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(整理)概率论试题库

考试试卷分布说明：试卷共四个大题：选择题、填空题、判断题和解答题，共22个小题。其中：选择题共5个小题（4个基础题，1个能力题），每小题4分，共20分；填空题共6个（5个基础题，1个能力题），每小题4分，共24分；判断题共6个（5个基础题，1个能力题），每小题2分，共12分；解答题共5个（3个基础题，1个能力题,1个提高题），3个基础题每小题8分，能力题和提高题各10，共44分。满足：基础题：能力题：提高题=7:2:1。

一、选择题40小题。（每小题4分，共5小题，共20分）

1、从四个乒乓球种子选手中选两个人代表学校出去比赛，在比赛前采用每两个人都对决的选拔赛，则选拔赛共要举行的场数为（ A ）

A 、6

B 、30

C 、4

D 、3 2、下列不属于抽样调查的特点的是（ D ）

A 、经济性

B 、时效性

C 、广泛性

D 、客观性

3、书架上一共有3本英文书，2本法文书，5本中文书，从中任取一本，则取得的书是外文书的概率（A ）

A 、

B 、0.1

C 、

D 、

4、设某种电灯泡的寿命X 服从正态分布N(σμ2

,),其中μ是未知的，现在随机的抽取4只这种灯泡，测得其寿命为1500，1455，1368，1649，是估计总体均值μ为（ C ） A 、1500 B 、1649 C 、1493 D 、1368

5、某人从A 地到B 地要经过两个有红、黄、绿灯的交通路口，则他一路是碰绿灯的概率是（ C ）

A 、41

B 、21

C 、271

D 、9

6、下列表格是某随机变量ξ的分布列：则表中a 的取值是（ C ）

A 、

B 、

C 、

D 、

7、小明打开收音机，想听电台报时（1小时报一次时），则他等待的时间小于1刻钟的

概率是（ A ）

A 、

B 、

C 、

D 、 8、随机变量ξ～N(20，25),则随机变量ξ的标准差是（ D ）

A 、20

B 、25

C 、45

D 、5

9、甲、乙两人向同一目标射击，甲命中的概率为，乙命中的概率为，则目标被击中的概率为（ B ）

A 、

B 、0.88

C 、

D 、

10、设事件A 与B 互不相容，且()0≠A P ，()0≠B P ，则下面结论正确的是( D )

A 、A 与

B 互不相容; B 、()0>A B P ;

C 、()()()B P A P AB P =;

D 、()()A P B A P =

11、书架上一共有3本英文书，2本法文书，5本中文书，从中任取一本，则取得的书是外文书的概率（ A ）

A 、

B 、0.1

C 、

D 、

12、甲、乙两人向同一目标射击，甲命中的概率为，乙命中的概率为，则目标被两人都击中的概率为（ D ）

A 、

B 、

C 、

D 、

13、某人从甲地到乙地要经过三个有红、绿灯的交通路口，则他一路是碰绿灯的概率是（ C ）

A 、41

B 、21

C 、81

D 、3

14、从数字1、2、3、4、5中，随机抽取3个数字组成一个不重复的3位数，其各位数字之和为6的概率为（ D ） A 、

1253 B 、51 C 、101 D 、125

15、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 至少发生一个的事件应该表示为（ B ）

A 、ABC

B 、A ∪B ∪

C C 、C B A

D 、C B A 16、ρ为二维随机变量（ξ、η）的两个分量ξ与η的相关系数，则ξ、η以概率1线性相关的充要条件是（ D ）

A 、ρ=0

B 、ρ=-1

C 、ρ=1

D 、1±=ρ 17、每次试验成功的概率是p （0

p p C r

n r

--1 B 、()

p p

C r

n r

r n ----11

C 、

()

p p r

n r

--1 D 、()

p p

C r

n r r n -----11

18、、=+=)(,10ηξηξD b a N 则）分布，且，

（服从设( D ) A 、a-b B 、a+b C 、a D 、a 2

19、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 至少发生两个的事件应该表示为（ A ） A 、AB ∪AC ∪BC B 、AB ∪AC ∪BC ∪ABC C 、ABC D 、A ∪B ∪C 20、某随机变量ξ服从参数为10的普哇松分布，则其数学期望是（ B ） A 、1 B 、10 C 、0 D 、100 21、若函数f （x ）是某一随机变量X 的概率密度，则一定成立的是（ C ） A 、f （x ）的定义域为[0，1]； B 、f （x ）的值域为[0，1]； C 、f （x ）非负； D 、f （x ）在（-∞，+∞）内连续 22、设随机变量ξ～N(σμ2

,)，则下列各式中服从N(0,1)的是（ A ） A 、

σμξ- B 、μσξ- C 、σ

ξ1

- D 、μξ0-

23、设ξ与η为两个随机变量，则下列各式一定正确的是（ C ） A 、)()()(ηξηξD D D +=+ B 、)()()(ηξξηD D D = C 、)()()(ηξηξE E E +=+ D 、)()()(ηξξηE E E = 24、设随机变量的ξ的分布律是：

则η=ξ2的分布律是（ D ）

A 、

B 、

C 、

D 、

25、将3个不同的球随机地放入4个不同的杯中, 有一个杯子放入2个球的概率是（ B ）..

