圆的方程知识点及题型归纳总结
知识点精讲
一、基本概念轨
迹)叫圆.
平面内到定点的距离等于长的点的集
二、基本性质、定理与公式
1.圆的四种方程
(1)圆的标准方程:(x a) 2 (y
b)2
r 2,圆心坐标为(a,b)
,
半径为r(r 0)
( 2 )圆的一般方程:x 2 y2 Dx Ey F 0(D 2 E24F0),圆心坐标为D,E
22
半径r D
2
E
2
4F
2
(x x1)(x x2) (y y1)(y y2) 0
4)圆的参数方程:
3)圆的直径式方程若A(x1, y1),B(x2,y2),则以线段AB 为直径的圆的方程是
①x222
y2 r2(r 0)的参数方程为x r cos y
rsin
为参数);
2 2 2
② (x a) 2 (y b)2 r 2 (r 0) 的参数方程为x a r cos y b
r sin
为参数)
注对于圆的最值问题,往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(a r cos ,b r sin ) ( 为
参数,(a,b)为圆心,r 为半径),以减少变量的个数,建立三角函数式,从而把代数问题转化为三角问题,然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.
2.点与圆的位置关系判断
(1)点P(x0,y0)与圆
(x a)2
22
(y b)2 r 2的位置关系:
①(x a)2(y b)2 r
2点P 在圆外;
②(x a)2(y b)2 r
2点P 在圆上;
③(x a)2(y b)2 r 2
点P在圆内.
(2)点P(x0,y0)与圆
x2y 2
Dx Ey F 0 的位置关系
① x022
y02Dx0Ey0F
0点P 在圆外;
② x02
2
y
Dx0Ey0
F0
点P 在圆上;
③ x022
y
0Dx0Ey0F0点P 在圆内.
题型归纳及思路提示
题型 1 求圆的方程 思路提示
( 1)求圆的方程必须具备三个独立的条件,从圆的标准方程上来讲,关键在于求出圆心坐标
(a,b)和
半径 r ;从圆的一般方程来讲,必须知道圆上的三个点 .因此,待定系数法是求圆的方程常用的方法 .
(2)用几何法来求圆的方程,要充分运用圆的几何性质,如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上, 半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等 . 例 9.17 根据下列条件求圆的方程:
( 1) ABC 的三个顶点分别为 A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5), 求其外接圆的方程; ( 2)经过点 A(6,5), B(0,1), 且圆心在直线 3x+10y+9=0 上; (3)经过点 P(-2,4),Q(3,-1),且在 x 轴上截得的弦长等于 6. 分析 根据待定系数法求出相应的量即可 .
解析 (1)解法一:设所求圆的方程为 x 2 y 2 Dx Ey F 0,则由题意有,
D 5
E F
26 0 D 4 2D 2E F 8 0 解得 E 2 5D 5E F 50 0 F
20
故所求圆的方程为 x 2 y 2 4x 2y 20 0
解法二:由题意可求得 AC 的中垂线方程为 x=2,BC 的中垂线方程为 x+y-3=0,所以圆心是两条中垂线 的交点 P(2,1),且半径 r |AP| (2 1)2 (1 5)2 5
所以所求圆的方程为 (x 2) 2 (y 1)2 25 即 x 2 y 2 4x 2y 20 0
3
AB 的中点 (3,3),则由点斜式可得 y 3 (x 3) , 2
即线段 AB 的中垂线方程为 3x+2y-15=0
Dx Ey F 0 ,将点 P ,Q 的坐标分别代入,得
2
有
(
x 1 x 2)2 4x 1x 2 36 ,即 D 2 4F 36
由
3x 2y 15 3x 10y 9
00,解得
7
,
3 所以圆心
为
C(7,-3),又| BC |
65
故所求的圆的方程为 (x 7)2 (y 3)2
65
2D 4E F
3D E F
20
,又令 y=0,得 x 2
10
Dx F 0.设x 1,x 2是方程 的两 根,则 由韦 达定理 有
x 1 x
2
D,x 1x 2
F ,由 | x 1 x 2 | 6 2)AB 的中垂线与 AB 垂直,则斜率 k
3)设圆的方程为 x 2 y 2
D
2 D 6 解得 E
4或 E 8 F
8
F
故所求圆的
方程为 2 x 2 2 2
y 2 2x 4y 8 0或 x 2 y 2 6x 8y 0 评注 圆的方程有两种形式:标准方程和一般方程 .求圆的方程问题一般采用待定系数法,并有两种不同的 选择,一般地,已知圆 上的三点时用一般方程;已知圆心或半径关系时用标准方程 .即首先设出圆的方程 (标准方程或一般方程) ,然后根据题意列出关于圆的方程中参数的方程(组) ,解方程或方程组即可求得 圆的方程 .一般地,确定一个圆需要三个独立的条件
.
