二次根式的性质练习题[1]

二次根式(2)

学习要求：

掌握二次根式的三个性质：a ≥0(a ≥0)；(a )2＝a (a ≥0)；||2a a =． 做一做： 填空题：

1．当a ≥0时，=2a ______；当a ＜0时，2a ＝______． 2．当a ≤0时，=23a ______；=-2

)23(______．

3．已知2＜x ＜5，化简=-+-2

2)5()2(x x ______．

4．实数a 在数轴上的位置如图所示，化简：=-+-2

)2(|1|a a ______．

5．已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c 则=+----||)(2

c a b c b a ______．

6．若2

2)()(y x y x -=-，则x 、y 应满足的条件是______．

7．若0)2(|4|2

=-+++x y x ，则3x ＋2y ＝______．

8．直线y ＝mx ＋n 如图4所示，化简：|m －n |－2m ＝______．

图4

9．请你观察、思考下列计算过程：

因为112＝121，所以11121=，同样，因为1112＝12321，所以=12321111，……由此猜想=76543211234567898______． 选择题：

10．36的平方根是( )

(A)6

(B)±6

(C)6

(D)±6

11．化简2

)2(-的结果是( )

(A)－2 (B)±2 (C)2

(D)4

12．下列式子中，不成立的是( )

(A)6)6(2= (B)6)6(2

=

--

(C)6)6(2=-

(D)6)6(2

-=--

13．代数式)0(2

=/a a a 的值是( )

(A)1

(B)－1

(C)±1

(D)1(a ＞0时)或－1(a ＜0时)

14．已知x ＜2，化简442+-x x 的结果是( )

(A)x －2

(B)x ＋2

(C)－x ＋2

(D)2－x

15．如果2)2(2

-=-x x ，那么x 的取值范围是( )

(A)x ≤2 (B)x ＜2 (C)x ≥2 (D)x ＞2

16．若a a -=2，则数a 在数轴上对应的点的位置应是( )

(A)原点

(B)原点及原点右侧 (C)原点及原点左侧

(D)任意点

17．若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简|3|2x x +的结果是( )

(A)4x

(B)－4x

(C)2x

(D)－2x

18．不用计算器，估计13的大致范围是( )

(A)1＜13＜2

(B)2＜13＜3

(C)3＜13＜4

(D)4＜13＜5

19．某同学在现代信息技术课学了编程后，写出了一个关于实数运算的程序：输入一个数值

后，屏幕输出的结果总比该数的平方小1，若某同学输入7后，把屏幕输出的结果再次输入，则最后屏幕输出的结果是( ) (A)6 (B)8 (C)35 (D)37

解答题： 20．计算：

(1);)12(|3|)2(02---+- (2)?-

+-|2

1|2)3(0

2

21．化简：

(1));1()2()1(22

>++

-x x x (2).||2)(2x y y x ---

22．已知实数x ，y 满足04|5|=++-y x ，求代数式(x ＋y )2007的值．

23．已知x x y y x =-+

-+7

135，求2)3(|1|-+-y x 的值．

24．在实数范围内分解因式：

(1)x 4－9； (2)3x 3－6x ； (3)8a －4a 3； (4)3x 2－5．

25．阅读下面的文字后，回答问题：

小明和小芳解答题目：先化简下式，再求值：221a a a +-+，其中a ＝9时，得出了不同的答案．

小明的解答是：原式＝1)1()1(2

=-+=-+a a a a ；

小芳的解答是：原式＝1719212)1()1(2

=-?=-=--=-+a a a a a ．

(1)______的解答是错误的；(2)说明错误的原因．

26．细心观察图5，认真分析各式，然后解决问题．

图5

;21,21)1(12=

=+S ;22

,31)2(22==+S

;23

,41)3(32==+S

…… ……

(1)请用含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；

(3)求出2

10

24232221S S S S S +++++ 的值．

27．一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：秒)与开始落下时的高度h (单位：

米)有下面的关系式：?≈

5

h t (1)已知h ＝100米，求落下所用的时间t ；(结果精确到0.01)

(2)一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间?(每层楼高约3.5米，手拿物体高为1.5米)(结果精确到0.01)

(3)如果一物体落地的时间为3.6秒，求物体开始下落时的高度．

问题探究：

同学们一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧!蚂蚁能举起比它的体重重许多倍的火柴棒，而大象举起的却是比自己体重轻许多倍的一截圆木，结果蚂蚁获得了举重冠军!

我们这里谈论的话题是：蚂蚁和大象一样重吗?我们知道，即使是最大的蚂蚁与最小的大象，它们的重量明显不是一个数量级的．但是下面的推导却让你大吃一惊：蚂蚁和大象一样重!

