湘教版八年级下册数学
复习归纳
HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
c b a
C B A D
C B
A
E D
C B
A G
F
E
D
C B A
八年级下册数学复习知识点梳理 一、直角三角形
1、角平分线: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
如图,∵AD 是∠BAC 的平分线(或∠1=∠2),
PE ⊥AC ,PF ⊥AB ∴PE=PF
·如图,在ΔABC 中,∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,
若BD=10厘米,BC=8厘米,DC=6厘米,则点D 到直线AB 的距 离是________厘米。
·如图:在△ABC 中,,O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点。
求证:点O 在∠A 的平分线上。
2、线段垂直平分线:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 。 ·如图,△ABC 中,DE 是AB 的垂直平分线,AE=4cm ,△ABC 的周长是18 cm ,则△BDC 的周长是__。
·已知:如图,求作点P ,使点P 到A 、B 两点的距离相等,
且P 到∠MON 两边的距离也相等. 3、勾股定理及其逆定理 ①勾股定理: 222c b a =+。 ·如图是拉线电线杆的示意图。已知CD ⊥AB ,
,
∠CAD=60°,则拉线AC 的长是________m 。
·直角三角形的两边长分别为6和10,那么这个三角形的第三条边长是______。
②逆定理 如果三边a 、b 、c 有关系
222c b a =+,那么这个三角形是Rt ?。
分别计算“22a b +”和“2
c ”,相等
就是Rt ?,不相等就不是Rt ?。 ·在Rt△ABC 中,若AC=2,BC=7,AB=3,则下列结论中正确的是( )。
A .∠C=90°
B .∠B=90°
C .△ABC 是锐角三角形
D .△ABC 是钝角三角形
·若一个三角形三边满足
ab c b a 2)(22=-+,则这个三角形是
三角形.
·一块木板如图所示,已知AB =4,BC =3,DC =12,AD =13,90B ∠=?,木板的面积为 . ·某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园,如图所示,∠ACB=90°,AC=80米,BC=60米,若线段CD 是一条小渠,且D 点在边AB
上,?已知水渠的造价为
10元/米,问D 点在距A 点多远处时,水渠的造价最低?最低造价是多少?
4、直角三角形全等
方法:SAS 、ASA 、
SSS 、AAS 、HL 。 ·如图,在ΔABC
中,D 为BC 的中点,DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线AE 于点
E ,E
F ⊥AB
于点F ,EG ⊥AC 的延长线于点
G 。
求证:BF=CG 。 5、其它性质
①直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
O
C B
A
D
O N M · ·
A B
C B A
C B A F E C B A B
A D
C
如图,在Rt ?ABC 中,∵CD 是斜边AB 的中线,
∴
1
2
CD AB =
。 ·直角三角形斜边长20cm,则此斜边上的中线为 .
②在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角 边等于斜边的一半。 如图,在Rt ?ABC 中,∵∠A=30°,∴
1
2
BC AB =
。 ·在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,则下列结论中正确的是( )。
A .AB=2BC
B .AB=2A
C C .AC 2+AB 2=BC 2
D .AC 2+BC 2=AB 2
③在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么
这条直角边所对的角等于30°。 如图,在Rt ?ABC 中,∵
1
2
BC AB =
,∴∠A=30°。 ·等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是 。 ④三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。 如图,在⊿ABC 中,∵E 是AB 的中点,F 是AC 的中点,
∴EF 是⊿ABC 的中位线 ∴EF ‖BC ,
12EF BC =
·如图,□ABCD 中,对角线AC 、BD 交
于点O ,点E 是BC 的中点.若OE=3 cm ,则AB 的长为
·在□ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,如果AC=14,BD=8,AB=x ,那么x 的取值范围是__________。 二、四边形
1、多边形内角和公式:n 边形的内角和=(n -2)·180o
·一个多边形的内角和为12600,它是
边形。
·一个n 边形的n – 1个内角和为23500,它是 边形,另一个内角是 。
2、中心对称:(在直角坐标系中即关于原点对称,其横、纵坐标都互为相反数)
成中心对称的两个图形中,对应点得连线经过对称中心,且被对称中心平分
会画与某某图形成中心对称图形
会辨别图形、实物、汉字、英文字母、扑克等是否中心对称图形
·下列几张扑克牌中,中心对称图形的有________张
·图6中4张扑克牌如图(1)放在桌面上,小
敏把其中一张旋转180°后得到如图(2)所示,那么她所旋转的牌从左数起是( ?)张
A .第一? ?
