幂函数教学设计.doc
2.3幂函数教学设计
教材分析：
幂函数作为一类重要的函数模型 ,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。幂函数模型在生活中是比较常见的 ,学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。组织学生画出他们的图象 ,根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数只需重点掌握这五个函数的图象和性质。学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆 ,因此在引出幂函数的概念之后 ,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。学生已经有了学习指数函数和对数函数的学习经历 ,这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此 ,学习过程中 ,引入幂函数的概念之后 ,尝试放手让学生自己进行合作探究学习。
教学目标
知识与技能：通过实例 ,了解幂函数的概念 ,结合函数的图像 ,了解他们的变化情况 ,掌握研究一般幂函数的方法和思想.
过程与方法：使学生通过观察函数的图像来总结性质 ,并通过已学的知识对总结出的性质进行解释 ,从而达到对任一幂函数性质的分析
情感、态度、价值观：通过引导学生主动参与作图 ,分析图像的过程 ,培养学生的探索精神 ,在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。
重难点
重点：从五个具体幂函数中认识并总结幂函数的性质
难点: 画出幂函数的图象并概括其性质,体会变化规律
教学方法与手段
借助多媒体 ,探究+反思+总结
教学基本流程
教学过程设计：
（一）实例观察 ,引入新课
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p＝w元,这里
p是w的函数；
(2) 如果正方形的边长为a ,那么正方形的面积S=a 2
,这里S 是a 的函数； (3) 如果立方体的边长为a ,那么立方体的体积V =a 3
,这里V 是a 的函数； (4) 如果一个正方形场地的面积为S ,那么这个正方形的边长a=12
S ,这里a 是S 的函数；
(5) 如果某人t 秒内骑车行进了1 km ,那么他骑车的平均速度v=t -1 ,这里v 是t 的函数.
若将它们的自变量全部用x 来表示,函数值用y 来表示,则它们的函数关系式将是:
x y = 2x y = 3
x y = 2
1
x y = 1-=x y
【师生互动】：
以上问题中的函数有什么共同特征？
都是函数; 均是以自变量为底的幂; 指数为常数; 自变量前的系数为1; 幂
前的系数也为1
【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结 ,从而自然引出幂函数的一
般特征.
（二）类比联想 ,探究新知
1、幂函数的定义
幂函数的概念：一般地 ,函数y ＝x α叫做幂函数 ,其中x 是自变量 ,α是常数。（注意：y ＝x α系数为1 ,未知数x 在底数位置 ,α在指数位置） 幂函数与指数函数的对比：(关键看自变量X 的位置) 【师生互动】：判断下列函数是否是幂函数 （1）y=x 4 （2）2
1x
y = (3)y=2x
(4) 2
1
x y =
(5) y=2x 2 (6)y=x 3+2
【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.
2、组织探究：在同一平面直角坐标系内作出下列幂函数的图像
y=x y=x 2 y=x 3
y=12
x y=x -1
x y = 2x y = 3
x y = 2
1
x y = 1-=x y 定义域 R R R [0,+∞) {x |x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y |y ≠0} 奇偶性
奇
偶 奇
非奇非偶
奇 单调性
增
[0,+∞)增
增
增
(0,+∞)减
(-∞,0]减
(-∞,0)减
公共点
(1,1) 问题一：所有图像都过第几象限？所有图像都过哪个公共点？
问题二:第一象限内函数图像的单调性是怎样的？对于原点 ,什么样的幂函数过 ,什么样的幂函数不过？
问题三: y=x 2
,y=x 3
和y=12
x 在第一象限的变化趋势有什么区别？
【设计意图】通过创设问题情境 ,激发学生的思维 ,并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现 ,使学生易于领悟和接受.
4、幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义 ,并且图象都通过点(1,1);
()()(
)(
)2
1212
12
12
12121x x x x x x x x x x x x x f x f ++=
++=
=---0
,0,0212121>+>+< 21x f x f <所以(2) 如果α＞０ ,则幂函数图象过原点 ,并且在区间[0,+∞)上是增函数； (3) 如果α＜０ ,则幂函数图象在区间(0,+∞)上是减函数 ,在第一象限内 ,图象无限地逼近坐标轴； (4)当α为奇数时 ,幂函数为奇函数；当α为偶数时 ,幂函数为偶函数． (5)在直线x=1的右侧 , α的值从上到下 ,由大变小。 【设计意图】通过创设问题情境 ,激发学生的思维 ,并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现 ,使学生易于领悟和接受. (三）运用新知 ,理论迁移 【例1】比较下列各组数的大小 （1）1 .02 .02 .52.5和 （2）8 7 87 )1) 8 1 (9 ( 和 5 .14.15 3 )3(和 比较两个数的大小方法: (1)若能化为同指数 ,则用幂函数的单调性比较； (2)若能化为同底数 ,则用指数函数的单调性比较 ； (3)当不能直接进行比较时 ,可在两个数中间插入一个中间数 ,间接比较。 练一练：（1）3 13 1 .71 5.1和 （2 ）25 4.1和328 .5 【例2】证明幂函数[0 ,+∞)上是增函数 证明：[)则且任取,,,0,211x x x x <+∞∈ 【设计意图】增强学生对新知的应用能力 ,从而达到能力转型和对知识理解 （四）课堂小结 ,归纳提升 (1) 幂函数的定义； (2) 幂函数的性质； (3) 利用幂函数的单调性判别大小. （五）课后作业 ,巩固训练 P79习题2.3： 1 ,2 ,3.