设蚂蚁重量为x 克，大象的重量为y 克，它们的重量和为2a 克，则x ＋y ＝2a ． 两边同乘以(x －y )，得(x ＋y )(x －y )＝2a (x －y )， 即x 2－y 2＝2ax －2ay ．

可变形为x 2－2ax ＝y 2－2ay ．

两边都加上a 2，得(x －a )2＝(y －a )2． 两边开平方，得x －a ＝y －a ． 所以x ＝y ．

这里竟然得出了蚂蚁和大象一样重，岂不荒唐!那么毛病究竟出在哪里呢?亲爱的同学，你能找出来吗?

最新二次根式的性质练习题

二次根式（2） 学习要求： 掌握二次根式的三个性质：,a > 0（a> 0）；（、.a）2= a（a> 0）；. a2 =|a|. 做一做： 填空题： 1 当a > 0 时，“a 2 = ______ ；当a v 0 时，I a2= ________ . 2. _________________________ 当a w 0 时，：3a? = ；J（.3—^2）刁= . 3. 已知2v x v 5,化简?.（x-2）2（x -5）2 = . 4. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简：| a -11（a - 2）2- a I I ........ | I I . ■ T 0 1 2 5. 已知△ ABC的三边分别为a、b、c则（a - b -c）2-| b - a ? c卜 ____ . 6. 若?.（x-y）2乂x-y）2，则x、y应满足的条件是___ . 7. ____________________________________________ 若| x y 4| ：（x - 2）2= 0 ,则3x+ 2y= ______________________________________ . 直线 9 .请你观察、思考下列计算过程:

因为112= 121，所以一121 =11，同样，因为1112= 12321，所以,1232^111,……由此猜想.1234567898 7654321 =_______ . 选择题： 10. J36的平方根是（） R (D) 土6 （A）6 （B）± 6 （C）- 6

写出了一个关于实数运算的程序： 输入一个数值 1，若某同学输入,7后，把屏幕输出的结果再 ) (C) 35 (D)37 — 1 (2)C.3)2 -20 丨-一| 2 化简： (1)、(1-x)2 ..(X 2)2 (X 1); 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. (A) — 2 (B) ± 2 下列式子中，不成立的是 ( ) (C)2 (D)4 (B) -，(-6)2「6 (C)(-、6)2 =6 代数式 .a 2 a (a 二0)的值是( (A)1 (C) ± 1 (B) — 1 (D)1( a > 0 时)或一1(a v 0 时) 已知x v 2,化简,x^4x 4的结果是( ) (A)x — 2 (B)x + 2 (C) — x + 2 (D)2 — x 如果；(x -2)2 =x -2，那么x 的取值范围是( ) (A)x < 2 (B) x v 2 (C)x > 2 (D)x > 2 若a 2二-a ，则数a 在数轴上对应的点的位置应是 ( ) (A)原点 (C) 原点及原点左侧 (B) 原点及原点右侧 (D) 任意点 若数轴上表示数 x 的点在原点的左边，则化简 |3x ? x 2 |的结果是( ) (A)4x (B) — 4x (C)2x 不用计算器，估计? 13的大致范围是( ) (D) — 2x (A)1 v .. 13 v 2 (B)2 v .13 v 3 (C)3 v . 13 v 4 (D)4 v .. 13 v 5 某同学在现代信息技术课学了编程后， 后，屏幕输出的结果总比该数的平方小 次输入，则最后屏幕输出的结果是 ( (A)6 (B)8 解答题： 计算： (1)(-2)2 |-3|-( 2-1)0; 2 ⑵(x-y) -2| y-x|.

初二数学二次根式及其性质

二次根式及其性质（基础） 学习目标 1、 理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由 . 2、 理解并掌握下列结论： " _（ *）， ， " （ ' J ,并利 用它们进行计算和化要点梳理 要点梳理 要点一、二次根式及代数式的概念 1. 二次根式：一般地，我们把形如 Jy （a ≥ 0）?的式子叫做二次根式”称为二次根号. 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为 2;②被开方数为非负数. S 2. 代数式：形如5, a ，a+b ，ab ，f ，X ，罷 g?这些式子，用基本的运算符号（基本运算包 括加、减、乘、除、乘方、开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式 . 要点二、二次根式的性质 1、 要点诠释： 1.二次根式LJ r （a ≥ 0）的值是非负数，一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 a =（詬 的取值范围不同， 、' 中二≥0，中J 为任意值. ≥ 0时，L =Wj ；二＜0时，V .无意义， 典型例题 2. I^I i = Ll {a ?0) = ?a 3. G @ > 0) —a 3 < C l ) 2. 要注意区别与联系: 1). 2).

