空间直线异面直线间的距离

空间直线（四）—异面直线间的距离

一、 教学目的：（1）理解两条异面直线垂直的概念；（2）了解两条异面直线的公垂线；（3）会求两条异面直线间的距离及主要方法。 二、 教学重点、难点：异面直线间的距离。 三、 教学过程：1、复习： （1）异面直线的定义：； （2）两条异面直线所成的角：；

?当两条异面直线互相垂直时；

两条异面直线所成的角的范围是；

2、观察正方体ABCD —1111D C B A 中，正方体的棱1AA 和11C B 所在的直线，直线11B A 和它

们都，

直线1AA 和11D C 直线，直线11D A 和它们都 。

3、两条异面直线的公垂线的定义：

4、两条异面直线间的距离的定义：

练习（1）；设上图中，已知正方体ABCD —1111D C B A 的棱为a . （1）则异面直线AB 和11C B 的公垂线为；它们的距离是； （2）则异面直线1AA 和C B 1的公垂线为；它们的距离是； （3）则异面直线AC 和11D B 的公垂线为；它们的距离是； [思考题]：则异面直线AC 和1BD 的公垂线为；它们的距离是； [例1]：如图，PA ⊥矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=15.

（1） 求直线PA 、BC 间的距离；

（2） 求直线PA 、BD 间的距离；

A B

C D

A 1

B 1

C 1

D 1

P

C

D

（3） 求直线AD 与PC 所成角的余切值。

[例2]：已知正四面体ABCD 中（各边均相等的四面体），若AB=1。

求：AB 和CD 间的距离。 练习（2）1、判断题；

（1）d c b a ,,,是4条直线，;////,//,//d a d c c b b a ?-------------（）

（2）若b a ,是直线，βα,是平面，且,,βα??b a 则b a ,一定是异面直线（）

（3）

b c a c b a ⊥?⊥,//----------------------------------------------------------

-----（）

（4）

b a

c b c a //,?⊥⊥----------------------------------------------------------

----（）

2、填空题：

（1）已知b a ,是两条直线，且b a //，φ=?b a ，那么a 与b ；

（2）已知c b a ,,是三条直线，且a b a ,//和c 所成的角为030，那么b 和c 所成的角

的大小为；

（3）1AA 是长方体的一条棱，这个长方体中与1AA 垂直的棱共有；

（4）如果b a ,是异面直线，直线c 与b a ,都相交，那么由这三条直线中的两条所

确定的平面共有个。

3、如图，已知长方体的长和宽都是cm 32，高

是cm 2. （1） B C 和11C A 所成的角是多少度？

（2）

1AA 和1BC 所成的角是多少度？ 11B A 和1DD ，以及11C B 和CD 的距离各是多少？作业：P157、8

A

B

C

D

A B

A

B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

求异面直线间距离的几种常用方法

求异面直线间距离的几种常用方法 1 辅助平面法 (1)线面垂直法，用于两条异面直线互相垂直情况．若已知两条异面直线互相垂直，那么可以寻找一个辅助平面，使它过其中一条直线且垂直于另一条直线，在辅助平面上，过垂足引前一条直线的垂线，就得到这两条异面直线的公垂线，并求其长度． 例1 如图1所示正三棱锥V－ABC的底面边长为a，侧棱为b，求AB与VC的距离． 解：在正三棱锥V－ABC中，△AVC≌△BVC，作BE⊥VC，连AE，则AE⊥VC，且AE ＝BE， ∴VC⊥平面AEB ∴VC⊥AB 取AB中点D，连DE，则DE⊥AB，又VC⊥DE． ∴DE是异面直线AB与VC的公垂线． 分析：这样求异面直线间距离就化为平面几何中求点到直线的距离了． 作VF⊥BC，则有