B .第
二? ?C .第三? D .第四
·?在字母C 、H 、V 、M 、S 中是中心对称图
形的
是
·下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A: 等边三角形 B : 平行四边形 C: 等腰梯形 D : 矩形 ·下列图案是中心对称
图形,不是轴对称图形
的是
( ???).
3、特殊四边形的判定 ①平行四边形:
方法1两组对边分别平行的四边形是平行四边形
o
B
A D
C E
A N M F C
B O 如图,∵ AB ‖CD ,AD ‖B
C ,∴四边形ABC
D 是平行四边形 方法2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 如图,∵ AB=CD ,AD=BC ,∴四边形ABCD 是平行四边形 方法3两组对角分别相等的四边形是平行四边形 如图,∵∠A=∠C ,∠B=∠D ,∴四边形ABCD 是平行四边形 方法4一组对边平行相等的四边形是平行四边形 如图,∵ AB ‖CD ,AB=CD ,∴四边形ABCD 是平行四边形 或∵AD ‖BC ,AD=BC ,∴四边形ABCD 是平行四边形 方法5 对角线互相平分的四边形是平行四边形 如图,∵ OA=OC ,OB=OD ,∴四边形ABCD 是平行四边形 ·如图,在□ABCD 中,点
E 是AD 的中点,BE 的延长线与CD 的延长线交于点
F 。试连结BD 、AF ,判断四边形ABDF 的形状,并证明你的结论. ②矩形: 方法1 有三个角是直角的四边形是矩形 方法2 对角线相等的平行四边形是矩形 ·如图,△ABC 中,点O 为AC 边上的一个动点,过点O 作直线MN ∥BC ,设MN 交∠BCA 的外角平分线CF 于点F ,交∠ACB 内角平分线CE 于E . (1)当点O 运动到何处时,四边形AECF 是矩形?并证明你的结论; (2)猜想△ABC 是何形状三角形时,矩形AECF 会是正方形?并证明你的结论。 ③菱形: 方法1 四边都相等的四边形是菱形 方法2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ·已知矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F. 求证:四边形AFCE 为菱形 方法1 有一个角是直角的菱形是正方形
方法2有一组邻边相等的矩形是正方形 ·正方形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A: 对角线互相
平分 B 对角线相等 C:对角线平分一组对角 D:对角线互相垂直 ·顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是
·如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的角的度数应为( ) °° ° ° ·下列说法错误的是( ) A 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B 对角线平分且相等的四边形是矩形 C:对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D 对角线互相平分的
四边形是平行四边形。 ·如图,在正方形ABCD 的外侧,作等边△ADE , 则∠AEB=_______. ·如图为四边形、平行四边形、矩形、正方形菱形、梯形集合示意图,请将字母所代表的图形分别填
入下表: A B C
D E
O
4、面积公式
①S平行四边形=底×高②S矩形=长×宽③S正方形=边长×边长
④S菱形=底×高=×(对角线的积),即:S=(a×b)÷2
·矩形ABCD的对角线相交于O,AB=6,AC=10,则面积为
·菱形的周长为20,一条对角线长为6,则其面积为
5、平面图形的镶嵌
关键:围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。
·只用下列正多边形地砖中的一种,能够铺满地面的是()
A.正十边形
B.正八边形
C.正六边形
D.正五边形
·在下列四种边长均为a的正多边形中:正方形、正五边形、正六边形、正八边形。能与边长为a的正三边形作平面镶嵌的是 .