变式 1 求过点 A(6,0),B(1,5), 且圆心在直线 l :2x 7y 8 0 上的圆的方程 .
变式 2 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线与坐标轴的交点都在圆 C 上,求圆 C 的方程
例 9.18 已知圆的半径为 10 ,圆心在直线 y=2x 上,圆被直线 y=x 截得的弦长为 4 2 ,求此圆的方程 分析 求圆的标准方程,就是求 (x a)2 (y b)2 r 2中的 a,b,r ,可优先考虑待定系数法 .
由圆在直线 y=x 上截得的弦长为 4 2 ,将 y=x 代入 (x a)2 (y b) 2 10,
整理得 2x 2 2(a b)x a 2 b 2 10 0
由弦长公式,得 2 | x 1 x 2 | 4 2
b=2a ,解得 a 2 或 a
b 4 b
评注 注意灵活运用垂径定理来简化圆中弦长的求解过程
即 2 (a b)2
2(a 2 b 2
10) 4 2 ,化简得 a
b 2 (②)
a 2a 2
由式①②可得
或
b 4b
4
故所求圆的方程为
(x 2) 2
(y 4)
2
10 或 (x 2)2
2
(y 4)2
10
解法二:据几何性质, 半径、 弦长的一半、
弦心距构成直角三角形,可得弦心距
d r 2 (2 2)2 2 ,又弦心距等于圆心 (a,b)到直线 x-y=0 的距离,即 d
2 ,又已知
解析 解法
设圆的方程为 (x a)2 (y b)2
10
.由圆心在直线 y=2x 上,得 b=2a (①)
故所求圆的方程为 (x 2) 2 (y 4)2
10或 (x 2)2 (y 4)2
10
|a b|
变式 1 求与 x 轴相切,圆心在直线 3x-y=0 上,且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 7 的圆的方程
解法二:(排除法)
2 0 1
2 ,故排除选项 A,B ,在选项 C 中,圆心为 (-3,2) ,验证两圆圆心所在的直线的斜率为 2 0 1 ,与
3 1 2
直线 2x y 3 0 垂直 .故选 C
评注 根据圆的性质求圆关于直线的对称圆的方程问题,一般转化为求圆心关于直线对称点的问题,半径 保持不变 .
变式 1 若不同两点 P,Q 的坐标分别为, (a,b),(3 b,3 a) ,则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为 ___________ , 圆(x 2)2 (y 3)2 1关于直线 l 对称的圆的方程为 ______________ 题型 2 直线系方程和圆系方程
思路提示 求过两直线交点(两圆交点或直线与圆交点)的直线方程(圆系方程)一般不需求其交点,而是利用 它们的直线系方程(圆系方程) .
(1)直线系方程:若直线l 1 : A 1x B 1y C 1 0与直线l 2 : A 2x B 2y C 2 0相交于点 P ,则过点 P 的直线系方程为: 1(A 1x
B 1y
C 1)
2
(A 2x B 2y C 2) 0 (
1
2
2
2
0)
简记为: 1l 1 2l 2 0( 12 22 0)
2 例 9.19 圆 x 2
y 2 2x 1 0 关于直线 2x-y+3=0 对称的圆的方程是( ) A. (x 3)2 (y 2)2 B. (x 3)2 (y 2)2
C.(x
2
3) 2
(y
2)2
22
D. (x 3)2
(y 2)2
解析 解法一: 推演法)
将圆的方程 x 2 y 2
2x 0 化为标准方程 (x 1)
y 2 ,得圆心为 (1,0) ,半径为 2 ,设对
称圆的圆心坐标为 (a,b) ,则
a 1 b
2
22 b 0 1 a 1 2
30
,得
故对称圆的方程是 (x
3)2
(y 2)2 2 将圆的方程 x 2
2x 1 0 化为标准方程 (x 2)2
y 2 2,得 r 2 ,则对称圆的半径也应为
0 时,简记为: l 1
l 2 0(不含 l 2 )
(2)圆系方程:若圆 C 1 22
:x y
D 1x
E 1y
F 1 0 与圆 C 2 : x 2
2
y
D 2x
E 2 y
F 2 0 相交
于 A,B 两 点
则过 A,B
两 点的 圆
系方程为:
22
x y
D 1x
E 1y
F 1
22
(x 2
y 2
D 2x
E 2y
F 2)
0( 1)
简记为: C 1 C 2 0(
1),不含
C 2
当 1 时,该圆系退化为公共弦所在直线(根轴)
l :(D 1 D 2)x (E 1 E 2)y F 1 F 2 0
注 与圆 C 共根轴 l 的圆系 C :C l 0
例 9.20 (1) 设直线 l 1 :x y 1 0 与直线 l 2 :2x y 2 0 相 交于点 P,求过点 P 且与直线 l 3 :2x 3y 1 0平行的直线
l 4的方程 .
