高二预习：直线与圆的综合应用
教
师
王红梅学生姓名仲炳宸填写时间2014年月日年
级
高一学科数学上课时间2014年月日阶
段基础（√）提高（）强化（）课时计划
第（）次课
共（ 1 ）次课
教学目标1.复习五种直线方程以及斜率和倾斜角的关系
2.复习两直线的位置关系
3.熟练掌握几种常见的距离公式
4.预习圆的方程
教
学难点1.直线方程的综合应用
2.圆的方程的理解和应用
教学过程知识梳理
知识点1.直线的倾斜角
（1）关于倾斜角的概念要抓住三点：
①与x轴相交;②x轴正向;③直线向上方向.
（2）直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00.
（3）倾斜角α的范围00
0180
α
≤<.
当090
α
≤≤，0
k≥；当90180
α
≤<时，0
k<
知识点2.直线的斜率
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为0
90的直线斜率不存在。
②经过两点)
,
(
),
,
(
2
2
2
1
1
1
y
x
P
y
x
P（
2
1
x
x≠）的直线的斜率公式是
1
2
1
2
x
x
y
y
k
-
-
=（
2
1
x
x≠）③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。（思考：什么样的直线没有斜率？）
知识点3.五种常见的直线方程（基本形式） ①点斜式 ②斜截式 ③两点式 ④截矩式 ⑤一般式
知识点4.两条直线的位置关系 （1）两条直线平行
对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直
如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=-
注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 知识点5.几个重要的公式 公式一：线段的中点坐标公式
若两点),(),,(222111y x P y x P ，且线段21,P P
的中点M 的坐标为),(y x ， 则???
????
+=+=222121y y y x x x 公式二：两条直线的交点坐标公式
设两条直线的方程是0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 两条直线的交点坐标就是方程组??
?=++=++0
222111C y B x A C y B x A 的解
公式三：两点间的距离公式
平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式2
122
1221)()(y y x x P P
-+-= 特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离22y x OP +=
公式四：点到直线的距离公式
点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2
2
00B
A C By Ax d +++=
公式五：两条平行线间的距离公式
两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2
2
12B
A C C d +-=
注意事项：
1.解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：
斜率不存在时，是否满足题意； 斜率存在时，斜率会有怎样关系。注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； 2.直线到两定点距离相等，有两种情况： ①直线与两定点所在直线平行； ②直线过两定点的中点。
（求解过某一定点的直线方程时，较为常见。） 过点),(00y x A ，平行于x 轴的直线方程为0y y = 过点),(00y x A ，平行于y 轴的直线方程为0x x = 知识点6 圆的坐标方程 1.圆的标准方程：
求标准方程的方法——关键是求出圆心
(),a b 和半径r
①待定系数：往往已知圆上三点坐标 ②利用平面几何性质
往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.圆的一般方程：02
2
=++++F Ey Dx y x
2
2
40D E F +->表示圆，圆心C （,22D E --）半径为2242
D E F
+-
2240D E F +-=表示点（,22
D E
--）
2240D E F +-<不表示任何图形
3.直线、圆的位置关系（与初中知识紧密结合） 点与圆的位置关系：
点00(,)M x y 与圆的关系的判断方法：（1）圆方程为标准式222()()x a y b r -+-=
222()()x a y b r -+->?点在圆外
222()()x a y b r -+-=?点在圆上 222()()x a y b r -+-
（2）圆方程为一般式022=++++F Ey Dx y x
220x y Dx Ey F ++++>?点在圆外 022=++++F Ey Dx y x ?点在圆上 220x y Dx Ey F ++++
直线与圆的位置关系：
直线l ：0Ax By C ++=与圆C 的位置关系判断方法 （1）求出圆的半径r ，圆心C 到直线l 的距离为d
r d >?直线l 与圆C 相离?直线l 与圆C 无交点 r d =?直线l 与圆C 相切?直线l 与圆C 有一交点 r d
（2）将直线方程代入圆的方程消元变成一元二次方程，
求出判别式
24b ac =-
0?直线l 与圆C 相交?直线l 与圆C 有两交点
圆与圆的位置关系：
圆与圆的位置关系判断方法
求出圆心距12C C ，两圆的半径12,r r
1212C C r r >+?圆1C 与圆2C 相离?有4条公切线 1212C C r r =+?圆1C 与圆2C 外切?有3条公切线
121212||r r C C r r -<<+?圆1C 与圆2C 相交?有2条公切线 1212||C C r r =-?圆1C 与圆2C 内切?有1条公切线 1212||C C r r <-?圆1C 与圆2C 内含?有0条公切
典型例题
例1 直线cos 10x y α+-=的倾斜角的范围是( )
A 、3,,4224ππππ????? ??????
B 、30,,44πππ????
????????
C 、30,4π??????
D 、3,44ππ??
???
?
例2倾斜角为135?，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ） A ．01=+-y x B ．01=--y x C ．01=-+y x D ．01=++y x
例3若两直线02)2(4:,022:21=+-+=-++y m x l m y mx l 互相平行,则常数m 等于（ ）
A.－2
B.4
C.－2或4
D.0
例4已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是 ( )
A ．8
B ． 17
5
C ．2
D ．
1710
例5若直线
1=+b y
a x 与圆221x y +=有公共点,则 ( ) A. 11122≤+
b a B. 11
122≥+b
a C. a 2+
b 2≤1 D. a 2+b 2≥1
例6过点(2,3)P -且在x 轴上的截距为3-的直线方程是（ ）
A ．330x y ++=
B ．390x y --=
C ．390x y -+=
D ．3110x y -+=
例7从点(),3P x 向圆()()2
2
221x y +++=作切线，切线长度的最小值等于( )
A 、4
B 、26
C 、5
D 、
11
2
例8点P (－2, －1)到直线l : (1+3λ)x +(1+2λ)y =2+5λ的距离为d , 则d 的取值范围是( )
A. 0≤d ≤13
B. d ≥0
C. d =13
D. d ≥13
例9点(1,2-a a )在圆x 2
+y 2
－2y －4=0的内部，则a 的取值范围是 （ ）