A 、324234C C ?

B 、3

24234

P C ? C 、424233P C ? D 、42

233C C ? 26、下列函数中，可看作某一随机变量X 的概率分布密度函数的是( C ) A 、;,1)(2

+∞<<-∞+=x x x f B 、

;,11

)(2

+∞<<-∞+=

x x x f

C 、

;,)1(1)(2+∞<<-∞+=

x x x f π D 、.,)1(2

)(2

+∞<<-∞+=x x x f π

27、己知随机变量Y X ,相互独立且都服从正态分布)4 ,2(N , 则( B ) .

A 、)4 ,4(～N Y X +

B 、)8 ,4(～N Y X +

C 、)4 ,0(～N Y X -

D 、Y X -不服从正态分布 28、己知随机变量X 服从二项分布)2.0 ,10(B , 则方差=)(X D （ D ）. A 、1； B 、； C 、； D 、. 29、如果Y X ,满足()Y X D Y X D -=+)(，则必有（ B ）

A 、X 与Y 独立

B 、X 与Y 不相关

C 、 0)(=Y

D D 、0)(=X D 30、对于事件A 和B ，下述命题正确的是 ( B ) (A) 如果A 与B 互不相容，则A 与B 相互对立 (B) 如果A 与B 相互对立，则A 与B 互不相容

(A) B ?A (B) AB=Φ (C) A ?B (D) A-B=Φ

32、,ξη相互独立且都服从正态分布

(1,3)N ，则(2)D ξη-= ( C ) (A) -8 (B) 9 (C) 45 (D)60

（以下是能力题）

33、某商家生产甲、乙、丙三种不同型号的商品，产品数量之比为3：4：7，现在分层抽样法抽取一个容量为n 的样本，其中样本中乙种型号商品有24件,则此样本容量n 为（ C ）

A 、160

B 、80

C 、84

D 、96

34、连续型随机变量ξ的密度函数为）为（则ξD x x x x p ??????∈=]

2,0[,0],2.0[,2)(（ D ）

A 、21

B 、103

C 、201

D 、9

35、连续型随机变量ξ的密度函数为）为（，则ξD x x x x x p ?

???∈-=]1,0[,0]

1,0[),1(6)(（ C ）

A 、

21 B 、103 C 、201 D 、4

36、离散型随机变量X 的分布函数为F(x),则P(X=x k )=( D ) A 、 )

(1k k x X x P ≤≤-； B 、)()(11-+-k k x F x F ；

C 、

)

(11+-<

)

()(1--k k x F x F

37、设某机器产生的产品有缺陷的概率为，则20件产品之中至少有1件有缺陷的概率为（ A ）

A 、

B 、0.1

C 、

D 、

38、设样本空间U={1，2，3，…，10}，A={2，3，4}，B={3,4,5},C={5，6，7}，则()C B A ?表示的集合是（）

A 、{3，4}

B 、{1，3，8，9}

C 、{4，5}

D 、{1，2，5，6，7，8，9，10}

39、5、己知随机变量X 的期望5)(=X E , 方差4)(=X D , 则（ A ）.

A 、98}65-X {≥

}65-X {≤

}65-X {≤≥P .

40、、一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为（ C ）

A 、11-+-b a a ；

B 、)1)(()1(-++-b a b a a a ；

C 、b

a a

+； D 、??

??+b a a 2

二、填空题填空题48小题。（每小题4分，共6小题，24分）

1、设一个容量为7的样本是：2，11，8，4，3，6，15，则样本中的中位数是 6 。

2、将一枚硬币均匀投掷三次，则三次中恰好出现两次正面向上的概率为8

。

3、若事件A 、B 相互独立，且P （A ）=，P(B)=,则P(A+B)= 。

4、设随机变量ξ～N(σμ2

,),则η=

ξ-～N （0，1）。 5、设随机变量X 服从二项分布B(100,,则其数学期望E(X)= 40 。

6、随机变量η的数学期望E （ξ）=4，方差D(ξ)=20,则E(ξ2)= 24 。

7、设随机变量ξ、η的数学期望分别是E （ξ）=3，E(η)=5,则E(2ξ+3η)= 21 。

8、已知φ=,设随机变量ξ服从N,16)，则P(ξ<340)= ,若随机变量η服从N(1，2)，则P(η<1)= 。

9、将一枚硬币均匀投掷四次，则四次中恰好出现两次正面向上的概率为8

。

10、设 ()()()4, 1, ,0.6

D X D Y R X Y ===，则 B A B A B A B 321++= _ 。

11、设二维随机变量()Y X ,的分布列为：

若X 与Y 相互独立，则βα、的值分别为：9

,92==

βα 。 12、设A 、B 是随机事件，()7.0=A P ，()3.0=-B A P ，则()=AB P 。

13、已知随机变量X 服从参数为2的泊松（Poisson ）分布，且随机变量22-=X Z ，则

()=Z E 2 。

14、设A 与B 为互不相容的两个事件，0)(>B P ，则=)|(B A P 0 。

15、事件A 与B 相互独立，,7.0)(,4.0)(=+=B A P A P 则 =)(B P 。

16、某人投篮命中率为5

，直到投中为止，所用投球数为4的概率为6254

。

17、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从“0-1”分布，4.0=p ；Y 服从2=λ的泊松分布)2(P ，则=+)(Y X E ，)(Y X D +=。 18、已知,3

