平面向量数量积的物理背景及其含义导学案

平面向量数量积的物理背景及其含义导学案

【目标展示】

2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系

3、掌握平面向量数量积的性质和运算律

【课程导读】 b 的夹角.

规定：零向量与任一向量的数量积均为 .

（1）θcos ||b 表示什么？ （2）分别在图①②上画出a 在b 方向上的投影，及b 在a 方向上的投影：

(3)数量积的几何意义：a b

?的几何意义是_______与b 在a 方向上的投影 的乘积.

3.向量的数量积的性质： 设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角. （1）a b ⊥? ； （2）当a 与b 同向时，a b ?= ，当a 与b 反向时，a b ?= . （3）a a ?= 或2

a a a a =?=；

（4）cos θ= ； （5）a b ? a b .(填“=”、“≥”“≤”)

4.向量数量积的运算律

已知向量a ，b ，c 和实数λ，则

（1）a b ?= ；（交换律）

（2）()a b λ?= = ；（与数乘的结合律）

（3）()a b c +?= .（分配律）

【方法导练】 1 .已知|a |=5， ||=4， a 与的夹角θ=120o ，则a ·

=________. 2、已知c b a ,,是三个非零向量，下列命题假命题的是（ ） A 、b a b a b a //||||||??=? B 、||||b a b a b a ?-=??反向与 C 、||||b a b a b a -=+?⊥ D 、||||||||c b c a b a ?=??= 2、对于向量c b a ,,和实数λ，下列命题中真命题是（ ） A 、若0=?b a ，则0 =a 或0 =b B 、若0 =a λ，则0=λ或0 =a C 、若22b a =，则b a =或b a -= D 、若c a b a ?=?，则c b =

3、向量a ,b 满足4||,1||==b a ，且2=?b a ，则a 与b 的夹角是（ ）

A 、6π

B 、3π

C 、4π

D 、2

π

4、向量a ,b 满足2||,1||==b a ，a 与b 的夹角为 60，则||b a -=

5、已知︱a ︱=6，︱b ︱=4, a 与b 的夹角为60°，求（a +2b ）·（a -3b ）.

【当堂检测】 1、向量a ,b 满足6||,1||==b a ，且2)(=-?a b a ，则a 与b 的夹角是（ ）

2、已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1) AB AC ? (2) AB BC ? (3) BC AC ?

3、已知向量a 与b 的夹角为 120，且2||,4||==b a ， 求：（1）b a ?；（2）||b a +；（3）)2()(b a b a -?+.

4、已知6||=a ，a 与b 的夹角为 60，且72)3()2(-=-?+b a b a ，求||b

5、已知2||,1||==b a ，a 与b 不共线，k 为何值时，向量b k a +与b k a -垂直？

6、设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与=2n -3m 的夹角.