三、图形与坐标
1、点的对称性:
关于x轴对称的点,横坐标相反,纵坐标相等;
关于y轴对称的点,横坐标相等,纵坐标相反;
关于原点对称的点,横、纵坐标都相反。
若直角坐标系内一点P(a,b),则P关于x轴对称的点为P1(a,-b),P关于y轴对称的点为P2(-a,b),关于原点对称的点为P3(-a,-b)。
解题方法:相等时用“=”连结,相反时两式相加=0。
·已知A、B两点的坐标分别是(-2,3)和(2,3),则下面四个结论:①
A、B关于x轴对称;② A、B关于y轴
对称;③ A、B关于原点对称;④A、B 之间的距离为4。其中正确的有
个。·已知点A(m-1,3)与点B(2,n-1)关于x轴对称,则m= ,
n= 。
·已知点P(3,-1)关于y轴对称点Q 的坐标是(a+b,1-b),则b a的值
是。
2、坐标平移:左右平移:横坐标右加左减,纵坐标不变;
上下平移:横坐标不变,纵坐标上加下减。
例如:若直角坐标系内一点P(a,b)向左平移h个单位,坐标变为P(a -h,b),向右平移h个单位,坐标变为P(a+h,b);向上平移h个单位,坐标变为P(a,b+h),向下平移h个单位,坐标变为P(a,b-h).如:点A(2,-1)向上平移2个单位,再向右平移5个单位,则坐标变为A(7,1).
·将四边形ABCD先向左平移3个单位,再想上平移2个单位,那么点A (3,-2)的对应点A 的坐标是_____.
·已知点A(m,n),把它向左平移3个单位后与点B(4,-3)关于y轴对
称,则m=__,n=__.
·在平面直角坐标系中,点M的坐标为(b,-2b),将点M向左平移2个单位,再向上平移1个单位后得到点N,当点N在第三象限时,则b的取值范围是___.
3、在平面直角坐标系中会画轴对称、平移后的图形,并写出图形顶点的坐标。
·在平面直角坐标系中描出点A
(3,5)、B(1,1)、C(5,3)的位置,连成△ABC.
①作出△ABC关于x轴对称的
111
ΔA B C,并写出三个顶点的坐标;
②作出△ABC关于原点O成中心对称
的
222
ΔA B C,并写出三个顶点的坐标;
③将△ABC向左平移6个单位长度,画出平
移后的
333
ΔA B C,并写出三个顶点的坐标;
④求出四边形
123
BB B B的面积。
4、会建平面直角坐标系,用坐标表示相关位置
·如图所示的象棋盘上,若○
帅位于点(1,-2)上,○相位于点(3,-2)上,则○
炮的坐标是 .
5、平面上的点与是一一对应的。
·若点P到X轴的距离为5,到Y轴的距离为3,且点P在第四象限,则点P 的坐标为。
·如图,在平面直角坐标系中,□ABCD 的顶点A、B、D的坐标分别是(0,0),(5,0)(2,3),则顶点C的坐标是
四、一次函数
1、函数自变量的取值:
整式取全体实数,分式则分母不为0,二次根式则根号下的数≥0.
