2019-2020年高考数学一轮复习第5章数列5.2等差数列及其前n项和课后作业文
2019-2020年高考数学一轮复习第5章数列5.2等差数列及其前n 项
和课后作业文
一、选择题
1．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则a 10等于( ) A ．18 B ．20 C ．16 D ．22 答案 B
解析 由题意得S 3＝3a 2＝12，解得a 2＝4，所以公差d ＝a 3－a 2＝2，a 10＝a 3＋7d ＝20.故选B.
2．(2018·武汉调研)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．3 答案 B
解析 {a n }为等差数列，则S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也是等差数列，所以2(4－S 2)＝S 2＋(12－4)?S 2＝0.故选B.
3．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？( )
A ．18
B ．20
C ．21
D ．25 答案 C
解析 织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，a 1＝5，前30项和为390，于是
＋a 30
2
＝390，解得a 30＝21，即该织女最后一天织21尺布．选C. 4．(2018·郑州质检)已知等差数列{a n }的前10项和为30，a 6＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．958 C ．948 D ．18 答案 C
解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得
?
????
a 1＋5d ＝8，10a 1＋10×92d ＝30，解得?
??
??
a 1＝－42，
d ＝10，所以a 100＝－42＋99×10＝948.故选C.
5．(2018·河南测试)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n a n ＝n ＋1
2
，则下列结论中正确的
是( )
A.a 2a 3＝2
B.a 2a 3＝32
C.a 2a 3＝23
D.a 2a 3＝1
3
答案 C
解析 由已知可得S n ＝n ＋12
a n ，则S n －1＝n 2
a n －1(n ≥2)，两式相减可得a n ＝n ＋12
a n －n
2
a n －
1
(n ≥2)，化简得
a n －1a n ＝n －1n (n ≥2)，当n ＝3时，可得a 2a 3＝2
3
.故选C.
6．(2018·石家庄一模)已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )
A ．－200
B ．－100
C ．0
D ．－50 答案 B
解析 因为函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝
a 1＋a 100
2
＝50(a 50＋a 51)＝－100.故选B.
7．(2018·湖南湘中名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017
＜0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )
A ．2016
B ．2017
C ．4032
D ．4033 答案 C
解析 因为a 1＞0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，所以d ＜0，a 2016＞0，a 2017＜0，所以S 4032
＝
a 1＋a 4032
2
＝
a 2016＋a 2017
2
＞0，S 4033＝
a 1＋a 4033
2
＝4033a 2017＜0，所以使
前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4032.故选C.
8．(2017·湖南长沙四县3月联考)中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(ɡuǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸14
6
分(1寸＝10分)．
已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )
A ．72.4寸
B ．81.4寸
C ．82.0寸
D ．91.6寸 答案 C
解析 设《易经》中记录的冬至、小寒、大寒、立春、……、夏至的晷影长依次为a 1，
a 2，…，a 13，由题意知它们构成等差数列，设公差为d ，由a 1＝130.0, a 13＝14.8，得130.0
＋12d ＝14.8，解得d ＝－9.6.∴a 6＝130.0－9.6×5＝82.0.
∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．故选C.
9．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中联考)已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a n a n
.若对任意的n ∈N *
，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围
是( )
A ．(－8，－7)
B ．[－8，－7)
C ．(－8，－7]
D ．[－8，－7]
答案 A
解析 因为{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，所以a n ＝n ＋a －1，因为b n ＝
1＋a n
a n
，
又对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，所以1＋1a n ≥1＋1a 8，即1a n ≥1a 8
对任意的n ∈N *
恒成立，因
为数列{a n }是公差为1的等差数列，所以{a n }是单调递增的数列，所以???
??
a 8＜0，
a 9＞0，即
?
??
??
8＋a －1＜0，
9＋a －1＞0，
解得－8＜a ＜－7.故选A.
10．(2018·云南二检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( )
A ．10
B ．9
C ．5
D ．4 答案 C
解析 设等差数列{a n }的公差为d .由已知得a 1＋a 11
2
＝22，所以11a 6＝22，解得a 6
＝2，所以d ＝
a 6－a 4
2
＝7，所以a n ＝a 4＋(n －4)d ＝7n －40，所以数列{a n }是单调递增数列，又
因为a 5＝－5<0，a 6＝2>0，所以当n ＝5时，S n 取得最小值，故选C.