(2)线面平行法，用于一般情况．其用法为：过其中一条直线作与另一条直线平行的平面，这样可把求异面直线间的距离转化为求点到面的距离． 例2 如图2所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BB1＝a，BC＝b，试求异面直线AB与A1C之间的距离． 解：∵AB∥A B，∴AB∥平面A B C，于是AB与平面A B C间的距离即为异面 直线AB与A C之间的距离． (3)面面平行法，求两异面直线的距离，除了上面(2)介绍的转化为线面的距离外，还可以转化为面面的距离，即作两平行的辅助平面，分别过其中的一条，两平行平面间的距离就为此两异面直线的距离． 例3 如图3所示，夹在两平行平面α和β间的异面直线AB、CD，在平面β的射影分别是12cm和2cm，它们与平面β的交角之差是45°，求AC与BD之间的距离．

点到直线的距离公式教案

点到直线的距离公式教案 江苏省无锡市惠山区长安中学徐忠 一、教案背景 1.教材。 本课时选自江苏教育出版社的中等职业学校国家审定教材《数学》第7章解析几何第2节两直线的位置关系中的一节，是直线形解析几何内容的最后一个知识点。点到直线的距离公式是解析几何中计算距离的两个重要的基础公式之一。相对于另一个距离公式也就是两点间的距离公式，它需要有更强的综合知识的能力和计算能力，它既是学习曲线形解析几何内容的必备条件，也是直线形解析几何内容的难点。同时，本公式也体现了解析几何中的数学美，以及解析几何在解决数学问题中所展现的逻辑美。 2.学生。 本课时的教学对象是职业高中学生。作为中考成绩最差的一部分，这些学生学习能力弱，对基础知识的掌握和数学能力的运用方面都有很大的缺陷。他们的学习意志也不坚定，遇到困难很容易放弃。但他们对于能够理解和掌握的知识会表现出很大的兴趣。 二、课时分析 针对以上分析，对本课时作如下定位。 1.教学目标： （1）掌握点到直线的距离公式，初步使用公式解相关习题。 （2）锻炼学生的计算能力，培养良好的学习习惯。 （3）体会公式中的数学美；培养学生“数形结合”的数学思想。 2.重点：点到直线的距离公式。 3.难点：点到直线的距离公式的初步应用。 三、教学方法 1.教法。本课教法以讲授为主。采用“提出问题——解决问题”的过程来设计教学。通过 从简单到复杂，从特殊到一般，循序渐进，逐步深入地使学生理解本课主题。对基础比较薄弱的学生来说，这也是最容易接受的教学方式。 2.学法。本课学法以练习为主。在学生取得初步印象后，随时通过学生练习来加深理解， 巩固知识。学生练习是职高学生理解、掌握知识的重要途径，也是锻炼能力、培养良好学习习惯的有效方法。 四、教学过程 （一）知识准备 1.两点间的距离公式。 2.直线方程的一般形式。 3.两直线平行，则____；两直线垂直，则____。 4.点与直线的位置关系；两相交直线的交点坐标。 设计目标：复习已有知识，为新课作准备。 （二）问题提出 什么是点到直线的距离？ 设计目标：理解点到直线的距离的几何意义，使学生重温“垂线段”这个名词。 （三）问题解决 1.当直线平行于坐标轴时的情况。例：求点A(2,-3)到下列直线的距离d： (1) y=7；(2) x +1=0． =7

异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题)

异面直线间的距离 求异面直线之间距离的常用策略：求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。 常用方法有： 1、定义法 2、垂直平面法（转化为线面距） 3、转化为面面距 4、代数求极值法 5、公式法 6、射影法 7、向量法 8、等积法 1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。

例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。 思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得 CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2 a 。即异面直线CD 与AE 间的距离为2 a 。 2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。 例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。 思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作

空间点到直线的距离公式

空间点到直线的距离公式 y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z- zl)/p=t。 (1)式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向 量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线 的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法， 请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0, y0, z0)到直线L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl、 (3)且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0- xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知 数“xc, yc, zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0- yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6)其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。 第 1 页共 1 页