( 2)求圆心在直线 3x 4y 1 0 上且过两圆 x 2 y 2 x y 2 0 与 x 2 y 2 5 的交点的圆的方 程.
分析 把两条直线(圆)的方程联立,解得直线(圆)的交点坐标的方法看似平常,实则复杂难解,而利 用直线系(圆系)方程的概念,则较易求得答案 .
即l 4 :2x 3y 2
1
,故圆心为 2(1 )
1 ,- 1 (21 )-(21 )
评注 直线系或圆系是具有共同性质的直线或圆的集合,在解题过程中适当利用直线系或圆系方程,往往
解法二:设 l 4 :2x
(x 1) 0,即 l 4 :(2 )x (1 )y
因为
l 4
//l 3,所以
(32
(21 ),
得
8,
故 l 4 :2x 3y 2
(2)设所求圆为
x
(x y 5) 0( 1)
化为一般式 x 2 y 2
25
y
1
代入直线 3x 4y
中,
得
3 4 2(1 ) 2(1
10
解得
32,把
23
代入所设的方程中,
得
故所求圆的方程
为 y 2 2x 2y 11 0 2
y 2
2x 2y 11
解析 ( 1)解法一:由
x 2x y10
y2
0,得交点 P( 1,0) .因为 l 4//l
3
, 故设 l 4 :2x 3y C 0,又l 4过
点 P( 1,0) ,故 2( 1)
0, 得C
D1 所以 2 2(1
能够简化运算,快速得出结论 .
22
变式 1 过直线 2x y 4 0和圆 x 2 y 2 2x 4y 1 0 的交点且面积最小的圆的方程是 ________________________ 变式 2 (1)设直线 l 1:x y 0与直线 l 2 :x y 4 0相交于点 P ,求过点 P 且与直线 l 3:3x 4y 5 0 垂直的直线 l 4的方程 .
( 2)已知圆 C: x 2 y 2 2x 4y m 0,若直线 l: x y 2 0与圆 C 相交于 A,B 两点,且 OA OB (O 为坐标原点) ,求 m 的值和以 AB 为直径的圆的方程 .
题型 3 与圆有关的轨迹问题 思路提示
要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标 x,y 的等量关系,根据题目条件,直接找到或 转化得到与动点有关的数量关系,是解决此类问题的关键所在 .
例 9.21(2012 北京丰台高三期末理 18)在平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点,动点 P 与两个定点
1
M (1,0), N (4,0) 的距离之比为 .
2
( 1)求动点 P 的轨迹 W 的方程;
(2)若直线 l : y kx 3与曲线 W 交于 A,B 两点,在曲线 W 上是否存在 一点 Q ,使得 OQ OA OB , 若存在,求出此时直线 l 的斜率;若不存在,说明理由 .
解析 (1)设点 P 的坐标为 P (x,y ),由题意知 |PM | 1,即 2 (x 1)2 y 2
(x 4)2 y 2
|PN | 2
即W :x 2 y 2 4
3
(2)因为直线 l: y kx 3与曲线 W 相交于 A,B 两点,所以 d (O,l ) 3 2
1 k
2
假设曲线 W 上存在点 Q ,使得 OQ OA OB,| OQ | 2
因为 A,B 在圆上,所以 |OA| |OB|,且 OQ OA OB 由向量加法的平行四边形法则可知四边形 OAQB 为菱形,所以 OQ 与 AB 互相垂直平分 13 故d (O,l ) 1 |OQ| 1,即
1,解得 k 2 2 ,符合式①
2 1 k 2
所以存在点 Q ,使得 OQ OA OB
评注 在平面上到两定点的距离之比不为 1 的正数的动点轨迹为圆 .