·函数
1
1
y
x
的自变量x的取值范围是
函数21
y x的自变量x的取值范围是·函数35
y x的自变量x的取值范围是
函数
21
1
x
y
x
的自变量x的取值范围是
·下列不表示函数图象的是()2、一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线(含正比例函数y =kx).·下列函数解析式2
c r,
21
y x,3
y x,21
y x中是一次函数的有
①求k的取值: y随x增大而增大则k>0;y随x增大而减小则k<0.再解出不等式。
·若函数1
(5)a
y k x是正比例函数,
k ,a= 。
·若正比例函数
23
(1)m
y m x中,y随x的增大而减小,则m的值是。
·若函数32
(21)3
m
y m x是一次函数,则m= 且y随x的增大而
②求函数图像经过的象限:在y=kx +b中,k>0过一、三象限;k<0过二、四象限。b>0向上移;b<0向下移。可得出。
·一次函数57
y x
=-+的图象经过第象限
·若一次函数2
y x b的图象不经过第二象限则b 的取值范围是
·一次函数22
y mx m的图象经过原点,则m的值为
③一次函数y=kx+b(k≠0)的图象平移的方法:
b的值加减即可(加是向上移,减则下移)。
·直线2
23
y x 是由 向 平移2个单位得到的。
·将直线31y x 向下平移3个单
位得到的函数解析式是 ④同一平面内两直线的位置关系:(例如1l :11y k x b =+ 2
l :22
y k x b =+ ) 若12k k =且12b b ≠,则12
//l l ; 若
121
k k ?=-,则
12
l l ⊥。
·直线1
8
2
y
x 和(1)5y k x 平行,则k=
·直线21y x 与1
52
y x 的位置
关系式 。 ⑤坐标轴上点的特征:
x 轴上的点纵坐标为0即(a ,0);y 轴上的点横坐标为0.即(0,b )。
·直线1
32
y x 与x 轴的交点坐标
为 ,与y 轴的交点坐标为 。
⑥面积公式: 当0b ≠时,一次函数
y kx b =+的图象与两条坐标轴围成的直
角三角形的面积 2
2b s k
·直线32y
x 经过第 象
限,它与两坐标轴围成的三角形面积是 。
·已知一次函数3y x b 的图象与坐标轴围成的三角形面积等于4,则一次函数的解析式
为 。
⑦用待定系数法求一次函数的解析式:
先设一次函数的表达式为y =kx +
b ,再将已知的两组x 、y 值代人列出二元一次方程组,求出k 、b 的值,再代
回即可。 ·已知正比例函数的图象经过点P
(2,5),求它的表达式。 ·已知一次函数的图象经过点(0,2)
和(1,—1),求这个一次函数的表达式。 ·已知直线1l 经过点A (—1,0)与点B (2,3),另一条直线2l 经过点B ,且与
x 轴交于点P (m,0)。 ① 求直线
1l 的表达式;
②若ΔAPB 的面积为3,求m 的值。 3、一次函数与方程的关系
任何一个一元一次方程kx +b=0的解,就是一次函数y =kx +b 的图像与轴交点的横坐标;一次函数y =kx +b 的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y +b=0的一个解. ·已知一次函数
(0y ax b a b a
、为常数,),x 与y
·把方程23x y +=-化成一次函数的形式是________________。
·已知二元一次方程31x y -=的一个解
是x a y b =??=?,那么点(a,b)P 一定不在( )。
A .第一、三象限
B .第二、四象限
C .第二象限
D .坐标轴上
·二元一次方程组24
2312x y x y +=??-=?的解,
即为函数__________和函数__________的图象交点的坐标。 五、数据的频数分布
1、频数与频率:频率=总数
频数
,各小组
的频数之和等于总数,各小组的频率之和等于1。
·某中学八年级有500名学生参加生物、地理会考考试成绩在80分至100分之间的共有180人,则这个分数段的频率是_______。
·对150个数据进行整理得到频数分布直方图,测得所有表示频数的长方形的高之和为33cm ,其中最大的长方形的为11cm ,则这个最大的长方形的高所表示的频数为 .
2、频数分布直方图:会读图,计算并将直方图补充完整。
某学校为丰富课间自由活动的内容,随机选取本校100名学生进行调查, 调查内容是“你最喜欢的自由活动项目是什么”,整理收集到的数据,?绘制成直方图,如图所示.
①喜欢“踢毽子”的学生有 人,
并在图中将“踢毽子”部分的条图形 补充完整.
②喜欢“跳绳”的频率是 ③该校共有800名学生,估计喜 欢“跳绳”的学生有 人. 六、辅助线作法
几何难在辅助线,虚线画图勿改变。如何添加辅助线?把握定理和概念。 图中有角平分线,可向两边作垂线。线段垂直平分线,常向两端把线连。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。 平行四边形出现,对称中心等分点。要证线段倍与半,延长缩短可试验。