空间两点之间的距离公式

空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC

例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结

点到直线的距离公式应用

点与直线问题 (1)点P （x 0，y 0）到直线Ax ＋By ＋C=0 的距离 (运用本公式要把直线方程变为一般 式) （2）两条平行线 之 间的距离 (运用此公式时要注意把两平行线方程 x 、y 前面的系数变为相同的) (3)点 P （x ，y ）关于Q （a ，b ）的对称点为P'（2a －x ，2b －y ） (4)直线关于点对称:在已知直线上任取两点A 、B,再分别求出A 、B 关于P 点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. (5)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分” 设 P （x 0，y 0），l ：Ax ＋By ＋C=0（A 2＋B 2≠0），若P 关于l 的对称点的坐标Q 为（x ，y ），则l 是PQ 的垂直平分线，即①PQ ⊥l ；②PQ 的中点在l 上， 解方程组可得 Q 点的坐标 例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离 解：22 |3(1)2|5330d ?--= =+ 例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C (–1， 0)，求三角形ABC 的面积. 解：设AB 边上的高为h ，则 221 ||2||(31)(13)22 ABC S AB h AB =?=-+-=V AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在直线方程为31 1331 y x --= -- 即x + y – 4 = 0. 点C 到x + y – 4 = 0的距离为h 2|104|5112 h -+-==+， 因此，15225 22S ABC =??= 例3 求两平行线 l 1：2x + 3y – 8 = 0 l 2：2x + 3y – 10 =0的距离. 解法一：在直线l 1上取一点P (4,0)，因为l 1∥l 2，所以P 到l 2的距离等于l 1与l 2的距离，于是 22|243010|21313 23 d ?+?-==+ 解法二： 直接由公式22 |8(10)|21313 23d ---= =+ 例 4、求直线3x －y －4=0关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程

空间直线异面直线间的距离

空间直线（四）—异面直线间的距离 一、 教学目的：（1）理解两条异面直线垂直的概念；（2）了解两条异面直线的公垂线；（3）会求两条异面直线间的距离及主要方法。 二、 教学重点、难点：异面直线间的距离。 三、 教学过程：1、复习： （1）异面直线的定 义： ； （2）两条异面直线所成的 角： ； ?当两条异面直线互相垂直 时 ； 两条异面直线所成的角的范围 是 ； 2、观察正方体ABCD —1111D C B A 中，正方体的棱1AA 和1 1C B 所在的直线，直线11B A 直线1AA 和11D C 直线，直线 。 3 4 练习（1）；设上图中，已知正方体ABCD —1111D C B A 的棱为a . （1）则异面直线AB 和11C B 的公垂线为 ；它们的距离 是 ； （2）则异面直线1AA 和C B 1的公垂线为 ；它们的距离 是 ； （3）则异面直线AC 和11D B 的公垂线为 ；它们的距离 是 ； [思考题]：则异面直线AC 和1BD 的公垂线为 ；它们的距离 是 ； [例1]：如图，PA ⊥矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=15. （1） 求直线PA 、BC 间的距离； （2） 求直线PA 、BD 间的距离； （3） 求直线AD 与PC 所成角的余切值。 [例2]：已知正四面体ABCD 中（各边均相等的四面体），若AB=1。 求：AB 和CD 间的距离。 A B D C 1 P A B C D

