第二章 拉伸压缩

第2章杆件的拉伸与压缩

轴向拉压是构件的基本受力形式之一，要对其进行分析，首先需要计算内力，在本章介绍了计算内力的基本方法——截面法，然后画内力图。但是仅仅知道内力还不能判断材料是否会发生破坏，因此还必须了解内力在截面上的分布状况，即应力。

为了保证构件的安全工作，需要满足强度条件，根据强度条件可以进行强度校核，也可以选择截面尺寸或者计算容许荷载。

本章还研究了轴向拉压杆的变形计算，目的是分析拉压杆的刚度问题。

2.1 轴向拉伸和压缩的概念

在实际工程中，承受轴向拉伸或压缩的构件是相当多的，例如起吊重物的钢索、桁架中的拉杆和压杆、悬索桥中的拉杆等，这类杆件共同的受力特点是：外力或外力合力的作用线与杆轴线重合；共同的变形特点是：杆件沿着杆轴方向伸长或缩短。这种变形形式就称为轴向拉伸或压缩，这类构件称为拉杆或压杆。图2.1所示的受力与变形的示意图，图中的实线为受力前的形状，虚线则表示变形后的形状。

图2.1 轴向拉压杆件变形示意图

2.2 拉(压)杆的内力计算

2.2.1 轴力的概念

为了进行拉(压)杆的强度计算，必须首先研究杆件横截面上的内力，然后分析横截面上的应力。下面讨论杆件横截面上内力的计算。

为了使同一横截面上的轴力具有相同的正负号，对轴力的符号作如下规定：使杆件产生纵向伸长的轴力为正，称为拉力(tension)；使杆件产生纵向缩短的轴力为负，称为压力(compression)。不难理解，拉力的方向是离开截面的，压力的方向是指向截面的。

图2.2 轴向拉压杆横截面的内力

2.2.2 用截面法求轴力

在上面分析轴力的过程中所采用的方法称为截面法(section method)，它是求内力的一般方法，也是材料力学中的基本方法之一。截面法的基本步骤是：

(1) 在需要求内力的截面处，假想地将杆件截开为两部分。

(2) 任取一部分为研究对象，画出其受力图，注意，要将另一部分对其的作用力(或力偶)加到该研究对象的受力图中。

(3) 利用平衡条件建立平衡方程，求出截面内力。

为了便于由计算结果直接判断内力的实际指向，无论截面上实际内力指向如何，一律先设为正方向，即未知轴力均设为拉力。求出来的结果如果是正值，说明实际指向与所设方向相同，即为拉力；如果求出来的结果是负值，说明实际指向与所设方向相反，即为压力。

2.2.3 轴力图

多次利用截面法，可以求出所有横截面上的内力，一般以与杆件轴线平行的坐标轴表示各横截面的位置，以垂直于该坐标轴的方向表示相应的内力值，这样作出的图形称为轴力图。轴力图能够简洁明了的表示杆件各横截面的轴力大小及方向，它是进行应力、变形、强度、刚度等计算的依据。

下面说明轴力图的绘制方法：选取一坐标系，其横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示相应横截面的轴力，然后根据各段内的轴力的大小与符号，就可绘出表示杆件轴力与截面位置关系的图线，即所谓轴力图。这样从轴力图上不但可以看出各段轴力的大小，而且还可以根据正负号看出各段的变形是拉伸还是压缩。

