九年级数学证明圆的切线专题

证明圆的切线专题

证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路：

1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径：

2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直.

1不常用,一般常用2.

1. 如图，在Rt ABC ?中，

90C ?∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ?∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ．

（1）求证：直线BD 与O 相切；

（2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径．

2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。

（1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切

（2）（4分）当AD=23，∠CAD=30o时，求AD 的长。

3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ．

(1)求证：直线AB 是OO 的切线；

(2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．

4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。

（1）求证：DE 是⊙O 的切线；

（2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。

5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点

D ．

（1）求证：⊙O

与BC 相切；（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O

的半径 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ．

（1）求证：CD 是⊙O 的切线；

（2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ．

7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是

?AB 的中点，连接PA ，PB ，PC ．

（1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC

3=； （2）如图②，若25

24sin =∠BPC ，求PAB ∠tan 的值． 8.如图，AB 为⊙O 的直径，弦

CD 与AB E ，DE=EC ，过点B 的切线与AD 的延长线交于F ，过E 作EG ⊥BC 于G ，延长GE 交AD 于H ．（1）求证：AH=HD ； （2）若cos ∠C= 4/5，，DF=9，求⊙O 的半径 O

P 第22题图①C B

A 第22题图②

O

P

C B A

9.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，BE 交⊙O 于点F ，连接AF ，AF 的延长线交DE 于点P ．

（1）求证：DE 是⊙O 的切线；

（2）求tan ∠ABE 的值；

（3）若OA=2，求线段AP 的长．

10如图，已知在△ABP 中，C 是BP 边上一点，∠PAC=∠PBA ，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且交BP 于点E ．

（1）求证：PA 是⊙O 的切线；

（2）过点C 作CF ⊥AD ，垂足为点F ，延长CF 交AB 于点G ，若AG ?AB=12，求AC 的长；

（3）在满足（2）的条件下，若AF ：FD=1：2，GF=1，求⊙O 的半径及sin ∠ACE 的值．

11.如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．

（1）求证：CF 是⊙O 的切线；

（2）求证：△ACM ∽△DCN ；

（3）若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=4

1，求BN 的长．

12、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．

（1）求证：PB与⊙O相切；

（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；

（3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值．

九年级数学：圆的切线的证明——拔高题

九年级数学：圆的切线的证明——拔高题 圆的切线证明拔高题训练 1.如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作 ，垂足为，连接． 求证：直线与相切； 若，，求的长． 2.如图，已知，，以直角边为直径作，交斜边于点，连接 ． 若，，求边的长； 取的中点，连接，试证明与相切． 3.如图，在中，，以为直径的分别交，于点，， 于点，交的延长线于点． 1 / 25

求证：直线是的切线； 若，，求的长． 4.如图，的边为的直径，与圆交于点，为的中点，过作于． 求证：； 求证：为的切线； 若，，求的长． 5.在中，直角边为直径的半圆，与斜边交于，点是边的中点，连接 ， ① 与半圆相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明情况． ②若、的长是方程的根，求直角边的长．

九年级数学：圆的切线的证明——拔高题 6.如图，是的直径，． 求证：是的切线； 若点是的中点，连接交于点，当，时，求的值． 7.如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点， ，． 求证：是的切线； 求证：； 3 / 25

点是的中点，交于点，若，求的值． 8.已知，如图，直线交于，两点，是直径，平分交于，过作 于． 求证：是的切线； 若，，求的半径． 9.如图，是的外接圆，，弦，，， 交的延长线于点． 求证：； 求的长； 求证：是的切线．

九年级数学：圆的切线的证明——拔高题 10.如图，是的直径，垂直于弦于点，且交于点，是延长线上一点，若． 求证：是的一条切线； 若，，求的长． 11.如图，以为直径的半圆交于点，且点为的中点，于点，交半 圆于点，的延长线交于点． 求证：为半圆的切线； 若，，求的长． 12.如图，是的直径，点是上的一点，． 5 / 25

中考九年级证明圆的切线例题方法

切线证明法 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD，

∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.