练习（2）1、判断题； （1）d c b a ,,,是4条直线，;////,//,//d a d c c b b a ?-------------（ ） （2）若b a ,是直线，βα,是平面， 且,,βα??b a 则b a ,一定是异面直线（ ） （3）b c a c b a ⊥?⊥,//---------------------------------------------------------------（ ） （4）b a c b c a //,?⊥⊥--------------------------------------------------------------（ ） 2、填空题： （1）已知b a ,是两条直线，且b a //，φ=?b a ，那么a 与b ； （2）已知c b a ,,是三条直线，且a b a ,//和c 所成的角为030，那么b 和c 所 成的角的大小为 ； （3）1AA 是长方体的一条棱，这个长方体中与1AA 垂直的棱共 有 ； （4）如果b a ,是异面直线，直线c 与b a ,都相交，那么由这三条直线中的 两条所确定的平面共有 个。 3、如图，已知长方体的长和宽都是cm 32， 高是cm 2. （1） BC 和11C A 所成的角是多少度？ （2） 1AA 和1BC 所成的角是多少度？ 11B A 和1DD ，以及11C B 和CD 的距离各是多少？ 作业： P 15 7、8 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1

空间直线异面直线间距离的一个简明公式

异面直线间距离的一个简明公式 本文先给出两条异面直线间的距离公式，然后指出其在解题中的应用. 定理 如图1，异面直线AB ，CD 分别在二面角α—AC —β的面α和β内，二面角α—AC —β的大小为θ，AC =l ，∠ACD =x ，∠BAC =y .那么异面直线AB 与CD 间的距离 d =.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin 222θθθ y x y x l +++ 证：如图1，过点D 作平面α的垂线DF ，F 为垂足.在平面α内，过点F 作FG ⊥AB 于G ，FE ⊥AC 于E ，连结DE ，DG . 则∠DEF =θ，且（DG ）min =d . 设DF =t ，在Rt △DFE 中，EF =t ctg θ. 在Rt △DEC 中，EC =DE ctg x =t csc θ·ctg x . ∴AE =AC -EC =l -t csc θctg x . 图1 图2 在四边形AEFG 中（图2），过点F 作AE 的平行线交AG 于M ，过点M 作MN ⊥AE 于N .则 MF =NE =AE -AN =.ctg ctg ctg csc ctg )ctg csc (y t x t l y EF x t l θ-θ-=-θ- 在Rt △MGF 中，FG =.sin )ctg ctg ctg csc (sin y y t x t l y MF θ-θ-= 所以在22222]sin )ctg ctg ctg csc [(,Rt y y t x t l t DF GF GD DGF θ-θ-+=+=?中 .sin )cos ctg sin sin ctg (sin 2])cos ctg sin sin ctg (1[2222y l t y y x y l t y y x +θ+θ ?-θ+θ+= 根据二次函数的极值公式可得 )4/()4()(2min 2a b ac GD -=

求两条异面直线之间距离的两个公式

求两条异面直线之间距离的两个公式 王文彬 （抚州一中 江西 344000） 本文介绍求异面直线距离的两个简捷公式，以及如何定量地确定异面直线公垂线的方法. 1.公式一 如图1，1l 、2l 是异面直线，2l ?平面α，1l A α?=，1l 在α内的射影为l ，设2l l B ?=，且12,l l 与l 所成的角分别为12,θθ，AB m =，则1l 与2l 之间的距离为 d = （1） 证明：设1l 与2l 的公垂线为MN ，如 图1所示，过M 作MH l ⊥于H ，由于1l 在平面α内的射影为l ，故MH ⊥平面α， NM 在α内的射影为NH .由2MN l ⊥知 2NH l ⊥. 在Rt BNH ?中 22cos ()cos BN BH AB AH θθ==- 12(cos )cos m AM θθ=-……………………………① 同理21(cos )cos AM m BN θθ=-…………………② 联立①②解得 212 22 12cos sin 1cos cos m AM θθθθ=- （1.1） 221 22 12 cos sin 1cos cos m BN θθθθ=- （1.2） 图1

