热学(李椿+章立源+钱尚武)习题解答_第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
3-1 设有一群粒子按速率分布如下：
试求(1)平均速率V ；（2）方均根速率2
V （3）最可几速率Vp
解：（1）平均速率：
18.32
864200
.5200.4800.3600.2400.12?++++?+?+?+?+?=
V (m/s)
(2) 方均根速率
37.32
2
?∑∑=
i
i i N V N V
(m/s)
3-2 计算300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。
解：s m RT
V P /3951032300
31.8223
=???=
=
-μ
s m RT
V /446103214.3300
31.8883
=????=
=
-πμ
s m RT
V
/4831032300
31.8333
2
=???=
=
-μ
3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K 、1000K 和10000K 。
解：μ
RT
V P 2=
代入数据则分别为：
T=100K 时 s m V P /1028.22?= T=1000K 时 s m V P /1021.72?= T=10000K 时 s m V P /1028.23?=
3-4 某种气体分子在温度T 1时的方均根速率等于温度T 2时的平均速率，求T 2/T 1。
解：因μ
RT
V
32
=
πμ
2
8RT V =
由题意得：
μRT
3πμ
2
8RT =
∴T 2/T 1=8
3π
3-5 求0℃时1.0cm 3氮气中速率在500m/s 到501m/s 之间的分子数（在计算中可
将dv 近似地取为△v=1m/s ）
解：设1.0cm 3氮气中分子数为N ，速率在500~501m/s 之间内的分子数为△N ，
由麦氏速率分布律：
△ N=V V e KT
m N V KT
m
????-2223
2)2(4ππ
∵ V p2= 2KT
m ，代入上式
△N=
V
V V p
p
e V V V
N
?-
-??22
221
4ρπ
因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s ， 又s m V P /40210
28273
31.823
????=
- △V=1m/s （v
v p =1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3N 个
3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s 到3010m/s 之间的分子数△N 1
与速率在1500m/s 到1510m/s 之间的分子数△N 2之比。 解： 取分子速率为V 1=3000m/s V 2=1500m/s, △V 1=△V 2=10m/s
由5题计算过程可得： △V 1=
1
2
12214V V V p p
p
e V V V
N
?-
-??π
△N 2=
2
22
222
14V V V p
p
p
e V V V
N
?-
-??π
∴ △N/△N 2=
2
12
1
)(2
1)(21)()(p
p
p V V V V p e V V e V V --?
其中V P =
33
1018.210
2573
31.82?=???-m/s v 1v p =1.375，v 2
v p
=0.687
∴ 969.0687.0375.12
2
687.02375
.1221???=??--e
e N N 解法2：若考虑△V 1=△V 2=10m/s 比较大，可不用近似法，用积分法求△N 1，
△N 2
dN=
dV
V V V p P
e
V N
22
34--?π
△N 1=???-=1
2
21
V V V V dN dN dN
△N 2=???-=3
443
V V V V dN dN dN
令X i =v i
v p
i=1、2、3、4利用16题结果:
2
2
)([0
i i
x i i V e x x erf N dN --
=?