即k
5
或k
2
变式 1 在ABC中,若AB 2,AC 2BC,则S ABC的最大值为 _________________
变式 2 (2012北京石景山一模理8)如图9-10所示,已知平面l,A,B是l 上的两个点,C,D在平
面内,且DA ,CB ,AD=4,AB=6,BC=8,在平面上有一个动点P,使得APD BPC ,则
P-ABCD 体积的最大值是()
A. 24 3
B.16
C.48
D.144
例9.22 如图9-11 所示,已知P(4,0)是圆x2 y2 36内的一点,A,B是圆上两动点,且满足APB 90 ,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程
解析解法一:设AB 的中点为R,点Q的坐标为(x,y),则在Rt ABP中| AR | | PR |,又因为R是弦AB 的中
点,由垂径定理,在Rt ORA中| AR|2 |OR|2 36,
又2(|OQ |2 |OP|2) (2|OR |)2 (2|PR |) 2(*),
得|OQ|2 |OP|2 2(| OR |2 | PR|2) 2 36 72,
故|OQ |2 72 |OP|2 56
则矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程是x2 y2 56
解法二:设AB 的中点为R,Q 的坐标为(x,y),
则R x 4,y,在矩形APBQ中有| PR | |AR| 1|PQ |
2 2 2
在Rt ORA中,|OR|2 | RA|2 |OA|2 36
22
高中数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-. ∵圆心在0=y 上,故0=b . ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r .所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为 13 12 4-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2 = ++==AC r . 故所求圆的方程为20)1(22=++y x . 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(2 2 . ∴点P 在圆外. 说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢? 类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例5 已知圆42 2 =+y x O :,求过点()42, P 与圆O 相切的切线. 解:∵点()42, P 不在圆O 上,∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴ 21422 =++-k k 解得4 3 = k
圆与方程 1. 圆的标准方程:以点),(b a C 为圆心,r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是:222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系: (1).设点到圆心的距离为d ,圆半径为r : a.点在圆内 d <r ; b.点在圆上 d=r ; c.点在圆外 d >r (2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? ( ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? (3)涉及最值: ① 圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ,圆上一动点P ,讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考:过此A 点作最短的弦?(此弦垂直AC ) 3. 圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心??? ??--2,2E D C ,半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时,方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时,方程不表示任何图形.
注:方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是:0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系: 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1)无交点直线与圆相离??>r d ; 2)只有一个交点直线与圆相切??=r d ; 3)有两个交点直线与圆相交??
直线与圆的方程 、直线的方程 已知 L 上两点 P 1( x 1,y 1) P 2( x 2,y 2 ) 当 x 1 = x 2 时, =900 , 不存在。当 0 时, =arctank , <0 时, = ②任何一个关于 x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。 5、直线系:(1)共点直线系方程: p 0(x 0,y 0)为定值, k 为参数 y-y 0=k (x-x 0) 特别: y=kx+b ,表示过( 0、 b )的直线系(不含 y 轴) ( 2)平行直线系:① y=kx+b ,k 为定值, b 为参数。 ② AX+BY+ 入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系 ③ BX-AY+ 入 =0 表示与 AX+BY+C 垂直的直线系 ( 3)过 L 1,L 2交点的直线系 A 1x+B 1y+C 1+入( A 2X+B 2Y+C 2)=0(不含 L2) 6、三点共线的判定:① AB BC AC ,②K AB =K BC , ③写出过其中两点的方程,再验证第三点在直线上。 、两直线的位置关系 k= y 2 y 1 x 2 x 1 20 2 已知 方程 说明 斜截式 K 、b Y=kx+b 不含 y 轴和行平 于 y 轴的直点斜式 P 1=(x 1,y 1) k y-y 1=k(x-x 1) 不含 y 轴和平 行 于 y 轴的直线 两点式 P 1(x 1,y 1) P 2(x 2,y 2) y y 1 x x 1 不含坐标辆和 平行于坐标轴 的直线 y 2 y 1 x 2 x 1 截距式 a 、b xy 1 ab 不含坐标轴、平 行于坐标轴和 过原点的直线 一般式 Ax+by+c=0 A 、 B 不同时为 0 3、截距(略)曲线过原点 横纵截距都为 0。 4、直线方程的几种形式 几种特殊位置的直 线 ①x 轴: y=0 ② y 轴: x=0 ③平行于 x 轴: y=b ④平行于 y 轴: x=a ⑤过原点: y=kx y 的二元一 次方程。 1、倾斜角: 0< < k 0 2 = 不存在 2 +arctank 2、斜
