人教版 七年级(下)数学讲义 第五章 相交线与平行线 相交线 (含解析)

第15讲相交线

知识定位

讲解用时：5分钟

A、适用范围：人教版初一，基础一般；

B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，主要学习相交线、垂线及三线八角等知识，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；掌握垂直的定义及性质；理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们．

知识梳理

讲解用时：15分钟

邻补角与对顶角

1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，

那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．

要点诠释：

(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置

相邻，“补”指的是两个角的和为180°．

(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．

(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．

(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；①有一条公共边，另一边互为反向延

长线.

1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．

要点诠释：

(1)记法： 直线a 与b 垂直，记作：；

直线AB 和CD 垂直于点O ，记作：AB①CD 于点O.

(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：

CD①AB ． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．

要点诠释： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． a b ⊥90AOC ∠=°判定性质

1、同位角、内错角、同旁内角的概念

如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD 被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图：（1）同位角：像①1与①5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.（2）内错角：像①3与①5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.

（3）同旁内角：像①3和①6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.

2、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特

课堂精讲精练

【例题1】

平面内有两两相交的4条直线，如果最多有m个交点，最少有n个交点，那么m﹣n=（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】C．

【解析】

解：如图所示：

4条直线两两相交，有3种情况：4条直线经过同一点，有一个交点；3条直线经过同一点，被第4条直线所截，有4个交点；4条直线不经过同一点，有6个交点．

故平面内两两相交的4条直线，最多有6个交点，最少有1个交点；即m=6，n=1，则m﹣n=5．故选：C．

讲解用时：5分钟

解题思路：可根据题意，画出图形，找出交点最多和最少的个数，求m﹣n．教学建议：考查图形变化类，此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．

难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无

【练习1.1】

三条直线两两相交，最少有个交点，最多有个交点．

【答案】1，3．

【解析】

解：如图所示：

两两相交的直线，其最少有1个交点，即三条直线相交于一点；

最多有三个交点，即其构成一个三角形，共三个交点．

故答案为1，3．

讲解用时：5分钟

解题思路：最少的交点个数即其相交于一点，而最多也就能构成一个三角形，即

三个交点．

教学建议：考查相交线，重点是考虑全面，不要漏解．

难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无

【例题2】

如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠COB的角平分线．

（1）图中有几对对顶角，请分别写出来．

（2）当∠BOC=130°时，求∠DOE的度数．

【答案】（1）①AOC与①BOD，①AOD与①BOC；（2）115°

【解析】

解：（1）对顶角有∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC；

（2）由OE是∠COB的角平分线，得∠COE=∠BOC=65°，

由补角的性质，得∠DOE=180°﹣∠COE

=180°﹣65°

=115°

讲解用时：6分钟

解题思路：（1）根据对顶角的定义，可得答案；

（2）根据角平分线的性质，可得∠COD，根据补角的性质，可得答案．教学建议：对顶角是一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线．

难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无

【练习2.1】

直线AB、CD、EF交于点O，则∠1+∠2+∠3=度．

【答案】180

解：如图，∠BOD=∠1，

∵∠2+∠3+∠BOD=180°，

∴∠1+∠2+∠3=180°．

故答案为：180

【解析】

讲解用时：5分钟

解题思路：根据对顶角相等可得∠BOD=∠1，再根据平角的定义解答．

教学建议：考查对顶角相等的性质，平角的定义，重点是能够准确识别出角度.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无

【练习2.2】

两条直线相交于一点，则共有对顶角的对数为（）

A．1对B．2对C．3对D．4对

【答案】B．

【解析】

解：如图所示，∠1与∠2，∠3与∠4都是对顶角，

故两条直线相交于一点，则共有对顶角的对数为2对．

故选：B．

讲解用时：5分钟

解题思路：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．

教学建议：考查对顶角的概念，对顶角成对出现，在相交直线中，对顶角相对于两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．

难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无

【例题3】

若∠A与∠B是对顶角且互补，则它们两边所在的直线（）

A．互相垂直B．互相平行

C．既不垂直也不平行D．不能确定

【答案】A．

【解析】

解：∵∠A与∠B是对顶角，

∴∠A=∠B，

又∵∠A与∠B互补，

∴∠A+∠B=180°，

可求∠A=90°．

故选：A．

讲解用时：6分钟

解题思路：∠A与∠B是对顶角且互补，根据对顶角的性质，判断这两个对顶角相等，且都为90°，因此它们两边所在的直线互相垂直．

教学建议：考查垂线的定义和对顶角的性质．

难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无

【练习3.1】

下列语句中，正确的有

①一条直线的垂线只有一条；

①在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；

①两直线相交，则交点叫垂足；

①互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．

【答案】①①．

【解析】

解：①一条直线的垂线有无数条，故①错；

②正确；③两直线垂直时，交点是垂足，故③错；④正确.