π
∴ △N 1=]2
)([]2
)([2
12
2112x x i e x x erf N e x x erf N ---
--
π
π
（1）
△N 2=]2
)([]2
)([2
32
43344x x e x x erf N e x x erf N ---
--
π
π
（２）
其中V P =
s m RT
/10182.223?=μ
375.111==
P V V x 379.122==P V V
x 687.033==
P V V x 6722.044==P
V V
x 查误差函数表得：
erf(x 1)=0.9482 erf(x 2)=0.9489 erf(x 3)=0.6687 erf(x 4)=0.6722
将数字代入（１）、（２）计算，再求得：
703.021
=??N N
3-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率： （1） 速率在区间v p ～1.0v p 1内 （2） 速度分量v x 在区间v p ～1.0v p 1内
（3） 速度分量v p 、v p 、v p 同时在区间v p ～1.0v p 1内
解：设气体分子总数为N ，在三种情况下的分子数分别为△N 1、△N 2、△N 3 （1） 由麦氏速率分布律： △ N=???-=1
2
2
1
V V V V dN dN dN
令v 2=1.01v p ，v i =v p ，p i i v v x =，则111==p
v v
x ，01.122==p v v x ，利用16题结果可得；
2122112212
)(2)(x x e x x erf e x x erf N N --+--=?π
π 查误差函数表：erf （x 1）=0.8427 erf （x 2）=0.8468 ∴
008.01
=?N
N （2） 由麦氏速率分布律：
x v v p
x dv e
v N
dN p
x
221-
-=
π
∴x v v v p x v v v p dv e
v N
dv e
v N
N p
x p
x 2
1
2
2
)(
1)(0
12----??-
=
?π
π
)(])(
exp[1
)(])(exp[1
20
20
21
2p
x p x v v p x p x v v v v d v v v v d v v N N p p ?
?
--
-=?π
π
令p x v v x =
， 111==p
v v
x ，01.122==p v v x ∴dx e
dx e
N N x x x x ?-
=
?--?
?
2
1
2
2
21
1π
π
利用误差函数：
dx x xp e x erf x
)(2
)(20
-=
?
π
%21.0]8427.08468.0[2
1
)()([21
122=-=-=?x erf x erf N N （3）令p
x
v v x =
，由麦氏速度分布律得： z y x v v v v p dv dv dv e v N dN p
z
y x ?=++-
-22223
31π
π
8
33230033108.0)002.0()(]
[)1(2
112
2
2---?==?=-=???N
N dx e dx e N N x x x x π
3-8根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以dN/dv 为纵坐标，v 为横坐标，作1摩尔氧气在100K 和400K 时的分子速率分布曲线。 解：由麦氏速率分布律得：
2223
2)2(4v e KT
m
N dv dN v KT m
-=ππ
将π=3.14，N=N A =6.02×1023T=100K m=32×10-3代入上式得到常数：
A=e KT
m
N A 23
)2(4ππ KT m B 2=
∴
22V Ae dv
dN
BV ?=- （1） 为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论：
由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必然在最可几速率处取极大值，极大值为： 令22V Ae dv
dN
y BV ?==
-则 0)]2(2[222=-?+?=--BV e V V e A dv
dy
BV BV 得B
V V P 1=
= 又在V=0时，y=0，V →∞时，y →0 又m
KT B V P 1
1
121==
m
KT B V P 2
2
221
== ∵T 1=100K ＜T 2=400K ∴1P V ＜2P V 由此作出草图
3-9根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值v
1
。
解：V
KT m e m
KT
KT m V KT
m
d V
e m KT KT m VdV
e
KT
m
dv V f V
v KT
mV KT m
KT
mv ππππππππ4
2)()2(4)2()()2(4)2(
4)(110
22
3
220223
22
3022==
?-?=-??-===∞-
∞-∞
-
∞??
?
3-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm 的小圆孔，容器贮有100℃的水银，
容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg 。 （1） 求容器内水银蒸汽分子的平均速率。 （2） 每小时有多少克水银从小孔逸出？
解：（1）
)
/(1098.11020114.3373
31.88823s m RT
V ?=????=
=
-πμ
（2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸
出的分子数为：t s V n N ??=4
1
其中
KT
V
P V n ?
=4141是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，2)2(d s π=是小孔面积，t=3600s ，故t s V KT
P
N ???=41，代入数据得： N=4.05×1019（个） ∴
)
(1035.110
05.41002.610201219
23
3
g N N m N M A
--?=????==
=μ
3-11如图3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分别为p 1、n 1、p 2、n 2。两部分气体的温度相同，都等于T 。摩尔质量也相同，均为μ。试证明：如隔板上有一面积为A 的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为：
)(221P P A RT
M -=
πμ
证明：设p 1＞p 2，通过小孔的分子数相当于和面积为A 的器壁碰撞的分子数。
从1跑到2的分子数：t A V n N ??=11141
从2跑到1的分子数：t A V n N ??=2224
1
实际通过小孔的分子数：（从1转移到2）
)221121(41
V n V n At N N N -=-=?