,9)(,16)(=

==XY Y D X D ρ 则=-)2(Y X D 36 。 19、若),(~),,(~2

222

11σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，则Y X Z +=服从

),(2

22121σσμμ++N 分布。

20、3人独立编写同一计算机程序，他们各自能成功的概率分别是, , ，则能将此程序编写成功的概率是。

21、X 、Y 相互独立且都服从正态分布),3(22

N ，则D(2X-Y)= 20 。

22、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从二项分布)6.0,5(B ，Y 服从二项分布

),(2

σμN ，且()6,() 1.36E X Y D X Y +=-=，则μ= 1 ；=σ76.0。

23、设随机变量X 的分布列为

-2

-1

则α= ，X 的期望()E x = 。 24、离散型随机变量ξ的分布律为P(ξ=k)=

2,1,2,3c

k k

=，则c= 36/49 。 25、从总体X 中抽取样本，得到5个样本值为5、2、3、4、1。则该总体平均数的矩估计值是___5____，总体方差的矩估计是___15/2____。 26、设随机变量X 服从参数为

1000

的指数分布，则E(X)=1000 。 27、若D(X)=49,D(Y)=16,，X 与Y 的相关系数为，则cov （X ，Y ）= 14___。

28、设A 、B 、C 为事件,则事件A 、B 、C 同时不发生表示为 ABC 。(用事件运算表示) 29、已知随机变量X 期望值为2，方差为8，则E(X 2)= 12 _。

30、(X,Y)为二维随机变量，如果X 与Y 不相关, E(X)=2, E(Y)=25，则E(XY)= 50 。 31、已知随机变量X 服从二项分布b(n ，p)，E(X)=12，D(X)=8，则n= 36 。 32、若D(X)=36,D(Y)=49,cov （X ，Y ）=21,则X 与Y 的相关系数为。 33、飞机的雷达发射管的寿命X （单位：小时）服从参数为1

200

的指数分布，则D(X)=40000.

34、随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的数学期望E (X )的值为。 35、已知P (A )=, P (B |A )=, 则P (A

B )= 。

36、3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为。

36、一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝。

37、假设X ~B (5, (二项分布), Y~N (2, 36), 则E(X+Y)=。

38、三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是，则飞机被击中的概率为。

39、甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是和.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为。 40、离散型随机变量ξ的分布律为P(ξ=k)=.3,2,1,2=k k

c ，则c=1112。

（以下是能力题）

41、在中国象棋的棋盘上任意的放上一只红“车”和一只黑“车”，则它们正好可以互相“吃掉”的概率是89

17。 42、设 ()()()4, 1, ,0.6D X D Y R X Y ===，则 ()D X Y -= 。 43、

43、设离散型随机变量X 的分布函数为

????

???≥+<≤-<≤--<=2,21,32

11,1

,0)(x b a x a x a x x F

且2

1)2(=

=X P ，则=a 61=b ,65。

44、设两个事件A 、B 相互独立，()0.6P A =，()0.7P B =，则()P A B -= ，

()P A B -= 。

45、加工一个产品要经过3道工序，第一、二、三工序不出废品的概率分别为，，，假定各工序是否出废品是相互独立的，则经过3道工序而不出废品的概率为。 46、设随机变量2N(3,4),X X X c ≤服从正态分布P(>c)=P(),那么常数c= 3 . 47、A,B 为两个随机事件，若P(A)=，P(B)=，若A,B 互不相容，则P(A-B)= ,P(A B ?)= 。

48、设某人射击的命中率为，则他射击10次至少命中2次的概率为：

9105.055.01?--；

三、判断题,对的打“√”，错的打“×”48小题。（每小题2分，共12分） 1、“将一只白球一只黑球随机地放入4个不同的盒子里”是古典概型。（ √ ）

2、“某射击手一次射击命中的环数”是几何概型。（ × ）

3、在十进制中，2+5=7是必然事件。（ √ ）

4、在常温下，铁熔化是不可能事件。（ × ）

5、必然事件U 的概率不是1。（ × ）

6、两个边际分布都是一维正态分布的二维随机变量，则它们的联合分布是一个二维正态分布。（× ）

7、二维随机变量（ξ、η）～ N(1,2,32,52，2)的Cov （ξ、η）为30 。（ √ ）

8、两个随机变量ξ、η是独立的，它们分别服从参数λλ21、的泊松分布，则分布ηξζ+=服从参数为λλ21+的泊松分布。（ √ ）

9、2008年8月8日奥运会在北京举行是必然事件U 。（ √ ） 10、函数p(x)=-2x(x<0)是某个随机变量的密度函数。（ × ） 11、在六十进制中，2+5=7是必然事件。（ × ） 12、若随机事件A 、B 相互独立，则事件A 、B 互斥。（ × ） 13、事件A 的概率P （A ）等于O, 事件A 也有可能发生。（ √ ） 14、X 函数的期望值等于X 期望的函数。（ × ） 15、若随机事件A 、B 相互独立，则事件A 与B 也相互独立。（ √ ） 16、事件的概率与试验的先后次序无关。（ × ） 17、若事件Y X ,的相关系数xy ρ=0，则相互独立。（ × ） 18、估计量2s =21()i x x n

