一、等差数列选择题
1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,31567a a a +=+,则23S =( )
A .121
B .161
C .141
D .151
2.等差数列{}n a 的公差为2,若248,,a a a 成等比数列,则9S =( ) A .72
B .90
C .36
D .45
3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列判断错误的是( ) A .S 5,S 10-S 5,S 15-S 10必成等差数列 B .S 2,S 4-S 2,S 6-S 4必成等差数列 C .S 5,S 10,S 15+S 10有可能是等差数列
D .S 2,S 4+S 2,S 6+S 4必成等差数列
4.数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =,则通项公式是( ) A .32n -
B .
3
22
n - C .
3122
n - D .
31
22
n + 5.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作,它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一部,部七十六岁,二十部为一遂,遂千百五二十岁”.现恰有30人,他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520),其中年长者年龄介于90至100,其余29人的年龄依次相差一岁,则最年轻者的年龄为( ) A .32
B .33
C .34
D .35
6.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()
12n n n S +=,则数列11n n a a +??????
的前10项的和为
( ) A .
89
B .
910
C .10
11
D .
1112
7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,10a <且11101921
a a =,则当n S 取最小值时,n 的值为( ) A .21
B .20
C .19
D .19或20
8.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列,且1109a a a +=,则129
10
a a a a ++???+=
( ) A .278
B .
52
C .3
D .49.题目文件丢失!
10.已知等差数列{}n a 满足48a =,6711a a +=,则2a =( ) A .10
B .9
C .8
D .7
11.已知{}n a 为等差数列,n S 是其前n 项和,且100S =,下列式子正确的是( )
A .450a a +=
B .560a a +=
C .670a a +=
D .890a a +=
12.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足:21<
B .21m +
C .22m +
D .23m +
13.设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237
n n S n T n =+,则6
3a b 的值为
( ) A .
5
11
B .38
C .1
D .2
14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且71124a a -=,则5S =( ) A .15
B .20
C .25
D .30
15.已知等差数列{}n a 的公差d 为正数,()()111,211,
n n n a a a tn a t +=+=+为常数,则
n a =( )
A .21n -
B .43n -
C .54n -
D .n 16.设等差数列{}n a 的公差d ≠0,前n 项和为n S ,若425S a =,则9
9
S a =( ) A .9
B .5
C .1
D .
59
17.已知数列{}n a 的前n 项和()2
*
n S n n N =∈,则{}n
a 的通项公式为( )
A .2n a n =
B .21n a n =-
C .32n a n =-
D .1,1
2,2
n n a n n =?=?
≥?
18.等差数列{}n a 中,若26a =,43a =,则5a =( ) A .
32
B .
92
C .2
D .9
19.数学著作《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),问物几何?”现将1到2020共2020个整数中,同时满足“三三数之剩二,五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{},n a 则该数列共有( ) A .132项
B .133项
C .134项
D .135项
20.已知等差数列{}n a 中,前n 项和2
15n S n n =-,则使n S 有最小值的n 是( )
A .7
B .8
C .7或8
D .9
二、多选题
21.斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为(){}
F n ,则(){}
F n 的通项公式为( )
A .(1)1()2
n n
F n -+=
B .()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==
C .(
)n n
F n ???=-?????? D .(
)1122n n F n ?????=+ ??????
22.已知数列{}n a 满足0n a >,
121
n n n a n
a a n +=+-(N n *∈),数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )
A .11a =
B .121a a =
C .201920202019S a =
D .201920202019S a >
23.若不等式1
(1)(1)2n n
a n
+--<+对于任意正整数n 恒成立,则实数a 的可能取值为( ) A .2- B .1- C .1 D .2
24.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =,46a =,则( ) A .2
3n S n n =- B .2392
-=n n n
S
C .36n a n =-
D .2n a n =
25.{} n a 是等差数列,公差为d ,前项和为n S ,若56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d <
B .70a =
C .95S S >
D .170S <
26.设d 为正项等差数列{}n a 的公差,若0d >,32a =,则( ) A .244a a ?<
B .22
415
4
a a +≥
C .15
11
1a a +> D .1524a a a a ?>?
