近五年全国卷理科数学概率与统计(大题)

12丄全国普通高等学校招生统一考试理科数学

18.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫

瑰花作垃圾处理。（1 ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n N）

的函数解析式。（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表:

以100天记录的各需求量

的频率作为各需求量发生

的概

率。

（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差;

（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。

13」全国普通高等学校招生统一考试理科数学

（19 ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.

如果n =3 ,再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n = 4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验?假设这批产品的优质品率

1

为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立?

2

（I）求这批产品通过检验的概率；（n）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品

作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X的分布列及数学期望。

13.II全国普通高等学校招生统一考试理科数学

（19）（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售

出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得

到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以X （单

位：t, 100空X <150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。（I）将T表示为X的函数；（n）根据直方图估计利润T不少于57000的概率；（川）在直方图的需求量分组

中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若

* 100,110，则取X= 105，且X= 105的概率等于需求量落入100,110的T的数学期望。

14」全国普通高等学校招生统一考试理科数学

18. （本小题满分12分）从某企业的某种产品中抽取 500件，测量这些产

品的

一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （I ）求这500件产品质量

2

指标值的样本平均数 x 和样本方差s （同一组数据用该区间的中点值作代表） ；

这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布N （」，、：2），其中」近似为样本平均数 x ,

187.8,212.2 ）的产品件数，利用（i ）的结果，求 EX .

若 Z ?N （=.2），则 P （」-、? ：：：Z 「

、?） =0.6826 , P （亠一

2、. ：：： Z

2、. ）=0.9544.

14.11全国普通高等学校招生统一考试理科数学

19.（本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入 y （单位：千元）的数据如下表:

年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9

（I ）求y 关于t 的线性回归方程；（n ）利用（I ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯 收入的变化情况，并预测该地区

2015年农村居民家庭人均纯收入 .

n _ J

J y i - J

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： b 二丄匕

,召二V - b?T

为 Gi-t ） i 吕

15」全国普通高等学校招生统一考试理科数学

（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费

年利润Z （单位:千元）的影响，对近8年的年宣传费x 和年销售量y i （i

=1,2,...,8） 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。 （I ）根据散点图判

断，

Y 二a bx 与y 二c

. x 哪一个适宜作为年销售量

y 关于年宣传费x 的回归方

程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （n ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立

y 关于x 的回归方程；

2 2

近似为样本方差s . （i ）利用该正态分布求

P （187.8

附：150 胡2.2. x （单位：千元）对年销售量 y （单位：t ）和

63D - fiOC - *

*

3 3D - ■

5AD -

*

翳勺- *

阿-

100 - *

h ■ ,1 」 ■! 十■!十 I I I

34 M 乂机取礬M 43 50 52稠背 年flHt 费/干远

（n ）由频率分布直方图可以认

为,

（川）已知这种产品的年利率Z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（n）的结果回答下列问题:

（i ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大?

1

x

4 y

w

8

—2 工(X i —x) i -1

8

■- 2

Z (W j —w)

i-1

8

S (X i —x)(y i — y)

i -4

8

送(W i — w)( y i — y)

i -4

46.6 563 6.8

289.8

1.6 1469 108.8

8

表中 W = y/X ， W =送 W j

i 2

附：对于一组数据(^，"，(上,?),…/^,.),其回归直线v =「a'!u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为:

n

_

_

A 送

(U i —U)(V i - V) A _ A

_

：=V n

，:? =v -^U

、‘ (U i -U)2

i 4

15.11全国普通高等学校招生统一考试理科数学

(18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A , B 两地区分别随机调查了 20个用户，得到用户对产品的满意度评分 如下： A 地区：62

73 81

92 95

85

74 64 53 76 78 86 95 66

97 78 88 82 76

89

B 地区：73

83 62 51 91 46 53 73

64 82

93 48 65 81 74

56 54 76 65 79

(I)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图， 并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 (不

要求计算出具体值，得出结论即可)；(n )根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级:

满意度评分 低于70分 70分到89分

不低于90分 满意度等级

不满意

满意

非常满意

记时间C ： “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级 ”假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所

给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求

C 的概率

16」全国普通高等学校招生统一考试理科数学

(19)(本小题满分12分)

某公司计划购买 2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰 ?机器有一易损零件，在购进 机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个

200元?在机器使用期间，如果备件不

足再购买，则每个 500元?现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集 并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100

台机器更换的易损零件数的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表 示2台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件

数.

(II )若要求P(X 乞n) 一 0.5，确定n 的最小值;

(III )以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在

(I )求X 的分布列; n =19与n =20之中选其一，应选用哪个?

16.11全国普通高等学校招生统一考试理科数学

（18）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度

的出险次数的关联如下:

上年度出01234工5

险次数

保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a

一年内出01234工5

险次数

概率0.300.150.200.200.100. 05

（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保

费高出60%的概率；（山）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值

16.III全国普通高等学校招生统一考试理科数学

壬科"卫=40.17 I'yfy.-y)1 =0.55

拶若鮒8，幻■勺，旳,^7^2.645.

r =

勢灣瓷式|相关舷

冋吕方程｝中斛率和戡距的朵小二乘由计处式余别为::

"厲一。（比一门

（18）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处

理量（单位：亿吨）的折线图

（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明

（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。

17.I全国普通高等学校招生统一考试理科数学

19. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位:

cm）?根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布

产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(?1-3二，?「3二)之外的零件数，求P(X_1)及X的数学

期望；(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(」一3二，」? 3二)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:

9.95

10.129.969.96

10.01

9.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

_ 1 1611162M

经计算得x X i =9.97 , s 二(X i-X) ：.：—('? X i -16x ) : 0.212，其中N 为抽取的第i 个零

16 i4 V16 i二Y16 y

件的尺寸，i =1,2, ,16 .

用样本平均数X作为'的估计值?？,用样本标准差s作为匚的估计值；：?,利用估计值判断是否需对当天的生产过

程进行检查？剔除(？ -3；?厂？3?)之外的数据，用剩下的数据估计’和二(精确到0.01 ).

附：若随机变量Z服从正态分布N (怙2)，则P()-3二? 3二)=0.997 4 ,

0.997 416 =0.959 2 , 、. 0.008 ： 0.09 ?

17.11全国普通高等学校招生统一考试理科数学

18.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产

量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水

产品的产量(单位：kg)某频率分布直方图如下:

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%勺把握认为箱产量与养殖方法有关:

箱产量v 50kg箱产量》50kg

旧养殖法

新养殖法

)

2

附：K2

n(ad -bc)

(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)

17.III全国普通高等学校招生统一考试理科数学P ( ) 0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828

过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. (i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是

4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;

18.( 12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶

处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完?根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C）有关?如

果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20, 需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少

时，Y的数学期望达到最大值？

18」全国普通高等学校招生统一考试理科数学

20 .某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则

更换为合格品?检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每

件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立?

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点.

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的'作为，的值?已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

18.11全国普通高等学校招生统一考试理科数学

17 .下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图.

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型. 根据2000年至2016

年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变