浙江地区高级中学数学竞赛试题及详细解析答案解析
2011年浙江省高中数学竞赛试卷
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1. 已知53[
,]42
ππ
θ∈
） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ 2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ ）
A. 2
B. C. 2±
D. ±
3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈?， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ ）
A. 充分且必要条件
B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件
D. 非充分且非必要条件
4. 过椭圆2
212
x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（ ） A.
B.
C.
D. 5. 函数150
()51
x
x
x f x x -?-≥=?-
2
2
3
1
正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形） A. 4+
52π B. 4+32π C. 4+2
π D. 4+π 7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依次记为：1122(,),(,),,(,),
;
n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．8
8. 在平面区域{}
(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ ）
A. 4
B.8
C. 16
D. 32 9. 已知函数()sin(2)6f x x m π
=--在0,2π??
????
上有两个零点，
则m 的取值范围为（ ）
A. 1, 12??
??? B 1, 12??
????
C. 1, 12??????
D. 1, 12??
???
10. 已知[1,1]a ∈-，则2
(4)420x a x a +-+->的解为（ ）
A.3x >或2x <
B.2x >或1x <
C.3x >或1x <
D.13x <<
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分） 11. 函数()2sin
3cos 2
x
f x x =-的最小正周期为__________。 12. 已知等差数列{}n a 前15项的和15S =30，则1815a a a ++=__________. 13. 向量(1,sin )a θ=，(cos ,3)b θ=，R θ∈，则a b -的取值范围为。
14. 直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC ?是正三角形，P ，E 分别为1BB ，1CC 上的动点（含端点）,D 为BC 边上的中点，且PD PE ⊥。则直线,AP PE 的夹角为__。 15．设y x ,为实数，则
=+=+)(m ax 2210452
2
y x x
y x ____________。
16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300
只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_________种。（用组合数符号表示）
17. 设z y x ,,为整数，且3,33
3
3
=++=++z y x z y x ，则=++2
2
2
z y x __。
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分） 18. 设2≤a ，求x x y )2(-=在]2 ,[a 上的最大值和最小值。
19. 给定两个数列
{}
n x ，
{}
n y 满足100==y x ，)1( 21
1
≥+=
--n x x x n n n ，
)1( 211
21
≥+=--n y y y n n n 。证明对于任意的自然数n ，都存在自然数n j ，使得 n j n x y =。
20. 已知椭圆22
22154
x y +=，过其左焦点1F 作一条直线交椭圆于A ，B 两点，D (,0)a 为1F 右
侧一点，连AD 、BD 分别交椭圆左准线于M,N 。若以MN 为直径的圆恰好过 1F ，求 a 的值。
2011年浙江省高中数学竞赛参考解答与评分规范
1．解答：因为53[
,]42
ππ
θ∈，
cos sin cos sin θθθθ--+ 2cos θ=。正确答案为D 。
242a =?=±。正确答案为C 。 3．解答：P 是q 的充分非必要条件。正确答案为B 。
4. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB 为1,y x =-代入椭圆方程得
21243400,33
x x x x AB -=?==
?==。正确答案为C 。 5. 解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A 。 6.解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（2
π
），所以该几何体的体积为5221342
2
π
π
π??+-
=+
。正确答案为A 。 7. 答案 经计算32x =。正确答案为 B 。
8. 解答：平面区域{}
(,)||1,||1x y x y ≤≤的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足22ax by -≤，即有22,22,22,22a b a b a b a b +≤-≤--≤-+≤,由此计算动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A 。 9. 解答：问题等价于函数()sin(2)6f x x π
=-
与直线y m =在0,2π??
????
上有两个交点，所以m 的取值范围为1
, 12??????
。正确答案为C 。
10. 解答：不等式的左端看成a 的一次函数，2
()(2)(44)f a x a x x =-+-+
由22
(1)560,(1)3201f x x f x x x -=-+>=-+>?<或3x >。正确答案为C 。 11. 解答：最小正周期为4π。
12.解答：由1513072S a d =?+=，而181513(7)6a a a a d ++=+=。 13.
解
答
：
(1cos
a b -=-== ，
其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。
14. 解答：因为平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ⊥BC ，所以AD ⊥平面11BCC B ，所以AD ⊥PE ，又PE ⊥PD ，PE ⊥平面APD ，所以PE ⊥PD 。即夹角为90。 15. 解答：2
2
2
2
54104105002x y x y x x x +=?=-≥?≤≤
22222224()1025(5)2534x y x x x x y +=-=--≤-?+≤
16. 解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有300
1710C 种关灯方法。 17. 解答：将3z x y =--代入33
3
3
=++z y x 得到8
3()9xy x y x y
=+-+
+，因为,x y 都是整数，所以1428
,,,,25116x y x y x y x y xy xy xy xy +=+=+=+=????????====????