?-是总体方差的无偏估计量。（ × ）

19、如果二元随机变量（X ，Y ）有 D(X ﹣Y)=D(X+Y)，则X 与Y 不相关。（ √ ） 20、随机变量X 服从泊松分布时，则必有E(X)(X)D =。（ √ ） 21、两事件A 、B 若满足P(AB)=P(A)P(B ），则称A 、B 独立。（ √ ） 22、两事件A 、B 若满足P(A+B)=P(A)+P(B ），则称A 、B 独立。（× ） 23、独立事件的任一部分也独立。（ √ ） 24、小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件。（ √ ）

25、古典概型与几何概型的相同之处是两者基本事件发生的可能性都是相等的。（ √ ） 26、古典概型与几何概型的不同之处是古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个。（ √ ）

27、公车5分钟一趟，求等待时间不超过3分钟的概率。（ √ ）

28、在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是。（ √ ）

29、一批玉米种子的发芽率为,从中任取4粒种子做试验,求恰好有两粒种子发芽的概率，这是可以看着是一个贝努里概型。（ √ ）

30、随机变量（X,Y ）服从二维正太分布，则 X 的边际分布为正态分布，Y 的边际分布也为正态分布。（ √ ）

31、随机变量的分布函数与特征函数相互唯一确定。（ √ ）

32、两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于他们的特征函数之和。（× ） 33、为任意二随机事件，则 P(A ∪B)=P(A) +P(B)。（× ） 34、设X 为随机变量，a 、b 是不为零的常数，则。（× ）

35、设 X 、Y 是随机变量，X 与 Y 不相关的充分必要条件是 X 与 Y 的协方差等于0。（ √ ）

36、设 A 、B 、C 为三事件，若满足：三事件两两独立,则三事件 A 、B 、C 相互独立。（× ）

37、任意连续型随机变量均有方差存在。（× ）

38、事件“ABC”表示三事件 A 、B 、C 至少有一个发生。（× ） 39、设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξξξ==，则n 为5。（ √ ） 40、假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B 发生的概率为1。（× ）

（以下是能力题）

41、若ξ、η是两个独立的随机变量，它们分别服从参数为λ1

和λ

的普哇松分布，则

随机变量ηξζ+=的分布列为()

()

k k p k

λλζλλ2

21)(+-

+= 。（ √ ）

42、已知甲型H1N1流感的发病率为

1000

，某中学校园内共有5000师生，则该校园内患有这种疾病的人数超过5的概率大约为。（ √ ） 43、事件表达式A

B 的意思是事件A 与事件B 至少有一件发生（ √ ）

44、已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (2,1),则 X +Y ~U (2,4) 。（ × ） 45、已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从自由度为2的

2分布。

（ √ ）

46、设连续型随机变量ξ的概率分布密度为

2()22a

f x x x =

++，a 为常数，则P(ξ≥0)=4

3。（ √ ）

47、设随机变量),10(~2σN X ，且3.0}2010{=<n n t X ，21

Y =，则~Y F （n,1）。（ √ ）

四、解答题。（写出详细过程，不能直接写出答案。）（1---24小题每题8分）

1、某射击手一次射中10环的概率为，射中9环的概率为，射中8环的概率为，求这位射手：（1）一次射击至少射中9的概率；（2）一次射击至少中8环的概率。（8分）

解：（1）+= ----------（4分）（2）++= ------------（8分）答：此处略。

2、从5男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选的3人中女生的人数。（8分）（1）球ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望；

（3）求“选3人中女生人数ξ≤1”的概率。

解：1）、ξ可能取的值为0，1，2。 ----------（1分）

2,1,0,)(3

2=?==-k C C C k P k

k ξ。-------------（3分）所以，ξ的分布列为：

0 1 2

（2）、由（1），ξ的数学期望为：

2531510=?+?+?=ξE ----------（5分）

（3）、由（1），“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率为：

4)1()0()1(=

=+==≤ξξξP P P ---------- （8分）

答：此处略。

3、已知B A 与相互独立,,4.0)(,6.0)(==B P A P 求),(B A P 及)(B A P -。（8分）

解： ))(()()()(B A P B P A P B A P -+=

76.04.06.04.06.0=?-+= ---------- （4分） )()()()(B P A P A P B A P -=-

36.04.06.06.0=?-= --------------- （8分）

4、小王、小张两人相约7：00到8：00在老地方会面，约好了先到者等候另一人20分钟，过时方可离去，假定两个人到达相会地点的时间可在7：00到8：00的任一时刻，且等可能性，试求小王、小张能会面的概率。(本题8分)