初中数学九年级《圆的切线证明及计算》公开课教学设计

圆的切线证明及计算（教案） 一、教学目标： 1、复习直线和圆的位置关系，以d和r的关系强化学生对切线判定定理的理解。 2、使学生把握好切线判定和切线性质的基本要素，理解切线问题中常用的辅助线———过 切点的半径。 3、通过对切线长定理的推导分析，提高学生对图形知识的系统化认识，在实际解题中提高 学生对两条切线的边、角关系的理解与应用。 4、强化基础知识的同时，通过中考切线问题考试热点的讲解，提高学生对切线证明及切线 计算问题的理解;对考试中常见的动点问题，提出动点问题静态化的思考。 5、 二、教学重点：整固切线的有关定理；理解切线问题中常用的辅助线 三、教学难点：切线的证明思想，对动点问题的分析思考方法 四、教学过程： 1.回顾知识要点： 通过演示回顾直线和圆的位置关系，用距离d和半径r的关系引导学生对切线判定定理、和切线性质定理进行理解。把握好判定中的两个要素，理解切线问题中一般辅助线的作法。 学生对知识要点表格的完成达到对知识要点的巩固，并在d=r ?直线l与⊙O相切的条件下扼要说明切线的判定定理和切线的性质定理，使学生记住关键字词，理解解题中的一般方法。 2.基础练习： 通过对简单题型的练习，认识切线定理的一般应用方法，在同一图形变换不同的问法，分别从边和角的角度进行理解。进一步巩固切线问题中辅助线的作法。 例1．如图，直线AB与⊙O相切于点A，若∠OBA = 36°， 则∠AOB=（） 例2．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2， 若∠OBA = 30°，则OB的长为（） A ．B．4 C ．D．2 d＞r ?直线l与⊙O相离 d

圆证明切线的练习题

圆证明切线的练习题 1. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点 于D，DE⊥AC，E是垂足. 求证：DE是⊙O的切线；如果AB=5,tan∠B=的长. 2．如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE 于C，过C作CD⊥AE于D， 1C ,求CE B DC的延长线与AB的延长线交于点P . 求证：PD是⊙O的切线；若AE=5，BE=6，求DC的长. 3.在Rt△ABC 中，∠C=90 ? ， BC=9， CA=12，∠ABC的平分线 BD交AC于点D， DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆， 交BC于点F 求证:AC是⊙O的切线; 联结EF，求 4.已知：如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AC于F交AB的延长线于G. 求证：FG是⊙O的切线；求AD的长.

证明： 1 A EF 的值. AC 5．如图，点A、B、F在?O上，?AFB?30?，OB的延长线交直线AD于点D，过点 B作BC?AD于C，?CBD?60?，连接AB. 求证：AD是?O 的切线； 若AB?6，求阴影部分的面积. 6．已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF 的延长线于点C．判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； A 若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长． 7．如图，以等腰?ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE?AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线； 8.如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边 AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．

九年级数学证明圆的切线专题

证明圆的切线专题 证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直. 1不常用,一般常用2. 1. 如图，在Rt ABC ?中， 90C ?∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ?∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与O 相切； （2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径． 2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。 （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当，∠CAD=30o时，求AD 的长。 3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．

4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。 5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ． （1）求证：⊙O 与BC 相切； （2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ． 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是?AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ． （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证： AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin = ∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．

中考复习专题——圆切线证明

中考复习专题--------圆的切线的判定与性质 知识考点： 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。

2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。 精典例题： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.

例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线. 例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切.