前两个方程组无解；后两个方
程组解得1;4,5x y z x y z ======-。所以=++2
2
2
z y x 3或57。
18. 解答：当20,(1)1,x y x ≤=--+ 当2
0,(1)1,x y x >=-- 由此可知 max 0y =。
当2
min 12,2a y a a ≤≤=-
；当min 11,1a y ≤<=-；
当2min 12a y a a <=-+。 19. 解答：由已知得到：
1112111112(1){1}n n n n n
x x x x x --=+?+=+?+为等比数列，首项为2，公比为2， 所以
11111221
n n n n x x +++=?=-。 又由已知，222
11111
(1)11111()1(1)12n n n n n n n n n y y y y y y y y y -----++++=?=?+=++
由011121212221
n n
n y n y y +=?+=?=
-， 所以取21n n j =-即可。
20. 解答：125
(3,0),3
F x -=-
左准线方程为;AB 方程为(3)()y k x k =+为斜率。 设1122(,),(,)A x y B x y ，由???
??=+
+=116
25)3(2
2y x x k y 2222(1625)1502254000k x k x k ?+++-=得 设342525
(,),(,)33
M y N y -
-。由M 、A 、D 共线123412(325)(325),3()3()a y a y y y a x a x ++=
=--同理。 又131411111616
(,),(,),033
F M y F N y F M F N F M F N =-=-⊥??=由已知得， 得
212343412325)256
,99()()a y y y y y y a x a x +=-=--（而，即
2
22561625k k
-?+2
12325)9()()
a a x a x +--（=
256
,9
-
整理得 22(1)(16400)05,3,5k a a a a +-=?=±>-=又所以。
2010年浙江省高中数学竞赛试卷
说明：
本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的22题组成，即10道选择题，7道填空题、
3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后
的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1．化简三角有理式x
x x x x
x x x 2
2662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为 （ ）
A ．1
B ． sin cos x x +
C ．sin cos x x
D ．1+sin cos x x
2．若2
:(0,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的
（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．集合P={363,=+++∈x x R x x }，则集合R C P 为
（ ）
A ．{6,3}x x x <>或
B ．{6,3}x x x <>-或
C ．{6,3}x x x <->或
D ．{6,3}x x x <->-或
4．设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。已知OP =a ，OQ =b ，OR =r a +k b .若△PQR
为等边三角形，则k ，r 的取值为
（ ）
A ．12k r -==
B ．113
,22
k r ±==
C ．k r ==
D ．k r =
=
5．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若1，则CA 1与C 1B 所成的角的大小是（ ） A ．60°B ．75°C ．90°D ．105°
6．设{}n a ，{}n b 分别为等差数列与等比数列，且11444,1a b a b ====，则以下结论正确
的是
（ ）
A ．22a b >
B ．33a b <
C ．55a b >
D ．66a b > 7．若15
,(12)x R x +
∈+则的二项式展开式中系数最大的项为 （ ）
A ．第8项
B ．第9项
C ．第8项和第9项
D ．第11项
8．设()cos
5x
f x =，12111(lo
g ),(log ),(log )e e a f b f c f e πππ
===，则下述关系式正确
的是
（ ）
A ．a b c >>
B ． b c a >>
C ． c a b >>
D ．b a c >>
9．下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为
（ ）
A ．
32
π
B ．
23
π
C ．
43
π
D ．
34
π
正视图： 半径为1的半圆以及高为1的矩形
俯视图： 半径为1的圆
10．设有算法如下：
如果输入A=144,B=39,则输出的结果是 （）
A ．144
B ．3
C ． 0
D ．12
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分） 112009220102009220102x x x x ----+-=所有实数解为。
12．,x R ∈ 函数()2sin
3cos 23
x x
f x =+的最小正周期为． 13．设P 是圆2
2
36x y +=上一动点，A 点坐标为()20,0。当P 在圆上运动时，线段PA
的中点M 的轨迹方程为.
14．设锐角三角形ABC 的边BC 上有一点D ，使得AD 把△ABC 分成两个等腰三角形，试
求△ABC 的最小内角的取值范围为 . 15．设z 是虚数，1
w z z
=+
，且12w -<<，则z 的实部取值范围为. 16．设4
4
2
)1()1()(x x x x k x f --+-=。如果对任何]1,0[∈x ，都有0)(≥x f ，则k 的最小值为 .