因t=1秒，KT
P
n =，πμ
RT
V 8=
T 1=T 2=T
∴)
(2)(841)(841212121P P A RT
P P RT
RT
A KT P KT P
RT Am n m M -=
-=
-==
?=πμ
πμ
μπμ
若P 2＞P 1，则M ＜0，表示分子实际是从2向1转移。
3-12 有N 个粒子，其速率分布函数为
)0()(0??==v v C Ndv
dN
v f
)(0)(0v v v f ?=
(1)作速率分布曲线。 (2)由N 和v 0求常数C 。 (3)求粒子的平均速率。
解：（1） )0()(0??=v v C v f )(0)(0v v v f ?= 得速率分布曲线如图示
（2）∵1)(0=?∞
dv v f
∴10)(0
==??∞
v cdv dv v f
即10=cv 0
1v c =
（3）0200
2
121)(v cv dv v vf v ==
=
?
∞
3-13 N 个假想的气体分子，其速率分布如图3-13所示（当v ＞v 0时，粒子数为零）。（1）由N 和V 0求a 。
（2）求速率在1.5V 0到2.0V 0之间的分子数。 （3） 求分子的平均速率。
解：由图得分子的速率分布函数： N
V Va
0 (00V V ??)
N
a
(002V V V ??) f(v)= 0 (02V V ?) (1) ∵dv V Nf dN )(=
∴
a
V aV V V a adv
dV V Va
dV V f N N V
V V 0020020
23
21)(0
=+=
+=
=
?
?
?
∞
32V N
a =
(2) 速率在1.5V 0到2.0V 0之间的分子数
3
3221)5.12()(000025.125.10
N V V N V V a adV
dV V Nf N V V
V V =?=-===
??
?
3-14 证明：麦克斯韦速率分布函数可以写作： )(2x F dx dN =
其中p
v v
x =
m
KT
v p 2= 2
224)(x e x N
x F -?=
π
证明：
dx
x e N
v v d v e
N
dv v e v N dv
v e
KT
m
N dv v Nf dN x p
v p
v v v v p KT mv p
p
2223
23222
3
2
2
22224)(
44)2(4)(--
-
---?=?=??===π
π
ππππ
∴
)(4222x F x e N
dx dN x =??=-π
3-15设气体分子的总数为N ，试证明速度的x 分量大于某一给定值v x 的分子数
为：)](1[2
x erf N
N x v -=?∞∝ （提示：速度的x 分量在0到∞之间的分子数为2
N
）
证明：由于速度的x 分量在区间v x ～v x +dv x 内的分子数为：
x v v p
x dv e
v N
dNv p
x
?=
-
-221π
故在v x ～∞范围内的分子数为：
??
?
-=
=?∞
∞
∞→x x
x
x
x v v x v v V dN dN dN N 0
由题意：
2
N dN x v =
?
∞
x v v v p
v v dv e
v N
dN p
x
x
x
x ?=
-
-?
?
220
10
π
令p
x
v v x =
利用误差函数得：
)(2220
2
x erf N
dx
e N dN x
x v v x
x =
?=
?
?
-π
∴
)](1[2
)
(22x erf N
x erf N N N x V -=
-=∞→
3-16 设气体分子的总数为N ，试证明速率在0到任一给定值v 之间的分子数为：
]2
)([2
0x v e x erf N N -→-
=?π
其中p
v v
x =
，v p 为最可几速率。 [提示：dx e
x dx e
xe d x x x 2
2
2
2
2)(----=]
证明：
dv v v v
e
N
dv v e v N
dv
v e KT
m
N dv
v f N N p
p
v v v
v v v
p v KT m
v
v
v p
p
?=
===?--
-
--→?