【例2.1】一等直杆，其受力情况如图2.3所示，试作其轴力图。

图2.3 例2.1图

解：一般来说解题首先应搞清问题种类，由该杆的受力特点可知它是轴向拉压杆，其内力是轴力。下面用截面法求内力。

在AB之间任取一横截面1-1，将杆件分为两部分，取左边部分为研究对象(以右边部分为研究对象也可)，由静力平衡条件列方程

由有

得

在BC之间任取一横截面2-2，截面将杆件分为两部分，取左边部分为研究对象(以右边部分为研究对象也可)，由静力平衡条件列方程

由有

得

在CD之间任取一横截面3-3，截面将杆件分为两部分，取左边部分为研究对象(以右边部分为研究对象也可)，由静力平衡条件列方程

由有

得

根据AB、BC、CD段内轴力的大小和符号，画出轴力图，如图2.4所示。

注意，画轴力图时一般应与受力图对正，当杆件水平放置或倾斜放置时，正值应画在与杆件轴线平行的横坐标轴的上方或斜上方，而负值则画在下方或斜下方，并且标出正负号。当杆件竖直放置时，正负值可分别画在不同侧并标出正负号；轴力图上应该标明所有横截面的内力值，可以适当地画一些纵标线，纵标线必须垂直于坐标轴；旁边应标明内力图的名称。熟练以后可以不必画各隔离体的受力图。

图2.4 例2.1图

2.3.3 应力集中的概念

前面所介绍的应力计算公式适用于等截面的直杆，对于横截面平缓变化的拉压杆按该公式计算应力在工程实际中一般是允许的；然而在实际工程中某些构件常有切口、圆孔、沟槽等几何形状发生突然改变的情况。试验和理论分析表明，此时横截面上的应力不再是均匀分布，而是在局部范围内急剧增大，这种现象称为应力集中(stress concentration)。

2.3 胡克定律

杆件在轴向拉伸或压缩时，其轴线方向的尺寸和横向尺寸将发生改变。杆件沿轴线方向的变形称为纵向变形，杆件沿垂直于轴线方向的变形称为横向变形。

设一等直杆的原长为l，横截面面积为A，如图2.5所示。在轴向拉力P的作用下，杆件的长度由l变为l1，其纵向伸长量为

Δl=l1-l

图2.5 轴向伸长变形示意图

Δl称为绝对伸长，它只反映总变形量，无法说明杆的变形程度。将Δl除以l得杆件纵向正应变为

(2.5)当材料应力不超过某一限值σ (以后将会讲到，这个应力值称为材料的“比例极限”)时，应力与应变成正比，即

σ=Eε(2.6)

这就是胡克定律，是根据著名的英国科学家Robert Hooke命名的。公式(2.6)中的E是弹性模量，也称为杨氏模量，根据另一位英国科学家Thomas Young命名的，由于ε是无量纲量，故E的量纲与σ相同，常用单位为GPa（109Pa），E随材料的不同而不同，对于各项同性材料它均与方向无关。公式(2.5)、(2.6)同样适用于轴向压缩的情况。

将公式(2.1)和(2.6)代入公式(2.5)，可得胡克定律的另一种表达式为

(2.7)

由该式可以看出，若杆长及外力不变， EA值越大，则变形Δl越小，因此，EA反映杆件抵抗拉伸(或压缩)变形的能力，称为杆件的抗拉(抗压)刚度。

公式(2.7)也适用于轴向压缩的情况，应用时N为压力，是负值，伸长量Δl算出来是负值，也就是杆件缩短了。

设拉杆变形前的横向尺寸分别为a和b，变形后的尺寸分别为a1和b1(图2.5)，则

由试验可知，二横向正应变相等，故

(2.8)

试验结果表明，当应力不超过材料的比例极限时，横向正应变与纵向正应变之比的绝对值为一常数，该常

数称为泊松比，用μ来表示，它是一个无量纲的量,可表示为

(2.9)或 (2.10)

公式(2.9)、(2.10)同样适用于轴向压缩的情况。和弹性模量E一样，泊松比μ也是材料的弹性常数，随材料的不同而不同，由试验测定。对于绝大多数各向同性材料，μ介于0到0.5之间。几种常用材料的E和μ值，列于表2-1中。