27.等差数列{}n a 的首项10a >,设其前n 项和为{}n S ,且611S S =,则( ) A .0d > B .0d <
C .80a =
D .n S 的最大值是8
S 或者9S
28.数列{}n a 满足11,121
n
n n a a a a +=
=+,则下列说法正确的是( ) A .数列1n a ??
????是等差数列
B .数列1n a ??????
的前n 项和2
n S n =
C .数列{}n a 的通项公式为21n a n =-
D .数列{}n a 为递减数列
29.(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则下列命题正确的是( )
A .若59S S =,则必有14S =0
B .若59S S =,则必有7S 是n S 中最大的项
C .若67S S >,则必有78S S >
D .若67S S >,则必有56S S >
30.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题,其中的真命题为( ). A .数列{}n a 是递增数列 B .数列{}n na 是递增数列 C .数列{
}n
a n
是递增数列 D .数列{}3n a nd +是递增数列
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一、等差数列选择题 1.B 【分析】
由条件可得127a =,然后231223S a =,算出即可. 【详解】
因为31567a a a +=+,所以15637a a a =-+,所以1537a d =+,所以1537a d -=,即
127a =
所以231223161S a == 故选:B 2.B 【分析】
由题意结合248,,a a a 成等比数列,有2
444(4)(8)a a a =-+即可得4a ,进而得到1a 、n a ,即可求9S . 【详解】
由题意知:244a a =-,848a a =+,又248,,a a a 成等比数列,
∴2
444(4)(8)a a a =-+,解之得48a =,
∴143862a a d =-=-=,则1(1)2n a a n d n =+-=,
∴99(229)
902
S ?+?=
=,
故选:B 【点睛】
思路点睛:由其中三项成等比数列,利用等比中项性质求项,进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比,即2
k m n a a a =; 2、等差数列前n 项和公式1()
2
n n n a a S +=的应用. 3.D 【分析】
根据等差数列的性质,可判定A 、B 正确;当首项与公差均为0时,可判定C 正确;当首项为1与公差1时,可判定D 错误. 【详解】
由题意,数列{}n a 为等差数列,n S 为前n 项和,
根据等差数列的性质,可得而51051510,,S S S S S --,和24264,,S S S S S --构成等差数列,所以,所以A ,B 正确;
当首项与公差均为0时,5101510,,S S S S +是等差数列,所以C 正确;
当首项为1与公差1时,此时2426102,31,86S S S S S =+=+=,此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列,所以D 错误. 故选:D. 4.C 【分析】
根据题中条件,求出等差数列的公差,进而可得其通项公式. 【详解】
因为数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =, 则公差为313
22
a a d -=
=, 因此通项公式为()331
11222
n a n n =+-=-. 故选:C. 5.D 【分析】
设年纪最小者年龄为n ,年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出
(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=,结合等差数列的求和公式得出
111429m n =-,再由[]90,100m ∈求出n 的值.
【详解】
根据题意可知,这30个老人年龄之和为1520,设年纪最小者年龄为n ,年纪最大者为m ,[]90,100m ∈,则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m +++++
+++=++=
则有291114n m +=,则111429m n =-,所以90111429100m ≤-≤ 解得34.96635.31n ≤≤,因为年龄为整数,所以35n =. 故选:D 6.C 【分析】
首先根据()12
n n n S +=得到n a n =,设11111n n n b a a n n +==-+,再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】
当1n =时,111a S ==, 当2n ≥时,()()11122
n n n n n n n a S S n -+-=-=
-=. 检验111a S ==,所以n a n =. 设()11111
11
n n n b a a n n n n +=
==-++,前n 项和为n T , 则10111111101122310111111T ??????=-+-++-=-= ? ? ???????
