这两种作用效果之间的关系，即可将动载荷问题转化为静载荷问问题处理。而当构件受到第三类动载荷作用时，材料的表现则与静载荷下截然不同，故将在第15章中进行专门研究。下面，就依次讨论构件受前两类动载荷作用时的强度计算问题。 14.2 构件作加速运动时的应力计算 本节只讨论构件内各质点的加速度为常数的情形，即匀加速运动构件的应力计算。 14.2.1 构件作匀加速直线运动 设吊车以匀加速度a吊起一根匀质等直杆，如图14-1(a)所示。杆件长度为l，横截面面积为A，杆件单位体积的重量为 ，现在来分析杆内的应力。 由于匀质等直杆作匀加速运动．故其所有质点都具有相同的加速度a，因而只要
材料力学公式汇总情况
材料力学重点及其公式 材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。 外力分类： 表面力、体积力；静载荷、动载荷。 内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。 应力： dA dP A P p A = ??=→?lim 正应力、切应力。 变形与应变：线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。 静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不在变化的载荷动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限 b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应 力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为： []3 n s σσ=， []b b n σσ=，强度条件： []σσ≤??? ??=max max A N ，等截面杆 []σ≤A N max 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=?1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：l l ?= ε，A P A N ==σ。横向应变为：b b b b b -=?=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-=' 。
材料力学-第十章 动载荷
班级 学号 姓名 10-1 均质等截面杆，长为l ，重为W ，横截面面积为A ，水平放置在一排光滑的辊子上，杆的两端受轴向力F 1和F 2作用，且F 2﹥F 1。试求杆内正应力沿杆件长度分布的情况（设滚动摩擦可以忽略不计）。 10-2轴上装一钢质圆盘，盘上有一圆孔。若轴与盘以ω＝40rad/s 的匀角速度旋转，试求轴内由这一圆孔引起的最大正应力。 题10-1图 题10-2图
班级学号姓名 10-3 图示钢轴AB的直径为80mm，轴上有一直径为80mm的钢质圆杆CD，CD垂直于AB。若AB以匀角速度ω＝40rad/s转动。材料的许用应力[σ]＝70MPa，密度为7.8g/cm3。试校核AB及CD杆的强度。 题10-3图 10-4 AD轴以匀角速度ω转动。在轴的纵向对称面内，于轴线的两侧有两个重为P的偏心载荷，如图所示。试求轴内最大弯矩。 题10-4图
班级学号姓名 10-5 AB杆下端固定，长度为l，在C点受到沿水平运动的物体的冲击。物体的重量为P，当其与杆件接触时的速度为v。设杆件的E、I及W皆为已知量。试求AB杆的最大应力。 10-6 直径d=30cm，长为l=6m的圆木桩， 下端固定，上端受重P＝2kN的重锤作用，木材的E1＝10GPa。求下列三种情况下，木桩内的最大正应力。 (a) 重锤以静载荷的方式作用于木桩上； (b) 重锤以离桩顶0.5m的高度自由落下； (c) 在桩顶放置直径为15cm、厚为40mm的橡皮垫，橡皮的弹性模量E2=8MPa。重锤也是从离橡皮垫顶面0.5m的高等自由落下。 题12-5图 (a)(b) 题12-6图