二、填空题
11．(2014·北京高考)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．
答案 8
解析 根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．
12．(2018·金版原创)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝________.
答案 －
3
2
解析 若m >0，则公差d ＝3π2－π
2＝π，显然不成立，所以m <0，则公差d ＝3π2－π23＝π3
.
所以m ＝cos ? ??
??π2＋π3＝－32. 13．(2018·青岛模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若
S n
S 2n
为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为________．
答案 b n ＝2n －1
解析 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n
S 2n
＝k ，因为b 1＝1， 则n ＋12n (n －1)d ＝k ?
???
??2n ＋12×2n n －
d ，
即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立， 所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0， 解得d ＝2，k ＝1
4
.所以数列{b n }的通项公式为
b n ＝2n －1.
14．(2018·安徽安庆模拟)已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n ＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n ≤n ＋8n
对任意n ∈N *
恒成立，则实数λ的最大值为________．
答案 9
解析 a n ＝S 2n －1?a n ＝
n －
a 1＋a 2n －1
2
＝
n －a n ?a 2n ＝(2n －1)a n ?a n ＝2n －1，n ∈N *
.
因为λa n
≤n ＋8n
，所以λ≤n ＋
n －n
，
即λ≤2n －8
n
＋15.
易知y ＝2x －8x (x >0)为增函数，所以2n －8n ＋15≥2×1－8
1＋15＝9，所以λ≤9，故实数
λ的最大值为9.
三、解答题
15．(2017·中卫一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．
(1)若a ＝1，b ＝3，求sin C ；
(2)若a ，b ，c 成等差数列，试判断△ABC 的形状．
解 (1)由A ＋B ＋C ＝π，2B ＝A ＋C ，得B ＝π3.由a sin A ＝b sin B ，得1sin A ＝3
3
2，得sin A ＝
12，又0＜A ＜B ，∴A ＝π6，则C ＝π－π3－π6＝π2
. ∴sin C ＝1.
(2)由2b ＝a ＋c ，得4b 2
＝a 2
＋2ac ＋c 2
， 又b 2
＝a 2
＋c 2
－ac ，
得4a 2
＋4c 2
－4ac ＝a 2
＋2ac ＋c 2
， 得3(a －c )2
＝0，∴a ＝c ，
∴A ＝C ，又A ＋C ＝2π3，∴A ＝C ＝B ＝π
3，
∴△ABC 是等边三角形．
16．(2018·郑州模拟)数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝12－a n
(n ∈N *
)．
(1)求证：??
??
??
1a n －1为等差数列，并求出{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n －1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n ≥2都有B 3n －B n >m
20成立，求正整
数m 的最大值．
解 (1)证明：因为a n ＋1＝1
2－a n
， 所以
1a n ＋1－1＝112－a n
－1＝2－a n a n －1＝－1＋1
a n －1
，
即
1a n ＋1－1－1
a n －1
＝－1，
所以???
?
??
1a n －1是首项为－2，公差为－1的等差数列， 所以
1
a n －1
＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)， 所以a n ＝n
n ＋1
.
(2)b n ＝
n ＋1n －1＝1
n
， 令C n ＝B 3n －B n ＝
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
3n
，
所以C n ＋1－C n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋
－
1n ＋1－…－13n ＝－1n ＋1＋13n ＋2＋13n ＋3
＋13n ＋1
＝
13n ＋2－23n ＋3＋13n ＋1>23n ＋3－2
3n ＋3
＝0， ∴C n ＋1－C n >0，
{C n }为单调递增数列，又∵n ≥2， ∴(B 3n －B n )min ＝B 6－B 2＝13＋14＋15＋16＝19
20，
m 20<19
20
，m <19.又m ∈N *
，所以m 的最大值为18.