解：用x 、y

则0≤x ≤60,0≤y ≤60,---------------------(1分) 他们两人能会面的充要条件是20

≤-y x ------------------（2分）

画出图形，阴影部分满足条件 ----------------- （4分）

由图形可知9

)(60

602

-A P ---------------- （8分）答：此处略。

5、在20件产品中，有15件是一等品，5件是二等品，从中任取3件，其中至少有1件是二等品的概率是多少（本题8分）

解：3件产品中至少有1件是二等品包括以下三种：A1恰有1件二等品；A2恰有2件二等品；A33件都是二等品----（3分）应用古典概型公式得：

228

105

)(3

202

151==C C C A P -------------- (4分)

22830

)(320115

=C C C A P -------------- (5分) 2282

)(320

=C C A P -------------- (6分)

)()()()(321321A

A A A A A P P P P ++=++=228105+22830+2282=228137

--------------（8分) 答：此处略。

6、设连续型随机变量X 的概率分布函数为

??≥<≤<=,11,

10,,0,

0)(2x x kx x x F

试求(1)常数k ;(2)概率}3.01.0{≤

解：(1)),1()01(F F =- ,1=k 得 -------------- （2分） (2) ,08..0)1.0()3.0(}3.01.0{=-=≤

?<≤='=其它，,01

0,2)()(x x x F x f -------------- （8分）

7、现将两信息分别编码为A 和B 后传送出去，接收站接收时，A 被误收为B 的概率为，

B 被误收为A 的概率为，信息A 与信息B 传送的频繁程度之比为2:1，若接收站收到的信息是A ，问原发信息也是A 的概率是多少（本题8分）解：记A =“收到信息A ”， B =“发送信息A ”，则

98.002.01)(1)(=-=-=B A P B A P

,01.0)(=B A P ,32)(=B P ,31

)(=B P -------------- （4分）

由贝叶斯公式，所求概率为

197

196

)

()()()()

()()(=+=

B A P B P B A P B P B A P B P A B P 。-------------- （8分）

8、一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计投篮的次数，求X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。解: X 的分布律为

.,2,1 45.055.0}{1 =?==-k k X P k --------------- （3分）

X 取偶数的概率为

45.055.0}{121?==-∞

=∑k k X P 偶数 -----------------（6分）

3111

55.0145.055.02=

-?=

--------------------- （8分）

9、两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为，第二台出现废品的概率为，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：任意取出的零件是合格品(A)的概率。

解：设Bi=“取出的零件由第 i 台加工”)2,1(=i ---------(2分)

(),

B P --------（3分），

()31

B P ---------（4分），

()97.01=B A P ---------（5分）， ()98

.02=B A P ---------（6分），

有全概率公式得：

()A P ()()11B A P B P =()()22B A P B P +97.032?=

98.03

?+973.0=---------（8分）答：此处略。

10、已知8只晶体管中有2只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽样。求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第二次取出的是次品。（本题8分）

解：（1）一只是正品一只是次品的概率为：73

216=C C C --------------（2分）

（2）第二次才取得次品的概率为：

7826＝??----------------（4分）（3）令1A 表示“第一次取出的是正品” ，2A 表示“第一次取出的是次品”-----------（6分）

B 表示“第二次取出的是次品”

第二次取出的是次品的概率为：

82718672)()|()()|()(2211=?+?=

+=A P A B P A P A B P B P --------（8分）

11、甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为，乙的命中率为，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求：（1）X 和Y 的联合分布律；（2）X 和Y 的边缘分布律。（本题8分）

解：（1）X 和Y 的联合分布律为：

。

分别为2,1,0,425

1)5.0()5.0()8.0()2.0(),()

1(222222n m C C C C n Y m X P m n

m n n n

m m m ---?=

=== ------------------（4分）

（2）X 和Y 的边缘分布律：

由于X 与Y 相互独立，所以X 和Y 的边缘分布律为：

。，2,1,0)8.0()2.0()(22===-m C m X P m m m

。，2,1,0)5.0()5.0()(22===-n C n Y P n n n

------------------（8分）

12、两台车床加工同样的零件，第1台出现不合格品的概率是，第2台出现不合格品的概率是、两台车床加工的零件放在一起，第1台加工的零件占70%，第2台加工的零件占30%，现随机地任取一件零件，求此件零件为不合格品的概率.（本题8分）解：记1A ={任取一件为第1台车床加工的零件}，

2A ={任取一件为第2台车床加工的零件}，

B={任取一个零件为不合格品} -----------------（2分）由全概率公式,所求概率为

1122()()(/)()(/)P B P A P B A P A P B A =?+? ----------------（6分）

=0.70.030.30.05?+? -----------------（7分） =. -------------------------- -----（8分）

13、甲、乙、丙三人参加英语四级考试，假定甲、乙、丙能考试合格的概率依次为、、，各人能否考试合格相互独立，求下列事件的概率：

（1）甲，乙合格而丙不合格；（2分）（2）3人都不合格；（3分）（3）3人中至少有1人合格.（3分）

解：记123,,A A A 依次表示甲、乙、丙考试合格的事件，由题意，（1）所求的概率为123()0.80.60.30.144P A A A =??=；--------------（2分）（2）所求的概率为123()0.20.40.30.024P A A A =??=；--------------（5分）（3）所求的概率为

3123()1()

10.20.40.30.976

P A A A P A A A =-=-??=。--------------------（8分）

14、随机变量X 的密度函数为

,02()2

0,x x f x ?≤≤?=???其他

求：（1）E(X)；（2分）（2） D(X)；（2分）

（3）)12(<<-X P ；（2分）（4）2Y X =的密度函数.（2分）

解：（1）3

21)(2

0==?xdx x X E -----------（2分）

（2）22

1)(2022

==?xdx E x X ，

2342)()()(2

=-=-=∴X E E X D X --------（4分）

（3）4

21)12(20==<<-?xdx X P --------（6分）（4）

()21()2()()(y y X P y X P y Y P y F F X

Y =≤=≤=≤= ?????