…. 故选:C 7.B 【分析】
由题得出1392
a d =-,则2202n d
S n dn =-,利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,
由
111019
21
a a =得11102119a a =,则()()112110199a d a d +=+, 解得1392
a d =-
,10a <,0d ∴>,
()211+2022n n n d
S na d n dn -∴==-,对称轴为20n =,开口向上,
∴当20n =时,n S 最小.
故选:B. 【点睛】
方法点睛:求等差数列前n 项和最值,由于等差数列
()2111+
222n n n d d S na d n a n -?
?==+- ??
?是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值. 8.A 【分析】
根据数列{}n a 是等差数列,且1109a a a +=,求出首项和公差的关系,代入式子求解. 【详解】
因为1109a a a +=, 所以11298a d a d +=+, 即1a d =-,
所以
()1129510101992727
88
49a a a a a d a a d d a d ++???+====++. 故选:A
9.无
10.A 【分析】
利用等差数列的性质结合已知解得d ,进一步求得2a . 【详解】
在等差数列{}n a 中,设公差为d ,由
467
811a a a =???
+=?444812311a d a d a d =??=-?+++=?,24210a a d ∴=-=. 故选:A 11.B 【分析】
由100S =可计算出1100a a +=,再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】
由等差数列的求和公式可得()
110101002
a a S +=
=,1100a a ∴+=, 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选:B. 12.C 【分析】
首先根据数列的通项n a 与n S 的关系,得到10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++,再根据选项,代入前n 项和公式,计算结果.
【详解】
由21<
=
+,
()()()1232322323<02
m m m m a a S m a +++++==+, ()()()()1222212211>02
m m m m m a a S m a a ++++++=
=
++.
故选:C.
【点睛】
关键点睛:本题的第一个关键是根据公式11
,2
,1n n n S S n a S n --≥?=?
=?,判断数列的项的正负,
第二个关键能利用等差数列的性质和公式,将判断和的正负转化为项的正负. 13.C 【分析】
令2
2n S n λ=,()37n T n n λ=+,求出n a ,n b ,进而求出6a ,3b ,则
6
3
a b 可得. 【详解】
令2
2n S n λ=,()37n T n n λ=+,
可得当2n ≥时,()()2
21221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-,
()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+,
当1n =,()11112,3710a S b T λλλ====+=,符合()221n a n λ=-,
()232n b n λ=+
故622a λ=,322b λ=, 故
6
3
1a b =. 【点睛】
由n S 求n a 时,11,1
,2n n
n S n a S S n -=?=?-≥?,注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中,若不符
合要单独列出,一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解. 14.B 【分析】
设出数列{}n a 的公差,利用等差数列的通项公式及已知条件,得到124a d +=,然后代入求和公式即可求解 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=, 所以()51154
55254202
S a d a d ?=+=+=?= 故选:B 15.A 【分析】
由已知等式分别求出数列的前三项,由2132a a a =+列出方程,求出公差,利用等差数列的通项公式求解可得答案. 【详解】
11a =,()()1211n n n a a tn a ++=+,
令1n =,则()()121211a a t a +=+,解得21a t =-
令2n =,则()()2322121a a t a +=+,即()2
311t a t -=-,若1t =,则20,1a d ==,
与已知矛盾,故解得31a t =+
{}n a 等差数列,2132a a a ∴=+,即()2111t t -=++,解得4t =
则公差212d a a =-=,所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选:A 16.B 【分析】
由已知条件,结合等差数列通项公式得1a d =,即可求9
9
S a . 【详解】
4123425S a a a a a =+++=,即有13424a a a a ++=,得1a d =,
∴1999()
452
a a S d ?+==,99a d =,且0d ≠, ∴
9
9
5S a =. 故选:B 17.B 【分析】
利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式,然后验证1a 的值是否适合,最后写出n a 的式子即可. 【详解】
2n S n =,∴当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-,
当1n =时,111a S ==,上式也成立,
()
*21n a n n N ∴=-∈,
故选:B. 【点睛】
易错点睛:本题考查数列通项公式的求解,涉及到的知识点有数列的项与和的关系,即
11,1,2n n
n S n a S S n -=?=?-≥?,算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立,最后求得结
果,考查学生的分类思想与运算求解能力,属于基础题. 18.A 【分析】
由2a 和4a 求出公差d ,再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】
设公差为d ,则42363
4222a a d --=
==--, 所以5433322
a a d =+=-=. 故选:A 19.D 【分析】
由题意抽象出数列是等差数列,再根据通项公式计算项数. 【详解】
被3除余2且被5除余3的数构成首项为8,公差为15的等差数列,记为{}n a ,则
()8151157n a n n =+-=-,令1572020n a n =-≤,解得:2135
15
n ≤, 所以该数列的项数共有135项. 故选:D 【点睛】
关键点点睛:本题以数学文化为背景,考查等差数列,本题的关键是读懂题意,并能抽象出等差数列. 20.C 【分析】
215n S n n =-看作关于n 的二次函数,结合二次函数的图象与性质可以求解.
