直线和平面所成的角

《直线和平面所成的角》

1、正方体中,(1)求和底面所成的角

(2)求和面所成的角

2、正方体中,分别是和中点,是的中点

(1)求和底面所成的角 (2) 求和侧面所成的角,

(3)求和底面所成的角 (4)求和侧面所成的角

3、正方体中,分别是和的中点,(1)求和上底面所成的角

(2)求和底面所成的角

4、空间四边形中,, 平面,,

(1)求与平面所成的角 (2)求和平面所成的角

5、长方体中, ,求和平面所成的角的正弦值

6、 分别是正方体的棱 的中点, 求和平面所成角的大小.

7、正方体中, 求和面所成角的大小

8、正三棱柱的各棱长相等,是侧面的中心,

(1)求ＡＤ和平面所成角的大小

(2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小

９、两个正方形ＡＢＣＤ和ＤＣＥＦ不在同一平面内，Ｍ，Ｎ　分别是ＡＢ，

ＤＦ的中点，，求ＭＮ和平面ＤＣＥＦ所成的角的正弦值

１０、正方体中，求和平面所成的角

１１、三棱锥中， ，求和底面所成的角

１２、正三棱柱的各棱长相等，是的中点，求直线和平面所成的角的正弦值

3、直三棱柱中, , ,分别是的中点,

(1)求和面所成的角 (2)求异面直线和所成的角

4、点在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD, PD=AD,

求: (1)PB与底面ABCD所成角大小为多少

(2)异面直线PA和B D所成角大小是多少

15、三棱锥中,OA, OB, OC 两两垂直, M 是AB 边的中点,求OM 和平面

ABC 所成角的大小

16、四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形, ,,

底面ABCD ,PA=AD=AB=2BC ,分别是的中点,

(1) 求证: (2)求CD和平面ＡＤＭＮ所成的角

(3)求ＢＤ和平面ＡＤＭＮ所成的角

17、正方体中，和平面所成角的余弦值是多少？

18、正三棱锥中,ＡＢ＝４，，　点Ｄ是ＢＣ的中点，点Ｅ在ＡＣ上，（１）求证：平面⊥平面

（２）求直线ＡＤ和平面ＤＢ所成角的正弦值

１9、已知空间四边形ＡＢＣＤ的各边及对角线都相等，ＡＣ和平面ＢＣＤ所成角的余弦值是多少？（答）

20、在正三棱柱中，ＡＢ＝１，ＢＤ＝１，求ＡＤ与平面所成的角（答

２1、正方体中，点在上，点自向Ａ运动过程中，和平面所成的角如何变化？

22、五棱锥中，平面　，

三角形ＰＡＢ是等腰三角形

（１）求证：平面ＰＣＤ平面ＰＡＣ

（２）求直线ＰＢ和平面ＰＣＤ所成的角大小

高中数学专题讲义-直线与平面所成的角

【例1】 （全国2文7） 已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） A ．3 B ．3 C ．22 D ．3 【例2】 （全国2理7） 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面11ACC A 所成角的正弦等于（ ） A ．6 B ．10 C ．2 D ．3 【例3】 （福建卷6） 如图，在长方体ABCD 1111A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ） A ． 63 B ． 26 5 C ． 155 D ． 105 D C B A A 1 D 1 B 1 C 1 【例4】 （浙江） 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 典例分析 板块二.直线与平面所成的角

E A 1 C 1 B 1 D C B A 【例5】 （四川卷理13）在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且 OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成的角的大小是 （ 用反三角函数表示） 【例6】 （全国Ⅰ）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内 的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） A ．13 B C D ． 23 【例7】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45o 角，求此三棱柱的体积． 【例8】 （四川卷15） 且对角线与底面所成角的余弦值 ，则该正四棱柱的体积等于________________． 【例9】 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中， ⑴求1BC 与平面11ACC A 所成的角； ⑵求11A B 与平面11A C B 所成的角的余弦值． A B C D B 1 C 1 D 1 A 1

直线和平面所成的角练习题

《直线和平面所成的角 》 练习 题 2 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值；(2 ) (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。( 2 ) 2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD ） (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值, （4 ） (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角的正切值 ） (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角的正切值。（5 ） 3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A B C D 所成的角的正切值（2 ） (2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°） 4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC 所成的角正切值；（ 5） (2)求PC 和平面PAB 所成的角的正切值。（ 10 ） 5、长方体中,2,AB BC == 11AA = ,求1BC 和平面11BB D D A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D 1A 1 B 1 C 1 D O A C E F