二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA 是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切. 例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900. 求证：CD是⊙O的切线. [习题练习] 例1如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD． 例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC?交于点E，求证：△DEC

初中数学：圆的切线的证明

中国最大的教育门户网站 E 度网https://www.wendangku.net/doc/c08317746.html, 圆的切线的证明 一、“见切点，连半径”――证明半径与直线垂直 例1．A B 是O 的直径，AB AC ⊥，B C 交⊙O 于P Q ，是A C 的中点．求证：QP 是⊙O 的切线． 分析：本例中，要证明“QP 是⊙O 的切线”，因为P 在⊙O 上，如果结论成立，则点P 肯定是切点，所以只要连接O P ，证明OP PQ ⊥即可． 证明：连接O P ，P A ， A B 是⊙O 的直径，90APB ∠=?∴． 在R t A P C △中，Q 是A C 的中点， PQ AQ =∴，QAP QPA ∠=∠∴． 又O P O A =，OAP QPA ∠=∠∴，OAQ QPO ∠=∠∴． A B A C ⊥ ，OP PQ ⊥∴．QP ∴是⊙O 的切线． 二、“过圆心，作垂线”――证明垂线段等于半径 例2．直角梯形A B C D 中，以腰C D 为直径的⊙1O 恰与另一腰A B 相切，求证：以腰A B 为直径的⊙2O 也与腰C D 相切． 分析：要证明以腰A B 为直径的⊙2O 与腰C D 相切，因为⊙2O 的半径是A B 的一半， 由切线的定义可知，C D 如果与⊙2O 相切，则2O 到C D 的距离应等于半径 12 A B ，所以过2 O 作2O E C D ⊥，证明212 O E A B = 即可． 证明：过1O 作12O O AB ⊥，则22O A O B =， 作21DF O O ⊥于F ，作2O E C D ⊥于E ， A B 与⊙1O 相切，121O O O D =∴． 211211Rt Rt O O E DO F O O E DO F ∠=∠ ，∴△≌△， 2O E DF =∴． A B C Q P O A B C D E F 1O 2O

九年级数学证明圆的切线专题

九年级数学证明圆的 切线专题 证明一条直线是圆的切线；主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2；是利用切线的判判定定理；证明这条直线经过一条半径的外端；并且和这条半径垂直. 1不常用；一般常用2. 1. 如图；在Rt ABC ?中； 90C ?∠=；点D 是AC 的中点；且90A CDB ?∠+∠=；过点,A D 作O ；使圆心O 在AB 上；O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与O 相切； （2）若:4:5,6AD AE BC ==；求O 的直径． 2.如图；在Rt △ABC 中；∠C=90o；O 、D 分别为AB 、BC 上的点；经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ；且D 为EF 的中点。 （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当；∠CAD=30o时；求AD 的长。 3. 如图；已知CD 是ΘO 的直径；AC ⊥CD ；垂足为C ；弦DE ∥OA ；直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1；BE =2；求tan ∠OAC 的值．

4.如图；在△ABC中；AB=AC；以AB为直径作⊙O；交BC于点D；过点D作DE⊥AC；垂足为E。（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）如果BC=8；AB=5；求CE的长。 5.如图；在△ABC中；∠C=90°；∠ACB的平分线交AB于点O；以O为圆心的⊙O与AC相切于点D． （1）求证：⊙O与BC相切； （2）当AC=3；BC=6时；求⊙O的半径 6.如图；AB是⊙O的直径；AM；BN分别切⊙O于点A；B；CD交AM；BN于点D；C；DO平分∠A DC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD=4；BC=9；求⊙O的半径R．

九年级数学下册小专题七与圆的切线有关的计算与证明练习新版湘教版

小专题(七) 与圆的切线有关的计算与证明 1．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD.取BC的中点E，连接ED，求证：ED与⊙O相切． 证明：连接OD. ∵OD＝OB， ∴∠OBD＝∠BDO. ∵AB是直径(已知)， ∴∠ADB＝90°. ∴∠ADB＝∠BDC＝90°. 在Rt△BDC中，E是BC的中点， ∴BE＝CE＝DE.∴∠DBE＝∠BDE. 又∵∠ABC＝∠OBD＋∠DBE＝90°， ∴∠ODE＝∠BDO＋∠BDE＝90°. ∵OD是⊙O的半径， ∴ED与⊙O相切． 2．如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E. (1)判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由； (2)若CE＝2，求⊙O的半径r. 解：(1)⊙O与BC相切． 理由：连接OD，OB， ∵⊙O与CD相切于点D， ∴OD⊥CD，∠ODC＝90°.