高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一:巧用圆系求圆的过程 在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种: ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交 点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆,直接应用该圆系方程,必须检验圆是否满足题意,谨防漏解。 当时,得到两圆公共弦所在直线方程 例1:已知圆与直线相交于两点,为坐标原点,若,求实数的值。 分析:此题最易想到设出,由得到,利用设而不求的思想,联立方程,由根与系数关系得出关于的方程,最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系,不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点,选取过直线与圆交点的圆系方程,可极大地简化运算过程。 解:过直线与圆的交点的圆系方程为: ,即 ………………….① 依题意,在以为直径的圆上,则圆心()显然在直线上,则,解之可得 又满足方程①,则故 例2:求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解:圆和的公共弦方程为 ,即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ,即 依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心必在公共弦所在直线上。即,则 代回圆系方程得所求圆方程
例3:求证:m 为任意实数时,直线(m -1)x +(2m -1)y =m -5恒过一定点P ,并求P 点坐标。 分析:不论m 为何实数时,直线恒过定点,因此,这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解:由原方程得 m(x +2y -1)-(x +y -5)=0,① 即???-==?? ?=-+=-+4y 9 x 0 5y x 01y 2x 解得, ∴直线过定点P (9,-4) 注:方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例4已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=25,直线l :(2m +1)x +(m +1)y -7m -4=0(m ∈R ). (1)证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得. (1)证明:l 的方程(x +y -4)+m (2x +y -7)=0. 2x +y -7=0, x =3, x +y -4=0, y =1, 即l 恒过定点A (3,1). ∵圆心C (1,2),|AC |=5<5(半径), ∴点A 在圆C 内,从而直线l 恒与圆C 相交于两点. (2)解:弦长最小时,l ⊥AC ,由k AC =- 2 1 , ∴l 的方程为2x -y -5=0. 评述:若定点A 在圆外,要使直线与圆相交则需要什么条件呢? 思考讨论 类型二:直线与圆的位置关系 例5、若直线m x y +=与曲线2 4x y -=有且只有一个公共点,求实数m 的取值范围. 解:∵曲线24x y -= 表示半圆)0(422≥=+y y x ,∴利用数形结合法,可得实数m 的取值范 围是22<≤-m 或22=m . 变式练习:1.若直线y=x+k 与曲线x= 2 1y -恰有一个公共点,则k 的取值范围是___________. 解析:利用数形结合. 答案:-1<k ≤1或k=-2 例6 圆9)3()3(2 2=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个? 分析:借助图形直观求解.或先求出直线1l 、2l 的方程,从代数计算中寻找解答. 解法一:圆9)3()3(2 2 =-+-y x 的圆心为)3,3(1O ,半径3=r . 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324 311 34332 2 <=+-?+?= d . 如图,在圆心1O 同侧,与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点,这两个交点符合题意. 又123=-=-d r . ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. ∴符合题意的点共有3个. 解法二:符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ,且与之距离为1的直线和圆的交点.设 所求直线为043=++m y x ,则14 3112 2 =++= m d , ∴511±=+m ,即6-=m ,或16-=m ,也即 06431=-+y x l :,或016432=-+y x l :. 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O : 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ,则 34 36 34332 2 1=+-?+?= d ,14 316 34332 2 2=+-?+?= d . ∴1l 与1O 相切,与圆1O 有一个公共点;2l 与圆1O 相交,与圆1O 有两个公共点.即符合题意的点共3个. 说明:对于本题,若不留心,则易发生以下误解: ∵m ∈R ,∴ 得
圆的方程题型总结 一、基础知识 1.圆的方程 圆的标准方程为___________________;圆心_________,半径________. 圆的一般方程为___________ _________ ____;圆心________ ,半径__________. 二元二次方程2 2 0Ax Cy Dx Ey F 表示圆的条件为: (1)_______ _______; (2) _______ __ . 2.直线和圆的位置关系: 直线0Ax By C ++=,圆2 2 2 ()()x a y b r -+-=,圆心到直线的距离为d. 则:(1)d=_________________; (2)当______________时,直线与圆相离; 当______________时,直线与圆相切; 当______________时,直线与圆相交; (3)弦长公式:____________________. 3. 两圆的位置关系 圆1C :2 2 21 1 1x a y b r ; 圆2C :2 2 22 2 2x a y b r 则有:两圆相离? _____________________; 两圆外切 ?______________________; 两圆相交?______________________; 两圆内切?_____________________; 两圆内含?_____________________.