6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点, 求EF 和平面11ACC A 所成角的大小（30°） 7、正方体中, 求1A B 和面11BB D D 所成角的大小（30°） 8、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小（60°） (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小（30°） ９、两个正方形ＡＢＣＤ和ＤＣＥＦ不在同一平面内，Ｍ，Ｎ 分别是ＡＢ， ＤＦ的中点，AD DF ⊥，求ＭＮ和平面ＤＣＥＦ所成的角 ） １０、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角（30°） １１、三棱锥中，, PA PB PC BC ===AB AC ⊥，求PA 12、直三棱柱中,90ABC ∠=o ,14,3AB BC BB === ,,M (1)求MN 和面ABC 所成的角(3 2 ) (2)求异面直线1AB 和1BC 所成的角的余弦值（9 25 ） 14、点P 在正方形ABCD 所在平面外,PD ⊥平面ABCD, PD=AD, 求: (1)PB 与底面ABCD ） (2)异面直线PA 和B D 所成角大小是多少（60°） 15、正方体中，求1BB 和平面1ACD 所成角的余弦值。（ 3A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E 1 1 A

直线与平面所成的角

直线与平面所成的角 教学目的： 1、掌握斜线在平面上的射影的概念、斜线与平面所成角的概念 2、掌握公式cos θ=cos θ1?cos θ2，会用这个公式解决一些问题 教学重点： 斜线在平面上的射影的概念、斜线与平面所成角的概念 教学难点：公式cos θ=cos θ1?cos θ2的灵活运用 教学过程： 一、引入新课 发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中目标，也即射程最远？铅球运动员在投掷时，以多大的角度，投出的距离最远？这都与我们今天学习的直线和平面所成的角有关。 二、讲授新课 1、公式cos θ=cos θ1?cos θ2 已知AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于α， B 为垂足，则直线AB 是斜线OA 在α内的射影，设AC 是α 内的任一条直线，且BC ⊥AC 于C ，又设AO 与AB 成的角为θ2，AO 与AC 所成的角为θ，则cos θ=cos θ1?cos 证：不妨设AO 为单位长，则 2 121211cos cos cos ,cos cos ||||, cos cos cos ||||,cos cos ||||θθθθθθθθθθ=∴======AO AC AB AC AO AB 2、最小角定理 平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中的最小角。 在公式cos θ=cos θ1?cos θ2中，由于0＜cos θ2＜1，所以cos θ＜cos θ1，从而θ1＜θ（y ＝cosx 在[0,π]上是减函数） 3、直线和平面所成的角 ⑴定义：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。 规定：如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0°的角。 说明：斜线和平面所成的角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的锐角。 ⑵斜线和平面所成角的范围是(0,π/2)；直线和平面所成角的范围是［0,π/2］；两条异面直线所成角的范围是(0,π/2］，三者不同，要注意区分。 ⑶求斜线和平面所成的角一般步骤是： ①作：作（或找）出斜线在平面上的射影，将空间角（斜线和平面所成的角）转化为平面角（两条相交直线所成的锐角），作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足（有时可以是两垂足）作直线，注：斜线上点的选取以及斜足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算。 ②证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角。

直线和平面所成的角练习题2

《直线和平面所成的角》 练 习题 2 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值；) (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。(2) 2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值, ） (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角的正切值 ，（） (4)求1B O 和侧面11BCC B 3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A B C D ） (2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°） 4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC (2)求PC 和平面PAB 所成的角的正切值。（10 ） 5、长方体中,2,AB BC == 11AA = ,求1BC 和平面11BB D D A B C D 1A 1B 1 C 1 D A B C D 1A 1B 1 C 1 D O A B C E F

6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点, 求EF 和平面11ACC A 所成角的大小（30°） 7、正方体中, 求1A B 和面11BB D D 所成角的大小（30°） 8、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小（60°） (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小（30°） ９、两个正方形ＡＢＣＤ和ＤＣＥＦ不在同一平面内，Ｍ， Ｎ 分别是ＡＢ， ＤＦ的中点，AD DF ⊥，求ＭＮ和平面ＤＣＥＦ所成 ） １０、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角（30°） １１、三棱锥中，,PA PB PC BC ===AB AC ⊥，求PA 12、直三棱柱中,90ABC ∠=o ,14,3AB BC BB === ,,M (1)求MN 和面ABC 所成的角(32 ) (2)求异面直线1AB 和1BC 所成的角的余弦值（925 ） 14、点P 在正方形ABCD 所在平面外,PD ⊥平面ABCD, PD=AD, 求: (1)PB 与底面ABCD ） (2)异面直线PA 和B D 所成角大小是多少（60°） 15、正方体中，求1BB 和平面1ACD 所成角的余弦值。（3）A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E F 1 1A

用向量法求直线与平面所成的角教案

用向量法求直线与平面所 成的角教案 Prepared on 24 November 2020

第二讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解直线与平面所成的角的向量法.