表2-1 材料的弹性模量和泊松比

【例2.2】图2.6(a)所示一简易托架，尺寸如图所示，杆件的横截面面积分别为，

，两杆的弹性模量E=200GPa，P=60kN，试求B点的位移。

图2.6 例2.4图

解 (1)计算各杆的内力截断BC和BD两杆，以结点B为研究对象，设BC杆的轴力为，BD杆的轴力为，如图2.12(b)所示。根据静力平衡方程计算得

(2) 计算B点的位移，由公式(2.7)可求出BC杆的伸长量为

BD杆的变形量为

计算出的结果为负值说明杆件是缩短的。

假想把托架从结点B拆开，那么BC杆伸长变形后成为B1C，BD杆压缩变形后成B2D，分别以C点和D点为圆心，以CB和DB 为半径作弧相交于B 处，该点即为托架变形后B点的位置。由于是小变形，BB1和BB2是两段极短的弧，因而可分别用BC和BD的垂线来代替，两垂线的交点为B3，BB3即为B点的位移。这种作图法称为“切线代圆弧”法。

现用解析法计算位移。为了清楚起见，可将多边形BB1B3B2放大，如图2.6(c)所示。由图可知：

B点的水平位移和垂直位移分别为

B点的总位移为

与结构原尺寸相比很小的变形称为小变形。在小变形的条件下，一般按结构的原有几何形状与尺寸计算支座反力和内力，并可以采用上述用切线代替圆弧的方法确定位移，从而大大简化计算。在以后的学习中也有很多地方利用它来简化计算。

2.4 强度条件与截面设计的基本概念

2.4.1 许用应力

由材料的拉伸或压缩试验可知：脆性材料的应力达到强度极限σb时，会发生断裂；塑性材料的应力达到屈服极限σs (或σb)时，会发生显著的塑性变形。断裂当然是不容许的，但是构件发生较大的变形一般也是不容许的，因此，断裂是破坏的形式，屈服或出现较大变形也是破坏的一种形式。材料破坏时的应力称为极限应力，

用表示。塑性材料通常以屈服应力σs作为极限应力，脆性材料以强度极限σb作为极限应力。

根据分析计算所得构件的应力称为工作应力。为了保证构件有足够的强度，要求构件的工作应力必须小于材料的极限应力。由于分析计算时采取了一些简化措施，作用在构件上的外力估计不一定准确，而且实际材料的性质与标准试样可能存在差异等因素可能使构件的实际工作条件偏于不安全，因此，为了有一定的强度储备，在强度计算中，引进一个安全系数n，设定了构件工作时的最大容许值，即许用应力，用[σ]表示

(2.14)

式中是一个大于1的系数，因此许用应力低于极限应力。

确定安全系数时，应考虑材质的均匀性、构件的重要性、工作条件及载荷估计的准确性等。在建筑结构设计中倾向于根据构件材料和具体工作条件，并结合过去制造同类构件的实践经验和当前的技术水平，规定不同的安全系数。对于各种材料在不同工作条件下的安全系数和许用应力，设计手册或规范中有具体规定。一般在常温、静载下，对塑性材料取n ＝1.5～2.2，对脆性材料一般取n =3.0～5.0甚至更大。 2.4.2 强度条件

为了保证构件在工作时不至于因强度不够而破坏，要求构件的最大工作应力不超过材料的许用应力，于是得到强度条件为

σ

max

≤[σ] (2.15)

对于轴向拉伸和压缩的等直杆，强度条件可以表示为

]

[Nmax

max σσ≤=

A

F (2.16)

式中：σmax

——杆件横截面上的最大正应力，N max ——杆件的最大轴力，A ——横截面面积，[σ]——材料的许用

应力。

如对截面变化的拉(压)杆件(如阶梯形杆)，最大应力不仅应考虑到轴力为最大值的截面，还应考虑在横截面面积最小的截面，因此需要求出每一段内的正应力，找出最大值，再应用强度条件。 根据强度条件，可以解决以下几类强度问题。

(1) 强度校核 若已知拉压杆的截面尺寸、荷载大小以及材料的许用应力，即可用公式(2.16)验算不等式是否成立，进而确定强度是否足够，即工作时是否安全。

(2) 设计截面 若已知拉压杆承受的荷载和材料的许用应力，则强度条件变成

≥

(2.17)

