导数练习题
班级姓名
一、选择题
1.当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )
A.在区间[x0,x1]上的平均变化率B.在x0处的变化率
C.在x1处的变化量D.在区间[x0,x1]上的导数
2.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx =0.1时,Δy的值为( )
A.0.40 B.0.41 C.0.43
D .0.44
3.函数f(x)=2x2-1在区间(1,1+Δx)上的平
均变化率Δy
Δx等于( )
A.4 B.4+2Δx C.4
+2(Δx)2
D
.4x
4.如果质点M按照规律s=3t2运动,则在
t=3时的瞬时速度为( )
A.6 B.18
C.54
D
.81
5.已知f(x)=-x2+10,则f(x)在x=
3
2
处的
瞬时变化率是( )
A.3 B.-3
C. 2
D
.-2
6.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))
处的切线( )
A.不存在
B
.与x 轴平行或重合
C .与x 轴垂直
D
.与x 轴相交但不垂直
7.曲线y =-1
x
在点(1,-1)处的切线方程为
( )
A .y =x -2
B .y =x
C .
y =x +
2
D
.y =-x -2
8.已知曲线y =2x 2
上一点A (2,8),则A 处
的切线斜率为( )
A .4
B .16
C .8
D .2
9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点处的切线倾斜角为π
4
的是( )
A .(0,0)
B .(2,4)
C .(1
4,
116)
D .(12,14
) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( )
A .a =1,b =1
B .a
=-1,b =1
C .
a =1,
b =- 1
D
.a =-1,b =-1
11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( )
A .0
B .2x
C .
6 D
.9
12.已知函数f (x )=1
x
,则f ′(-3)=( )
A .4 B.1
9
C .-
14 D .-19
13.函数y =
x 2
x +3
的导数是( )
A.x 2+6x ?x +3?2
B.x 2+6x
x +3
C.-2x
?x +3?2
D.3x 2+6x ?x +3?
2 14.若函数f (x )=1
2
f ′(-1)x 2-2x +3,则
f ′(-1)的值为( )
A .0
B .-1
C .1
D .2
15.命题甲:对任意x ∈(a ,b ),有f ′(x )>0;命题乙:f (x )在(a ,b )内是单调递增的.则甲是乙的( )
A .充分不必要条件
B .必
要不充分条件
C .充要条件
D .既
不充分也不必要条件
16.函数f (x )=(x -3)e x 的单调递增区间是( )
A .(-∞,2)
B .(0,3)
C .(1,4)
D .(2,
17.函数y =ax 3-x 在R 上是减函数,则( ) A .a ≥1
3
B .a =1
C .a =2
D .a ≤
18.函数y =4x 2
+1
x
的单调递增区间是( )
A .(0,+∞)
B .(-∞,1)
C .(1
2
,+∞)
D .(1,
19.“函数y =f (x )在一点的导数值为0”是“函数y =f (x )在这点取极值”的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
20.设x0为可导函数f(x)的极值点,则下列说法正确的是( )
A.必有f′(x0)=0 B.f′(x0)不存在
C.f′(x0)=0或f′(x0)不存在D.f′(x0)存在但可能不为0
22.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a=( )
A.2B.3 C.4 D.5
23.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),
导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所
示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极小
值点有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
24.函数f(x)=-
1
3
x3+
1
2
x2+2x取极小值时,x的值是( )
A.2 B.2,- 1 C.-1 D.-3 25.函数f(x)=-x2+4x+7,在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )
A.f(2),f(3) B.f(3),f(5) C.f(2),f(5) D.f(5),f(3) 26.f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是( )
A.-2 B.0 C.2
D.4
27.函数f(x)=x3
-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( )
A.-10 B.-71 C.-15 D.-22
28.(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元:万元)与年产量x(单位:万
件)的函数关系式为y=-1
3
x3+81x-234,则
使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A.13万件B.11万件C.9万件
D.7万件
29.一点沿直线运动,如果由始点起经过t
秒运动的距离为s=1
4
t4-
5
3
t3+2t2,那么速度
为零的时刻是( )
A.1秒末B.0秒C.4秒末
D.0,1,4秒末
二、填空题
1.设函数y=f(x)=ax2+2x,若f′(1)=4,则a=________.
2.若曲线y=2x2-4x+a与直线y=1相切,则a=________.
3.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则
b
a=________.
4.令f(x)=x2·e x,则f′(x)等于________.5.函数y=x2+4x在x=x0处的切线斜率为2,则x0=________.
6.若y=10x,则y′|x=1=________. 7.一物体的运动方程是s(t)=
1
t,当t=3时的瞬时速度为________.