∵四边形ABCD 为菱形， ∴AD ＝CD ＝CB. ∵OD ＝OB ，OC ＝OC ，CB ＝CD. ∴△OBC ≌△ODC.∴∠OBC ＝∠ODC ＝90°. 又∵OB 为半径，∴⊙O 与BC 相切． (2)∵AD ＝CD ，∴∠ACD ＝∠CAD. ∵AO ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA. ∵∠COD ＝∠OAD ＋∠ADO ， ∴∠COD ＝2∠ACD. 又∵∠COD ＋∠ACD ＝90°， ∴∠ACD ＝30°.∴OD ＝12 OC ， 即r ＝12 (r ＋2)． ∴r ＝2. 3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，且AB ＝12，AP 是半圆的切线，点C 是半圆上的一动点(不与点A ，B 重合)，过点C 作CD ⊥AP 于点D ，记∠COA ＝α. (1)当α＝60°时，求CD 的长； (2)当α为何值时，CD 与⊙O 相切？说明理由． 解：(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E. 在Rt △OCE 中， OE ＝OC ·cos ∠COA ＝12 ×6＝3， 则CD ＝OA －OE ＝6－3＝3. (2)当∠α＝90°时，CD 与⊙O 相切． 理由：∠α＝90°，则在四边形OCDA 中， ∠COA ＝∠OAD ＝∠CDA ＝90°，

初中数学-证明圆的切线经典例题

初中数学-证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE,

∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC， ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切 证明二：连结OD，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC, ∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. D C

证明圆的切线经典例题

证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE ，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 ⌒ ⌒

例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ， ∴OE ⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ⌒ ⌒

初中数学如何证明圆的切线

如何证明圆的切线 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝ 21AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝2 1OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD ＝90o时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD ＝90o． 二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径． 【例2】如图2，已知OC 平分∠AOB ，D 是OC 上任意一点，⊙D 与OA 相切于点E ．求证：OB 与⊙D 相切． 思路：连接DE ，过点D 作DF ⊥OB 于点F ，证明DE ＝DF 即可，这可由 角平分线上的点到角两边的距离相等证得． 请同学们写出证明过程． 【评析】一定要防止出现错将圆上的一点当作公共点而连接出半径．同学们一定要认真体会证明切线时常用的这两种方法，作辅助线时一定要注意表述的正确性． 【例3】如图3，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点 的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ． 思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．

证明圆的切线方法

证明圆的切线方法 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA ⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切.

说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900.

∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC， D ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切