类型一、二次根式的概念 G ■'属二次根式的有 【变式】下列式子中二次根式的个数有( (2) y=，，' _、，'； 【变式】下列格式中，一定是二次根式的是( 类型二、二次根式的性质 .当乂为实数时，下列各式 I- 【变式】(1) A. 【变式】若整数吩满足条件则叫的值是 (1) ； (2) J ： ; ( 3) W : ; (4) J ; B.3 C.4 D.5 .X 取何值时，下列函数在实数范围内有意义? A. 2 C. '1 ' D. ■- 1

16.1二次根式概念和性质练习题

16.1二次根式练习题 【精选问题1】若x 是实数,当x 满足什么条件时,下列各式有意义. (1)1x-6 (2)(2x+3)0 (3)x+7 (4)1x-1 (5)x 2+0.1 (6)x 2-2x+2 (7)40.5-x (8)(5-x)-31 (9)(8-x)-21 【精选问题2】求下列二次根式的值. (1)(π-3.2)2 (2)a 2+4a+4,其中a=- 5 【精选问题3】化简下列二次根式: (1)125 (2)12a 2 (a ≥0) (3) 113 (4)m 8n (n ＞0) (5)x 32y (y ＜0) 【精选问题4】判断下列二次根式中,哪些是同类二次根式(先化简．．． ) -45, 75, 6 13, 20, 5, 0.3 【测试训练】 一、填空题： 1.如果1-x 在实数范围内有意义，那么x 应满足的条件是___________. 2.式了x(x-3)=x ·x-3成立的条件是_________. 3.5-x x-2在实数范围内有意义,x 的取值范围是__________. 4.计算：(-4)2=__________；(2-5)2=__________；(3.14-π)2=__________. 5.如果x 2=-x,那么x 的取值范围是_________. 6.当m ≥时,(4-2m)2=________. 7.当m ＜2时,化简1-x-x 2-4x+4的结果是__________. 8.化简：750=_________.18a 349b 2=_________.15x 3 =_________. 9.如果最简二次根式2a-1与11-4a 是同类二次根式,那么a=__________. 10.2x 2y ,ab 2,3xy 5,5(a 2-b 2),75x 3y 3,x 2+y 2,2y 2 c 中,是最简二次根式的有_____________________________.

二次根式的概念与性质1

二次根式的概念与性质1 一．选择题（共30小题） 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥， 其中一定是二次根式的有（） A．5个B．4个C．3个D．2个 2．下列判断正确的是（） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 3．下列各式中①；②；③；④；⑤一定是二次根式的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．下列各式中，二次根式有（） ①②③④ A．1个B．2个C．3个D．4个 5．下列各式中：①；②；③；④．其中，二次根式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个 6．在式子，，，，（x≤0）中，一定是二次根式的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 7．x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A．B．C．D． 8．若有意义，则x满足条件是（） A．x≥﹣3且x≠1B．x＞﹣3且x≠1C．x≥1D．x≥﹣3 9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A．x＜2B．x≥2C．x=2D．x＜﹣2 10．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（） A．x≠3B．x＜3C．x＞3D．x≥3 11．使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）A．B． C．D． 12．二次根式中，字母a的取值范围是（） A．a B．a C．a D．a 13．使式子+成立的x的取值范围是（） A．x≥﹣2B．x＞﹣2C．x＞﹣2，且x≠2D．x≥﹣2，且x≠2 14．若式子有意义，则实数m的取值范围是（） A．m＞﹣2B．m＞﹣2且m≠1C．m≥﹣2D．m≥﹣2且m≠1 15．代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（） A．B． C．D． 16．下列说法正确的个数有（） ①代数式的意义是a除以b的商与1的和； ②要使y=有意义，则x应该满足0＜x≤3； ③当2x﹣1=0时，整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0； ④地球上的陆地面积约为14900万km2，用科学计数法表示为1.49×108km2． A．1个B．2个C．3个D．4个 17．使代数式有意义的整数x有（）

二次根式定义与性质

二次根式定义及性质 教学内容： 1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：， ，，并利用它们进行计算和化简． 2.重点：；，及其运用． 3.难点：利用，，解决具体问题. 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 知识点三：代数式 形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).

经典例题透析 类型一：二次根式的概念 例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)； 不是二次根式的有：、、、． 例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？ 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义． 总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 举一反三 【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？ (1)； (2)； 解：(1)由≥0，解得：x取任意实数 ∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义. (2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1 ∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.

二次根式及其性质练习题

二次根式及其性质练 习题

12．5二次根式及性质 知识回顾:： 1.计算下列各式的值. （1）=449 （2）±=169 121 （3）=256 （4）04.0- 2.求下列各数的算术平方根. （1）100 （2）0.09 （3）26 （4）0 3.分解因式： (1)22y x -; (2)222b ab a +- ; (3)2282y x -. 目标解读:： 1.知道二次根式的意义. 2.掌握二次根式的基本性质. 3.会根据二次根式的基本性质进行有关计算. 基础训练: 一、填空题 1. 当x ______时，x -3有意义． 2. 已知实数a≤0= ． 3当x ______时，4 3--x x 有意义． 7. 当x _____x _____ 5. 当a ______a =；当a ________a =-． 6. 已知2a <= ．