故正确答案是：②④

讲解用时：3分钟

解题思路：根据垂线的定义即可求解．

教学建议：充分理解垂直的定义与性质．

难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无

【练习3.2】

下面四个命题中正确的是（）

A．相等的两个角是对顶角

B．和等于180°的两个角是互为邻补角

C．连接两点的最短线是过这两点的直线

D．两条直线相交所成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直

【答案】C．

【解析】

解：A中，如图1，∠AOC=∠BOC=90°，但∠AOC与∠BOC不是对顶角，故A选项错误．

B中，如图2，a∥b，同旁内角∠1+∠2=180°，但∠1与∠2并非互为邻补角，故B选项错误．

C中，两点之间最短距离是连接这两点的线段，不能表述为过这两点的直线，故C选项错误．

D中正是两条直线互相垂直的定义，故D选项正确．

故选：D．

讲解用时：5分钟

解题思路：对顶角相等，但相等的角并不是对顶角，和等于180°的两个角也可以是同旁内角，连接两点的线段最短，注意叙述时的用词，两条直线互相垂直，则四个角都是直角，相等．

教学建议：考查两点之间线段最短，同时也涉及对顶角、邻补角的定义问题，需要熟练掌握．

难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无

【例题4】

已知∠AOC=146°，OD为∠AOC的平分线，射线OB⊥OA于O，部分图形如图所示，请补全图形，并求∠BOD的度数．

【答案】17°或163°.

【解析】

解：∵OD为∠AOC的平分线，

∴∠AOD=∠AOC=73°，

又∵OB⊥OA，

∠AOB=90°，

①当射线OB在∠AOC的内部时，

∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=17°，

②当射线OB在∠AOC的外部时，

∠BOD=∠AOB+∠AOD=163°

综上，∠BOD为17°或163°

讲解用时：10分钟

解题思路：作出图形，根据角平分线的定义可得∠AOD=∠AOC，再分OB在∠AOC内部时，∠BOD=∠AOB﹣∠AOD，OB在∠AOC外部时，∠BOD=∠AOD+∠AOB分别计算即可得解．

教学建议：考查角的计算，角平分线的定义，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观，更有利于学生的理解.

难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无

【练习4.1】

如图，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，若∠EOC=40°，则∠AOD=．

【答案】130°．

【解析】

解：∵EO⊥AB，

∴∠AOE=90°，

∵∠EOC=40°，

∴∠AOC=90°﹣∠EOC=90°﹣40°=50°，

∴∠AOD=180°﹣∠AOC=180°﹣50°=130°．

故答案为：130°．

讲解用时：5分钟

解题思路：根据垂线的定义可得∠AOE=90°，然后求出∠AOC，再根据邻补角的定义列式计算即可得解．

教学建议：考查垂线的定义，对顶角、邻补角，重点是能根据图形，灵活运用概念解决问题．

难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无

【例题5】

如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．

【答案】

【解析】

解：如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，

在D处开沟，则沟最短．

因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．

讲解用时：5分钟

解题思路：根据点到直线的垂线段距离最短解答．

教学建议：考查垂线的性质在实际生活中的运用

难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无

【练习5.1】

如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线

段的长度，这样测量的依据是．

【答案】BN，垂线段最短．

【解析】

解：他的跳远成绩是线段BN的长度．

故答案为：BN，垂线段最短．

讲解用时：4分钟

解题思路：由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出分析和判断．

教学建议: 考查垂线段最短性质的运用，重点是熟练掌握由点到直线的距离的定义．

难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无

【练习5.2】

如图，计划把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是（）

A．两点之间线段最短

B．垂线段最短

C．过一点只能作一条直线

D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【答案】B．

【解析】

解：计划把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，

这样设计的依据是垂线段最短，

故选：B．

讲解用时：5分钟

解题思路：根据垂线段最短，可得答案．

教学建议: 考查垂线段的性质：垂线段最短.

难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无

【例题6】

如图，A、D是直线l1上两点，B、C是直线l2上两点，且AB⊥BC，CD⊥AD．（1）点A到直线l2的距离是的长；

（2）点A到点B的距离是的长；

（3）点C到直线l1的距离是的长；

（4）点C到点A的距离是的长．

【答案】AB；AB；CD；AC．

【解析】

解：（1）点A到直线l2的距离是AB的长；

（2）点A到点B的距离是AB的长；

（3）点C到直线l1的距离是CD的长；

（4）点C到点A的距离是AC的长；

故答案为：AB；AB；CD；AC．

讲解用时：6分钟

解题思路：（1）根据点A到直线l2的距离是过A向l2作垂线，垂线段AB的长度；（2）连接AB，线段AB的长度就是点A到点B的距离；

（3）点C到直线l1的距离是过C向l1作垂线，垂线段CD的长度；

（4）点C到点A的距离线段AC的长度．

教学建议：考查点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无

【练习6.1】

点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，那么点P到直线l的距离是（）

A．2cm B．小于2cm

C．不大于2cm D．大于2cm，且小于5cm

【答案】C．

【解析】

解：因为垂线段最短，

所以点P到直线l的距离为不大于2cm．

故选：C．

讲解用时：5分钟

解题思路：根据直线外一点到直线的距离即为垂线段的长度和垂线段最短的性质进行求解．

教学建议：考查垂线段最短的性质，此题所给的线段长度中，PA可能是垂线段，也可能不是．

难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无

【练习6.2】

点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上的三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，求点P到直线m的距离．请画图，并阐述．