《等差数列及其前n项和》(解析版)
§6.2 等差数列及其前n 项和 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ ) (3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ ) (5)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ ) (6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ ) 题组二 教材改编 2．[P46A 组T2]设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34 答案 B 解析 由已知可得??? ?? a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30， 解得??? a 1 ＝26 3， d ＝－4 3， ∴S 8＝8a 1＋8×7 2 d ＝32. 3．[P39T5]在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 答案 180
解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 题组三 易错自纠 4．一个等差数列的首项为1 25，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范 围是( ) A ．d >875 B ．d <325 C.875
高考数学等差数列习题及答案 百度文库
一、等差数列选择题 1．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=，则数列11n n a a +?????? 的前10项的和为（ ） A ． 89 B ． 910 C ．10 11 D ． 1112 2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 5．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足 122527 n n a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ） A ．6- B ．2- C ．1- D ．0 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62 10S S ，则34a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ，又2n n a b =，则1223 910 111 b b b b b b +++ =（ ） A ． 8 17 B ． 1021 C ． 1123 D ． 9 19 9．题目文件丢失！ 10．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.
第2讲等差数列及其前n项和
第2讲 等差数列及其前n 项和 一、选择题 1.(2016·武汉调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( ) A.－1 B.－2 C.－3 D.－4 解析 法一 由题意可得?????a 1＋（a 1＋6d ）＝－8，a 1＋d ＝2， 解得a 1＝5，d ＝－3. 法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3. 答案 C 2.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 解析 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n ，解得n ＝5，故这个数列的项数为10. 答案 A 3.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A.a 1＋a 101＞0 B.a 2＋a 100＜0 C.a 3＋a 99＝0 D.a 51＝51 解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2 ＋a 100＝a 3＋a 99＝0. 答案 C 4.设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A.0 B.37 C.100 D.－37
解析 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2， ∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100， ∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100. 答案 C 5.(2017·泰安模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝( ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由?????a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2， 得?????a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2，解得?????a 1＝－13，d ＝2. ∴a n ＝－15＋2n . 由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152.又n 为正整数， ∴当S n 取最小值时，n ＝7.故选C. 答案 C 二、填空题 6.(2016·江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________. 解析 设数列{a n }的公差为d ，由题设得 ???a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10， 解得?????a 1＝－4，d ＝3， 因此a 9＝a 1＋8d ＝20. 答案 20 7.正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝ ________.
等差数列的前n项和
等差数列的前n项和 1．理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点) 2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，a n，S n之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点) [基础·初探] 教材整理等差数列的前n项和 1．等差数列的前n项和公式 已知量首项、末项与项数首项、公差与项数 求和公式S n＝n a1＋a n 2S n＝na1＋ n n－1 2d 2.等差数列前n项和公式的函数特点 S n＝na1＋n n－1 2d＝ d 2n2＋? ? ? ? ? a1－ d 2n. d≠0时，S n是关于n的二次函数，且无常数项． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式．() (2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和S n.() (3)若数列{a n}的前n项和为S n＝an2＋bn，则{a n}是等差数列．() 【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式． (2)数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式． (3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0)．【答案】(1)×(2)×(3)√