以确定构件所需要的横截面面积的最小值

(3) 确定承载能力 若已知拉压杆的截面尺寸和材料的许用应力，则强度条件变成

N max ≤A[σ] (2.18)

以确定构件所能承受的最大轴力，再确定构件能承担的许可荷载。 最后还应指出，如果最大工作应力σmax

略微大于许用应力，即一般不超过许用应力的5%，在工程上仍然被认

为是允许的。

【例2.3】 用绳索起吊钢筋混凝土管，如图2.24(a)所示，管子的重量W=10KN ，绳索的直径d=40mm ，容许应力[σ]=10MPa ，试校核绳索的强度。

(a) (b)

图2.7 例2.3图

解：1) 计算绳索的轴力

以混凝土管为研究对象，画出其受力图如图2.7(b)所示，根据对称性易知左右两段绳索轴力相等，记为N 1，根据静力平衡方程有

计算得

2) 校核强度

故绳索满足强度条件，能够安全工作。

【例2.4】例2.4所示结构(图2.6(a))中，若BC杆为圆截面钢杆，其直径d=18.5mm，BD杆为8号槽钢，两杆的[σ]=160MPa，其它条件不变，试校核该托架的强度。

解 1)计算各杆的内力

由例2.4的结果有

2) 校核两杆的强度

对于BC杆，其横截面面积为，利用公式(2.1)，则该杆的工作应力为

工作应力大于许用应力，但是其增大幅度并不大

由于在工程上增幅在5%以内被认为是允许的，所以强度符合要求。

对于BD杆，由型钢表查得其横截面面积为10.24cm2，则杆的工作应力

计算结果表明，托架的强度是足够的。

【例2.7】图2.8(a)为简易起重设备的示意图，杆AB和BC均为圆截面钢杆，直径均为d=36mm，钢的许用应力[σ]=170MPa，试确定吊车的最大许可起重量[W]。

解：1) 计算AB、BC杆的轴力

设AB杆的轴力为N1，BC杆的轴力为N2，根据结点B的平衡(图2.25b)，有

解得

上式表明，AB杆受拉伸，BC杆受压缩。在强度计算时，可取绝对值。

(2) 求许可载荷

由公式(2.18)可知，当AB杆达到许用应力时

≤

得

≤

当BC杆达到许用应力时

≤

得

≤

两者之间取小值，因此该吊车的最大许可载荷为[W]=86.5KN。

(a) (b)

图2.8 例2.7图

第二章轴向拉伸与压缩练习题

第二章 轴向拉伸与压缩练习题 一．单项选择题 1、在轴向拉伸或压缩杆件上正应力为零的截面是（ ） A 、横截面 B 、与轴线成一定交角的斜截面 C 、沿轴线的截面 D 、不存在的 2、一圆杆受拉，在其弹性变形范围内，将直径增加一倍，则杆的相对变形将变为原来的（ ）倍。 A 、41； B 、21 ； C 、1； D 、2 3、由两杆铰接而成的三角架（如图所示），杆的横截面面积为A ，弹性模量为E ，当在节点C 处受到铅垂载荷P 作用时，铅垂杆AC 和斜杆BC 的变形应分别为（ ） A 、EA Pl ,EA Pl 34； B 、0, EA Pl ； C 、EA Pl 2,EA Pl 3 D 、EA Pl ,0 4、几何尺寸相同的两根杆件，其弹性模量分别为E1=180Gpa,E2=60 Gpa,在弹性变形的范围内两者的轴力相同，这时产生的应变的比值21 εε　应力为（ ） A 、31 B 、1； C 、2； D 、3 5、所有脆性材料，它与塑性材料相比，其拉伸力学性能的最大特点是（ ）。 A 、强度低，对应力集中不敏感； B 、相同拉力作用下变形小； C 、断裂前几乎没有塑性变形； D 、应力-应变关系严格遵循胡克定律 6、构件具有足够的抵抗破坏的能力，我们就说构件具有足够的( ) A 、刚度， B 、稳定性， C 、硬度， D 、强度。 7、构件具有足够的抵抗变形的能力，我们就说构件具有足够的( ) A 、强度， B 、稳定性， C 、刚度， D 、硬度。 8、单位面积上的内力称之为( ) A 、正应力， B 、应力， C 、拉应力， D 、压应力。