教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、直线与平面所成的角：（范围：]2,0[π θ∈） 思考：设平面α的法向量为n ，则>

直线和平面所成的角练习题2

《直线和平面所成的角》练习题2 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值； (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。 (2 ) 2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD 所成的角的正切值， (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值, （ 4 ） (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角的正切值 ， (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角的正切值。 （5 3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A BC D 所成的角的正切值（2 ） (2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°） A B C D 1A 1 B 1 C 1 D B C D 1A 1 B 1 C 1 D O B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M N E F

4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC 所成的角正切值； (2)求PC 和平面PAB 所成的角的正切值。 ） 5、长方体中,2,AB BC == 11AA = ,求1BC 和平面11BB D D 所成的角的正弦值（5 ） 6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点, 求EF 和平面11ACC A 所成角的大小（30°） 7、正方体中, 求1A B 和面11BB D D 所成角的大小（30°） A B C P A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E C D 1 A 1 B 1 C 1D

直线和平面所成的角练习题

《直线和平面所成的角 》练习题 2 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值；(2 ) (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。(2 ) 2 、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD 所成的角的正切值，） (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值, （4） (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角的正切值 ， (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角的正切值。（5 ） 3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A B C D 所成的角的正切值（2 ） (2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°） 4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC 所成的角正切值；（5 ） (2)求PC 和平面PAB 所成的角的正切值。 5、长方体中,2,AB BC == 11AA = ,求1BC 和平面11BB D D 6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点, 求EF 和平面11所成角的大小（30°） A B C D 1A 1B 1C 1D A B C D 1A 1 B 1 C 1 D O A C A B C D 1A 1 B 1 C 1 D E F E F

7、正方体中, 求1A B 和面11BB D D 所成角的大小（30°） 8、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小（60°） (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小（30°） ９、两个正方形ＡＢＣＤ和ＤＣＥＦ不在同一平面内，Ｍ， Ｎ 分别是ＡＢ， ＤＦ的中点，AD DF ⊥，求ＭＮ和平面ＤＣＥＦ所 １０、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角（30°） １１、三棱锥中，,PA PB PC BC ===AB AC ⊥，求 12、直三棱柱中,90ABC ∠=o ,14,3AB BC BB === ,M (1)求MN 和面ABC 所成的角(32 ) (2)求异面直线1AB 和1BC 所成的角的余弦值（925） 14、点P 在正方形ABCD 所在平面外,PD ⊥平面ABCD, PD=AD, 求: (1)PB 与底面ABCD 所成角的正切值（2 ） (2)异面直线PA 和B D 所成角大小是多少（60°） 15、正方体中，求1BB 和平面1ACD 所成角的余弦值。（3１6 1 1 A

直线与平面所成的角教学设计

【课题】9.3 直线与平面所成的角 【教学目标】 知识目标： 理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念． 能力目标： 培养学生的空间想象能力和数学思维能力． 【教学重点】 直线与平面所成的角的概念 【教学难点】 直线与平面所成的角的求解 【教学设计】 斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 1课时．(40分钟) 【教学过程】

过 程 行为 行为 意图 图9?33 *动脑思考 探索新知 如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l 与平面α垂直，记作α⊥l ．直线l 叫做平面α的垂线，垂线l 与平面α的交点叫做垂足. 画表示直线l 和平面α垂直的图形时，要把直线l 画成与平行四边形的横边垂直（如图9?34所示），其中交点A 是垂足． 图9?34 提问 指导 思考 解答 领会知识 *创设情境 兴趣导入 将一根木棍P A 直立在地面α上，用细绳依次度量点P 与地面上的点A 、B 、C 、D 的距离（图9?35），发现P A 最短． 质疑 引导 分析 思考 启发 学生思考 *动脑思考 探索新知 如图9?35所示，PA α⊥，线段P A 叫做垂线段，垂足A 叫做点P 在平面α内的射影． 直线PB 与平面α相交但不垂直，则称直线PB 与平面α斜交，直线PB 叫做平面α的斜线，斜线和平面的交点叫做斜 讲解 说明 思考 图9?35

综合法求直线与平面所成的角

综合法求直线与平面所 成的角 方法：直线与平面所成的角 1.???作角：在斜线上取一点作平面的垂线 2.用等积法求斜线上一点到平面的距离 1.已知平面α外两点A 、B 到平面α的距离分别为1和2，A 、B 两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB 和平面α所成的角． ．解 (1)如图①，当A 、B 位于平面α同侧时，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.过点A 作AH ⊥BB 1于H ，则AB 和α所成角即为∠HAB . 而tan ∠BAH ＝2－13 ＝33. ∴∠BAH ＝30°. (2)如图②，当A 、B 位于平面α异侧时，经A 、B 分别作AA 1⊥α于A 1，BB 1⊥α于B 1，AB ∩α＝C ，则A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成 的角． ∵△BCB 1∽△ACA 1， ∴BB 1AA 1＝B 1C CA 1 ＝2， ∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3， ∴B 1C ＝233 . ∴tan ∠BCB 1＝ BB 1B 1C ＝223 3＝3， ∴∠BCB 1＝60°. 综合(1)、(2)可知：AB 与平面α所成的角为30°或60°. 2.如图，在三棱锥111ABC A B C -中，11ABC 90AB AC 2,AA 4,A ∠====o ，在底 面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点. （1）证明：11D A BC A ⊥平面； （2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.