[小组合作型] 与S n 有关的基本量的计算 (1)已知等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－1 2，S n ＝－15，求n 和a n ； (2)已知等差数列{a n }中，S 5＝24，求a 2＋a 4； (3)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ； (4)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10. 【精彩点拨】 运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换． 【尝试解答】 (1)S n ＝n ·32＋n n －1 2·? ?? ?? －12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， 所以a 12＝32＋(12－1)×? ???? －12＝－4. (2)设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则S 5＝5a 1＋ 5×5－1 2 d ＝24， 即5a 1＋10d ＝24，所以a 1＋2d ＝24 5， 所以a 2＋a 4＝2(a 1＋2d )＝2×245＝48 5. (3)因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋ n n －1 2 d ， 又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022， 所以????? 1＋n －1d ＝－512， ①n ＋1 2n n －1d ＝－1 022， ② 把(n －1)d ＝－513代入②得
2022年高考数学总复习：等差数列及其前n项和
第 1 页 共 13 页 2022年高考数学总复习：等差数列及其前n 项和 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2 d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 知识拓展 等差数列的四种判断方法 (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)?{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)?{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)?{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)?{a n }是等差数列．
等差数列及其前n项和
第五章 第二节 等差数列及其前n 项和 课下练兵场 一、选择题 1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于 ( ) A.1 B.5 3 C.2 D.3 解析：∵S 3＝ 13() 2 a a +＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0， ∴d ＝ 31() 2 a a +＝2. 答案：C 2.已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝ ( ) A.138 B.135 C.95 D.23 解析：∵(a 3＋a 5)－(a 2＋a 4)＝2d ＝6，∴d ＝3，a 1＝－4， ∴S 10＝10a 1＋10(101)2 d ?-＝95. 答案：C 3.设命题甲为“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙为“a b ＋c b ＝2”，那么 ( ) A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 解析：由a b ＋c b ＝2，可得a ＋ c ＝2b ，但a 、b 、c 均为零时，a 、b 、c 成等差数列， 但a b ＋c b ≠2. 答案：B
4.数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0且数列{ 1 1 n a +}是等差数列，则a 4＝ ( ) A.12 B.13 C.14 D.16 解析：设数列{ 11n a +}的公差为d ，由4d ＝611a +－211a +得d ＝16，∴411 a +＝1 2＋1＋ 2×16，解得a 4＝1 2. 答案：A 5.在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 ( ) A.24 B.48 C.60 D.84 解析：由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60. 答案：C 6.在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则在 11S a ，2 2S a ，…，1515S a 中最 大的是 ( ) A . 1 1S a B .88S a C .99 S a D .1515S a 解析：由于S 15＝ 11515() 2 a a +＝15a 8＞0， S 16＝ 11615() 2 a a +＝8(a 8＋a 9)＜0， 所以可得a 8＞0，a 9＜0. 这样 11S a ＞0，2 2S a ＞0，…，88S a ＞0，99S a ＜0，1010S a ＜0，…，1515S a ＜0， 而S 1＜S 2＜…＜S 8，a 1＞a 2＞…＞a 8， 所以在 11S a ，2 2S a ，…，1515S a 中最大的是88S a . 答案：B 二、填空题 7.在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1 a n ＋2 (n ∈N *)，则该数列的通项a n ＝ . 解析：由2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1 a n ，
等差数列前n项求和
2．3 等差数列的前n 项和 一、教学目标 1、理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式、前n 项和。 2、体会等差数列与二次函数的关系。 二、基础知识 1、数列前n 项和公式： 一般地，称n a a a a ++++...321为数列}{n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n n a a a a S ++++= (321) 2、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 当2≥n 时，有n n a a a a S ++++=...321；13211...--++++=n n a a a a S ，所以n a ＝____________；当n=1时，11s a =。总上可得n a ＝____________ 3、等差数列}{n a 的前n 项和的公式=n S ________________＝__________________ 4、若数列{}n a 的前n 项和公式为Bn An S n +=2（B A ,为常数），则数列{}n a 为 。 5、在等差数列}{n a 中，n S ；n S 2－n S ；n S 3－n S 2；。。。 仍成等差数列，公差为___________ 6、在等差数列}{n a 中：若项数为偶数2n 则=n S ________________；奇偶－s s ＝________________；＝偶奇 s s ________________。 若项数为奇数2n-1则=-1n S ________________；偶奇－s s ＝________________；＝偶奇 s s ________________。 7、若数列}{n a 与}{n b 均为等差数列，且前n 项和分别是n S 和n T ，则 ＝m m b a _____________。 三、典例分析 例1、已知数列{}n a 的前n 项和22+=n S n ，求此数列的通项公式。 解析：32111=+==s a ① )2(12]2)1[(2221≥-=+--+=-=-n n n n s s a n n n ② 在②中，当n=1时，1112=-?与①中的1a 不相等