9、与截面垂直的应力称之为( ) A、正应力， B、拉应力， C、压应力， D、切应力。 10、轴向拉伸和压缩时，杆件横截面上产生的应力为( ) A、正应力， B、拉应力， C、压应力， D、切应力。 二、填空题 1、杆件轴向拉伸或压缩时，其受力特点是：作用于杆件外力的合力的作用线与杆件轴线相________。 2、轴向拉伸或压缩杆件的轴力垂直于杆件横截面，并通过截面________。 3、杆件轴向拉伸或压缩时,其横截面上的正应力是________分布的。 4、胡克定律的应力适用范围若更精确地讲则就是应力不超过材料的________极限。 5、杆件的弹必模量E表征了杆件材料抵抗弹性变形的能力，这说明杆件材料的弹性模量E值越大，其变形就越________。 6、在国际单位制中，弹性模量E的单位为________。 7、在应力不超过材料比例极限的范围内，若杆的抗拉（或抗压）刚度越________，则变形就越小。 8、为了保证构件安全，可靠地工作在工程设计时通常把________应力作为构件实际工作应力的最高限度。 9、安全系数取值大于1的目的是为了使工程构件具有足够的________储备。 10、设计构件时，若片面地强调安全而采用过大的________，则不仅浪费材料而且会使所设计的结构物笨重。 11、正方形截而的低碳钢直拉杆，其轴向向拉力3600N，若许用应力为100Mpa，由此拉杆横截面边长至少应为________mm。 12、轴力是指通过横截面形心垂直于横截面作用的内力，而求轴力的基本方法是_______________。 13、在低碳钢拉伸曲线中，其变形破坏全过程可分为______个变形阶段，它们依次

第二章拉伸与压缩

第二章 拉伸与压缩 一、是非题 2-1 、当作用于杆件两端的一对外力等值反向共线时则杆件产生轴向拉伸或压缩变形。（ ） 2-2 、关于轴力有下列几种说法： 1、轴力是作用于杆件轴线上的载荷（ ） 2、轴力是轴向拉伸或压缩时杆件横截面上分布内力系的合力（ ） 3、轴力的大小与杆件的横截面面积有关（ ） 4、轴力的大小与杆件的材料无关（ ） 2-3、 同一材料制成的阶梯杆及其受力如图2-1CD 段的横截面面积为ABC 和DE 段均为2A 分别用和表示截面上的轴力和正应力则有 1、轴力321N N N F F F >> 。（ ） 2、正应力1σ>2σ>3σ。（ ） 2-4、 轴力越大，杆件越容易拉断，因此轴力的大小可以用来判断杆件的强度。（ ） 2-5 、一轴向拉伸的钢杆材料弹性模量E=200GP a ，比例极限p σ=200MP a ，今测得其轴向线应变ε=0.0015，则由胡克定律得其应力εσE ==300MP a 。（ ） 2-6 、关于材料的弹性模量E ，有下列几种说法： 1、E 的量纲与应力的量纲相同。（ ） 2、E 表示弹性变形能力的大小。（ ） 3、各种牌号钢材的E 值相差不大。（ ） 4、橡皮的E 比钢材的E 值要大。（ ） 5、从某材料制成的轴向拉伸试样，测的应力和相应的应变，即可求的其σ=E 。（ ） 2-7 、关于横向变形系数（泊松比）μ，有下列几种说法： 1、为杆件轴向拉、压时，横向应变ε'与纵向应变ε之比的绝对值。（ ） 2、 μ值越大，其横向变形能力越差。（ ） 3、各种材料的μ值都满足：0<μ≤0.5。（ ） 2-8、 受轴向拉、压的等直杆，若其总伸长为零，则有 1、杆内各处的应变必为零。（ ） 2、杆内各点的位移必为零。（ ） 3、杆内各点的正应力必为零。（ ） 4、杆的轴力图面积代数和必为零。（ ） 2-9、 打入土内的木桩如图2-2沿轴线单位长度的摩擦力2 ky f =（k 为常数），木桩横截面面积为A 弹性 模量为E 则木桩总变形的计算式为()()EA pl EA ky y p EA dy y N l l l 40 2 = ?-= = ?? ? 。（ ） 2-10、 空心圆截面在弹性范围内进行压缩试验时，其外径增大，内径减小。所以在同一截面上，内、外径处的径向线应变是反号的。（ ） 2-11、 图2-3示均质圆杆在自重作用下，若以mn V 和mn U 表示任意两横截面m －m 和n