???22
10
20322230
0222244)2(4)(π
π
ππ
令p
v v
X =
，则dx v dv p = ∴dx x e N
N x
x v 20
02
4?
-→=
?π
由提示得：])([2
122
2
x xe d dx e dx xe x x x ----=
∴]
2)([)]
([2142
2
20
0x x x x x v e x erf N xe d dx e N
N ---→-=-?=???π
π
3-17 求速度分量v x 大于2 v p 的分子数占总分子数的比率。
解：设总分子数N ，速度分量v x 大于2 v p 的分子数由15题结果得：
)](1[2
2x erf N
N x v -=?∞∝
其中22===
p
p p v v v v x 可直接查误差函数表得：erf （2）=0.9952
也可由误差函数： erf （z ）=
]11!59!47!33!1[2
963??+?''-?-?+?-z z z z z π
将z=2代入计算得：
erf （2）=0.9752 ∴
%24.02
9952
.012=-=
?∞
→N
N p v
3-18 设气体分子的总数为N ，求速率大于某一给定值的分子数，设（1）v=v p
（2）v=2v p ，具体算出结果来。 解：（1）v=v p 时，速率大于v p 的分子数：
???∞
∞
-==?0
1])()([)(v
v
dv v f dv v f N dv v f N N
利用16题结果：
]2
)(1[2
x xe x erf N N -+
-=?π
这里1==
p
v v
x
∴N N N 57.0]41.08427.01[1=+-=? （2）v=2v p 时，2==
p
v v
x ，则速率大于2v p 的分子数为： N e erf N N 046.0]2
2)2(1[42=?+
-=?-π
3-19 求速率大于任一给定值v 的气体分子每秒与单位面积器壁的碰撞次数。
解：由18题结果可得单位体积中速率大于v 的分子数为：
)(],2
)(1[2
V
N n xe
x erf n n x v =
+
-=-∞→π
在垂直x 轴向取器壁面积dA ，则速率大于v 能与dA 相碰的分子，其v x 仍在0～∞间，由《热学》P30例题，每秒与单位面积器壁碰撞的速率大于v 的分子数为：
]2
)(1[414
1
)(20
x v x x x v xe x erf v n n v dv v v f n N -∞→∞
∞→+-==
==
??
π
p
v v
x =
3-20 在图3-20所示的实验装置中，设铋蒸汽的温度为T=827K ，转筒的直径为
D=10cm ，转速为ω=200πl/s ，试求铋原子Bi 和Bi 2分子的沉积点P ′到P 点（正对着狭缝s 3）的距离s ，设铋原子Bi 和Bi 2分子都以平均速率运动。
解：铋蒸汽通过s 3到达P ′处的时间为：
v
D
t =
在此时间里R 转过的弧长为： v
D t D S 2212
ωω=
=
∵209=Bi μ 4182=Bi μ ∴RT
D v
D S Bi
Bi 82
22
2
πμωω=
=
代入数据得：
)(53.182
2
cm RT
D S Bi
Bi ==
πμω
3-21 收音机的起飞前机舱中的压力计批示为1.0atm ，温度为270C ；起飞后压力计指示为0.80atm ，温度仍为27 0C ，试计算飞机距地面的高度。
解：根据等温气压公式： P=P0e - 有In = - ∴ H = - In ?
其中In =In = -0.223，空气的平均分子量u=29. ∴H= 0.223× =2.0×103(m)
3-22 上升到什么高度处大气压强减为地面的75%？设空气的温度为0 0C.
解：由题意知： =0.75 故H = -In ? 代入数据得：H =2.3×103(m)
3-23 设地球大气是等温的，温度为t=5.0 0C,海平面上的气压为P0=750mmHg,令测得某山顶的气压P=590mmHg,求山高。已知空气的平均分子量为28.97.