17．设R q p ∈,，q x p x x f ++=||)(2
。当函数)(x f 的零点多于1个时，)(x f 在以其
最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为.
三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分） 18．设数列 ,1
,,12,
1,,13,22,31,12,21,11k
k k -，
问：（1）这个数列第2010项的值是多少；
（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.
19．设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每
个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。
20．已知椭圆)1(12
22>=+a y a
x ，Rt ABC ?以A （0，1）为直角顶点，边AB 、BC 与椭
圆交于两点B 、C 。若△ABC 面积的最大值为27
8
，求a 的值。
四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。） 21．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点。记AB
AF
CA CE BC BD =
==
γβα,,。证明：ABC DEF S S ??≥ αβγ。
22．（1）设0a >，平面上的点如其坐标都是整数，则称之为格点。今有曲线3
y ax =过格
点（n ，m ），记1x n ≤≤对应的曲线段上的格点数为N 。证明：
3
11n
m
k k N ak mn ==??=+-??∑∑。 （2）进而设a 是一个正整数，证明：
3
21(1)(31)4an k a n n n n ==+-+∑。 （注[]x 表示不超过x 的最大整数）
参考答案
1．解答为 A 。
22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=(
4422sin cos sin cos x x x x =++。
也可以用特殊值法
2．解答为 B 。p 成立3x ?≥-，所以p 成立，推不出q 一定成立。 3．解答：D 。 画数轴，由绝对值的几何意义可得63x -≤≤-，
{}63,{6,3}R P x x C P x x x =-≤≤-=<->-或。
4．解答．C ． PQ QR PR ==，
12
±==r=k=
。 5．解答：C 。建立空间直角坐标系，以11A B 所在的直线为x 轴，在平面111A B C 上垂直于11A B
的直线为y 轴，1BB 所在的直线为z 轴。则
11,0),22A C ,22
C
(0,0,1)B ，1111(
1),(02222
CA C B CA C B =--=--?=。 6．解答：A 。
11444,12
a b a b ====设等差数列的公差为d ，等比数列公比为q,由，得d=-1,q=
223355663,2,0,1,24
a b a b a b a b =======-=得。
7．解答：D ．11512129322,33
r
r
r r r r r T C T T T T r ++++=≤≤?
≤≤由，，r=10，第11项最大。 8．解答： D 。函数()cos 5
x f x =为偶函数，在（0，2π
）上，()cos f x x =为减函数，而
121
111log log ,log ,log 2log log e
e e e e e π
πππ
ππ
=-=-=， log 2log 1
05log 554
e e e ππππ<
<<<，所以b a c >>。
9．解答：C ．根据题意，该立体图为圆柱和一个1/4的球的组合体。
10．解答 B （1）A=144，B=39，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，
C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分） 11．20102011x ≤≤。
解答
201=?≤
，
解得 20102011x ≤≤。
12．12π．
解答 2sin 43cos ()1223
x
x f x πππ的周期为，的周期为6，所以函数的周期为。 13．2
2
(10)9x y -+=.
解答 设M 的坐标为00(,)(,),x y P x y ，设点坐标为则有 0020,22
x y
x y +=
= 00220,2x x y y ?=-=，因为P 点在圆上，所以22
(220)(2)36x y -+= 所以P 点轨
迹为22
(10)9x y -+=。 14．30 解答 如图，（1）AD=AC=BD ；（2）DC=AC ，AD=BD 。 在（1）中，设最小的角为x ，则2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30 在（2）中，设最小的角为x ，则3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>22.5,所以22.5 12 a - <<. 解答 设2222120 a bi b z a bi a bi b a b a b -=+?-<++ 当0b =，无解；当2 2 1 112 a b a +=?- <<。 16． 1192 . 解 答 1)1(224+--≥x x x x k 222133131(),124424 x x x x x x -+=-+≥=-+因为时最小值为 448111,(1)222 x x x ≤=-时，取最大值（） ，所以k 的最小值为1 192。 17．0或q. 解答 因为函数q x p x x f ++=||)(2 为偶函数，由对称性以及图象知道，)(x f 在以 其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值0或q 。 三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分） 18．解（1）将数列分组： ),1 ,,12,1(,),13,22, 31(),12,21(),11 (k k k - 因为1+2+3+…+62=1953；1+2+3+…+63=2016， 所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数，即为 57 7 。 --------- 10分 （2）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1，所以第2010个1出现在第4019 组，而第4019组中的1位于该组第2010位，所以第2010个值为1的项的序号为（1+2+3+…+4018）+2010=809428。 ------------ 17分 19．解：设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为,,x y z ，则有1,,9x y z ≤≤，且 (10)(10)(10)xyz x y z =--- （*1） ----------------- 5分 即有 50050()5()xyz x y z xy yz zx =-+++++。 （*2） 于是有 5xyz 。因此,,x y z 中必有一个取5。不妨设5x =，代入（*1）式，得到 10y z +=。 ----------------10分 此时，y 可取1，2，…，8，9（相应地z 取 9，8，…，2，1），共9种放法。同理可得y=5或者z=5时，也各有9种放法，但有x y z ==时二种放法重复。因此可得共有 9×3－2 = 25种放法。 ---------------------17分 20．解： 不妨设AB 的方程()01>+=k kx y ，则AC 的方程为11 +- =x k y 。 由?????=++=1 1 2 22y a x kx y 得：02)1(2 222=++kx a x k a 2222,1B a k x a k -?