从而 212 1122 12cos sin sin sin 1cos cos m MH AM θθθθθθ==?- 221 222212 cos sin tan tan 1cos cos m NH BN θθθθθθ==?- () () 2 2 2 2 2 4 22421 212122 2 2 1 2 cos sin sin cos sin tan 1cos cos m MN MH NH θθθθθθθθ∴=+= +- () () 2 2 4242 12112 2 2212sin sin cos sin sin 1cos cos m θθθθθθθ= +- () ()2 22222 121212 2 2 1 2 sin sin cos sin sin 1cos cos m θθθθθθθ= ?+- () ()2 2222221212122 2 2221212sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin m θθθθθθθθθθ= ?+-+- 22212 2222 1212sin sin sin sin sin sin m θθθθθθ=+-22212csc csc 1m θθ=+-. 即有公式（1）成立. 运用公式（1）求1l 与2l 之间的距离时，无需知道它们公垂线的位置，但如果要确定公垂线的位置，则可根据公式（1.1）和公式（1.2）分别计算出AM 和BN 的值，进而确定公垂线MN 具体位置. 2.公式二 如图2，1l 、2l 是异面直线，1A l ∈，2AH l ⊥于H ，1l 与AH ，1l 与2l 所成的角分别为,αθ， AH m =，则1l 与2l 之间的距离为 d = （2） 证明：过A 作2//l l ，设由l 与2l 确定的

空间点到直线距离的多种解法

空间点到直线距离的多种解法 摘 要 在空间解析几何中，空间点、直线、平面之间的关系是学习的重点，点和直线的位置关系包括两种：点在直线上，点在直线外.当点在直线外时，点到直线距离的计算随之出现.关于解决点到直线距离的问题，涵盖了空间解析几何中两点间距离、向量运算、直线方程、平面方程等诸多知识点.本文将对一具体例题，介绍点到直线距离的多种解法. 关键词 点、直线、距离、向量、平面、解法 例：求点A （2，4，1）到直线L ：3 2 221--= =+z y x 的距离 1运用向量积的计算及向量积的几何意义 已知直线方程111 x x y y z z X Y Z ---== ，直线外一点A ()000,,x y z ，直线上 一点M ()111, ,x y z ，以和M 构成平行四边形，这里为直线的方向向量.显 然直线外一点A 到直线的距离d 就是这平行四边形的对应于以为底的高.即 = 2 2 2 1 01 01 01 01 01 0Z Y X Y X y y x x X Z x x z z Z Y z z y y ++--+ --+ -- 解：如图（1），过点A 作直线L 的垂线，垂足为B. 设M （-1，0，2）为L 上任一点， v ={2，2，-3} 为L 的方向向量. 以v 和A M 为两边构成平行四边形 ， 显然点A 到直线L 的距离AB 就是 为底的高 即AB = () 2 2 2 2 2 2 3222 2432 3313 21 4 -++ + --+ --=3

2 运用平面方程、参数方程及线面交点的方法 由点法式得到过线外一点A 且与直线垂直的平面方程.将直线方程 111x x y y z z X Y Z ---== 转化成参数方程 1 11x Xt x y Yt y z Zt z =+?? =+??=+? 由此设出垂足B 坐标，又因为垂足B 在平面方程上，即可得出B 点坐标.再由两点间距离公式得出点到直线的距离. 解： 先求过点A 与直线L 垂直的平面方程.用点法式，得 2（x-2）+2(y-4)-3(z-1)=0 即2x+2y-3z-9=0 将直线L 方程用参数方程表示为?? ? ??+-==-=2321 2t z t y t x 由此设垂足B 的坐标为（2t-1，2t,-3t+2） 因B 在垂面上得4t-2+4t+9t-6-9=0 即t=1 所以点B 坐标为（1，2，-1） 所以AB =222)11()24()12(++-+-=3 3 运用两点间距离公式及参数方程的方法 将直线方程 111 x x y y z z X Y Z ---== 转化成参数方程，可设出直线上任一点M '坐标.由两点间距离公式得出M 'A 的表达式，用取M 'A 最小值的方法即得出点到直线的距离. 解： 由直线L 的参数方程?? ? ??+-==-=2321 2t z t y t x 可设L 上任一点 M '的坐标为（2t-1,2t,-3t+2） 由两点距离公式得M 'A =222)13()42()32(+-+-+-t t t =2634172+-t t =()91172 +-t