二、题型总结: (一)圆的方程 1. ★2 2 310x y x y ++--=的圆心坐标 ,半径 . 2.★★点(1,2-a a )在圆x 2+y 2-2y -4=0的内部,则a 的取值范围是( ) A .-1所表示的曲线关于直线y x =对称,必有( ) A .E F = B .D F = C . D E = D .,,D E F 两两不相等 4.★★★圆03222 2 2 =++-++a a ay ax y x 的圆心在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 5. ★若直线34120x y 与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( ) A. 2 2430x y x y B. 22430x y x y C. 2 2 434 0x y x y D. 2 2 438 0x y x y 6. ★★过圆2 2 4x y +=外一点()4,2P 作圆的两条切线,切点为,A B ,则ABP ?的外接圆方程是( ) A. 42x y --2 2 ()+()=4 B. 2x y -2 2 +()=4 C. 42x y ++2 2 ()+()=5 D. 21x y -+2 2 ()+()=5 7. ★过点1,1A ,1,1B 且圆心在直线20x y 上的圆的方程( ) A. 2 2 3 14x y B.2 2 3 1 4x y C. 22 1 1 1x y D. 2 2 1 1 1x y 8.★★圆2 2 2690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是 ( ) A .2 2 (7)(1)1x y +++= B .2 2 (7)(2)1x y +++= C . 2 2 (6)(2)1x y +++= D .2 2 (6)(2)1x y ++-=
第一讲圆的方程 一、知识清单 (一)圆的定义及方程 1 (1)将圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 展开并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得x2+y2+Dx+Ey+F=0. (2)将圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0通过配方后得到的方程为: (x+D 2) 2+(y+ E 2) 2= D2+E2-4F 4 ①当D2+E2-4F>0时,该方程表示以(-D 2,- E 2)为圆心, 1 2D 2+E2-4F为半径的圆; ②当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=-D 2,y=- E 2,即只表示一个点(- D 2,- E 2);③当D 2+ E2-4F<0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形. 2、圆的一般方程的特征是:x2和y2项的系数都为1 ,没有xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.(二)点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系: (1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2. (2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2. (3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2 圆锥曲线基本题型总结:提纲: 一、定义的应用: 1、定义法求标准方程: 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题: 3、焦点三角形问题: 二、圆锥曲线的标准方程: 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程(已经性质求方程) 3、各种圆锥曲线系的应用: 三、圆锥曲线的性质: 1、已知方程求性质: 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题: 四、直线与圆锥曲线的关系: 1、位置关系的判定: 2、弦长公式的应用: 3、弦的中点问题: 4、韦达定理的应用: 一、定义的应用: 1. 定义法求标准方程: (1)由题目条件判断是什么形状,再由该形状的特征求方程:(注意细节的处 理) 1.设F1, F2 为定点,|F1F2| =6,动点M满足|MF1| + |MF2| = 6,则动点M的轨 迹是() A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【注:2a>|F1 F2| 是椭圆,2a=|F1 F2|是线段】 2. 设 B - 4,0) , C4,0),且厶ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为) x2 y2 y2 x2 A.25+ -9 = i y z0) B.25^9 = 1 徉0) x2 y2 y2 x2 C.^+16= 1 y z 0) D£+_9 = 1 y z 0) 【注:检验去点】 3. 已知A0, - 5)、B0,5) ,|PA| - |PB| = 2a,当a= 3 或 5 时,P点的轨迹为) A. 双曲线或一条直线 B. 双曲线或两条直线 C. 双曲线一支或一条直线 D. 双曲线一支或一条射线【注:2av|F1 F2|是双曲线,2a=|F1 F2|是射线,注意一支与两支的判断】 直线与圆题型总结-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 高中数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 2、 设圆满足:(1)截y 轴所得弦长为2;(2)被x 轴分成两段弧,其弧长的比为1:3,在满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线02=-y x l :的距离最小的圆的方程. 类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程 1 已知圆422=+y x O :,求过点()42, P 与圆O 相切的切线. 2 两圆0111221=++++F y E x D y x C :与0222222=++++F y E x D y x C :相交于A 、B 两点,求它们的公共弦AB 所在直线的方程. 3、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ,作这个圆的两条切线MA 、MB ,切点分别是A 、B ,求直线AB 的方程。 练习: 1.求过点(3,1)M ,且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程 2、过坐标原点且与圆02 52422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切,则a 的值为 . 类型三:弦长、弧问题 1、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长 2、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 3、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长 类型四:直线与圆的位置关系 1、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点,实数m 的取值范围 2 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有 个 3、直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点,则a 的取值范围是 4、若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点,则k 的取值范围是 . 5、 圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有( ). 