=+ 由222 111 y x k x y a ?=-+????+=??得：2222 ()20a k x a kx +-=22 2 2,C a k x a k ?=+ 从而有 AB AC == --------5分 于是 2 44 2222 224 211(1) 2212(1)()()1 ABC k k k k S AB AC a a a k a k a k a k ?+ += ==+++++。 令1 2t k k =+ ≥，有 44 22 2222 222,(1)(1) ABC a t a S a a t a a t t ?==-+-+ --------- 10分 因为222 2 (1)2(1),a a t a a t -+≥-21a t a -=时等号成立。 因此当23 max 21,(),1 ABC a a S a a ?-=-t= ------------- 14分 令322273(3)(839)03,1816 a a a a a a a +=?---=?==- 2121) 3.a a a a a ->?>+∴=∴=不合题意，舍去， --------- 17分 四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。） 21．证明 由 sin (1).sin BFD ABC BD BF B S S BC BA B αγ???==-? ---------5分 (1),(1)DEC AEF ABC ABC S S S S βαγβ????=-=-同理 。 ---------- 10分 所以， 1(1)(1)(1)ABC BFD DEC AEF DEF ABC ABC S S S S S S S αγβαγβ???????---==------ =(1)(1)(1),111αβγαβγαβγαβγ---+≥?===等号成立或或。 ----20分 因此ABC DEF S S ??≥ αβγ，等号成立，当且仅当，D 与C 重合， 或E 与A 重合，或F 与B 重合。 ----- 25分 22．证明 （1）考虑区域0,0,x n y m <≤<≤且该区域上的格点为nm 个。 又该区域由区域E ： 30,0,x n y ax <≤<≤以及区域F ：0,0y m x <≤<≤ 组成。 在区域E 上，直线段(,1)x k k N k n + =∈≤≤上的格点为3 []ak 个， 所以区域E 上的 格点数为31 []n k ak =∑ 。 ----------------- 5 分 同理区域F 上的格点数为1 m k =∑ 。 ----------------- 10分 由容斥原理，3 11n m k k N ak mn ==??= +-??∑∑。 -------------------------15 分 （2）当a 是一个正整数时，曲线3 y ax =上的点（3 ,k ak ）(,1)k N k n + ∈≤≤都是格 点，所以（1）中的N=n 。同时，3 m an =。将以上数据代入（1）得 3 4 31 1an n k k an a k n ===-+=∑ ∑2(1)(31)4a n n n n +-+。 ----------------- 25 分 高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。 二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2 2015年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则 一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ． 解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4， 当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4． 2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π 24 处的值是 ． 解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－3 2． 3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2． 4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ． 解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42 625 ，所求的 概率是72 625 ． 5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2 c 2＝1有相同 的离心率e ，则e 的值是 ． 解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c 2 b 2，解得e ＝－1＋52 ． 6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1 V 2的值是 ． （第6题图） A 1 前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， ? -=10 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行，因此，由 x z x =， y z y 2=知 高二数学竞赛模拟试题 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器； ⒊考试用时120分钟，全卷满分150分． 一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =， N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ） (A)．9 ( B)．6 (C)．18 (D)．16 2．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ） (A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．3 3、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6 (π 平移后，它的一条对称轴是4 π = x ，则θ的一个 可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6 π (D)12π 4.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有 ()200823f x f x x ?? ? ?? +=，则()2f 等于（ ） ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012. 5.已知,αβ分别满足100411004,10g βαα β=?=?，则αβ?等于( ) ﹙A ﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C ﹚ ﹙D ﹚2008. 6.直线20ax y a -+=与圆22 9x y +=的位置关系是（ ） （A ）相离 （B ）相交 （C ）相切 （D ）不确定 7.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ） (A)．100 (B). 101 (C).200 (D).201 8．()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（ ） 全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 说明： 1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设6分和0分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3分为一个档次, 不要再增加其他中间档次. 