第二章 轴向拉伸与压缩

第二章轴向拉伸与压缩(王永廉《材料力学》作业参考答案（第1-29题）) 2012-02-26 00:02:20| 分类：材料力学参答|字号订阅 第二章轴向拉伸与压缩（第1-29题） 习题2-1试绘制如图2-6所示各杆的轴力图。 图2-6 解：由截面法，作出各杆轴力图如图2-7所示 图2-7 习题2-2 试计算图2-8所示结构中BC杆的轴力。 图2-8 a） 解：（a）计算图2-8a中BC杆轴力

截取图示研究对象并作受力图，由∑M D=0，即得BC杆轴力 =25KN（拉） （b）计算图2-8 b中BC杆轴力 图2-8b 截取图示研究对象并作受力图，由∑MA=0，即得BC杆轴力 =20KN（压） 习题2-3在图2-8a中，若杆为直径的圆截面杆，试计算杆横截面上的正应力。解：杆轴力在习题2-2中已求出，由公式（2-1）即得杆横截面上的正应力 （拉） 习题2-5图2-10所示钢板受到的轴向拉力，板上有三个对称分布的铆钉圆孔，已知钢板厚度为、宽度为，铆钉孔的直径为，试求钢板危险横截面上的应力（不考虑铆钉孔引起的应力集中）。

解：开孔截面为危险截面，其截面面积 由公式（2-1）即得钢板危险横截面上的应力 （拉） 习题2-6如图2-11a所示，木杆由两段粘结而成。已知杆的横截面面积A=1000 ，粘结面的方位角θ=45，杆所承受的轴向拉力F=10KN。试计算粘结面上的正应力和切应力，并作图表示出应力的方向。 解：（1）计算横截面上的应力 = = 10MPa （2）计算粘结面上的应力 由式（2-2）、式（2-3），得粘结面上的正应力、切应力分别为 45=cos245,=5 MPa 45= sin（2*45。）=5MPa 其方向如图2-11b所示 习题2-8 如图2-8所示，等直杆的横截面积A=40mm2,弹性模量E=200GPa，所受轴向载荷F1=1kN，F2=3kN，试计算杆内的最大正应力与杆的轴向变形。 解：（1）由截面法作出轴力图

第二章 轴向拉伸和压缩

第二章 轴向拉伸和压缩 2.1 若将图（a ）中的P 力由D 截面移到C 截面（图b ），则有（ ）。 （A ）整个杆的轴力都不变化 （B ）AB 段的轴力不变，BC 段、CD 段的轴力变为零 （C ）AB 、BC 段轴力不变，CD 段轴 力变为零 （D ）A 端的约束反力发生变化 （注：分别画出a 图和b 图的轴力图） 2.2在下列各杆中，n -n 横截面面积均为A 。n -n 横截面上各点正应力均匀分布， 且为P σ=的是（ ）。 （A ） （B ） （C ） （D ） 图2.2 2.3受轴向外力作用的等直杆如图所示，其m -m 横截面上的轴力为（ ）。 （A ）P （B ）-P （C ）2 P （D ）3 P 图2.3 a a a 2.4横截面面积为A ，长度为l ，材料比重为γ的立柱受力如图所示。若考虑材料的自重，则立柱的轴力图是（ ）。 图2.1 (b) (a)图2.4 ( D ) ( C ) ( B )( A ) P+γAl P+γAl P+γAl P-γAl P P P