8.设f(x)=ax2-b sin x,且f′(0)=1,f′(
π
3
)=
1
2
,则a=________,b=________.
9.y=x3-6x+a的极大值为________.10.函数y=x e x的最小值为________.11.做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱,它的高为______dm时最省料.
12.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m2.
三、解答题
1.求下列函数的导数:
(1)y=3x2+x cos x;(2)y=
x
1+x;(3)
y
=lg x-e x.
2.已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10,求:
(1)它们的交点;(2)抛物线在交点处的切线方程.
3.求下列函数的单调区间:(1)y=x-ln x;
(2)y=1 2x.
4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x =-1时,取得极大值7;当x=3时,取得极小值,求这个极小值及a、b、c 的值.
5.已知函数f(x)=
1
3
x3-4x+4.
(1)求函数的极值;
(2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值.
导数练习题答案
班级姓名
一、选择题
1.当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A.在区间[x0,x1]上的平均变化率
B.在x0处的变化率
C.在x1处的变化量
D.在区间[x0,x1]上的导数
答案:A
2.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx
=0.1时,Δy的值为( )
A.0.40
B .0.41
C.0.43
D .0.44
解析:选B.Δy=f(2.1)-f(2)=2.12-22=0.41. 3.函数f(x)=2x2-1在区间(1,1+Δx)上的平
均变化率Δy
Δx等于( )
A.4 B.4+2Δx
C.4+2(Δx)2
D .4x
解析:选B.因为Δy=[2(1+Δx)2-1]-(2×12
-1)=4Δx+2(Δx)2,所以Δy
Δx=4+2Δ
x,故选
B.4.如果质点M按照规律s=3t2运动,则在t=3时的瞬时速度为( )
A. 6
B .18
C.54
D .81
解析:选B.
Δs
Δt=
3?3+Δt?2-3×32
Δt,
s′=li m
Δt→0
Δs
Δt=li mΔt→0(18+3Δ
t)=18,故选B.
5.已知f(x)=-x2+10,则f(x)在x=
3
2
处的瞬时变化率是( )
A. 3
B .-3
C. 2
D .-2
解析:选B.
6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( )
A .
不
存
在
B
.与x 轴平行或重合
C .与x
轴
垂
直
D
.与x 轴相交但不垂直
解析:选B.函数在某点处的导数为零,说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零.
7.曲线y =-1
x
在点(1,-1)处的切线方程为
( )
A .y =x -2
B .y
=x
C .y =x + 2
D
.y =-x -2
解析:选A.f ′(1)=li m
Δx →0
-11+Δx +11
Δx
=li m
Δx →0
1
1+Δx
=1,则在(1,-1)处的切线方程为y +1=x -1,即y =x -2. 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( )
A .
4
B
.16
C .
8
D
.2
解析:选C.
9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点处的切线倾斜角为π
4
的是( )
A .(0,0) B
.(2,4)
C .(
14
,
116
)
D
.(12,14
) 故选D.
10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( )
A .a =1,b =1
B .a
=-1,b =1
C .a =1,b =- 1
D
.a =-1,b =-1
解析:选A.
11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( )
A .0
B .2x
C .6
D .9
解析:选C.∵f ′(x )=2x ,∴f ′(3)=6.
12.已知函数f (x )=1
x
,则f ′(-3)=( ) A .4
B.19
C .-14
D .-19
解析:选D.∵f ′(x )=-1
x
2,∴f ′(-3)
=-19
.
13.函数y =
x 2
x +3
的导数是( )
A.x 2+6x
?x +3?2 B.x 2+6x x +3
C.-2x ?x +3?2
D.3x 2+6x ?x +3?2
解析:选A
14.若函数f (x )=1
2f ′(-1)x 2-2x +3,则
f′(-1)的值为( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
解析:选B.∵f(x)=1
2
f′(-1)x2-2x+3,
∴f′(x)=f′(-1)x-2.
∴f′(-1)=f′(-1)×(-1)-2.
∴f′(-1)=-1.