7.x ______时，5 1-x 有意义． 8. 实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2a -+为 ． 9. 已知27=，则b =_________． 10. =-+)a (a ________． 11. 当a _______ 时，式子3a -有意义． 12. 0=，则a =______，b =________． 13. 已知x y ， 为实数，且1y =，则x y y x +的值为________． 14. 若m 的小数部分，则2m m ++= ． 15. ()()200420032323+- ． 16. 当0x y >， 时， 17. 若x ≤0 ，则化简1x --的结果是 . 18. 的整数为 ． 二、选择题 19. 若0x ≤ ，则化简1x - ） Ａ．12x - Ｂ．21x - Ｃ．1- Ｄ．1 20. 如果等式0(1)1x += 和23x =-同时成立，那么需要的条件是（ ） Ａ．1x ≠- Ｂ．23x <且1x ≠- Ｃ．23x ≤或1x ≠- Ｄ．23x ≤且1x ≠-

二次根式的概念与性质

二次根式的概念与性质 编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨 一、目标认知 1.学习目标： 理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论： ，，，并利用它们进行计算和化简．2.重点： ；，及其运用． 3.难点： 利用，，解决具体问题. 二、知识要点梳理 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 要点诠释： 二次根式(a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进行因式分解.

知识点三：代数式 形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包 括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子 为代数式(algebraic expression). 三、规律方法指导 1.如何判断一个式子是否是二次根式？ (1)必须含有二次根号，即根指数为2； (2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义. 2.如何确定二次根式在实数范围内有意义？ 要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围.当二次根式 作为分母时要注意分母不能为零. 经典例题透析 类型一：二次根式的概念 1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)； 不是二次根式的有：、、、． 2、当x是多少时，在实数范围内有意义？ 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义．

二次根式的概念及性质练习题

二次根式的概念及性质练习题 班级 姓名 一．判断题（对的打“∨”，错的打“×”） （1x 的取值范围是x<0 （ ） （2中字母x 的取值范围是x ≤3 4 （ ） （3）当x=-1 （ ） （4）当a=-4（ ） （5）2= —12 （ ）;（6—1 2 （ ） （7）2= —1 2 （ ）;（8）（2 =2×1 2=1 （ ） 二、填空题： 1．b ≥3）s ≥0）a （0≥a ）的代 数式，叫做_______． 2．当x______ 时， 3 x 的取值范围是_______ ．

4． （7） 2 =________；（8 +（ 2=________． （10 ． 5．当x=-2 _______． 6．当a取______ 时， 7．当x取______ 8．当m=-2 值为________． 9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm，则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是（b-3）cm2,则正方形的边长是_________。 三、选择题： 1．下列各式中，哪一个是二次根式（） A ． ( ( ()( () ( ()( 2 2 3 1_____,2______,3_____, 4_____,5____,6____. === ===

2 ．使代数式2 x +有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠-2; B ．x ≤12且x ≠-2; C ．x<12 且x ≠-2; D ．x ≥1 2且x ≠-2 3．下列各式中一定成立的是（ ） A =3+4=7 B C ．（ 2 D =1-13=2 3 四、求下列二次根式中字母的取值范围： 五、计算：（1 -（12）2; （2） （ 3） 4时x 的值． ( )( )( )123( 4

二次根式的概念及性质

第十六章二次根式 16. 1 二次根式 第1课时 二次根式的概念和性质 ：?< 1. 二次根式的概念和应用. 2. 二次根式的非负性. 重点 二次根式的概念. 难点 二次根式的非负性. 一、情景导入 师：(多媒体展示)请同学们看屏幕 电视节目信号的传播半径 r/km 与电视塔高h/km 之间有近似关系r = yj 2Rh(R 为地球半径).如 果两个电视塔的高分别为 h i km , h 2 km ,那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式 子吗？ 由学生计算、讨论后得出结果 ，并提问. 生：半径之比为亠2Rh ；,暂时我们还不会对它进行化简. 师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简.如何进行二次根式的运算？如 何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容. 二、新课教授 活动1：知识迁移，归纳概念 (1) 17的算术平方根是 __________ ； (2) 如图，要做一个两条直角边长分别为 7 cm 和4 cm 的三角形，斜边长应为 ____________ c m ； 2 (3) —个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m ,则它的宽为 _________________ m ; (4) 面积为3的正方形的边长为 ____________ ,面积为a 的正方形的边长为 ___________________ ; (5) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)与开始落下时的高度 h(单位: m)满足关系h = 5『.如果用含有h 的式子表示t ,则t= ______________ . 【答案】(1).17 (2) 65 (3).65 (4) 3 a ⑸- ；'5 活动2:二次根式的非负性 (多媒体展示) _ (1) 式子.a 表示的实际意义是什么？被开方数 a 满足什么条件时，式子."a 才有意义？ (2) 当a >0时，百 ___________ 0；当a = 0时，需 ___________ 0；二次根式是一个 ____________ . 【答案】(1)a 的算术平方根，被开方数a 必须是非负数 (2) > = 非负数 老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性. 当a >0时，，a 表示a 的算术平方根，因此a > 0; 当a = 0时，，a 表示0的算术平方根，因此,-/a = 0. 也就是说，当a > 0时，? a 》0. ,这是东方明珠电视塔. (多媒体演示)用含根号的式子填空.