点到直线的距离公式的七种推导方法

点到直线的距离公式的七种推导方法(转载) 很有用哦 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A 解得交点22 00002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 22222 000000 2222 222200002222 2222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+= ++ +|PQ ∴= 二、 函数法 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 22220022222222000022 0000220000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++= 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不 等式：222222 000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ B 0,Ax y C ++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 四、转化法 证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M 11(,) x y 显然 10 x x =所以 01Ax C y b +=- x

高中数学立体几何空间距离问题

立体几何空间距离问题 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q 是P A的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角 （2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离

●案例探究 ［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为 原点，以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2 a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=?>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.

点到直线的距离公式

课 题：7.3两条直线的位置关系（四） ―点到直线的距离公式 教学目的： 1. 2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 3. 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题王新敞 教学重点：点到直线的距离公式王新敞 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 授课类型：新授课王新敞 课时安排：1课时王新敞 教 具：多媒体、实物投影仪王新敞 内容分析： 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离. 在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问题的能力. 在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解王新敞 教学过程： 一、复习引入： 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 2．斜率存在时两直线的平行与垂直： 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之， 如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ?1k =2k 且21b b ≠ 已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ， 2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A

立体几何——求异面直线距离

异面直线距离 一. 直接法 直接法就是根据定义，直接找出公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。 例1. 如图1所示，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC//D 1B ，且平面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°，AB=a ，求异面直线A B 11与AC 之间的距离。 解：连结DB ，设DB 交AC 于点O 由题设知ABCD A B C D -1111是正四棱柱 则A A ABCD A A AC A A A B 11111⊥⊥⊥底面，即，而 所以A A 1是异面直线A B 11与AC 的公垂线段 由题意分析知∠为平面与底面DOE EAC ABCD 所成的角 则∠DOE=45° 又∵截面EAC//D 1B ，且平面D 1BD 与平面EAC 的交线为EO ∴D 1B//EO ，∠DBD 1=∠DOE=45° ∴D 1D=DB=2a ∵AA 1=D 1D ∴异面直线A 1B 1与AC 之间的距离为2a

二. 间接法 间接法就是当采用直接法不便于求解或证明时，可利用已知条件进行间接求解或证明的方法。 （1）线面距离法 线面距离法就是选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平行平面的距离即为异面直线间的距离。 例2. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=4，求异面直线AB与A1C间的距离。 解：如图2所示，连结A1D 由AB//DC，得AB//平面A1DC 故AB到平面A1DC的距离即为AB与A1C间的距离 又平面A1D⊥平面A1DC及平面A1D⊥AB 故可在平面A1D内过A作AE⊥A1D于点E 则AE为AB到平面A1DC的距离即为异面直线AB与A1C间的距离。 由AD AA A D AE ·· 11 = 可得AE=12 5 图2 （2）面面距离法 面面距离法就是把所求异面直线间的距离转化为分别过两条异面直线的两个平行平面间的距离。 例3. 如图3所示，正方体ABCD A B C D - 1111 的棱长为1，求异面直线A1D与