≤≤=??

???≤≤?=∴其他

其他,040,81,02

210,21)21

(21)(y y y y y f Y

--------（8分）

15、(X,Y)的联合分布律为：

(1)求X,Y 的边缘分布律；（2分） (2)X,Y 独立吗为什么（2分） (3)X 、Y 是否不相关为什么（2分） (4)求Z=X+Y 的分布律。（2分）解

Y 的分布列律为： -- ---（2分）

(2)∵ P(X=0,Y=0)=1/8≠5/8

×2/8=P(X=0)×P(Y=0) ∴X 与Y 不独

立。--------（4分）

（

3）因为E(X)=3/8, E （Y ）=0，E （XY ）=0，

即E （XY ）=E （X ）E （Y ），所以X ，Y 不相关。-- ---（6分）

（4）X+Y 的分布列为：

------------（8分）

16、设A ，B 是两个随机事件， 7.0)(,4.0)(==B A P A P ，

（1）若A ，B 互不相容，求P （B ）；（2）若A ，B 相互独立，求P （B ）；

（3）若6.0)(=A B P ，求P （B ）。（本题8分）解： )()()()(AB P B P A P B A P -+=

（1）、,7.0)()()(=+=B P A P B A P 3.04.07.0)(=-=B P -----（2分）

（2）、)()()(B P A P AB P = 5.06

.04

.07.0)()()()(=-=-=

A P A P

B A P B P -----（5分）

（3）、)()()(A B P A P AB P =

54.06.04.04.07.0)()()()()(=?+-=+-=A B P A P A P B A P B P -----（8分）17、设随机变量),2(~p B X ，且9

}1{=≥X P ，（1）试确定参数p;（2）求P{X=1}。（本题8分）

解： )2,1,0()1(}{22

=-==-k p p C k X P k k

（1）

1,)1(}0{}1{19

-===≥-=p p X P X P ----(4分)

（2）9

43231}1{1

2=??==C X P ---------（8分）

18、某旅行社100人中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法语、日语和英语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种。求此人会讲日语和英语，但不会讲法语的概率。（本题8分）

解：设A=“此人会讲英语”，B=“此人会讲日语”，C=“此人会讲法语”，--3分 P(AB)=（4分） P(ABC)=（5分）

23.009.032.0)()()(=-=-=ABC P AB P C AB P -------（8分）

19、设随机变量X 服从参数为3的泊松(Poisson)分布，Y 服从参数为4的泊松分布，且

X 与Y 相互独立，证明X Y +服从参数为7的泊松分布。

解：)3(~P X ，所以X 的分布律为!3)(3

k e k X P k -==，,...3,2,1,0=k --------（2分）

又因为)4(~P Y ，所以Y 的分布律为!

4)(4

k e k Y P k -==，,...3,2,1,0=k ；-----（4分）

令Y X Z +=，所以Z 的取值为,...3,2,1,0，且有

∑∑=∞=========

m m m X P m X k Z P m X P m X k Z P k Z P 0

)

()|()()|()(!7!3)!

(4)()(7

0340k e m e m k e m X P m k Y P k k

m m m k k

m -=---==

?-==-==∑∑，,...3,2,1,0=k 。-------（8分）从而X Y +服从参数为7的泊松分布。

20、甲，乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全部

概率论重要知识点总结

概率论重要知识点总结概率论重要知识点总结第一章随机事件及其概率第一节基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件发生必然导致事件B发生，则称B 包含A，记为，则称事件A与事件B 相等，记为A＝B。事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 事件的积：称事件“事件A与事件B 都发生”为A 或AB。事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为A－B。用交并补可以表示为互斥事件：如果A，B两事件不

能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事件：称事件“A不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事件的性质：事件运算律：设A，B，C为事件，则有：（1）交换律：AB=BA，AB=BA A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A(BC)＝(AB)(AC)ABAC （4）对偶律（摩根律）：第二节事件的概率概率的公理化体系：第三节古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω个样本点组成.则定义事件A 的概率为的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域上随机投掷一点，该点落在区域假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作乘法公式： P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设第五节事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A、B 满足P(AB)=相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=两两独立独立的性质：若A 均相互独立总结： 1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。 2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，应