一．选择题 (本题满分36分, 每小题6分) 1. 函数 ()y f x = 的图像按向量 ( ,2)4 a π= 平移后, 得到的图像的解析式为 sin()24 y x π =++. 那么 ()y f x = 的解析式为 A. sin y x = B. cos y x = C. sin 2y x =+ D. cos 4y x =+ 答: [ ] 2. 如果二次方程 2 0(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有 A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 答: [ ] 3. 设 0a b >>, 那么 2 1 () a b a b + - 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答: [ ] 4. 设四棱锥 P ABCD - 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱锥, 使得 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 答: [ ] 5. 设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被 64 除的余数为 A. 0 B. 2 C. 16 D. 48 答: [ ] 6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1?1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖 都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有 A. 8 30个 B. 7 3025?个 C. 7 3020?个 D. 7 3021?个 答: [ ] 二．填空题 (本题满分36分, 每小题6分) 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 2 π 得向量 OB , 且 2(7,9)OA OB +=, 则 向量 OB = 江苏省高中数学竞赛校本教材[全套] (共30讲，含详细答案)-苏教版 目录 §1数学方法选讲（1） (1) §2数学方法选讲（2） (11) §3集合 (22) §4函数的性质 (30) §5二次函数(1) (41) §6二次函数(2) (55) §7指、对数函数,幂函数 (63) §8函数方程 (73) §9三角恒等式与三角不等式 (76) §10向量与向量方法 (85) §11数列 (95) §12递推数列 (102) §13数学归纳法 (105) §14不等式的证明 (111) §15不等式的应用 (122) §16排列，组合 (130) §17二项式定理与多项式 (134) §18直线和圆，圆锥曲线 (143) §19立体图形，空间向量 (161) §20平面几何证明 (173) §21平面几何名定理 (180) §22几何变换 (186) §23抽屉原理 (194) §24容斥原理 (205) §25奇数偶数 (214) §26整除 (222) §27同余 (230) §28高斯函数 (238) §29覆盖 (245) §29涂色问题 (256) §30组合数学选讲 (265) §1数学方法选讲（1） 同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。 例题讲解 一、从简单情况考虑 华罗庚先生曾经指出：善于―退‖，足够的―退‖，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。 1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。谁放入了最后一枚硬币谁获胜。问：先放的人有没有必定取胜的策略？ 最新全国2010高中数学精选联赛模拟试题一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 1、函数的最大值是（） A、2 B、 C、 D、3 2. 已知，定义，则 （） A． B．C． D． 3. 已知正三棱锥P－ABC的外接球O的半径为1，且满足＋＋＝，则正三棱锥P－ABC的体积为（） A．B．C．D． 4. 已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上任意一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为（） A、B、3 C、D、2 5. 已知（R），且 则a的值有（） （A）个（B）个（C）个（D）无数个 6.平面上有两个定点A、B，另有4个与A、B不重合的的动点。 若使则称（）为一个好点对。那么这样的好点对（） A．不存在B．至少有一个C．至多有一个D．恰有一个 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 不等式的解集为，那么的值等于__________. 8. 定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，则的值为_________. 9. 等差数列有如下性质：若是等差数列，则通项为的数列也是等 差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则通项为 _______________的数列也是等比数列． 10. 在正三棱锥S—ABC中M、N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是 11. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）． 12.已知点A(0，2)和抛物线y2＝x＋4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围 三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分） 13. 在外接圆直径为1的△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量 (1) 求的取值范围; （2）若试确定实数的取值范围. 14. 已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC 把几何体分成的两部分；（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM 2008年江苏省高中数学竞赛试卷 一、选择题（本题满分30分，每小题6分） 1．如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+2 2，b y x =+2 2 ，其中a ，b 为常数，那么mx +ny 的 最大值为 （ ） A ．2 b a + B ．ab C ．22 2b a + D ．2 2 2b a + 2．设)(x f y =为指数函数x a y =．在P （1,1），Q （1,2），M （2,3），?? ? ??41,21N 四点中，函数)(x f y =与其反函数)(1 x f y -=的图像的公共点只可能是 （ ） A ．P B ．Q C ．M D ．N 3．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数 列，那么z y x ++的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如果111C B A ?的三个内角的余弦值分别是 222C B A ?