15.命题甲:对任意x∈(a,b),有f′(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的.则甲是乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:选A.f(x)=x3在(-1,1)内是单调递增的,但f′(x)=3x2≥0(-1 16.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是 ( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+解析:选D.f′(x)=(x-3)′e x+(x- 3)(e x)′=(x-2)e x, 令f′(x)>0,解得x>2,故选D. 17.函数y=ax3-x在R上是减函数,则( ) A.a≥ 1 3 B.a=1 C.a=2 D.a≤0 解析:选D.因为y′=3ax2-1,函数y =ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数, 所以y′=3ax2-1≤0恒成立, 即3ax2≤1恒成立. 当x=0时,3ax2≤1恒成立,此时a∈R; 当x ≠0时,若a ≤1 3x 2恒成立,则a ≤0. 综上可得a ≤0. 18.函数y =4x 2 +1x 的单调递增区间是( ) A .(0,+∞) B .(-∞,1) C .(1 2 ,+∞) D .(1,+∞) 解析:选C.∵y ′=8x -1x 2= 8x 3-1 x 2 >0, ∴x >12 . 即函数的单调递增区间为(1 2 ,+∞). 19.“函数y =f (x )在一点的导数值为0”是“函数y =f (x )在这点取极值”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 解析:选B.对于f (x )=x 3,f ′(x )=3x 2, f ′(0)=0,不能推出f (x )在x =0处取极值,反之成立.故选B. 20.设x 0为可导函数f (x )的极值点,则下列说法正确的是( ) A .必有f ′(x 0)=0 B .f ′( x 0)不存在 C .f ′(x 0)=0或f ′(x 0)不存在 D .f ′(x 0)存在但可能不为0 答案:A 22.函数f (x )=x 3+ax 2+3x -9,已知f (x )在x =-3时取得极值,则a =( ) A .2 B .3 C .4 D .5 解析:选D.f ′(x )=3x 2+2ax +3, ∵f (x )在x =-3处取得极值, ∴f ′(-3)=0,即27-6a +3=0, ∴a=5. 23.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有( ) A.1个B.2个 C.3个D.4个 解析:选A.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如题图所示,函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有1个. 24.函数f(x)=-1 3 x3+ 1 2 x2+2x取极小值时, x的值是( ) A.2 B.2,-1 C.-1 D.-3 解析:选C.f′(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1). ∵在x=-1的附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,如图所示: ∴x=-1时取极小值. 25.函数f(x)=-x2+4x+7,在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A.f(2),f(3) B.f(3),f(5) C.f(2),f(5) D.f(5),f(3) 解析:选B.∵f′(x)=-2x+4, ∴当x∈[3,5]时,f′(x)<0, 故f(x)在[3,5]上单调递减, 故f(x)的最大值和最小值分别是f(3),f(5). 26.f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是( ) A.-2 B.0 C.2 D.4 解析:选C.f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f′(x)=0可得x=0或x=2(舍去),当-1≤x<0时,f′(x)>0,当0 所以当x=0时,f(x)取得最大值为2. 27.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( ) A.-10 B.-71 C.-15 D.-22 解析:选B.f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1). 由f′(x)=0得x=3,-1. 又f(-4)=k-76,f(3)=k-27, f(-1)=k+5,f(4)=k-20. 由f(x)max=k+5=10,得k=5, ∴f(x)min=k-76=-71. 28.(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=- 1 3 x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A.13万件 B .11万件 C.9万件 D .7万件 解析:选C 29.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒运动的距离为s= 1 4 t4- 5 3 t3+2t2,那么速度为零的时刻是( ) A.1秒末 B .0秒 C.4秒末 D .0,1,4秒末 解析:选D.∵s ′=t 3-5t 2+4t ,令s ′=0,得t 1=0,t 2=1,t 3=4,此时的函数值最大,故选D. 二、填空题 1.设函数y =f (x )=ax 2+2x ,若f ′(1)=4,则a =________. 答案:1 2.若曲线y =2x 2-4x +a 与直线y =1相切,则a =________. 答案:3 3.已知函数y =ax 2+b 在点(1,3)处的切线斜 率为2,则b a =________. 答案:2 4.令f (x )=x 2·e x ,则f ′(x )等于________. 解析:f ′(x )=(x 2)′·e x +x 2·(e x )′= 2x ·e x +x 2·e x =e x (2x +x 2). 答案:e x (2x +x 2) 5.函数y =x 2+4x 在x =x 0处的切线斜率为2,则x 0=________. 解析:2=li m Δx →0 ?x 0+Δx ?2+4?x 0+Δx ?-x 20-4x 0 Δx =2x 0+4,∴x 0=-1. 答案:-1 6.若y =10x ,则y ′|x =1=________. 解析:∵y ′=10x ln10,∴y ′|x =1= 10ln10. 答案:10ln10 7.