等差数列及其前n项和(普通高中)
课时跟踪检测（二十九） 等差数列及其前n 项和 (一)普通高中适用作业 A 级——基础小题练熟练快 1．(2018·兰州诊断考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( ) A ．36 B ．72 C ．144 D ．288 解析：选B 法一：∵a 8＋a 10＝2a 1＋16d ＝28，a 1＝2， ∴d ＝32，∴S 9＝9×2＋9×82×32 ＝72. 法二：∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14， ∴S 9＝9(a 1＋a 9)2 ＝72. 2．(2018·安徽两校阶段性测试)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( ) A ．20 B ．36 C ．24 D ．72 解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12， 得????? 4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得????? a 1＝0， d ＝1， ∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24. 3．(2018·西安质检)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23 D ．24 解析：选C 由3a n ＋1＝3a n －2?a n ＋1－a n ＝－23?{a n }是等差数列，则a n ＝473－23 n .∵a k ·a k ＋1<0， ∴????473－23k ????453－23k <0，∴452 第1讲 等差数列及其前n 项和 一、填空题 1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 3 9＝1，则公差为________． 3．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 9，则S n 取最大值时，n ＝________. 4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则S 9＝________. 5．设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12 ＋a 13＝________. 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋pn ，a 7＝11.若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为________． 7．已知数列{a n }满足递推关系式a n ＋1＝2a n ＋2n －1(n ∈N * )，且? ?????????a n ＋λ2n 为等差数列， 则λ的值是________． 8．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________. 10．已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2.则数列的通项公式a n ＝________. 二、解答题 11．已知等差数列{a n }的前三项为a －1,4,2a ，记前n 项和为S n . (1)设S k ＝2 550，求a 和k 的值； (2)设b n ＝S n n ，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值． 2.2 等差数列的前n项和 第一课时等差数列前n项和公式及性质 【选题明细表】 基础达标 1.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( B ) (A)40 (B)42 (C)43 (D)45 解析:∵a1=2,a2+a3=13, ∴3d=13-4=9,∴d=3, a4+a5+a6=S6-S3=6×2+×6×5×3-(3×2+×3×2×3)=42.故选B. 2.等差数列{a n}共有2n+1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为( B ) (A)28 (B)29 (C)30 (D)31 解析:∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=(n+1)a n+1, S偶=a2+a4+…+a2n=na n+1, ∴S奇-S偶=a n+1=29.故选B. 3.(2013南阳高二阶段性考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a8=6+a11,则S9等于( D ) (A)27 (B)36 (C)45 (D)54 解析:∵2a8=a5+a11=6+a11,∴a5=6, ∴S9===9a5=54.故选D. 4.(2012郑州四十七中月考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( B ) (A)63 (B)45 (C)36 (D)27 解析:由S3,S6-S3,S9-S6成等差数列, ∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.故选B. 5.(2013广州市铁一中第一学期期中测试)在各项均不为零的等差数列中,若a n+1-+a n-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于( A ) (A)-2 (B)0 (C)1 (D)2 解析:由已知得2a n-=0, 又a n≠0,∴a n=2, ∴S2n-1===2(2n-1), ∴S2n-1-4n=-2.故选A. 等差数列及其前n 项和-复习讲义 一、知识梳理 1．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N * )． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N * )，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 2．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋a n 2或S n ＝na 1＋nn －1 2 d . 3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2n 2＋? ????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 4．等差数列的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值． 5．等差数列的判断方法 (1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. (3)通项公式法：n a pn q =+ (4)前n 项和法：2n S An Bn =+ 6．等差数列与等差数列各项和的有关性质 (1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1)a n . (4)若n 为偶数，则2 n S S d -=偶奇 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 7．等差数列与函数 在d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，一次项系数为d ；S n 是关于n 的二次函数，二次项系数为d 2，且常数项为0. 二、巩固训练 1．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________. 