解：H = - In ? 代入数据得：H=2.0×103(m)
3-24 根据麦克斯韦速度分布律，求气体分子速度分量vx 的平均值，并由此推出气体分子每一个平动自由度所具有的平动能。
解：（1） x=∫∞ -∞vx2f(vx)dv x =2 ∫∞ 0vx2( ) e - vx2dv x
= v -1p ∫∞ 0vx2 e - vx2dv x
查《热学》附录3-1表得：
x= Vp-1( )3/2=
同理可得：
y= x=
(2)分子总的平动能：2= 2=
= m x=
同理得：= =
可见，气体分子的平均动能按自由度均分，都等于KT.
3-25 令ε= mv2表示气体分子的平动能，试根据麦克斯韦速率分布律证明，平动能在区间ε～ε+dε内的分子数占总分子数的比率为：
f(ε)dε= (KT) -3/2ε ?e-ε/KT?dε
根据上式求分子平动能ε的最可几值。
证明：（1）∵f(v)dv =4∏( )3/2?e v2v2dv
= (KT)
-3/2?( v2)1/2?e-mv2/2KT?d( )
∵ε= mv2
故上式可写作：
F(ε)dε= (KT) -3/2?ε ?e -ε/KT?dε
(2) 求ε最可几值即f(ε)为极大值时对应的ε值。
= (KT) -3/2 [ε ?e -ε/KT(- )+e- ? ε- ]
= (KT) -3/2e - ( ε- -ε /KT)=0
∴ε- -ε=0
得: εp = ε=
3-26 温度为27 0C时，一摩尔氧气具有多少平动动能？多少转动动能？
解：氧气为双原子气体，在T=300K下有三个平动自由度，两个转动自由度。
由能均分定理得：
ε= RT = ×8.31×300 = 3.74×103 (J)
= RT = 8.31×300 = 2.49×103(J)
3-27 在室温300K下，一摩托车尔氢和一摩尔氮的内能各是多少？一克氢和一克氮的内能各是多少？
解：U氢= RT =6.23×103(J)
U氮= RT =6.23×103(J)
可见，一摩气体内能只与其自由度（这里t=3,r=2,s=0）和温度有关。
一克氧和一克氮的内能：
U=
∴U氢= = = 3.12×103(J)
U氮= = = 2.23×103(J)
3-28 求常温下质量为M=3.00g 的水蒸气与
M=3.00g的氢气的混合气体的定容比热
解：设Cv1 ‘、Cv2 ‘分别为水蒸气和氢气的定容比热，Cv1 、Cv2分别为水蒸气和氢气的定容摩尔热容量。在常温下可忽略振动自由度，则有：
Cv1= R =3R ∴Cv1’= =
Cv2= R =2.5R Cv2’= =
Cv = =
= ( + )
= 5.9 (J/gK)
3-29 气体分子的质量可以由定容比热算出来，试推导由定容比热计算分子质量的公式。设氩的定容比热Cv = 75Cal?Kg-1?K-1,求氩原子的质量和氩的原子量.
解：（1）一摩尔物质定容热容量为：Cv =ucv,对理想气体来说：
Cv = (t+r+2s)R
分子质量m = = ?
= (t+r+2s)R?
= (t+r+2s) ? (Cv=75cal/kg?k)
(2) 氩是单原子分子，故Cv = R
=3(Cal/mol?K)
故氩的原子量u= = 4.0×
10-2(Kg/mol)
分子质量m= = 6.6×10-26(Kg)
3-30 某种气体的分子由四个原子组成，它们分别处在正四面体的四个顶点：
（1）求这种分子的平动、转动和振动自由度数。
（2）根据能均分定理求这种气体的定容摩尔热容量。
解：（1）因n个原子组成的分子最多有3n 个自由度。其中3个平动自由度，3个转动自由度，3n-1个是振动自由度。这里n=4，故有12个自由度。其中3个平动、个转动自由度，6个振动自由度。
(2) 定容摩尔热容量：
Cv= (t+r+2s)R = ×18×2= 18
（Cal/mol?K）