利用空间向量求点到平面的距离及异面直线间距离

第五节利用空间向量求点到平面的距离及异面直线间距离 一、 点到平面的距离 设A 是平面α外一点，B 是α内一点，n ρ 为α的一个法向量，则点A 到平面α的 距离n n AB d ρρ?= 例1、 如图，已知ABCD 是边长为4的正方形， E 、 F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD 且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离。 例2、 在三棱锥S-ABC 中，ABC ?是边长为4的正三角形， 平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=32，M 、N 分别是 AB 、SB 的中点。（04福建） （1）证明AC ⊥SB ； （2）求二面角N-CM-B 的大小； （3）求点B 到平面CMN 的距离。 练习：已知ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥平面ABCD 且PD=1，E 、F 分别是AB 、BC 的中点. (1) 求点D 到平面PEF 的距离； (2) 求直线AC 到平面PEF 的距离。 二、 异面直线间距离 设n ρ是异面直线a 、b 的公垂向量，C 为a 上任一点， D 为b 上任一点，则a 、b 间的距离n n CD d ρρ ?=. 例3、 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a. （1） 求异面直线BD 与B 1C 间的距离； （2） 求异面直线AA 1与BD 1间的距离。 三、 证线面平行 若a 是平面α外一直线，所在向量为a ρ，n ρ是α的一个法向量，若a ρ⊥n ρ ，则a ∥α. 例4、 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ， AC=3，BC=4，AA 1=4，点D 是AB 的中点。 （1） 求证：AC ⊥BC 1； （2） 求证：AC 1∥平面CDB 1； （3） 求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余 弦值。（05北京文） 作业：1、如图所示，在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a. (1)求异面直线AA 1与B 1D 1间的距离； （2）求异面直线A 1B 与B 1D 1间的距离。 F E G D C B A N M S C B A P F E D C B A D 1 D C 1 C B 1 B A A 1 D 1 D C 1 C B 1 B A 1 A

高中数学立体几何专题：空间距离的各种计算(含答案)

高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 【 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . ； 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12，即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 、 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23 ,∴CF =FD =2 1,∠EFC =90°,EF = 2221232 2 =??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： } （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离 例1题图 例2题图

求异面直线之间距离的常用策略

求异面直线之间距离的常用策略 求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转化为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。 1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。 例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。 思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得 CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂 线。在⊿ADE 中，∠ADE=1200 ，AD=DE=a ，DH=2a 。即异面直线CD 与AE 间的距离为2 a 。 2 转化为线面距离 若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。 例2 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。 思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作 AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。设A 到平面BCD 的距离为h 。由体积法V A-BCD =V C-ABD ， 得 h= β αβα2 2 cos cos 1sin sin -d 3转化为面面距离 若a 、b 是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a ∈α、b ∈β。求a 、b 两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。 例3已知：三棱锥S-ABC 中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AD 与BC 的距离。 思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等。所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥补形转化为长方体， 设长方形的长、宽、高分别为x 、y 、z ，

点到直线的距离公式的推导过程及其应用

点到直线的距离公式的推导过程 一、公式的导出 设点0:),(000=++C By Ax l y x P 为已知直线外一点，如何求它到该直线的距离？ 解：设过点的到点，垂足为垂直的直线为且与已知直线l P y x D l l P 0/0),,( .0D P d d =，则距离为 2 02022000220002 200222002000000/)()() ()(;00, 0), (; ,0/y y x x d B A C By Ax B y y B A C By Ax A x x B A BC ABx y A y B A AC ABy x B x Bx Ay Ay Bx C By Ax Bx Ay Ay Bx x x A B y y A B k l l B A k C By Ax l l -+-= ∴+++-=-+++-=-∴+--=+--=???=-+-=++=-+--=-=⊥- =?=++， ，，得：，，由即，代入点斜式，得：，所以，又因为由

. )()()(22002 22 002 220022200B A C By Ax B A C By Ax B A C By Ax B B A C By Ax A +++=+++= ?? ? ???+++-+??????+++-= 即，直线外一已知点0P 到已知直线l 的距离公式为： .2 2 00B A C By Ax d +++= 二、公式的应用 （一）求点到直线的距离： 例1、）到下列直线的距离：，（求点21-P ⑴ 0543=+-y x ； ⑵ 53=x ； ⑶ .1-=y 分析：应用点到直线的距离公式时应该把直线方程化为一般式． 解 ⑴式，得根据点到直线的距离公 ： .5 6 )4(35 24)1(32 2=-++?--?= d ⑵，得：将直线方程化为一般式 .053=-x 式，得根据点到直线的距离公： .3 8 035 20)1(32 2=+-?+-?= d ⑶，得：将直线方程化为一般式 .01=+y 式，得根据点到直线的距离公： .31 01 21)1(02 2 =++?+-?= d 评析：当已知直线与x(或y)轴平行时，用几何意义来解会更简洁．