1 第一讲 圆的方程 一、知识清单 (一)圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 (1)将圆的标准方程 (x -a )2+(y -b )2=r 2 展开并整理得x 2+y 2-2ax -2by +a 2+b 2-r 2=0,取D =-2a ,E =-2b ,F =a 2+b 2-r 2,得x 2+y 2+Dx +Ey +F =0. (2)将圆的一般方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0通过配方后得到的方程为: (x +D 2)2+(y +E 2)2=D 2+E 2-4F 4 ①当D 2+E 2-4F >0时,该方程表示以(-D 2,-E 2)为圆心,12 D 2+ E 2-4 F 为半径的圆; ②当D 2+E 2-4F =0时,方程只有实数解x =-D 2,y =-E 2,即只表示一个点(-D 2,-E 2 );③当D 2+E 2-4F <0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形. 2、圆的一般方程的特征是:x 2和y 2项的系数 都为1 ,没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了. 2 (二)点与圆的位置关系 点M (x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的位置关系: (1)若M (x 0,y 0)在圆外,则(x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2. (2)若M (x 0,y 0)在圆上,则(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2. (3)若M (x 0,y 0)在圆内,则(x 0-a )2+(y 0-b )2 高中数学-圆的方程题 型总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 圆的方程题型总结 一、基础知识 1.圆的方程 圆的标准方程为___________________;圆心_________,半径________. 圆的一般方程为___________ _________ ____;圆心________ ,半径__________. 二元二次方程2 2 0Ax Cy Dx Ey F 表示圆的条件为: (1)_______ _______; (2) _______ __ . 2.直线和圆的位置关系: 直线0Ax By C ++=,圆222()()x a y b r -+-=,圆心到直线的距离为d. 则:(1)d=_________________; (2)当______________时,直线与圆相离; 当______________时,直线与圆相切; 当______________时,直线与圆相交; (3)弦长公式:____________________. 3. 两圆的位置关系 圆1C :2 2 21 1 1x a y b r ; 圆2C :2 2 22 2 2x a y b r 则有:两圆相离? __________________; 外切?__________________; 相交?__________________________; 切?_________________; 含?_______________________. 二、题型总结: (一)圆的方程 3 ☆1.22310x y x y ++--=的圆心坐标 ,半径 . ☆☆2.点(1,2-a a )在圆x 2+y 2-2y -4=0的部,则a 的取值围是( ) A .-1所表示的曲线关于直线y x =对称,必有( ) A .E F = B .D F = C . D E = D .,,D E F 两两不相等 ☆☆☆4.圆0322222=++-++a a ay ax y x 的圆心在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 ☆5.若直线3412 0x y 与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB 为直径的圆的 方程是 ( ) A. 22430x y x y B. 22430x y x y C. 2 2 434 0x y x y D. 2 2 438 0x y x y ☆☆6.过圆224x y +=外一点()4,2P 作圆的两条切线,切点为,A B ,则ABP ?的外接圆方程是( ) A. 42x y --22()+()=4 B. 2x y -22+()=4 C. 42x y ++22()+()=5 D. 21x y -+22()+()=5 ☆7.过点1,1A ,1,1B 且圆心在直线20x y 上的圆的方程( ) A. 2 2 314x y B.2 2 3 1 4x y C. 22 1 1 1x y D. 2 2 111x y ☆☆8.圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是 ( ) A .22(7)(1)1x y +++= B .22(7)(2)1x y +++= 圆的方程知识点总结和经典例题 (1)求圆的方程需要三个独立条件,所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程. (2)对于方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0表示圆时易忽视D 2+E 2-4F >0这一条件. 2.点与圆的位置关系 点M (x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的位置关系: (1)若M (x 0,y 0)在圆外,则(x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2. (2)若M (x 0,y 0)在圆上,则(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2. (3)若M (x 0,y 0)在圆内,则(x 0-a )2+(y 0-b )2 <r 2. 3.直线与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系的判断方法 设直线l :Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0), 圆:(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0), d 为圆心(a ,b )到直线l 的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 1.几何法:由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断. 2.代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. 3.直线系法:若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系. (2)过一点的圆的切线方程的求法 1.当点在圆上时,圆心与该点的连线与切线垂直,从而求得切线的斜率,用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程. 2.若点在圆外时,过这点的切线有两条,但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条,这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在. (3)求弦长常用的三种方法 1.利用圆的半径r ,圆心到直线的距离d ,弦长l 之间的关系r 2=d 2+? ???? l 22 解题. 2.利用交点坐标 若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长. 3.利用弦长公式 设直线l :y =kx +b ,与圆的两交点(x 1,y 1),(x 2,y 2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长l =1+k 2|x 1-x 2|= (1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]. 4. 圆与圆的位置关系 (1)圆与圆位置关系的判断方法 设圆O 1:(x -a 1)2+(y -b 1)2=r 21(r 1>0), 圆O :(x -a 2+(y -b 2=r 2 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形.1.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤: (1)化成圆的标准方程,写出圆心和半径; 圆的方程知识点总结和经典例题 (1)求圆的方程需要三个独立条件,所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程. (2)对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时易忽视D2+E2-4F>0这一条件.2.