的三个内角的正弦值，那么 （ ） A ．111C B A ?与222C B A ?都是锐角三角形 B ．111 C B A ?是锐角三角形，222C B A ?是钝角三角形 C ．111C B A ?是钝角三角形，222C B A ?是锐角三角形 D ．111C B A ?与222C B A ?都是钝角三角形 5．设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α?a ，β?b ，且βα⊥”的平面α，β （ ） A ．不存在 B ．有且只有一对 C ．有且只有两对 D ．有无数对 二、填空题（本题满分50分，每小题10分） 6．设集合[]{}{} 222 <==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则 A B =___________________. 7．同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是P =____________（结果要求写 成既约分数）. 8．已知点O 在ABC ?内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ??与的面积之比为 _________________. 9．与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 ________________________. 10．在ABC ?中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 2 2 2c b a +=______________. 1 2 0.5 1 x y z 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f ,则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，? =10 d )()(t xt f x g ， 且A x x f x =→) (lim 0 ，A 为常数， 求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数 线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22 ++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u x n n n ,且n e u n =)1(,求函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、（10分）求- →1x 时,与 ∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量. 2019-2020年初中数学竞赛模拟试题 一、选择题（每小题6分，共30分） 1．方程1) 1(3 2=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且3 1 =AB AD ．若在边AC 上取一点E ， 使四边形DECB 的面积为 43，则EA CE 的值为（ ） （A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）5 1 3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定 4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个 5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 二、填空题（每小题6分，共30分） 6．当x 分别等于 20051，20041，20031，20021，20011，2000 1 ，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式2 2 1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于 ． 7．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜2 5 ，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为 ． 8．方程02 =++q px x 的两根都是非零整数，且 198=+q p ，则p ＝ ． 9．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于 ． A B F C E D · D C O B A 2019年浙江省高中数学竞赛试卷 说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1． 化简三角有理式x x x x x x x x 22662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（ A ） A. 1 B. sin cos x x + C. sin cos x x D. 1+sin cos x x 解答为 A 。 22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=( 4422s i n c o s s i n c o s x x x x =++ 。 2． 若2:(10,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的（ B ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解答为 B 。p 成立3x ?≥-，所以p 成立，推不出q 一定成立。 3． 集合P={363,=+++∈x x R x x }，则集合R C P 为（ D ） A. {6,3}x x x <>或 B. {6,3}x x x <>-或 C. {6,3}x x x <->或 D. {6,3}x x x <->-或 解答：D 。 画数轴，由绝对值的几何意义可得63x -≤≤-， {}63,{6,3}R P x x C P x x x =-≤≤-=<->-或。 4． 设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。已知OP =a ，OQ =b ，OR =r a +k b . 若△PQR 为等边三角形，则k ，r 的取值为（ C ） A ．k r == B ．k r == C ．12k r == D ．1122 k r -±-±==解答．C. P Q Q R P R ==， 全国初中数学竞赛初赛模拟试卷 （本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月22日8:30——10:30） 一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内 1. 方程 020091 1=-x 的根是 A. 20091 - B. 20091 C. -2009 D. 2009 2. 如果0<+b a ，且0>b ，那么2a 与2b 的关系是 A ．2a ≥2b B ．2a ＞2b C ．2a ≤2b D ．2a ＜2b 3. 如图所示，图1是图2中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的），那么，图1中的线段AB 在图2中的对应线段是 A ．k B ．h C ．e D ．d 4. 如图，A 、B 、C 是☉O 上的三点，OC 是☉O 的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA 的度数是 A ．75° B ．72° C ．70° D ．65° 图2 （第3题图） （第4题图） 5. 已知a 2=3，b 2=6，c 2=12，则下列关系正确的是 A ．c b a +=2 B ．