人教版九年级上册圆的切线证明及计算训练试题

圆的切线证明及计算 一、知识回顾 1、切线证明的两种主要类型： （1）已知直线经过圆上某一点，辅助性的作法是连接圆心和这一点，判定方法是：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。 （2）未知直线是否经过圆上的某一点，辅助线的作法是过圆心作直线的垂线段，判定方法是：到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 2、圆的有关计算：经常用到垂径定理、勾股定理等。 二、例题讲解： 例1：如图1，在Rt △ABC 中，C 90∠=o ,BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥. （１） 求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线； （２）若26,62==AE AD ，求EC 的长. 注：（1）角平分线、平行于角平分线一边的直线、等腰三角形中，任意两个作为条件都可以推导出第三个。 （2）直角三角形中的特殊边角关系的应用。 例2：如图2，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE=DC ，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆。 求证：（1）AC 是⊙D 的切线； （2）AB+EB=AC 。 证明：（1）过点D 作DF ⊥AC 于F. ∵AB 为⊙D 的切线, AD 平分∠BAC, ∴BD=DF . ∴AC 为⊙D 的切线 . （2）在△BDE 和△DCF 中, ∵BD=DF, DE=DC, ∴△BDE ≌△DCF （HL ）, ∴EB=FC . 又AB=AF, ∴AB+EB=AF+FC, 即AB+EB=AC . 三、课堂练习： 1、如图3，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，在∠ACD 的外部作∠ACE=∠ACD ，CE 的反向延长线交AB 的延长线于点P ．（1）求证：PE 是⊙O 的切线；（2）若PC=4，PA=8，求sinP 的值． 2、如图4，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D,AB ＝5,EB ＝3. 求证:⑴AC 是⊙O 的切线；

如何证明圆的切线

如何证明圆的切线 证明直线是圆的切线，通常有的以下几种方法： 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝2 1AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝ 2 1OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD ＝90o时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD ＝90o． 二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ． 思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径． 证明：连接OC ． ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ． 【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线． 图1 图2

九年级数学圆证明题专题(汇编)

圆证明专题 1．如图，已知在⊙O 中，AB ，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A =30°．（1）求图中阴影部分的面积；（2）若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆 的半径． 2．AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交弧BC 于D 。 (1)请写出四个正确的结论；(2)若BC=6，ED=2，求⊙O 的半径。 3.已知：如图，ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ． （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若1202CAB AB ∠==，，求BC 的值 4．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE=DC ，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆。求证：（1）AC 是⊙D 的切线；（2）AB+EB=AC 。 B

5．已知：⊙O 的直径AB 和弦CD ，且AB ⊥CD 于E ，F 为DC 延长线上一点，连结AF 交⊙O 于M 。求证：∠AMD ＝∠FMC 。 6．已知AB 是☉O 的直径，AC 是弦，CD 切☉O 于点C ，交AB 的延长线于点D ， 120ACD ∠=，10BD =．（1）求证：CA CD =；（2）求☉O 的半径． 7．ABC △内接于⊙O ，点D 在半径OB 的延长线上，30BCD A ∠=∠=°．（1）试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O 的半径长为1，求由弧BC 、线段CD 和BD 所围成的阴影部分面积（结果保留π和根号）． 8. 如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，点A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB =70°．求∠P 的度数． A C D

初中数学圆的切线的证明

优秀学习资料欢迎下载 圆的切线的证明 一、“见切点，连半径”――证明半径与直线垂直 例1．AB 是 O 的直径，AB AC ，BC 交⊙O 于P Q ，是AC 的中点．求证：QP 是⊙O 的切线． 分析：本例中，要证明“QP 是⊙O 的切线”，因为 P 在⊙O 上，如果结论成立，则点P 肯定是切点，所以只要连接 OP ，证明OP PQ 即可．证明：连接OP ，PA ， AB 是⊙O 的直径，90APB ∴．在Rt APC △中，Q 是AC 的中点， PQ AQ ∴，QAP QPA ∴．又OP OA ，OAP QPA ∴，OAQ QPO ∴．AB AC ，OP PQ ∴．QP ∴是⊙O 的切线． 二、“过圆心，作垂线”――证明垂线段等于半径 例2．直角梯形ABCD 中， 以腰CD 为直径的⊙1O 恰与另一腰AB 相切，求证：以腰AB 为直径的⊙2O 也与腰 CD 相切．分析：要证明以腰 AB 为直径的⊙2O 与腰CD 相切，因为⊙2O 的半径是AB 的一半，由切线的定义可知， CD 如果与⊙2O 相切，则2O 到CD 的距离应等于半径12AB ，所以过2O 作2O E CD ，证明212 O E AB 即可．证明：过1O 作12 O O AB ，则22O A O B ，作21DF O O 于F ，作2O E CD 于E ， AB 与⊙1O 相切，12 1O O O D ∴．211211Rt Rt O O E DO F O O E DO F ，∴△≌△，2O E DF ∴．2DF O A ，21 2O E AB ∴，∴以腰AB 为直径的⊙2O 也与腰CD 相切．A B C Q P O A B C D E F 1O 2O