概率统计知识点汇总

概率第一章 (一)概率的加减乘除运算 (二) 概率的计算 1. 古典概型的计算 2. 条件概率的计算 (三) 全概率公式与贝叶斯公式 (四) n 重伯努利试验概率第二章（一）随机变量分布函数 1. 分布函数的定义及性质 2. 学会用分布函数表示随机变量落入指定区域的概率（二）离散型随机变量 1. 具体问题会求解离散型随机变量的分布列分布列要满足的条件 2. 由分布列会求解分布函数 3. 由分布函数会求解分布列 4. 掌握三个常见的离散型随机变量（三）连续型随机变量 1. 由分布函数会求解分布密度 2. 由分布密度会求解分布函数 3. 利用分布密度求解未知参数 4. 掌握三个常见的连续型随机变量（四）随机变量函数的分布 1. 离散型随机变量的函数 2. 连续型随机变量的函数概率第三章二维随机向量 (一)联合分布函数的定义及性质联合概率分布函数定义为____),(=y x F 联合分布函数的性质： ___),(____,),(),(),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F y F x F 用联合概率分布函数表示二维随机向量落入指定区域的概率 ____),(2121=≤<≤

学习概率论总结报告(个人总结)

实用汇总报告学习概率论心得思想到在大二刚开学我接触到了概率论与数理统计这门课程，虽然在高中时已经接触到了许多跟概率相关的东西，比如随机事件、古典概型以及一系列的计算方法但是在接触到更加高深的层次后还是有许多不一样的感受。在课程开始之初老师就告诉我们这门课不是很难，关键还在于上课认真听讲。通过老师的简单介绍，我了解到概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，其理论与方法的应用非常广泛，几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产、国民经济以及我们的日常生活。对于作为信息管理与信息系统专业的我，其日后的帮助也是很大的，尤其是对于日后电脑方面的操作有着至关重要的辅助作用。在这门课程中我们首先研究的是随机事件及一维随机变量二维随机变量的分布和特点。而在第二部分的数理统计中，它是以概率论为理论基础，根据试验或者观察得到的数据来研究随机现象，对研究对象的客观规律性做出种种估计和判断。整本书就是重点围绕这两个部分来讲述的。初学时，就算觉得理解了老师的讲课内容，但是一联系实际也会很难以应用上，简化不出有关所学知识的模型。在期末复习中，自己重新对于整个书本的流程安排还有每个章节的重点重新复习一遍，才觉得有了点头绪。在长达一个学期的学习中，我增长了不少课程知识，同时也获得了好多关于这门课程的心得思想到。整个学期下来这门课程给我最深刻的思想到就是这门课程很抽象，很难以理解，但是这门课程给我带来了一种新的思维方式。前几章的知识好多都是高中讲过的，接触下来觉得挺简单，但是后面从第五章的大数定理及中心极限定理就开始是新的内容了。我觉得学习概率论与数理统计最重要的就是要学习书本中渗透的一种全新的思维方式。统计与概率的思维方式，和逻辑推理不一样，它是不确定的，也就是随机的思想。这也是一我思维能力最主要的体现，整个学习过程中要紧紧围绕这个思维方式进行。这些都为后面的数理统计还有参数估计、检验假设打下了基础。其次，在所有数学学科中，概率论是一门具有广泛应用的数学分支，是一门真正是把实际问题转换成数学问题的学科。在最后一章中，假设检验就是一个很好的例子。由前面所讲的伯努利大数定律知，小概率事件在N次重复试验中出现的概率很小，因此我们认为在一次试验中，小概率事件一般不会发生，如果发生了就该怀疑这件事件的真实性。正是根据这个思想去解决实际中的检验问题，总之概率与数理统计就是一门将现实中的问题建立模型然后应用理论知识解决掉的学科，具有很强的实际应用性。在整个学期学习过程中，老师生动的讲解让我一直对这门课程保持着浓厚的兴趣，课上总是会讲解一些实际中的问题，比如抽奖先后中奖概率都一样，扔硬币为什么正反面的概率都是二分之一……一些问题还会让我们更理性的对待实际中的一些问题，比如赌博赢的概率很小，彩票中奖概率也是微乎其微，所以不能迷恋那些，不能期望用投机取巧来赚取钱财。总之，概率论与数理统计给予我的帮助是很大的。不仅拓展了我的数学思维，而且还帮助我把课堂上的知识与生活中的例子联系了起来。当然，这些与老师的辛勤劳动是分不开的，在此，十分感谢马金凤老师对我们一学期以来的谆谆教诲。 1 / 1

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤

（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

概率论知识点总结

概率论知识点总结基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω、样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间、样本空间用Ω表示、一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件A 发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为或。相等关系：若且，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。事件的积：称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB。事件的差：称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A 与事件B的差事件,记为 A－B。用交并补可以表示为。互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事

件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件（逆事件），记为。对立事件的性质：。事件运算律：设A，B，C为事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律： A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC（4）对偶律（摩根律）：第二节事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性： P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性：两两不相容时概率的性质：（1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：两两不相容时当AB=Φ时P(A∪B)＝P(A)＋P(B)（3）（4）P(A－B)＝P(A)－ P(AB)（5）P（A∪B）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节古典概率模型 1、设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成、则定义事件A的概率为 2、几何概率：设事件A是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可、第四节条件概率条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B)、乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设是一个完备事件组，则

