2019年秋高中数学 第三章 不等式 阶段复习课 第3课 不等式学案 新人教A版必修5

第三课 不等式

[核心速填]

1．比较两实数a ，b 大小的依据

a －

b >0?a >b .a －b ＝0?a ＝b .a －b <0?a

2．不等式的性质

3.Ax ＋By ＋C (B >0)???

?

?

>0<0

表示对应直线???

?

?

上下

方区域．

4．二元一次不等式组表示的平面区域

每个二元一次不等式所表示的平面区域的公共部分就是不等式组所表示的区域． 5．两个不等式

[题型探究]

一元二次不等式的解法

[探究问题]

1．当a >0时，若方程ax 2

＋bx ＋c ＝0有两个不等实根α，β且α<β，则 不等式ax 2

＋bx ＋c >0的解集是什么？

提示：借助函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c 的图象可知，不等式的解集为{x |x <α或

x >β}．

2．若[探究1]中的a <0，则不等式ax 2

＋bx ＋c >0的解集是什么？ 提示：解集为{x |α

3．若一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2

－4ac <0，则ax 2

＋bx ＋c >0的解集是什么？

提示：当a >0时，不等式的解集为R ；当a <0时，不等式的解集为?.

若不等式组????

?

x 2－x －2>02x 2

＋

k ＋x ＋5k <0

的整数解只有－2，求k 的取

值范围.

【导学号：91432361】

思路探究：不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不 等式，取交集判断．

[解] 由x 2

－x －2>0，得x <－1或x >2.

对于方程2x 2

＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0有两个实数解x 1＝－52

，x 2＝－k .

(1)当－52>－k ，即k >5

2时，不等式的解集为??????

???

?x ?

??

－k

52，显然－2?

?

????－k ，－52. (2)当－k ＝－52时，不等式2x 2

＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解集为?.

(3)当－52<－k ，即k <5

2

时，

不等式的解集为?

?????

???

?x ???

－5

2

. ∴不等式组的解集由????

?

x <－1，－5

2

或????

?

x >2，－5

2

∵原不等式组整数解只有－2， ∴－2<－k ≤3，

故所求k 的范围是－3≤k <2.

母题探究：.(变条件，变结论)若将例题改为“已知a ∈R ，解关于x 的不 等式ax 2

－2x ＋a <0”．

[解] (1)若a ＝0，则原不等式为－2x <0，故解集为{x |x >0}． (2)若a >0，Δ＝4－4a 2

.

①当Δ>0，即0

－2x ＋a ＝0的两根为x 1＝1－1－a 2

a ，x 2＝1＋1－a 2

a

，

∴原不等式的解集为

????

??

x ?

??

1－1－a 2a

1＋1－a 2a . ②当Δ＝0，即a ＝1时，原不等式的解集为?. ③当Δ<0，即a >1时，原不等式的解集为?. (3)若a <0，Δ＝4－4a 2

.

①当Δ>0，即－1

>0， ∴原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}． ③当Δ<0，即a <－1时，原不等式的解集为R . 综上所述，当a ≥1时，原不等式的解集为?；

当0

??

x ?

??

1－1－a 2a

1＋1－a 2

a ； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >0}；

当－1

当a <－1时，原不等式的解集为R .

不等式恒成立问题

已知不等式mx 2

－mx －1<0.

(1)若x ∈R 时不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若x ∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m 的取值范围；

(3)若满足|m |≤2的一切m 的值能使不等式恒成立，求实数x 的取值范围.

【导学号：91432362】

思路探究：先讨论二次项系数，再灵活的选择方法解决恒成立问题． [解] (1)①若m ＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立； ②若m ≠0，则不等式mx 2－mx －1<0 恒成立?????

?

m <0，Δ＝m 2

＋4m <0，

解得－

4

综上可知，实数m 的取值范围是(－4,0]． (2)令f (x )＝mx 2

－mx －1，

①当m ＝0时，f (x )＝－1<0显然恒成立；

②当m >0时，若对于x ∈[1,3]不等式恒成立，只需???

??

f

，

f 即可，

∴?

????

f

＝－1<0，

f ＝9m －3m －1<0，

解得m <16，∴0

6

.

③当m <0时，函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝1

2，若x ∈[1,3]时不等式恒成立，结

合函数图象(图略)知只需f (1)<0即可，解得m ∈R ，∴m <0符合题意．

综上所述，实数m 的取值范围是? ????－∞，16. (3)令g (m )＝mx 2

－mx －1＝(x 2

－x )m －1，

若对满足|m |≤2的一切m 的值不等式恒成立，则只需???