二次根式及其性质 (4)

二次根式教材分析 （一）课程学习目标 1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由； 2．了解最简二次根式的概念；3．理解二次根式的性质： （1）)0(≥a a 是非负数；（2）())0(2≥=a a a ； （3）)0(2≥=a a a ； 4．掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算 5．了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。 （二）知识结构框图 本章知识结构框图如下： 注意：有关a 的取值及讨论. （三）课时安排 本章教学时间约需10课时，具体分配如下（仅供参考）： 9．1 二次根式 约3课时 9．2 二次根式的加减 约3课时 9．3 二次根式的乘除 约2课时 数学活动、小结 约3课时 （四）内容安排 本章是在第7章的基础上，进一步研究二次根式的概念、性质和运算。本章重点是二次根式的化简和运算，难点是正确理解二次根式的性质和运算法则的合理性，学习本章的关键是理解二次根式的概念和性质，它们是学习二次根式的化简与运算的依据。第7章“实数”中，我们学习了平方根、算术平方根的概念，以及利用平方运算与开平方运算的互逆关系求非负数的平方根和算术平方根的方法。 全章分为三节，。教科书首先给出四个实际问题，要求学生根据已学的平方根和算术平方根

的知识写出这四个问题的答案，并分析所得结果在表达式上的特点，由此引出二次根式的概念。在二次根式的概念中，重要的一点是理解被开方数是非负数的要求，教科书结合例题对此进行了较详细的分析。接下去，教科书采用由特殊到一般的方法，归纳给出了二次根式的性质())0(2≥=a a a ，并根据算术平方根的定义对这条性质进行了分析，对于二次根式的性质)0(2≥=a a a ，教科书同样采用了让学生通过具体计算，分析运算过程和运算结果，最后归纳得出一般结论的方法进行研究。第一节的内容是学习后两节内容的直接基础。 本节首先研究了二次根式的乘法运算，教科书通过设置探究栏目，要求学生利用二次根式的性质和计算器等进行一些具体运算，发现)0(2≥=a a a 之间的关系，从而由特殊到一般地归纳得出二次根式乘法的运算法则，继而得到积的算术平方根的性质，引出化简二次根式的方法。对于二次根式的除法运算，类似于乘法运算，教科书也采用了由特殊到一般的方法，通过归纳得出二次根式除法的运算法则，继而得到商的二次根式的性质，进一步完善化简二次根式的方法。本节最后，教科书结合本章例题，给出了最简二次根式的概念，明确了化简二次根式的方向，并为下一节学习二次根式的加减运算作好铺垫。 在实际生活中会遇到二次根式的加减运算，因此教科书首先结合一个实际问题引出二次根式的加法，然后结合第10章的结论“在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立”，并利用分配律得出了二次根式的加减运算法则。本节最后，在基本的二次根式的乘、除、加、减运算的基础上，教科书通过几个例题研究了二次根式的混合运算，突出了二次根式与整式之间的关系，体现了整式的运算性质、公式和法则与二次根式相关内容的一致性。 本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备． 五、学法教法建议 1．注意加强知识间的纵向联系 对于实数的内容，本套教科书主要分为两章学习，分别是七年级下册的第5章“实数”和本章“二次根式”。在“实数”一章中，主要研究了平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算，通过第5章的学习，学生对数的认识已经由有理数的范围扩大到实数范围，并对实数的运算性质和运算法则有了初步的感受，这些为本章的学习打下了基础。因此，教学时要注意与已有经验的联系，要在“实数”一章的基础上进行教学。例如，对于二次根式的加减运算，在“实数”一章中，为了让学生对“有理数的运算律和运算法则在实数的范围内仍然成立”有所体验，

16.1_二次根式及性质练习题

二次根式及性质 1. 16的平方根是_________,16的算术平方根是________ 2. 0的平方根是_________,表示：7_______________________ 1. 有意义的条件是 2. 当__________ 3. 1 1m +有意义，则m 的取值范围是 。 4. 当__________x 是二次根式。 5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。 、 6. 2x =，则x 的取值范围是 。 7. 2x =-，则x 的取值范围是 。 8. )1x 的结果是 。 9. 当15x ≤5_____________x -=。 ★10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。 11. 1x =+成立的条件是 。 12. 若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。 13. 在式子)()()230,2,12,20,3,1,x y y x x x x y +=--++中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） 》 A. B. C. D.