点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系: (1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2. (2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2. (3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2. 3.直线与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系的判断方法 设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0), 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 2.代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. 3.直线系法:若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系来判断直线 与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.(2)过一点的圆的切线方程的求法 1.当点在圆上时,圆心与该点的连线与切线垂直,从而求得切线的斜率, 用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程. 2.若点在圆外时,过这点的切线有两条,但在用设斜率来解题时可能求出 的切线只有一条,这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在. (3)求弦长常用的三种方法 1.利用圆的半径r ,圆心到直线的距离d ,弦长l 之间的关系r 2=d 2 +? ????l 22解题. 2.利用交点坐标 若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长. 3.利用弦长公式 设直线l :y =kx +b ,与圆的两交点(x 1,y 1),(x 2,y 2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长l = 1+k 2| x 1-x 2 = (1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]. 4. 圆与圆的位置关系 (1)圆与圆位置关系的判断方法 设圆O 1:(x -a 1)2+(y -b 1)2=r 21(r 1>0), 222 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形.1.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤: (1)化成圆的标准方程,写出圆心和半径; (2)计算两圆圆心的距离d ; (3)通过d ,r 1+r 2, r 1-r 2 的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围,必要时可借助于图形,数形结合. 2.应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的,要理清圆心距与两圆半径的关系. (2)两圆相交有关问题 1.圆系方程 重点高中数学圆的方程知识点题型归纳 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 第一讲 圆的方程 一、知识清单 (一)圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准 方程 (x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0) 圆心:(a ,b ),半径:r 一般 方程 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 (D 2+E 2-4F >0) 圆心:????-D 2,-E 2, 半径:1 2 D 2+ E 2-4F 1、圆的标准方程与一般方程的互化 (1)将圆的标准方程 (x -a )2+(y -b )2=r 2 展开并整理得x 2+y 2-2ax -2by +a 2+b 2-r 2= 0,取D =-2a ,E =-2b ,F =a 2+b 2-r 2,得x 2+y 2+Dx +Ey +F =0. (2)将圆的一般方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0通过配方后得到的方程为: (x +D 2)2+(y +E 2)2=D 2+E 2-4F 4 ①当D 2+E 2-4F >0时,该方程表示以(-D 2,-E 2)为圆心,1 2D 2+E 2-4F 为半径的圆; ②当D 2+E 2-4F =0时,方程只有实数解x =-D 2,y =-E 2,即只表示一个点(-D 2,-E 2); ③当D 2+E 2-4F <0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形. 2、圆的一般方程的特征是:x 2和y 2项的系数 都为1 ,没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了. (二)点与圆的位置关系 . | | | . 当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时,方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 叫做圆的一般方程 . - , - ? 为圆心, 精品文档 用心整理 人教版高中数学必修二 知识点梳理 重点题型(常考知识点 )巩固练习 圆的方程 【学习目标】 1.掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程,能运用 圆的标准方程正确地求出其圆心和半径,解决一些简单的实际问题,并会推导圆的标准方程 2.掌握圆的一般方程的特点,能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径;能用待 定系数法,由已知条件导出圆的方程. 【要点梳理】 【圆的方程 370891 知识要点】 要点一:圆的标准方程 ( x - a)2 + ( y - b )2 = r 2 ,其中 (a ,b )为圆心, r 为半径. 要点诠释: (1)如果圆心在坐标原点,这时 a = 0,b = 0 ,圆的方程就是 x 2 + y 2 = r 2 .有关图形特征与方程的转化: 如:圆心在 x 轴上:b=0;圆与 y 轴相切时: a |= r ;圆与 x 轴相切时:b |= r ;与坐标轴相切时:a |=| b |= r ; 过原点: a 2 + b 2 = r 2 (2)圆的标准方程 ( x - a)2 + ( y - b )2 = r 2 ? 圆心为 (a ,b ),半径为 r ,它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知,确定一个圆的方程,只需要 a 、b 、 r 这三个独立参数,因此,求圆的标准方程常用定义法和待定系数法 要点二:点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为 ( x - a)2 + ( y - b )2 = r 2 ,圆心为 C (a ,b ) ,半径为 r ,则有 (1)若点 M (x ,y 0 0 (2)若点 M (x ,y 0 0 (3)若点 M (x ,y 0 )在圆上 ?| CM |= r ? (x 0 )在圆外 ?| CM |> r ? (x 0 )在圆内 ?| CM |< r ? (x 0 - a )2 + ( y - b )2 = r 2 0 - a )2 + ( y - b )2 > r 2 0 - a )2 + ( y - b )2 < r 2 1 2 要点三:圆的一般方程 D 2 + E 2 - 4 F 为半径. 要点诠释: ? D E ? ? 2 2 ?圆锥曲线基本题型总结
直线与圆题型总结
高中数学--圆的方程知识点题型归纳
高中数学-圆的方程题型总结
圆的方程题型专题总结
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圆的方程知识点总结和典型例题
(完整版)圆的方程知识点总结和典型例题
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