答案 15解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝22，∴a 5＝22－a 6＝22－7＝15. 2．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1等于( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 答案 B 解析 因为S 10＝S 11，所以a 11＝0.又因为a 11＝a 1＋10d ，所以a 1＝20. 3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 高三数学《等差数列及其前n项和》知 识点总结 www.5y kj.co m 一、等差数列的有关概念 ．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d． 2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A ＝/2，其中A叫做a，b的等差中项． 二、等差数列的有关公式 ．通项公式：an＝a1＋d. 2．前n项和公式：Sn＝na1＋n/2d+d＝n/2. 三、等差数列的性质 ．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq. 2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd. 3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d. 4．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当 a1<0时前n项和Sn有最小值．d<0时为递减数列，且当a1>0时前n项和Sn有最大值． 5．等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝d/2，B＝a1－d/2，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的充要条件． 四、解题方法 .与前n项和有关的三类问题 知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想． Sn＝d/2*n2＋n＝An2＋Bn⇒d＝2A. 利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元与解题的技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…； 若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 等差数列的前n 项和·例题解析 一、等差数列前n 项和公式推导： （1） Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成 Sn=an+an-1+......a2+a1 两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1) =n(a1+an) 所以Sn=[n （a1+an ）]/2 （公式一） （2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d ，项数为n ，则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得 Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二） 二、对于等差数列前n 项和公式的应用 【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为 奇数的各项的和为125，求其第6项． 解 依题意，得 10a d =140a a a a a =5a 20d =125 1135791＋＋＋＋＋＋101012()-????? 解得a 1=113，d=－22． ∴ 其通项公式为 a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135 ∴a 6=－22×6＋135＝3 说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ， 再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出a n而 直接去求，所列方程组化简后可得 ＋ ＋ 相减即得＋， a 2a9d=28 a4d=25 a5d=3 6 1 1 1 ? ? ? 即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和． 解由已知，第一个数列的通项为a n＝3n－1；第二个数列的通项为b N=5N－3 若a m＝b N，则有3n－1＝5N－3 即＝＋ n N 21 3 () N- 若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以 N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66 ∴两数列相同项的和为 2＋17＋32＋…＋197=1393 【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为 精心整理 2.3.2等差数列的前n 项和的性质【学习目标】 1.熟练掌握等差数列前n 项和公式，等差数列前n 项和的性质以及其与二次函数的关系； 2. 在学习等差数列前n 项和性质的同时感受数形结合的基本思想，会由等差数列前n 项和公式求其通项公式. 【自学园地】 1. 等差数列的前n 项和的性质： 已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)若m ，n ，p ，q ，k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k . (2)a m （3）（4（5(6){pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2. 2.{}n a 为等差数列?其前n 项和2n S An Bn =+． 3.若数列{}n a 为等差数列{ }n S n ?成等差． 4.等差数列的单调性的应用： （1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，n 是不等式100 n n a a +≥?? （2）当10,0a d <>时，n S 有最大值，n 是不等式1 00n n a a +≤??>?的正整数解时取得． （II ）当数列中有某项值为0时，n 应有两解．110m m m S S a ++=?=． 5.知三求二问题：等差数列数列前n 项和公式中各含有4个元素：1,,,n n S n a a 与1,,,n S n a d ，已知其中3个量，即可求出另外1个；综合通项公式及前n 项和公式，已知其中3个量即可求出另外2个量． 【典例精析】 1.（1（2（3（4，则项数n （5d ． （62.3.4（1（2）问12,,S 中哪个值最大？5中，a 1＝－60，6.7.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)n a n n = +，求n S 8.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(2) n a n n = +，求n S 【巩固练习】 1．一个有11项的的等差数列，奇数项之和是30，则它的中间项是（） A.8 B.7 C.6 D.5 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612 S S =（） 等差数列及其前n项和 突破点一等差数列的基本运算 1.理解等差数列的概念． 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题． 4.