2.5等直杆两端受轴向荷载作 用，其横截面面积为A ，则n -n 斜截面上的正应力和剪应力为（ ）。 （A ）2cos 30P A σ=? ， sin 602P A τ=? （B ）2cos (30)P A σ=-? ，sin(60)2P A τ=-? （C ） 2cos 60P A σ=? ，sin1202P A τ=? （D ）2cos (60)P A σ=-? ，sin(120)2P A τ=-? 2.6图示等直杆各段的抗拉（压）刚度相同，则变形量最大的为（ ）。 （A ）AB 段 （B ）BC 段 （C ）CD 段 （D ）三段变形量相等 2.7图示杆件的横截面面积为A ，弹性模量 为E ，则AB 、BC 段的变形分别为 AB l ?= ，BC l ?= 。A 、B 截面的位移分别为A δ= ， B δ= 。 2.8变截面钢杆受力如图所示。已知P 1=20kN ，P 2=40kN ，l 1=300mm ，l 2=500mm ，横截面面积A 1=100mm 2，A 2=200mm 2，弹性模量E =200GPa 。 （1）杆件的总变形量。（注：写计算过程） （2）C 截面的位移是（ ）。 （A ）10.3mm C l δ=?= （B ）120.55mm()C l l δ=?-?=→ （C ）120.05mm()C l l δ=?+?=→ （D ）0C δ= 2.9图示结构中，杆1的材料是钢，E 1=206GPa ；杆 的材料是铝，E 2=70GPa 。已知两杆的横截面面积相等，则在P 力作用下，节点A （ ）。 （A ）向左下方移动 （B ）向右下方移动 （C ）沿铅垂方向向下移动 （D ）水平向右移动 图2.5a a a 图2.6图2.7 图2.8 图2.9

轴向拉伸和压缩习题集及讲解

第二章 轴向拉伸和压缩 第一节 轴向拉压杆的内力 1.1 工程实际中的轴向受拉杆和轴向受压杆 在工程实际中，经常有承受轴向拉伸荷载或轴向压缩荷载的等直杆。例如图2-1a 所示桁架的竖杆、斜杆和上、下弦杆，图2-1b 所示起重机构架的各杆及起吊重物的钢索，图2-1c 所示的钢筋混凝土电杆上支承架空电缆的横担结构，BC 、AB 杆，此外，千斤顶的螺杆，连接气缸的螺栓及活塞连杆等都是轴间拉压杆。 钢木组合桁架 d 起重机 图 工程实际中的轴向受拉（压）杆 1.2 轴向拉压杆的内力——轴力和轴力图 b c x 图用截面法求杆的内力