【答案】当PC⊥m于C点时，点P到直线m的距离PC=2cm，当PC不垂直m

时，P到m的距离小于2cm．

【解析】

解：如图：

当PC⊥m于C点时，点P到直线m的距离PC=2cm，

当PC不垂直m时，P到m的距离小于2cm．

讲解用时：6分钟

解题思路：根据直线外的点与垂足间线段的长是点到直线的距离，可得答案．教学建议：考查点到直线的距离，直线外的点与垂足间线段的长是点到直线的距离．

难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无

【例题7】

如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．

【答案】

内错角：∠1与∠4，∠3与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8；

同旁内角：∠3与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5；

同位角：∠3与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6．

【解析】

解：内错角：∠1与∠4，∠3与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8；

同旁内角：∠3与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5；

同位角：∠3与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6．

讲解用时：8分钟

解题思路：根据两直线被第三条直线所截，所形成的角中，两角在两条直线的中间，第三条直线的两边，可得内错角，根据两角在两直线的中间，第三条直线的同侧，可得同旁内角，两角的位置相同，可得同位角．

教学建议：考查了同位角、内错角，同旁内角，注意同位角、内错角，同旁内角都是相对于角的位置而言．

难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无

【练习7.1】

如图，∠1与∠2是同位角共有对．

【答案】2．

【解析】

解：图①、④∠1与∠2是同位角，共2对，

故答案为：2．

讲解用时：5分钟

解题思路：根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．

教学建议：考查同位角，重点是掌握同位角的边构成“F“形．

难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无

【练习7.2】

如图，直线a，b，c两两相交构成的12个角中，有多少对同位角？有多少对内错角？有多少对同旁内角？请把它们写出来．

【答案】同位角有12对：∠2与∠10，∠3与∠11，∠1与∠9，∠4与∠12，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8，∠1与∠5，∠5与∠10，∠6与∠11，∠7与∠12，∠8与∠9；

内错角有6对：∠3与∠9，∠4与∠10，∠8与∠11，∠7与∠10，∠2与∠8，∠3与∠5；

同旁内角有6对：∠3与∠10，∠4与∠9，∠8与∠10，∠7与∠11，∠3与∠8，∠2与∠5．

【解析】

解：同位角有12对：∠2与∠10，∠3与∠11，∠1与∠9，∠4与∠12，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8，∠1与∠5，∠5与∠10，∠6与∠11，∠7与∠12，∠8与∠9；

内错角有6对：∠3与∠9，∠4与∠10，∠8与∠11，∠7与∠10，∠2与∠8，∠3与∠5；

同旁内角有6对：∠3与∠10，∠4与∠9，∠8与∠10，∠7与∠11，∠3与∠8，∠2与∠5．

讲解用时：8分钟

解题思路：根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧位置的角；内错角是两个角都在两直线的中间，截线的两侧；同旁内角是两个角都在两直线的中间，截线的同旁，可得答案．

教学建议：考查同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，

可直接从截线入手．

难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无

【例题8】

如图，直线AB，CD相交于O点，OM平分∠AOB．

（1）若∠1=∠2，求∠NOD的度数；

（2）若∠BOC=4∠1，求∠AOC与∠MOD的度数．

【答案】（1）90°；（2）60°，150°．

【解析】

解：（1）∵OM平分∠AOB，

∴∠1+∠AOC=90°，

∵∠1=∠2，

∴∠2+∠AOC=90°，

∴∠NOD=180°﹣90°=90°；

（2）∵∠BOC=4∠1，

∴90°+∠1=4∠1，

∴∠1=30°，

∴∠AOC=90°﹣30°=60°，

∠MON=180°﹣30°=150°．

讲解用时：8分钟

解题思路：（1）根据角平分线的性质可得∠1+∠AOC=90°，再利用等量代换可得∠2+∠AOC=90°，利用邻补角互补可得答案；

（2）根据条件可得90°+∠1=4∠1，进而可得求出∠1=30°，从而可得∠AOC的度数，再利用邻补角互补可得∠MOD的度数．

教学建议：考查角平分线和邻补角，重点是理解邻补角互补，并能灵活运用这一性质．

难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无

【练习8.1】

如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．

（1）若∠EOC=80°，求∠BOD的度数；

（2）若∠EOC=∠EOD，求∠BOD的度数．

【答案】（1）40°；（2）45°．

【解析】

解：（1）∵OA平分∠EOC，

∴∠AOC=∠EOC=×80°=40°，

∴∠BOD=∠AOC=40°；

（2）设∠EOC=x，∠EOD=x，根据题意得x+x=180°，解得x=90°，

∴∠EOC=x=90°，

∴∠AOC=∠EOC=×90°=45°，

∴∠BOD=∠AOC=45°．

讲解用时：8分钟

解题思路：（1）根据角平分线定义得到∠AOC=∠EOC=×80°=40°，然后根据对顶角相等得到∠BOD=∠AOC=40°；