【详解】
2
2152251524n S n n n ??=-=--
???
,
∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线2
1522524y x ??=--
??
?上的横坐标为正整数的离散的
点.
又抛物线开口向上,以15
2x =
为对称轴,且1515|
7822
-=-|, 所以当7,8n =时,n S 有最小值. 故选:C
二、多选题
21.BC 【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可; 【详解】
解:斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,
显然()()11,21F F ==,()()()3122F F F =+=,()()()4233F F F =+=,
,
()()()11,2F n F n F n n +=+-≥,所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==,即B 满足条件;
由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥, 所以(
)(
)(
)()11F n n F n n ?+-
=--???
所以数列(
)()1F n n ????+??????
为公比的等比数列, 所以(
)(
)1n
F n n +-=??
11515()n F F n n -
+=++, 令
1
n
n n F
b -=
??
,则11n n b +=
+,
所以1
n n b b +=
-, 所以n b
??
????
?的等比数列,
所以1
n n b -
+,
所以()11
15n n n n
F n --?
???
+??=+=- ? ?????????
??????
??
;
即C 满足条件; 故选:BC 【点睛】
考查等比数列的性质和通项公式,数列递推公式的应用,本题运算量较大,难度较大,要求由较高的逻辑思维能力,属于中档题. 22.BC 【分析】
根据递推公式,得到11n n n
n n a a a +-=-,令1n =,得到121
a a =,可判断A 错,B 正确;
根据求和公式,得到1
n n n
S a +=,求出201920202019S a =,可得C 正确,D 错. 【详解】
由121n n n a n a a n +=+-可知2111
n n n n n a n n n a a a a ++--==+,即11n n n
n n a a a +-=-, 当1n =时,则12
1
a a =
,即得到121a a =,故选项B 正确;1a 无法计算,故A 错; 1221321
111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++??????-=++
+=-+-+
+-=-= ? ? ???????,所以1n n S a n +=,则201920202019S a =,故选项C 正确,选项D 错误. 故选:BC. 【点睛】 方法点睛:
由递推公式求通项公式的常用方法:
(1)累加法,形如()1n n a a f n +=+的数列,求通项时,常用累加法求解; (2)累乘法,形如
()1
n n
a f n a +=的数列,求通项时,常用累乘法求解; (3)构造法,形如1n n a pa q +=+(0p ≠且1p ≠,0q ≠,n ∈+N )的数列,求通
项时,常需要构造成等比数列求解;
(4)已知n a 与n S 的关系求通项时,一般可根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解.
23.ABC 【分析】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立,即当n 为奇数时有12+
a n
-<恒成立,当n 为偶数时有1
2a n
<-
恒成立,分别计算,即可得解.
【详解】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立, 当n 为奇数时有:1
2+a n
-<恒成立,
由12+n 递减,且1
223n <+≤,
所以2a -≤,即2a ≥-,
当n 为偶数时有:1
2a n
<-恒成立, 由12n -
第增,且31
222n
≤-<, 所以3
2
a <
, 综上可得:322
a -≤<, 故选:ABC . 【点睛】
本题考查了不等式的恒成立问题,考查了分类讨论思想,有一定的计算量,属于中当题. 24.BC 【分析】
由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】
解:设等差数列{}n a 的公差为d , 因为30S =,46a =,
所以1132302
36
a d a d ??