为设计轴向拉压杆，需首先研究杆件的内力，为了显示杆中存在的内力和计算其大小，我们采用在上章中介绍过的截面法。（如图2-2a ）所示等直杆，假想地用一截面m -m 将杆分割为I 和II 两部分。取其中的任一部分（例如I ）为脱离体，并将另一部分（例如II ）对脱离体部分的作用，用在截开面上的内力的合力N 来代替（图2-2b ），则可由静力学平衡条件： 0 0X N P =-=∑ 求得内力N P = 同样，若以部分II 为脱离体（图2-2c ），也可求得代表部分I 对部分II 作用的内力为N ＝P ，它与代表部分II 对部分I 的作用的内力等值而反向，因内力N 的作用线通过截面形心 即沿杆轴线作用，故称为轴力．．。 轴力量纲为［力］，在国际单位制中常用的单位是N （牛）或kN （千牛）。 为区别拉伸和压缩，并使同一截面内力符号一致，我们规定：轴力的指向离开截面时为正号轴力；指向朝向截面时为负号轴力。即拉力符号为正，压力符号为负。据此规定，图2-2所示m-m 截面的轴力无论取左脱离体还是右脱离体，其符号均为正。 1.3 轴力图 当杆受多个轴向外力作用时，杆不同截面上的轴力各不相同。为了形象表示轴力沿杆轴线的变化情况，以便于对杆进行强度计算，需要作出轴力图，通常用平行于杆轴线的坐标表示截面位置，用垂直杆轴线的坐标表示截面上轴力大小，从而给出表示轴力沿截面位置关系的图例，即为轴力图．．． 。 下面用例题说明轴力的计算与轴力图的作法。 例题2-1：变截面杆受力情况如图2-3所示，试求杆各段轴力并作轴力图。 解：（1）先求支反力 固定端只有水平反力，设为X A ，由整个杆平衡条件 0X =∑，－X A +5－3+2＝0，X A ＝5+2－3＝4kN （2）求杆各段轴力 力作用点为分段的交界点，该题应分成AB 、BD 和DE 三段。在AB 段内用任一横截面1-1将杆截开后，研究左段杆的平衡。在截面上假设轴力N 1为拉力（如图2-3(b )）。由平衡条件 0X =∑得 N 1－X A ＝0，N 1＝4kN 。结果为正，说明原假设拉力是正确的。 x x x 1X X X A N 2N 2kN N 图2-3 例题2-1图 c b e

第二章 拉伸压缩

第2章杆件的拉伸与压缩 轴向拉压是构件的基本受力形式之一，要对其进行分析，首先需要计算内力，在本章介绍了计算内力的基本方法——截面法，然后画内力图。但是仅仅知道内力还不能判断材料是否会发生破坏，因此还必须了解内力在截面上的分布状况，即应力。 为了保证构件的安全工作，需要满足强度条件，根据强度条件可以进行强度校核，也可以选择截面尺寸或者计算容许荷载。 本章还研究了轴向拉压杆的变形计算，目的是分析拉压杆的刚度问题。 2.1 轴向拉伸和压缩的概念 在实际工程中，承受轴向拉伸或压缩的构件是相当多的，例如起吊重物的钢索、桁架中的拉杆和压杆、悬索桥中的拉杆等，这类杆件共同的受力特点是：外力或外力合力的作用线与杆轴线重合；共同的变形特点是：杆件沿着杆轴方向伸长或缩短。这种变形形式就称为轴向拉伸或压缩，这类构件称为拉杆或压杆。图2.1所示的受力与变形的示意图，图中的实线为受力前的形状，虚线则表示变形后的形状。 图2.1 轴向拉压杆件变形示意图 2.2 拉(压)杆的内力计算 2.2.1 轴力的概念 为了进行拉(压)杆的强度计算，必须首先研究杆件横截面上的内力，然后分析横截面上的应力。下面讨论杆件横截面上内力的计算。 为了使同一横截面上的轴力具有相同的正负号，对轴力的符号作如下规定：使杆件产生纵向伸长的轴力为正，称为拉力(tension)；使杆件产生纵向缩短的轴力为负，称为压力(compression)。不难理解，拉力的方向是离开截面的，压力的方向是指向截面的。 图2.2 轴向拉压杆横截面的内力 2.2.2 用截面法求轴力 在上面分析轴力的过程中所采用的方法称为截面法(section method)，它是求内力的一般方法，也是材料力学中的基本方法之一。截面法的基本步骤是： (1) 在需要求内力的截面处，假想地将杆件截开为两部分。 (2) 任取一部分为研究对象，画出其受力图，注意，要将另一部分对其的作用力(或力偶)加到该研究对象的受力图中。 (3) 利用平衡条件建立平衡方程，求出截面内力。