c a b +=2 C ．b a c +=2 D. b a c +=2 6. 若实数n 满足 (n-2009 )2 + ( 2008-n )2=1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是 A ．1 B ．21 C ．0 D. -1 7. 已知△ABC 是锐角三角形，且∠A ＞∠B ＞∠C ，则下列结论中错误的是 A ．∠A ＞ 60° B ．∠C ＜60° C ．∠B ＞45° D ．∠B ＋∠C ＜90° 8. 有2009个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第一个数是1，第二个数是-1，则这2009个数的和是 A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2 9. ⊙0的半径为15，在⊙0内有一点 P 到圆心0的距离为9，则通过P 点且长度是整数值的弦的条数是 A ．5 B ．7 C ．10 D ．12 10. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象 如图所示，记b a p +=2，a b q -=，则下列 结论正确的是 A ．p ＞q ＞0 B ．q ＞p ＞0 C ．p ＞0＞q D ．q ＞0＞p 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分） 11. 已知 |x |=3，2y =2，且y x +＜0，则y x = . 12. 如果实数b a ,互为倒数，那么=+++221111 b a . 13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球4个， 绿球6个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为52 ，那么，随机从中摸出一个黄球的概 率为 . 14. 如图，在直线3+-=x y 上取一点P ，作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ， 若矩形OAPB 的面积为4，则这样的点P 的坐标是 . 15. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°, E, F 分别在AC 、AB 上，且AE=AF ，∠CDE= ∠BAC ，那么，图中长度一定与DE 相等的线段共有 条. （第10题图） D F B A E C C 提高卷一一、填空题： 1.计算：111111 6246012021084 +++++=________； 2.小凤在计算一道求七个自然数的平均数（得数保留两位小数）时，将得数最后一位算错了，他的错误答案是 21.83，正确的答案应是_______； 3.已知a=11661267136814691570 11651266136714681569 ?+?+?+?+? ?+?+?+?+? ?100，问a的整数部分是________； 4.一只乌鸦从其巢飞出，飞向其巢北10千米东7千米的一点，在该点它发现有一个稻草人，所以就转向再北4 千米东5千米的地方飞去，在那里它吃了一些谷物后立即返巢，乌鸦所飞的途 径构成了一个三角形（假设乌鸦总是沿直线飞行的），这个三角形的面积是 ________； 5.把1，2，3，?，9填入图中9个圈内，不同圈内填不同数字，三角形每边上 四个数之和相等，右图中阴影部分的六个圆圈内所填数之和的最小值是 ________； 6.从1，2，?，16中，最多能选出_______个数，使得被选出的数中，任意三个 数都不是两两互质的； 7.将所有自然数，自1开始依次写下去：123456789?，试确定在第206788个位置所出现的数字是_______； 8.某一出租车的车费起价是2千米5元钱，往后每增加1千米车费增加2元。现在从甲地到乙地乘出租车共支出 车费35元。如果从甲地到乙到先步行800米，然后乘车也是35元。从甲、乙两地中点到乙地需支付_______车费； 二、解答题： 9.如图有五个圆，它们相交后相互分成9个区域，现在两个区域里 已分别填上数10与6，请在另外七个区域里分别填进2，3，4，5，6，7，9七个数，使每个圆内的和等于15； 10.一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一 半再落下，当它第10次着地时，共经过了多少米；（得数保留到个位） 11.有4个蜂鸣器A，B，C，D，这4个蜂鸣器连续响的时间长短是以1:2:3:4的比例而定的，它们分别响完后再过 8秒又开始响。4个蜂鸣器第一次同时开始响，28分钟之后又同时响起来。此时，是C蜂鸣器的第121次开始。 问C和D两个蜂鸣器第一次同时开始响，是在从4个蜂鸣器首次开始响算起几分之几秒后；A和B两个蜂鸣器响完是几秒之后； 12.一个直角三角形，各边都是整数，若周长与面积的数值相同，这样的直角三角形有______个； 13.已知511 24a b =-，那么a、b共有______组，分别是_______； 14.如图所示，将半径为2厘米的圆沿圆形的内侧滚动一圈： （1）求出圆心所经过路线的长度； （2）求出图形内圆未经过部分的面积； 提高卷二一、填空题： 1.计算： 1 1234 ??? + 1 2345 ??? + 1 17181920 + ??? L=________； 2.规定x△y=1 xy + 1 () y A x + ，而且1△1=1 1 3 ，求998△999的值是________； 3.甲、乙两队比赛羽毛球，双方各出4名队员按事先排好的顺序出场比赛。双方先由1号队员比赛，负者被淘汰， 胜者继续与对方2号队员比赛??，直到一方队员全部被淘汰为止，另一方获胜，这样形成一个比赛过程，那 10 6 ２01５年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案 一、选择题（本大题共有8小题,每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共4８分） 1．“a＝2， b=”是“曲线C： 22 22 1(,,0) x y a b R ab a b +=∈≠ 经过点)”的（A)． A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A. 解答:当a =2, b=曲线C: 22 22 1 x y a b += 经过)；当曲线Ｃ：22 22 1 x y a b += 经过点)时,即有22 21 1 a b +=, 显然2, a b =-=也满足上式。所以“a＝ 2, b=”是“曲线C： 22 22 1 x y a b += 经过点)”的充分不必要条件。 ２.已知一个角大于１20o的三角形的三边长分别为,1,2 m m m ++，则实数m的取值范围为( Ｂ)． Ａ．1 m>B．3 1 2 m < 2018年初中数学竞赛模拟试题 一、选择题（每小题5分，共30分） 1．方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且 3 1 =AB AD ．若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为43，则EA CE 的值为（ ） （A ） 21 （B ）31 （C ）4 1 （D ）51 3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定 4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个 5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 6．从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p 和q(p ≠q)，构成函数y=px-2和y=x+q ，若两个函数图象的交点在直线x=2的左侧，则这样的有序数组(p ，q)共有( ) (A)12组 (B)10组 (C)6组 (D)15组 二、填空题（每小题5分，共30分） 7．