15. 若23 a） A. 52a a- a- D. 21 - B. 12a - C. 25 ★16. 若1 a≤） A. (1 a- B. (1a- C. (1 a- D. (1a- 17. =x的取值范围是（） A. 2 x≥ C. 2 x≥ x≠ B. 0 x D. 2 ★18. ） A. 0 B. 42 a- -或42 a- C. 24a - D. 24a ~ 19. 2440 -+=，求xy的值。 y y ★20.已知2310 -+= x x ( (

最新二次根式的有关概念及性质资料

二次根式的有关概念及性质 一、二次根式的有关概念： 1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中 含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而， ，5，都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根 式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3， 它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两 个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。 二、二次根式的性质： 1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；

3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=· （a≥0,b≥0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。 三、例题： 例1.x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义： （1）（2）（3） （4）+（5）（6）+ 分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。 解：（1）∵6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。 （2）∵x2≥0, ∴x2+3>0, ∴x取任意实数原式都有意义。 （3） ∵∴ ∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。 （4） ∵∴ ∴当-≤x<时，原式有意义。

二次根式及其性质

二次根式及其性质（2） 鄌郚镇中学 郑全河 教学目标： 1. 会根据 ，以及 进行化简。 2. 知道什么是最简二次根式，会辨别最简二次根式。 3. 掌握二次根式乘、除法运算法则，会熟练进行计算，并将结果写为最简二次根式。 重点、二次根式的性质及运算法则 难点、（1） 化简的分类讨论。 （2）熟练进行二次根式的乘、除法运算及将二次根式化为最简二次根式。 教学过程： 一、观察与思考： 当a ≥0时，a 2的算术平方根是多少？由此你能得到一个怎样的等式? 当a ≥0时, =a 例3 化简： （1）16， （2）2)5(- 解：16＝4 2)5(-＝5 想一想，当a ≥0时, 表示a 的算术平方根，因此有 ， 二、交流与发现： 计算下列各式，观察结果，你有什么发现？ ［1］ 94? 94? ［2］ 2516? 2516? ［3］ 4936? 4936? ［4］ 8164? 8164? ［5］ 121100? 121100? 这就是说，积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积［注：在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数。］ 探一探 用你发现的规律填空［判断是否相等］： ab a b a 0b 0=≥≥（ ，）

32?____________ 6 52?____________ 10 例4 化简 8116? ； 324b a 解：8116?= 324b a = 三、二次根式的性质 的化简： （1） 对于 的化简，注意对被开方数 ，需考察它的正负数，若a 为非负数，即 ，则 ；若a 为负数，则 。显然这和绝对值的化 简是一致的，所以对这一性质，也可以记出中间过程 。 （2）公式 与公式 的比较 ①公式 的左边是对a 先进行开平方再平方，a 是被开方数，所以必须有 的条件，否则 在实数范围内无意义；而公式 的左边 是对a 先平方再开平方， 是被开方数，所以a 取任何实数，总有 ，因此公式 在实数范围内总有意义。 ②只有在 时， 四、交流与发现： 计算下列各式，观察结果，你有什么发现？ 小结：一般的， 这就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 例5 化简 解：（让同学上黑板演示） 跟踪练习： 阶段小结：（1）怎样形式才算是最简二次根式？ ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。 注：对最简二次根式可作如下理解： ①被开方数不含分母。 ()()2925210031y x 972)1()2 81(2)025x x >

二次根式及性质练习题

八上---二次根式及性质练习题 知识点一： 二次根式的概念 1.下列各式中二次根式的个数有( )①－12+m ②38- ③1-x ④5 ⑤π 个 个 个 个 知识点二：)0(0≥≥a a 1、求下列二次根式中字母x 的取值范围: (1) 12-x (2) 32+x (3) 5 2 -x (4) x x --+22 (5) 1 1-+x x 2.能够使二次根式2(4)x --有意义的实数x 的值有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3、已知533+-+-=x x y ,求22y xy x +-的值. 4、已知实数a 满足a a a =-+-20092008,那么请求出a-20082 的值是多少 5、当x= 时，代数式45x +有最小值，其最小值是 。 6、已知081=-++b a ,则a-b 的值是 知识点三：)0()(2≥=a a a 1、计算：（1）2 19 3）（ = （2）2 32）（= （3）2 52）（-= （4） 2 3 2）（= 知识点四：a a =2。 1、计算: (1)25=_____;(2) 2)7(-=______;(3) 2)21(-=______; (4) 2)14.3(-π=________. 2、若a ＜12(1)1a -＝（ ）A ．a ﹣2 B ．2﹣a C ．a D ．﹣a 3、如果式子 2 x =-x 成立,那么x 的取值范围为( )≥0 ≤0 >0 <0

4. 如图,实数a ,b 在数轴上的位置,化简2 22)(b a b a ---. 知识点五：ab =b a ?(a ≥0,b ≥0) 1、 (1)169196?=_____; (2)243?=______; (3) 49.001.0?=_____; (4) 2253?=____; 2、下列运算正确的是（ ） A.2254-=25-24=5-4=1; B.(16)(25)--=16-×25-=-4×（-5）=20 C ．22512()()13 13 += 513+1213=17 13 ; D ．247?=24×7=47 3、使等式)2(-x x =?x ?-2x 成立的x 的取值范围是( ) ≠2 ≥0 >2 ≥2 4、若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5、化简： （1）18= （2）27= （3）32= （4）2312a b （a ＞0，b ＜0） （5）221026- （6）542x x y + （7）121232+-m m (m ＜2) 知识点六： b a = b a (a ≥0, b ≥0) 1、(1) 259 = (2) 9 2 = (3) 2 1= (4)2027= (5)971= （6）a 5b 3（a ＞0，b ≥0）= 2、化简a 1 a - 的结果是（ ）．A ．a - B ．a C ．-a - D ．-a 3、若代数式(2－a)2 +(a －4)2 的值是常数2，则a 的取值范围是（ ） A 、a ≥4 B 、a ≤2 C 、2≤a ≤4 D 、a=2或a=4