??

g －，g

，

即

?

???

?

－x 2－x －1<0，x 2

－x －1<0，

解得1－32

2

.

∴实数x 的取值范围是?

????1－32

，1＋32.

1．设f (x )＝mx 2

－mx －6＋m ，

(1)若对于m ∈[－2,2]，f (x )<0恒成立，求实数x 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)依题意，设g (m )＝(x 2

－x ＋1)m －6，

则g (m )为关于m 的一次函数，且一次项系数x 2

－x ＋1＝? ????x －122

＋34

>0，

所以g (m )在[－2,2]上递增， 所以欲使f (x )<0恒成立，

需g (m )max ＝g (2)＝2(x 2

－x ＋1)－6<0， 解得－1

(2)法一：要使f (x )＝m (x 2

－x ＋1)－6<0在[1,3]上恒成立， 则有m <

6

x 2

－x ＋1

在[1,3]上恒成立，

而当x ∈[1,3]时，

6

x 2－x ＋1

＝

6

? ??

??x －122

＋34≥69－3＋1＝67

， 所以m

??

??6x 2－x ＋1min ＝67

，

因此m 的取值范围是?

????－∞，67. 法二：①当m ＝0时，f (x )＝－6<0对x ∈[1,3]恒成立，所以m ＝0. ②当m ≠0时f (x )的图象的对称轴为x ＝1

2，

若m >0，则f (x )在[1,3]上单调递增， 要使f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立， 只需f (3)<0即7m －6<0， 所以0

7

.

若m <0，则f (x )在[1,3]上单调递减， 要使f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立， 只需f (1)<0即m <6， 所以m <0.

综上可知m 的取值范围是?

????－∞，67

.

线性规划问题

已知变量x ，y 满足约束条件????

?

x ＋4y －13≤0，2y －x ＋1≥0，

x ＋y －4≥0，

且有无穷多个点(x ，y )使目标函

数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________.

【导学号：91432363】

思路探究：先画出可行域，再研究目标函数，由于目标函数中含有参数m ，故需讨论m 的值，再结合可行域，数形结合确定满足题意的m 的值.

1 [作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意． 若m ≠0，目标函数z ＝x ＋my 可看作动直线y ＝－1m x ＋z

m

，

若m <0，则－1

m

>0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；

若m >0，则－1

m

<0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段

AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1

m

＝－1，则m ＝1.

综上可知，m ＝1.]

2．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%

，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

[解] 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目．

由题意，知?????

x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，

x ≥0，

y ≥0，

目标函数z ＝x ＋0.5y . 画出可行域如图中阴影部分．

作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于l 0的一组直线x ＋0.5y

＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M 时，z 取得最大值．

由???

??

x ＋y ＝10，

0.3x ＋0.1y ＝1.8，

得

?????

x ＝4，y ＝6，

即M (4,6)．

此时z ＝4＋0.5×6＝7(万元)．

∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，即投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.

利用基本不等式求最值

设函数f (x )＝x ＋

a

x ＋1

，x ∈[0，＋∞)．

(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值； (2)当0

【导学号：91432364】

思路探究：(1)将原函数变形，利用基本不等式求解． (2)利用函数的单调性求解． [解] (1)把a ＝2代入f (x )＝x ＋a

x ＋1

，

得f (x )＝x ＋

2x ＋1＝(x ＋1)＋2

x ＋1

－1， ∵x ∈[0，＋∞)， ∴x ＋1>0，2

x ＋1

>0， ∴x ＋1＋

2x ＋1≥22，当且仅当x ＋1＝2x ＋1

， 即x ＝2－1时，f (x )取等号，此时f (x )min ＝22－1. (2)当0

x ＋1

－1

若x ＋1＋

a

x ＋1

≥2a ，

则当且仅当x ＋1＝

a

x ＋1

时取等号，

此时x ＝a －1<0(不合题意)， 因此，上式等号取不到．

f (x )在[0，＋∞)上单调递增．

∴f (x )min ＝f (0)＝a .

3．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元，公司拟投入16(x 2

－600)万元作为技改费用，投入50万元作为

固定宣传费用，投入1

5x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少

万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．

[解] (1)设每件定价为t 元，依题意，有[8－(t －25)×0.2]t ≥25×8， 整理得t 2

－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40.

因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．

(2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x >25时，a ≥

150

x ＋16x ＋1

5

有解． ∵

150x ＋1

6

x ≥2150x ·1

6

x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)， ∴a ≥10.2.

因此当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．