(完整word版)直线和平面所成的角教案

课题：直线和平面所成的角 一、复习提问 一）直线和平面的位置关系有哪几种？ 二）平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义： 平面的垂线：垂直于平面的直线。 平面的斜线：与平面相交但不垂直的直线。 射影：过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面上的射影。 二、问题引入： 若直线与平面相交，则这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角是哪一只？ 三、重要结论： 平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直 线所成的角中最小的角. 四、直线和平面所成的角 一）斜线和平面所成的角的概念 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫做斜线和平面 所成的角 二）规定： （1）如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是直角. （2）如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是0?的角. 强调： 直线和平面所成的角的范围是：[]0,90?? . 三）线面角求法：直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。 步骤：“一作”、“二证”、“三解”； 关键：确定斜线在平面内的射影； 思考：两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？ 五、例题精讲： 例1：在单位正方体1111ABCD A B C D -中，试求直线1BD 与平面ABCD 所成的正 弦角. Q P 1 P α

例2：在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求： 直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角； 例3．已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点， 且3PA AD ==，2AB =， 求直线MN 与平面ABCD 所成角； 例4：求正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值。 六、课堂小结： 一）直线和平面所成角的定义及其合理性. 二）初步掌握求直线和平面所成角的方法步骤： D C A B A 1 B 1 D 1 C 1 A B C D

直线与平面所成的角

直线与平面所成的角 基本方法： 垂线法 第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点； 第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角； 第三步 得出结论. 空间向量法 第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标； 第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标； 第三步 再利用sin θ?= a b a b 即可得出结论. 一、典型例题 1. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，AC ^平面PAB . 2,45AB AC PB PBA ===??. 试判断棱PA 上是否存在与点,P A 不重合的点E ，使得 直线CE 与平面PBC ，若存在，求出AE AP 的值；若不存在，请说明理由. 2. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为160CBB ??的菱形，1AB AC =.

（1）证明：平面1AB C ^平面11BB C C . （2）若1AB B C ^，直线AB 与平面11BB C C 所成的角为30°，求直线1AB 与平面11A B C 所成角的正弦值. 二、课堂练习 1. 如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA =PD ，AB ⊥AD ，AB =1，AD =2 ，AC CD =PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 2. 如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为边长为2的正方形，平面AED ⊥平面ABCD ，AB ， EF ∥BD ，在棱ED 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面EFBD 所成角的正弦值为 ？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由. 三、课后作业 1. 如图，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD ，FD ∥EA ，且112 FD EA ==，求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值. F E D C B A F E D C B A

利用向量法求直线与平面所成的角

§3.2.3利用向量法求直线与平面所成的角 一、储备 （一）、学习目标 1.使学生学会求直线与平面所成的角； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. （二）、课前准备 向量的有关知识： （1）两向量数量积的定义：><=?,cos |||| （2）两向量夹角公式：| |||,cos b a >= < （3）平面的法向量：与平面垂直的向量 知识点1：面直线所成的角（范围：]2 ,0(π θ∈） 问题1： 当a 与b 的夹角不大于90°时，异面直线a 、b 所成 的角θ与 和 的夹角的关系？ 问题 2：与的夹角大于90°时， ，异面直线a 、b 所成的角θ与 和的夹角的关系？ 结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为|,cos |cos n m =><=θ 知识点2：二面角（范围：],0[πθ∈） ①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角αβα?⊥?⊥CD l CD AB l AB ,,,.

x y 二、导学 直线与平面所成的角（范围：]2 ,0[π θ∈） 思考：设平面α的法向量为，则><,与θ的关系？ 例1、如图，正三棱柱1 11C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和 B B AA 11面所成角的正弦值. 分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量 3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角 解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则),0,,0(),2,0,0(1a a == )2,2 1 ,23(1a a a AC - = 设平面B B AA 11的法向量为),,(z y x = 由?? ?==????==??????=?=?00 002001z y ay az AB n AA 取1=x ，)0,0,1(=∴ 21323,cos 2 2 111-=-= >= <∴a a AC ∴1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值2 1 . 练习：正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点E 、F 分别为CD 、1DD 的中点.求直线11C B 与平面C AB 1所成的角的正弦值. 11(,)2AC a =-