当x 分别等于 20051，20041，20031，20021，20011，2000 1 ，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式2 2 1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于 ． 8．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜ 2 5 ，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为 ． 9．方程02 =++q px x 的两根都是非零整数，且198=+q p ，则p ＝ ． 10．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于 ． · D C O B A 2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题：（本大题共10个小题,共70分,每小题7分．） 1．已知向量()1,3AP =uu u r ，() 3,1PB =-uu r ，则AP uu u r 和AB uu u r 的夹角等于 ． 2．已知集合()(){}10A x ax a x =-->，且2A ∈，3A ?，则实数a 的取值范围是 ． 3．已知复数22cos sin 33 z i =+ππ，其中i 为虚数单位，则32z z += ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，设1F ，2F 分别是双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，M 是2PF 的中点，且2OM PF ⊥，1234PF PF =，则双曲线的离心率为 ． 5．定义区间[]12,x x 的长度为21x x -.若函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差为 ． 6．若关于x 的二次方程()22120mx m x m +--+=（0m >）的两个互异的根都小于1，则实数m 的取值范围是 ． 7．若3tan 43 x =，则sin 4sin 2cos8cos 4cos 4cos 2x x x x x x ++sin sin cos 2cos cos x x x x x += ． 8．棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -在空间直角坐标系O xyz -中运动， 其中顶点A 保持在z 轴上，顶点1B 保持在平面xOy 上，则OC 长度的最小值是 ． 9．设数列12321,,,,a a a a L 满足：11n n a a +-=（1,2,3,,20n =L ），1a ，7a ，21a 成等比数列.若11a =，219a =，则满足条件的不同数列的个数为 ． 10．对于某些正整数n ，分数2237 n n ++不是既约分数，则n 的最小值是 ． 二、解答题 （本大题共4小题，每小题20分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 11．设数列{}n a 满足： ①11a =；②0n a >；③2111 n n n na a na ++=+，*n ∈N . 求证：（1）数列{}n a 是递增数列； 全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算()ln(1) d d 1D y x y x x y x y ++=--??____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足2 20()3()d 2f x x f x x =--?，则()f x =____________. 3．曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln ) (y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =?，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求()g x '并 讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1） ??-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线 性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22 ++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线 与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=，且n e u n = )1(，求函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、（10分）求- →1x 时，与 ∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量. 2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1) (1)n n x a a a =+++，其中||1,a <求lim .n n x →∞ 2019学年浙江省高中数学竞赛 一、填空题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分. 1. 在多项式103)2()1(+-x x 的展开式中6x 的系数为 2. 已知5log )35(log 172+=-a a ，则实数a= 3. 设()b ax x x f ++=2在[]1,0中两个实数根，则b a 22-的取值范围为 4. 设R y x ∈,，且1) sin(sin sin cos cos cos sin 222222=+-+-y x y x y x x x ，则x -y= 5. .已知两个命题，命题P ：函数())0(log >=x x x f a 单调递增；命题q ：函数)(1)(2R x ax x x g ∈++=.若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则实数a 的取值范围为 6. 设S 是?? ? ??85,0中所有有理数的集合，对简分数()1,,=∈q p S p q ，定义函数()32,1=+=??? ? ??x f p q p q f 则在S 中根的个数为 7. 已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，则PN PM +的最小值 8. 已知棱长为1的正四面体ABC P -,PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为 9. 已知平面向量→a ，→b ，→c ，满足1=→a ，2=→b ，3=→c ，10<<λ，若0=?→→c b ，则→→→---c b a )1(λλ所有取不到值的集合为 10. 已知()???≥-<-=0 ,10,22x x x x x f ，方程()()04212122=*---+-+a x x f x x x f 有三个根321x x x <<.若)(21223x x x x -=-，则实数a= 二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上 11. 设.,2,1,)(3 16)(,32)(2121Λ=+=+=+n x f x x f x x f n n 对每个n ，求x x f n 3)(=的高中数学竞赛模拟试题一汇总
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