+
=???+=?,解得133a d =-??=?, 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-,
21(1)3(1)393222
n n n n n n n
S na d n ---=+=-+=
, 故选:BC 25.ABD 【分析】
结合等差数列的性质、前n 项和公式,及题中的条件,可选出答案.
【详解】
由67S S =,可得7670S S a -==,故B 正确; 由56S S <,可得6560S S a -=>,
由78S S >,可得8780S S a -=<,
所以876a a a <<,故等差数列{}n a 是递减数列,即0d <,故A 正确; 又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<,所以95S S <,故C 不正确; 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列,且80a <,所以90a <, 所以()
117179171702
a a S a +=
=<,故D 正确.
故选:ABD. 【点睛】
关键点点睛:本题考查等差数列性质的应用,解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质,本题要从题中条件入手,结合公式()12n n n a S S n --≥=,及
()
12
n n n a a S +=
,对选项逐个分析,可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力,属于中档题. 26.ABC 【分析】
由已知求得公差d 的范围:01d <<,把各选项中的项全部用d 表示,并根据01d <<判断各选项. 【详解】 由题知,只需1220
010
a d d d =->??<
>?,
()()2242244a a d d d ?=-?+=-<,A 正确;
()()2
222415
223644
a a d d d d +=-++=-+>≥
,B 正确; 2
1511111122221a a d d d +=+=>-+-,C 正确; ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ?-?=-?+--?+=-<,所以1524a a a a ?,
D 错误. 【点睛】
本题考查等差数列的性质,解题方法是由已知确定d 的范围,由通项公式写出各项(用d 表示)后,可判断. 27.BD 【分析】
由6111160S S S S =?-=,即950a =,进而可得答案. 【详解】
解:1167891011950S S a a a a a a -=++++==, 因为10a >
所以90a =,0d <,89S S =最大, 故选:BD . 【点睛】
本题考查等差数列的性质,解题关键是等差数列性质的应用,属于中档题. 28.ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +=
=+得到
1112n n a a +-=,从而得到1n a ??
????
是以首项为1,公差为2的等差数列,再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A ,因为121
n
n n a a a +=
+,11a =, 所以
121112n n n n a a a a ++==+,即1112n n
a a +-= 所以1n a ??
?
???
是以首项为1,公差为2的等差数列,故A 正确. 对选项B ,由A 知:
1121
21n
n n a
数列1n a ???
?
??
的前n 项和()
21212n n n S n +-==,故B 正确. 对选项C ,因为
1
21n n a =-,所以121
n a n =-,故C 错误. 对选项D ,因为1
21
n a n =-,所以数列{}n a 为递减数列,故D 正确. 故选:ABD 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和,同时考查了递推公式,属于中档题. 29.ABC 【分析】
根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】
解:对于A.,若59S S =,则67890a a a a +++=,所以781140a a a a +=+=,所以
()
114141402
a a S +=
=,故A 选项正确; 对于B 选项,若59S S =,则780+=a a ,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故
780,0a a ><,所以7S 是n S 中最大的项;故B 选项正确;
C. 若67S S >,则70a <,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故80a <,6a 的符号不定,故必有78S S >,56S S >无法确定;故C 正确,D 错误. 故选:ABC . 【点睛】
本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质,是中档题. 30.AD 【分析】
根据等差数列的性质,对四个选项逐一判断,即可得正确选项. 【详解】
0d >,10n n a a d +-=> ,所以{}n a 是递增数列,故①正确,
()()2
111n na n a n d dn a d n =+-=+-????,当12d a n d -<时,数列{}n na 不是递增数列,故②不正确, 1n a a d d n n -=+,当10a d -<时,{}n a n 不是递增数列,故③不正确, 134n a nd nd a d +=+-,因为0d >,所以{}3n a nd +是递增数列,故④正确,
故选:AD 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质,属于基础题.