(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积：f S y d ==?距；频率=频数/总数 2、频率之和：121n f f f ++???+=；同时 121n S S S ++???+=；三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 2、平均数： 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中：1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关；?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。五、回归分析 1、残差：??i i i e y y =-（残差=真实值—预报值）。分析：?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑，分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度（相关指数）：221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑，分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高； 4、相关系数：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①.[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强；六、独立性检验 1、2×2列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②．犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤

概率论与数理统计期末总结

第1章概率论的基本概念 1.1 随机试验称满足以下三个条件的试验为随机试验：（1）在相同条件下可以重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果；（3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点样本空间随机事件随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。样本空间的子集称为随机事件，简称事件。在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算（1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生；（2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?；（3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生；（4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生；（5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生；（6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生；（7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。

1.4 事件的运算律（1）交换律 BA AB A B B A =?=?,；（2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,；（3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,；（4）幂等律 A AA A A A ==?, ；（5）差化积 B A AB A B A =-=-；（6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足：（1）1)(0≤≤A P ；（2）1)(=ΩP ；（3）若事件，，，，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质（1）0)(=φP ；（2）若事件n A A A ，，， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ；（3）)(1)(A P A P -=；（4）)()()(AB P B P A B P -=-。特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-；（5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。

概率论复习题及答案

概率论与数理统计复习题一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。解：12153 101 12 C C P C ==。

概率论知识点总结

概率论总结目录一、前五章总结第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结第一章随机事件和概率第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E表示。在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。定义：积事件称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。定义：差事件称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。定义：互不相容事件或互斥事件如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件 B是互不相容事件或互斥事件。定义6：逆事件/对立事件称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为ā。A与ā满足：A ∪ā= S,且Aā=Φ。

概率统计试题库及答案

、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为，事件“A 、B 、 C 都发生”可表示为， 5、设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三个事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现；至少有一个事件出现；至少有两个事件出现。（ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、以 A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销 ”，则其对立事件 A 表示。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3），试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否。（0，不成立） 14、设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ）。（0.7） 15、设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3，概率论与数理统计试题库不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ）；三个事件恰有一个发生为 ABC; ABC ABC ABC ）。；三个事件至少有一个发生为事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ）三个元件都正常工作；恰有一个元件不正常工作至少有一个元件正常工作。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）

高三数学概率统计知识点归纳

高三数学概率统计知识点归纳 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

概率统计知识点归纳平均数、众数和中位数平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明．一、正确理解平均数、众数和中位数的概念平均数平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化． 2．众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势． 3．中位数中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的．二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和要关注的问题．三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题．

极差、方差、标准差极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量. 极差一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大. 二、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. 求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x1、x2、x3、…、xn 的平均数为x ，则该组数据方差的计算公式为： ])()()[(1222212x x x x x x n S n -++-+-= . 三、标准差在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差. 即标准差=方差. 四、极差、方差、标准差的关系方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标

概率论知识点总结及心得体会

概率论总结及心得体会 2008211208班 08211106号史永涛班内序号：01 目录一、前五章总结第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结第一章随机事件和概率第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。定义：积事件称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。定义：差事件称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1）一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计（）二、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来（1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。三、（15分）把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分）已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

概率统计知识点全面总结

知识点总结：统计与概率 I 统计 1．三大抽样 (1)基本定义： ① 总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体． ② 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体． ③ 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本． ④ 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量． (2)抽样方法： ①简单随机抽样：逐个不放回、等可能性、有限性。=======★适用于总体较少★ 抽签法：整体编号（ 1~N ）放入不透明的容器中搅拌均匀逐个抽取n 次，即可得样本容量为 n 的样本。随机数表法：整体编号（等位数，如001、111不能是1、111）从0~9中随机取一行一列然后初方向随机（上、下、左、右）重复，超过范围则忽略不计直至取得以n 为样本容量的样本。 ②系统抽样：容量大．等距，等可能。=======★适用于总体多★ 用随机方法编号，若N 无法被整除，则剔除后再分组，n N k 。再用简单随机抽样法来抽取一个个体，设为l ，则编号为l ，k+l ，2k+l ……（n-1）k ，抽出容量为n 的样本。（每组编号相同）。 ③分层抽样：总体差异明显．按所占比例抽取．等可能．=======★适用于由差异明显的几部分构成的总体★ 总体有几个差异明显的部分构成，经总体分成几个部分，然后按照所占比例进行抽样．抽样比为：k ＝n N 3．总体分布的估计： (1)一表二图： ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 ★注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 (2)茎叶图： ①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数．众位数等。 ②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。

概率论与数理统计知识点总结(详细)

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10)

概率论与数理统计试题库

五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||1 ()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 《概率论与数理统计》试题（1）评分标准一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。二解（1）ABC （2）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ；（3）A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ；（4）ABC ABC ABC ；（5）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC 每小题4分；三解设A =‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为,,x y a x y --，则0,0,0x a y a x y a <<<<<+<，不等式构成平面域S .------------------------------------5分 A 发生0,0,22 2 a a a x y x y a ?<<<<<+< 不等式确定S 的子域A ，分所以 1 ()4 A P A = =的面积S 的面积

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