二次根式的性质练习题

二次根式(2) 学习要求： 掌握二次根式的三个性质：a ≥0(a ≥0)；(a )2＝a (a ≥0)；||2a a =． 做一做： 填空题： 1．当a ≥0时，=2a ______；当a ＜0时，2a ＝______． 2．当a ≤0时，=23a ______；=-2 )23(______． 3．已知2＜x ＜5，化简=-+-22)5()2(x x ______． 4．实数a 在数轴上的位置如图所示，化简：=-+-2)2(|1|a a ______． 5．已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c 则=+----||)(2c a b c b a ______． 6．若22)()(y x y x -=-，则x 、y 应满足的条件是______． 7．若0)2(|4|2=-+++x y x ，则3x ＋2y ＝______． 8．直线y ＝mx ＋n 如图4所示，化简：|m －n |－2m ＝______． 图4 9．请你观察、思考下列计算过程： 因为112＝121，所以11121=，同样，因为1112＝12321，所以=12321111，……由此猜想=76543211234567898______． 选择题： 10．36的平方根是( ) (A)6 (B)±6 (C)6 (D)±6

11．化简2)2(-的结果是( ) (A)－2 (B)±2 (C)2 (D)4 12．下列式子中，不成立的是( ) (A)6)6(2 = (B)6)6(2= -- (C)6)6(2 =- (D)6)6(2-=-- 13．代数式)0(2 =/a a a 的值是( ) (A)1 (B)－1 (C)±1 (D)1(a ＞0时)或－1(a ＜0时) 14．已知x ＜2，化简442+-x x 的结果是( ) (A)x －2 (B)x ＋2 (C)－x ＋2 (D)2－x 15．如果2)2(2-=-x x ，那么x 的取值范围是( ) (A)x ≤2 (B)x ＜2 (C)x ≥2 (D)x ＞2 16．若a a -=2，则数a 在数轴上对应的点的位置应是( ) (A)原点 (B)原点及原点右侧 (C)原点及原点左侧 (D)任意点 17．若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简|3|2x x +的结果是( ) (A)4x (B)－4x (C)2x (D)－2x 18．不用计算器，估计13的大致范围是( ) (A)1＜13＜2 (B)2＜13＜3 (C)3＜13＜4 (D)4＜13＜5 19．某同学在现代信息技术课学了编程后，写出了一个关于实数运算的程序：输入一个数值 后，屏幕输出的结果总比该数的平方小1，若某同学输入7后，把屏幕输出的结果再次输入，则最后屏幕输出的结果是( ) (A)6 (B)8 (C)35 (D)37 解答题： 20．计算： (1);)12(|3|)2(0 2---+- (2)?- +-|2 1|2)3(0 2 21．化简： (1));1()2()1(2 2 >++-x x x (2).||2)(2x y y x ---

二次根式性质1

怀柔区第四中学教案（2017-2018学年第一学期） 教学过程 预设问题： 1、什么是二次根式？ 2、二次根式应该满足的条件？ 3、二次根式的性质？ 一、创设情境，导入新课 看教材51页后填空： 二次根式的定义： 二次根式应满足两个条件： （1）形式上必须是a 的形式。（2）被开方数必须是 数。 例1.判断下列各式哪些是二次根式，并说明理由。 ⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶ 2 )21(- ⑷ ()223≥-a a

⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02?-x x 二自探、合探 看教材51页总结二次根式有意义的条件是什么？并且总结所学过的知识中代数式关于和有意义有关的知识点。 二次根式有意义具备的条件： 代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。 （2）分式的分母不为0。 （3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 例2.当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵x -21 ⑶13-+-x x ⑵ ⑷2x ⑸3x （6）12+x 练习：教材52页，练习第二题。 思考：（1）常见的非负数有：a a a ,,2 （2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 拓展：已知：0242=-++b a ，求a,b 的值。 三、学生展示与评价 要使二次根式有意义，必须满足被开方数要大于或等于0. 四、再探 （a ≥0）是一个什么数呢？ 老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出 （a ≥ 0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空： （）2=_______； ）2=_______；（2 =______；）2=_______ ； （2=______；（ 2=_______； ）2=_______．