九年级上册圆的切线证明和计算训练(一)

九年级上册圆的切线证明和计算专题训练 1．如图，以等腰ABC ?中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE AC ⊥，垂足为E．（I）求证：DE为⊙O的切线； （II）若⊙O的半径为5，60 ∠=o，求DE的长． BAC 2．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE. (1)DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由； (2)若AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根，求直角边BC的长。 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上一点（除端点外），过三点A，B，P作⊙O．（1）指出圆心O的位置； （2）当AP＝3时，判断CD与⊙O的位置关系； （3）当CD与⊙O相切时，求BC被⊙O截得的弦长．

4．．已知：如图，点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ，BC OC =， OB AC 2 1 =． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若?=∠45ACD ，2=OC ，求弦CD 的长． A 第19题 5.已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=o ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O e （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长． 6．如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的圆O 与AD 、AC 分别交于点E 、F ，且∠ACB=∠DCE ． (1)判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若AB=3,BC=4,DE=DC ，求⊙O 的半径． A D

九年级圆切线证明专题

九年级圆切线证明专题 ☆1．如图所示，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°（1）求证△BDE是等边三角形； （2）若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想。 ☆2．如图所示，△ABC为圆内接三角形，A B＞AC，∠A的平分线AD交圆于D，作D E⊥AB于E，D F⊥AC于F，求证：BE=CF 3.如图所示，已知：AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE， 求证：CE=BE 4.已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点。求证：MC=NC 5．如图所示，在⊙O中，A、B、C三点在圆上，且∠CBD=60，那么∠AOC=__________ 6．如图所示，CD是圆的直径，O是圆心，E是圆上一点且 ∠EOD=45°，A是DC延长线上一点，AE交圆于B，如果AB=OC，则∠EAD= ____________ 7.D、C是以AB为直径的半圆弧上两点，若弧BC所对的圆周角为25°弧AD所对的圆周角为35°，则弧DC所对的圆周角为_____ 度 8．如图所示，已知AB、CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB， ∠DOE=70°则∠BOD=___________ 9．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB 于点D，则∠ACD=___________ 10．如图所示，如果的⊙O半径为2弦 AB= AB的距离OE为（） A． 1 B C． 1 2D 11．如图所示，⊙O的半径为5，弧AB所对的圆心角为120°，则弦AB的长为（） A． 3B ．2C．8 D． 12．如图所示，正方形ABCD内接于⊙O中，P是弧AD上任意一点，则∠ABP+∠DCP 等于（） A．90°B。45 °C。60°D。30° 13、点O是同心圆的圆心，大圆半径OA、OB交小圆于点C、D。求证：AB∥CD（6分） 14、如图，点C是AB上的点，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE。求证：点C是 AB的中点。（6分） 15.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的度数是________. (1) (2) (3) 16.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形. 17.已知,如图3,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度. 18.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度. (4) (5) (6)