了解等差数列与一次函数的关系 [基本知识] 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b 2，其中A叫做a，b的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：S n＝na1＋n(n－1) 2d＝ n(a1＋a n) 2. [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．() (2)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.() (3)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的．() (4)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．() 答案：(1)×(2)√(3)√(4)√ 二、填空题 1．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________． 答案：3 2．在等差数列{a n}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6的值为________． 答案：14 3．已知{a n}是等差数列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，则该数列的公差是________． 答案：4 4．在等差数列{a n}中，已知d＝2，S100＝10 000，则S n＝________. 答案：n2 [典例感悟] 1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝() A．－12B．－10 求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法 【必备方法】 1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2， 通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。 2.邻项变号法： ①0,01<>d a 时，满足???≤≥+0 01n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01> n n m n k k +m k +2m 等差数列及其前 n 项和（讲义） 知识点睛 一、数列的概念与简单表示方法 1. 数列的概念 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 数列的一般形式可以写成a 1 ，a 2 ，a 3 ，…，a n ，…，简记为{a n }． 2. 数列的表示方法 （1） 列表法 （2） 图象法 （3） 公式法 ①通项公式 ②递推公式 3. 数列的性质 （1） 递增数列 （2） 递减数列 （3） 常数列 （4） 摆动数列 二、 等差数列 1. 等差数列的概念 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示． （1） 等差中项 （2） 等差数列的通项公式： a n = a 1 + (n -1)d ． 2. 等差数列的性质 （1） 通项公式的推广： a = a + (n - m )d (m ，n ∈ N * ) ． （2） 若{a }是等差数列，且k + l = m + n (k ，l ，m ，n ∈ N *) ， 则a k +a l = a m + a n ． （3） 若{a }是等差数列，则a ， a ， a ，… (k ，m ∈ N *) 组成公差为 md 的等差数列． （4） 若{a n }是等差数列，则{λ a n + c }也是等差数列． 1 n n n （5） 若{a }，{b }是等差数列，则{ p a + qb } (n ∈ N * ) 也是等 n n n n 差数列． 三、 等差数列的前 n 项和 1 . 我们称a 1 + a 2 + a 3 +… + a n 为数列{a n }的前 n 项和，用 S n 表示， 即 S n = a 1 + a 2 + a 3 +… + a n ． 等差数列{a n }的前 n 项和公式 （1） 已知a ， a ，n 时， S = n (a 1 + a n ) ． 1 n n 2 （2） 已知a 1 ， n ，d 时， S n 推导过程：倒序相加法 2 . 等差数列各项和的性质 = na 1 + n (n -1) d ． 2 （1） S m ， S 2m ， S 3m 分别是{a n } 的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则S m ， S 2m - S m ， S 3m - S 2m 成等差数列． （2） 两个等差数列{a n }，{b n }的前 n 项和 S n ， T n 之间的关系 为 a n b n = S 2n -1 ． T 2n -1 （3） 数列{a }的前 n 项和S = An 2 + Bn ( A ，B ∈ R ) 是{a }为等差数列的等价条件． （4） 等差数列{a n }前 n 项和的最值： 当d > 0 时，{a n }为递增数列，且当a 1 < 0 时，前 n 项和S n 有最小值； 当d < 0 时，{a n }为递减数列，且当a 1 > 0 时，前 n 项和S n 有最 大值． 2 等差数列的前n项和（第一课时）教学设计 【教学目标】 一、知识与技能 1 ?掌握等差数列前n项和公式； 2?体会等差数列前n项和公式的推导过程； 3?会简单运用等差数列前n项和公式。 二、过程与方法 1?通过对等差数列前n项和公式的推导，体会倒序相加求和的思想方法； 2.通过公式的运用体会方程的思想。 三、情感态度与价值观 结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。 【教学重点】 等差数列前n项和公式的推导和应用。 【教学难点】 在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。 【重点、难点解决策略】 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。 【教学用具】 多媒体软件，电脑 【教学过程】 一、明确数列前n项和的定义，确定本节课中心任务： 前n 和呢，于数列{a n } :ai, a 2, as, a n ,…我 称ai+且2+23+…+a n 数列{a n } 的前n 和，用Sn 表不，Sn=ai+a2+a3+…+a 如 , Si =ax S 7 =ai+a 24-a 3+ +a 7,下面我们来共同探究如何求等差数列的前 n 项 和。 二、问题牵引，探究发现 问题1：（播放媒体资料情景引入）古算术《张邱建算经》中卷有一道题：今有与人钱，初一人 与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？ 即:Sioo=l+2+3+ ? +100=? 著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世；那么小高斯是如何快速地得出答案的呢？请同 学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质。 同学们讨论后总结发言：等差数列项数为偶数相加时首尾配对，变不同数的加法运算为 相同数的乘法运算大大提高效率。高斯的方法很妙，如果等差数列的项数为奇数时怎么办 呢？ — ...... .... 探索与发现1：假如让你计算从第一人到第21人的钱数，高斯 的首尾配对法行吗？ 即计算S2F1+2+3+?+21的值，在这个过程中让学生发现当 项数为奇数时，首尾配对出现了问题，通过动画演示引导帮助 学生思考解决问题的办法，为引出倒序相加法做铺垫。 特点： 首项与末项的和： 第2项与倒数第2项的和: 第3项与倒数第3项的和: 1+ 100 = 101, 2 + 99 =101, 3+98 =101, 50+ 51 = 101, 101 X 50 = 5050。 5050 第50项与倒数第50项的和: 于是所求的和是： 1 + 2+3+ ? +100 二 101X50等差数列及其前n项和练习题
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