点到直线的距离教学案例

《点到直线的距离》教学设计方案 尹战平 一、教材分析 1、地位与作用：本节是“两条直线的位置关系”的最后一个内容，它是在研究了两条直线的位置关系的判定方法之基础上，研究两条平行线间距离的一个重要公式。推导此公式不仅完善了两条直线的位置关系这一知识体系，而且也为将来用代数方法研究曲线的几何性质奠定了基础。而更为重要的是：通过认真设计这一节教学，能使学生在探索过程中深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，学会利用化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，同时培养学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质，提高学生的数学核心素养。 2、重点、难点及关键：本节学习的重点是理解和掌握点到直线的距离公式，熟练地应用公式求点到直线的距离；难点是点到直线的距离公式的推导及对知识、思想方法的反思升华。本节学习的关键是“怎样想到利用坐标系中的x轴或y轴构造RtΔ，从而推出公式”。对于这个问题，教材中的处理方法是：直接作辅助线（见教材）。这样做，无法展现为什么会想到要构造RtΔ这一最需要学生探索的过程，不利于学生完整地理解公式的推导和掌握与之相应的丰富的数学思想方法。如果照本宣科，则不能摆脱在客观上对学生进行灌注式教学。事实上，为了真正实现以学生为主体的教学，起关键作用的是设计出有利于学生参与教学的内容组织形式。因此，我没有像教材中的那样直接作辅助线，而是对教学内容进行剪裁、重组和铺垫，构建出在探索结论过程中侧重于学生能力培养的一系列教学环节，采用将一般转化到特殊的方法，引导学生通过对特殊的直观图形的观察、研究，自己发现隐藏其中的RtΔ，从而解出|PQ|。在此基础上进一步将特殊问题还原到一般，学生便十分自然地想在坐标系中探寻含PQ的RtΔ，找不到，自然想构造，此时再过P点作x轴或y轴的平行线就显得“瓜熟蒂落，水到渠成”了。本设计力求以启迪思维为核心，设计出能启发学生思维的“最近发展区”，从而突破关键，导出公式。 二、教学对象分析 通过前面几节课的学习，学生已较好地掌握了直线的方程的几种求法和两条直线的平行、垂直等各种关系的实际运用，对一些综合性较强的问题也有了初步的掌握，能独立解决一些关于直线的基础题目。但由于部分的学生基础比较差，学习主动性不强，所以在发挥学习主体地位、独立思考和自我对学习过程的反思、提炼、升华方面还有待提高。 三、设计理念 1、采用投影、计算机等教学手段，增大教学的容量和直观性，一方面从形上验证计算结果，另一方面加深学生的直觉思维，有利于学生对知识的理解和记忆，也培养了学生的学习兴趣。 2、遵循“数学学习的本质是主体（学生）在头脑中建构和发展数学认知结构的过程，是主体的一种再创造行为”的理论，采取以“学生为主体，教师为主导的”启发式教学。在整个教学过程中，教师是学生学习的合作者、引导者和参与者，学生是学习的主体，教学过程是师生交流、共同发展的互动过程。 3、教是为了不教，让学生学会思考的方法，是数学课堂教学的重要任务之一。本节课力求营造民主的教学氛围，给学生以思考空间，使学生学会对过程反思、提炼、升华。 4、以反馈调控为手段，力求反馈的全面性（优、中、差生）与时效性（及时、中肯）。在教学中随时注意学生的全面反馈，评价学生学习进度，由此及时调整教学速度和教学内容的安排。