(8)执行右面的程序框图,如果输入的a =4,b =6,那么输出的n =
(A )3 (B )4 (C )5 (D )6
(9)在ABC 中,B=1
,,sin 43BC BC A π
=
边上的高等于则
(A)3
10
(10)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 (A
)18+(B
)54+(C )90 (D )81
(11)在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ,AB =6,BC =8,AA 1=3,则V 的最大值是 (A )4π(B )
9π2(C )6π(D )32π3
(12)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点,A ,B 分别为C 的
左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .
若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 (A )
13(B )12(C )23(D )34
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都
必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共3小题,每小题5分
(13)设x ,y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥??
--≤??≤?
则z =2x +3y –5的最小值为______.
(14)函数y =sin x –cos x 的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向右平移______个单位长度得到. (15)已知直线l
:60x +=与圆x2+y2=12交于A 、B 两点,过A 、B 分别作l 的垂线
与x 轴交于C 、D 两点,则|CD|= . (16)已知f (x )为偶函数,当0x ≤时,1
()x f x e x --=-,则曲线y = f (x )在点(1,2)处的切线方
程式_____________________________.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =,2
11(21)20n n n n a a a a ++---=.
(I )求23,a a ;
(II )求{}n a 的通项公式.
(18)(本小题满分12分)
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图
.
注:年份代码1–7分别对应年份2008–2014.
(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明; (Ⅱ)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注: 参考数据:
7
1
9.32i
i y
==∑,7
1
40.17i i i t y ==∑
0.55=,≈2.646.
参考公式:n
t y r =
回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
1
2
1
()()
()n
i
i i n
i
i t
t y y b t
t ==--=
-∑∑,=.a y bt -
(19)(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥地面ABCD ,AD ∥BC ,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段AD 上一点,AM=2MD ,N 为PC 的中点. (I )证明MN ∥平面PAB;
(II )求四面体N-BCM 的体积.
(20)(本小题满分12分)
已知抛物线C :y 2=2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.
(Ⅰ)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ;
(Ⅱ)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.
(21)(本小题满分12分) 设函数()ln 1f x x x =-+. (I )讨论()f x 的单调性;
(II )证明当(1,)x ∈+∞时,1
1ln x x x
-<
<; (III )设1c >,证明当(0,1)x ∈时,1(1)x
c x c +->.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 (22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,⊙O 中
的中点为P ,弦PC ,PD 分别交AB 于E ,F 两点。
(Ⅰ)若∠PFB =2∠PCD ,求∠PCD 的大小;
(Ⅱ)若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ,证明OG ⊥CD 。
(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy 中,曲线C 1的参数方程为
(为参数)。以坐标原点为极点,
x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin()=.
(I)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(II)设点P在C1上,点Q在C2上,求∣PQ∣的最小值及此时P的直角坐标. (24)(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=∣2x-a∣+a.
(I)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(II)设函数g(x)=∣2x-1∣.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围。
绝密★启封并使用完毕前
试题类型:新课标Ⅲ
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学正式答案
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
(1)C (2)D (3)A (4)D (5)C (6)D (7)A (8)B (9)D (10)B (11)B (12)A
第II 卷
二、填空题:本大题共3小题,每小题5分。
(13)10- (14)
3
π
(15)4 (16)2y x = 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)由题意得4
1
,2132==
a a . .........5分 (Ⅱ)由02)12(112
=---++n n n n a a a a 得)1()1(21+=++n n n n a a a a .
因为{}n a 的各项都为正数,所以2
1
1=+n n a a . 故{}n a 是首项为1,公比为21的等比数列,因此12
1
-=n n a . ......12分 (18)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得
4=t ,28)(7
1
2
=-∑=i i t t ,
55.0)(7
12=-∑=i i
y y
,
89.232.9417.40))((7
1
71
7
1
=?-=-=--∑∑∑===i i i i i i i i
y t y t y y t t
,
99.0646
.2255.089
.2≈??≈
r . ........4分
因为y 与t 的相关系数近似为0.99,说明y 与t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系. ............6分
(Ⅱ)由331.17
32.9≈=y 及(Ⅰ)得103.028
89
.2)()
)((?7
1
2
7
1
≈=
---=∑∑==i i
i i i
t t
y y t t
b , 92.04103.0331.1??≈?-≈-=t b y a
. 所以,y 关于t 的回归方程为:t y
10.092.0?+=. ..........10分 将2016年对应的9=t 代入回归方程得:82.1910.092.0?=?+=y
. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. .........12分 (19)(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)由已知得23
2
==
AD AM ,取BP 的中点T ,连接TN AT ,,由N 为PC 中点知BC TN //,22
1
==
BC TN . ......3分 又BC AD //,故TN 平行且等于AM ,四边形AMNT 为平行四边形,于是AT MN //. 因为?AT 平面PAB ,?MN 平面PAB ,所以//MN 平面PAB . ........6分
(Ⅱ)因为⊥PA 平面ABCD ,N 为PC 的中点, 所以N 到平面ABCD 的距离为
PA 2
1
. ....9分 取BC 的中点E ,连结AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥,522=-=BE AB AE .