二次根式及其性质练习题

12．5二次根式及性质 知识回顾:： 1.计算下列各式的值. （1）=449 （2）±=169 121 （3）=256 （4）04.0- 2.求下列各数的算术平方根. （1）100 （2）0.09 （3）26 （4）0 3.分解因式： (1)22y x -; (2)222b ab a +- ; (3)2 282y x -. 目标解读:： 1.知道二次根式的意义. 2.掌握二次根式的基本性质. 3.会根据二次根式的基本性质进行有关计算. 基础训练: 一、填空题 1. 当x ______时，x -3有意义． 2. 已知实数a≤0= ． 3当x ______时，4 3--x x 有意义． 7. 当x _____x _____ 5. 当a ______a =；当a ________a =-． 6. 已知2a <= ． 7.x ______时，5 1-x 有意义． 8. 实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2a -+的结果为 ． 9. 已知27=，则b =_________．

10. =-+)a (a ________． 11. 当a _______ 有意义． 12. 0=，则a =______，b =________． 13. 已知x y ， 为实数，且1y =，则 x y y x +的值为________． 14. 若m 的小数部分，则2m m += ． 15. ()()2004 20032323+- ． 16. 当0x y >， 时， 17. 若x ≤0 ，则化简1x -的结果是 . 18. 的整数为 ． 二、选择题 19. 若0x ≤ ，则化简1x - ） Ａ．12x - Ｂ．21x - Ｃ．1- Ｄ．1 20. 如果等式0(1)1x += 23x =-同时成立，那么需要的条件是（ ） Ａ．1x ≠- Ｂ．23x < 且1x ≠- Ｃ．23x ≤或1x ≠- Ｄ．23x ≤且1x ≠- 21. 2得（ ） Ａ．2 Ｂ．44x -+ Ｃ．2- Ｄ．44x - 22 下列说法正确的是（ ） a =-，则0a < a =，则0a > 24a b = Ｄ．5 23. 有意义，则它的最小值是（ ） Ａ．8 Ｃ．1 Ｄ．0 24. 下列各式中不成立的是（ ） 13= 13=- Ｃ．12=- Ｄ．13=±

二次根式的概念及性质练习卷

二次根式的概念及性质练习卷 姓名 一．判断题（对的打“∨”，错的打“×”） （1 x 的取值范围是x<0 （ ） （2 中字母x 的取值范围是x ≤34 （ ） （3）当x=-1 （ ） （4）当a=-4 （ ） （5） 2= —12 （ ）;（6 —12 （ ） （7） ）2= —12 （ ）;（8）（ 2=2×12=1 （ ） 二、填空题： 1． b ≥3） s ≥0） a （0≥a ）的代数式，叫做_______． 2．当x______ 时， 3 x 的取值范围是_______ ． 4． （7） 2 ； （8 （ 2=________． （10 ． 5．当x=-2 _______． 6．当a 取______ 有意义．7．当x 取______ 8．当m=-2 ________． ( ( ()( ()( ( )(2231_____,2______,3_____,4_____,5____,6____. ======

9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm ，则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是（b-3）cm 2,则正方形的边长是_________。 三、选择题： 1．下列各式中，哪一个是二次根式 （ ） A B C D 2 x 的取值范围是（ ） A ．x ≠-2; B ．x ≤12且x ≠-2; C ．x<12且x ≠-2; D ．x ≥12 且x ≠-2 3．下列各式中一定成立的是（ ） A B C ．（ 2 D 13=23 四、求下列二次根式中字母的取值范围： 五、计算：（1 -（12）2; （2） （3） 4时x 的值． x-4│—│7-x │． ( )( )( )123( 4

人教16.1二次根式的概念性质练习题

新人教版数学八年级下册二次根式课时练习 一、单选题（共15小题） 1．已知3+x =0，则x 为（ ） >3 <－3 C. x=－3 D. x 的值不能确定 2．化简：2 1a -+的结果为（ ） A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 3．如果一个三角形的三边长分别为1、k 、3，化简|32|8136472-++--k k k 结果是（ ） A 、4k —5 B 、1 C 、13 D 、19—4k 4．下列命题中，错误．． 的是（ ） A =5，则x=5; B ．若a （a ≥0 C π-3 D 5 5．若式子ab a 1+-有意义，则点P （a ， b ）在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．当a ≥0时，2a 、2)(a -、2 a -，比较他们的结果，下面四个选项中正确的是（ ） A.2a =2)(a -≥2a - B.2a >2)(a ->2 a - C. 2a <2)(a -<2a - D.2a ->2a =2 )(a - 7．等式33-=-x x x x 成立的条件是（ ） A ．x ≠3 B ．x ≥0 C ．x ≥0且x ≠3 D ．x>3

8.若01=++-y x x ，则20052006y x +的值为： （ ） A ．0 B ．1 C ． -1 D ．2 9. 如果x --35 是二次根式，那么x 应适合的条件是（ ） A ．x ≥3 B ．x ≤3 C ．x ＞3 D ．x ＜3 10. 使代数式8a a -+有意义的a 的范围是（ ） A ．0>a B ．0