一物体的运动方程是s (t )=1 t ,当t =3时 的瞬时速度为________. 解析:∵s ′(t )=-1 t 2,∴s ′(3)=-1 3 2= -1 9 . 答案:- 1 9 8.设f(x)=ax2-b sin x,且f′(0)=1,f′(π3 ) =1 2 ,则a=________,b=________.解析:∵f′(x)=2ax-b cos x,f′(0)=-b=1得b=-1, f′( π 3 )= 2 3 πa+ 1 2 = 1 2 ,得a=0. 答案:0 -1 9.y=x3-6x+a的极大值为________.解析:y′=3x2-6=0,得x=± 2.当x<-2或x>2时,y′>0;当-2 答案:a+4210.函数y=x e x的最小值为________.解析:令y′=(x+1)e x=0,得x=-1. 当x<-1时,y′<0;当x>-1时,y′>0. ∴y min=f(-1)=- 1 e . 答案:- 1 e 11.做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱,它的高为______dm时最省料. 解析:设底面边长为x, 则高为h= 256 x2, 其表面积为S=x2+4× 256 x2×x=x2+256×4 x, S′=2x- 256×4 x2,令S′=0,则x=8, 则高h= 256 64 =4 (dm). 答案:4 12.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m2. 解析:设矩形的长为x m, 则宽为16-2x 2 =(8-x) m(0 ∴S(x)=x(8-x)=-x2+8x ∴S′(x)=-2x+8,令S′(x)=0,则x=4, 又在(0,8)上只有一个极值点, 且x∈(0,4)时,S(x)单调递增, x∈(4,8)时,S(x)单调递减, 故S(x)max=S(4)=16. 答案:16 三、解答题 1.求下列函数的导数:(1)y=3x2+x cos x;(2)y= x 1+x;(3) y=lg x-e x.解:(1)y′=6x+cos x-x sin x. (2)y′= 1+x-x ?1+x?2= 1 ?1+x?2. (3)y′=(lg x)′-(e x)′= 1 x ln10-e x. 2.已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10,求: (1)它们的交点; (2)抛物线在交点处的切线方程. 解:(1)由 ?? ? ??y=x2+4, y=x+10, 得x2+4=10+x,即x2-x-6=0, ∴x=-2或x=3.代入直线的方程得y=8或13. ∴抛物线与直线的交点坐标为(-2,8)或(3,13). (2)∵y=x2+4, ∴y′=lim Δx→0?x+Δx?2+4-?x2+4? Δx =lim Δx→0?Δx?2+2x·Δx Δx=lim Δx→0 (Δx+2x)=2x. ∴y′|x=-2=-4,y′|x=3=6, 即在点(-2,8)处的切线斜率为-4,在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(-2,8)处的切线方程为4x+y=0;在点(3,13)处的切线方程为6x-y-5=0. 3.求下列函数的单调区间: (1)y=x-ln x;(2)y=1 2x. 解:(1)函数的定义域为(0,+∞). 其导数为y′=1-1 x. 令1-1 x>0,解得x>1;再令1- 1 x<0, 解得0 因此,函数的单调增区间为(1,+∞),函数的单调减区间为(0,1). 4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=-1时,取得极大值7;当x=3时,取得极小值,求这个极小值及a、b、c的值. 解:f′(x)=3x2+2ax+b,依题意可知-1,3是方程3x2+2ax+b=0的两个根, 则有 ? ? ?-1+3=-2 3 a, -1×3= b 3 , 解得?? ? ??a=-3, b=-9, ∴f(x)=x3-3x2-9x+c. 由f(-1)=7,得-1-3+9+c=7,∴c =2. ∴极小值为f(3)=33-3×32-9×3+2=-25. 5.已知函数f(x)=1 3 x3-4x+4. (1)求函数的极值; (2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值. 解:(1)f′(x)=x2-4,解方程x2-4=0, 得x1=-2,x2=2. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 极大值,且极大值为28 3 ;而当x=2时,函 数有极小值,且极小值为-4 3 . (2)f(-3)= 1 3 ×(-3)3-4×(-3)+4=7, f(4)= 1 3 ×43-4×4+4= 28 3 , 与极值比较,得函数在区间[-3,4]上的 最大值是 28 3 ,最小值是- 4 3 . 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2 +1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4+2(Δx )2 D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2 运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A . 6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C . 2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x 轴相交但不垂直 7.曲线y =-1 x 在点(1,-1)处的切线方程 为( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x + 2 D .y =-x -2 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( ) A .4 B .16 C .8 D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,1 16) D .(12,1 4) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b = 1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =- 1 D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C . 6 D .9 12.已知函数f (x )=1 x ,则f ′(-3)=( ) A . 4 B.1 9 C .-14 D .-1 9 13.函数y =x 2 x +3 的导数是( )导数练习题 含答案
(完整word版)导数单元测试(含答案)