中考九年级证明圆的切线例题方法

本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ 切线证明法 一、若直线 l 过⊙O 上某一点 A ，证明 l 是⊙O 的切线，只需连 OA ，证明 OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直” ，难点在于如何证明两线垂直 . 例 1 如图，在△ ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙ O 交 BC 于D ，交 AC 于 E ， B 为切点的切线交 OD 延长线于 F. 说明： 例 2 如图， AD 是∠ BAC 的平分线， 求证： PA 与⊙ O 相切 . 证明一： 作直径 AE ，连结 EC. ∵AD 是∠ BAC 的平分线， ∴∠ DAB= ∠ DAC. ∵PA=PD ， 求证： EF 与⊙O 相切. 证明： 连结 OE ， AD. ∵AB 是⊙ O 的直径， ∴AD ⊥ BC. 又∵ AB=BC ， ∴∠ 3=∠ 4. ∴B ⌒ D=D ⌒ E ，∠ 1=∠ 2. 又∵ OB=OE ， OF=O F ， ∴△ BOF ≌△ EOF （SAS ）. ∴∠ OBF= ∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥ BF. ∴EF 与⊙O 相切. 此题是通过证明三角形全等证明 P 为BC 延长线上一点，且 PA=PD.

本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ ∴∠ 2=∠1+∠ DAC. ∵∠ 2=∠B+ ∠ DAB ， ∴∠ 1=∠ B. 又∵∠ B= ∠E ， ∴∠ 1=∠ E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴ AC ⊥ EC ，∠ E+ ∠ EAC=90 0 . ∴∠ 1+∠ EAC=90 0. 即 OA ⊥ PA. ∴PA 与⊙O 相切. ∵PA=PD ， ∴∠ PAD= ∠PDA. 又∵∠ PDA= ∠BDE, ∴∠ 1+∠PAD=90 0 即 OA ⊥ PA. ∴PA 与⊙O 相切 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用 如图， AB=AC ，AB 是⊙ O 的直径，⊙ O 交 BC 于 D ，DM ⊥AC 于 M 求证： DM 与⊙ O 相切. 证明二： 延长 AD 交⊙O 于 E ，连结 ∵A ⌒D 是⌒∠ BAC 的平分线， ∴ BE=CE ， ∴ OE ⊥BC. ∴∠ E+∠ BDE=90 0. ∵ OA=OE ， ∴∠ E=∠ 1. 说明： 例3

九年级圆切线证明专题

九年级圆切线证明专题 ☆ 1．如图所示，在△ABC 中，∠BAC 与∠ABC 的平分线AE 、BE 相交于点E ，延长AE 交△ABC 的外接圆于D 点，连接BD 、CD 、CE ，且∠BDA=60° （1） 求证△BDE 是等边三角形； （2） 若∠BDC=120°，猜想BDCE 是怎样的四边形，并证明你的猜想。 ☆ 2．如图所示，△ABC 为圆内接三角形，A B ＞AC ，∠A 的平分线AD 交圆于D ，作D E ⊥AB 于E ，D F ⊥AC 于F ，求证：BE=CF B 3.如图所示，已知：AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ， 求证：CE=BE E D

4.已知如图所示，OA 、OB 、OC 是⊙O 的三条半径，弧AC 和弧BC 相等，M 、N 分别是OA 、OB 的中点。求证：MC=NC C 5．如图所示，在⊙O 中，A 、B 、C 三点在圆上，且∠CBD=60，那么∠AOC=__________ 6．如图所示，CD 是圆的直径，O 是圆心，E 是圆上一点且 ∠EOD=45°，A 是DC 延长线上一点，AE 交圆于B ，如果AB=OC ，则∠EAD= ____________ 第12题图 第11题图 D 7.D 、C 是以AB 为直径的半圆弧上两点，若弧BC 所对的圆周角为25°弧AD 所对的圆周角为35°，则弧DC 所对的圆周角为_____ 度 8．如图所示，已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦DE ∥AB ， ∠DOE=70°则∠BOD=___________ 9．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D ，则∠ACD=___________ 第 9 题图 第 8 题图 B B

中考复习专题 圆切线证明

中考复习专题 --------圆的切线的判定与性质 知识考点： 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。 2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。 精典例题： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线. 例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切. 二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切. 例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900. 求证：CD是⊙O的切线. [习题练习] 例1如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD． 例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC?交于点E，求证：△DEC为等腰三角形． 例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB?的延长线于D，求证：AC=CD． ?? ，BF和 AB AF 例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，