由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5,故52542
1
=??=?BCM S . 所以四面体BCM N -的体积3
5
423
1
=
??=?-PA S V BCM BCM N . .....12分 (20)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由题设)0,2
1
(F .设b y l a y l ==:,:21,则0≠ab ,且
)2
,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ,则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 (Ⅰ)由于F 在线段AB 上,故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ,FQ 的斜率为2k ,则
22
2111k b a
ab
a a
b a b a a b a k =-=-==--=+-=
. 所以FQ AR ∥. ......5分 (Ⅱ)设l 与x 轴的交点为)0,(1x D , 则2,21
21211b a S x a b FD a b S PQF ABF
-=--=-=??. 由题设可得
2
21211b a x a b -=--,所以01=x (舍去),11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时,由DE AB k k =可得)1(1
2≠-=+x x y
b a . 而
y b
a =+2
,所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.所以,所求轨迹方程为12
-=x y . ....12分 (21)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由题设,()f x 的定义域为(0,)+∞,'1
()1f x x
=
-,令'()0f x =,解得1x =. 当01x <<时,'
()0f x >,()f x 单调递增;当1x >时,'
()0f x <,()f x 单调递减. ………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,()f x 在1x =处取得最大值,最大值为(1)0f =. 所以当1x ≠时,ln 1x x <-. 故当(1,)x ∈+∞时,ln 1x x <-,11ln
1x x <-,即11ln x x x
-<<. ………………7分 (Ⅲ)由题设1c >,设()1(1)x
g x c x c =+--,则'
()1ln x
g x c c c =--,令'
()0g x =,
解得01ln
ln ln c c x c
-=
. 当0x x <时,'()0g x >,()g x 单调递增;当0x x >时,'()0g x <,()g x 单调递减. ……………9分 由(Ⅱ)知,1
1ln c c c
-<
<,故001x <<,又(0)(1)0g g ==,故当01x <<时,()0g x >.
所以当(0,1)x ∈时,1(1)x c x c +->. ………………12分 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
解:(Ⅰ)连结BC PB ,,则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,.
因为BP AP =,所以PCB PBA ∠=∠,又BCD BPD ∠=∠,所以PCD BFD ∠=∠.
又PCD PFB BFD PFD ∠=∠=∠+∠2,180
,所以
180
3=∠PCD , 因此
60=∠PCD .
(Ⅱ)因为BFD PCD ∠=∠,所以 180=∠+∠EFD PCD ,由此知E F D C ,,,四点共圆,其圆心既在CE 的垂直平分线上,又在DF 的垂直平分线上,故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心,所以G 在CD 的垂直平分线上,因此CD OG ⊥
.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
解:(Ⅰ)1C 的普通方程为2
213
x y +=,2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分
(Ⅱ)由题意,可设点P
的直角坐标为,sin )αα,因为2C 是直线,所以||PQ 的最小值, 即
为
P 到
2
C 的距离
()
d α的最小值
,
|
()|sin()2|
3
d παα=
=
+
-. ………………8分 当且仅当2()6
k k Z π
απ=+
∈时,()d α
,此时P 的直角坐标
为31
(,)22
. ………………10分 24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 解:(Ⅰ)当2a =时,()|22|2f x x =-+.
解不等式|22|26x -+≤,得13x -≤≤.
因此,()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. ………………5分 (Ⅱ)当x R ∈时,()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-
|212|x a x a ≥-+-+ |1|a a =-+,
当1
2
x =
时等号成立, 所以当x R ∈时,()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① ……7分 当1a ≤时,①等价于13a a -+≥,无解. 当1a >时,①等价于13a a -+≥,解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. ………………10分