一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.(操作发现)
(1)如图1,△ABC为等边三角形,先将三角板中的60°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=30°,连接AF,EF.
①求∠EAF的度数;
②DE与EF相等吗?请说明理由;
(类比探究)
(2)如图2,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,先将三角板的90°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=45°,连接AF,EF.请直接写出探究结果:
①∠EAF的度数;
②线段AE,ED,DB之间的数量关系.
【答案】(1)①120°②DE=EF;(2)①90°②AE2+DB2=DE2
【解析】
试题分析:(1)①由等边三角形的性质得出AC=BC,∠BAC=∠B=60°,求出
∠ACF=∠BCD,证明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=60°,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;
②证出∠DCE=∠FCE,由SAS证明△DCE≌△FCE,得出DE=EF即可;
(2)①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC,∠BAC=∠B=45°,证出∠ACF=∠BCD,由SAS证明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=45°,AF=DB,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°;
②证出∠DCE=∠FCE,由SAS证明△DCE≌△FCE,得出DE=EF;在Rt△AEF中,由勾股定理得出AE2+AF2=EF2,即可得出结论.
试题解析:解:(1)①∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,
∠BAC=∠B=60°.∵∠DCF=60°,∴∠ACF=∠BCD.
在△ACF和△BCD中,∵AC=BC,∠ACF=∠BCD,CF=CD,∴△ACF≌△BCD(SAS),
∴∠CAF=∠B=60°,∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;
②DE=EF.理由如下:
∵∠DCF=60°,∠DCE=30°,∴∠FCE=60°﹣30°=30°,∴∠DCE=∠FCE.在△DCE和△FCE 中,∵CD=CF,∠DCE=∠FCE,CE=CE,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF;
(2)①∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴AC=BC,
∠BAC=∠B=45°.∵∠DCF=90°,∴∠ACF=∠BCD.在△ACF和△BCD中,∵AC=BC,
∠ACF=∠BCD,CF=CD,∴△ACF≌△BCD(SAS),∴∠CAF=∠B=45°,AF=DB,
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°;
②AE2+DB2=DE2,理由如下:
∵∠DCF=90°,∠DCE=45°,∴∠FCE=90°﹣45°=45°,∴∠DCE=∠FCE.在△DCE和△FCE 中,∵CD=CF,∠DCE=∠FCE,CE=CE,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF.在Rt△AEF 中,AE2+AF2=EF2,又∵AF=DB,∴AE2+DB2=DE2.
2.已知△ABC是边长为4的等边三角形,边AB在射线OM上,且OA=6,点D是射线OM 上的动点,当点D不与点A重合时,将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,连接DE.
(1)如图1,猜想:△CDE的形状是三角形.
(2)请证明(1)中的猜想
(3)设OD=m,
①当6<m<10时,△BDE的周长是否存在最小值?若存在,求出△BDE周长的最小值;若不存在,请说明理由.
②是否存在m的值,使△DEB是直角三角形,若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)等边;(2)详见解析;(3)3;②当m=2或14时,以D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形.
【解析】
【分析】
(1)由旋转的性质猜想结论;
(2)由旋转的性质得到∠DCE=60°,DC=EC,即可得到结论;
(3)①当6<m<10时,由旋转的性质得到BE=AD,于是得到
C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,于是得到结论;
②存在,分四种情况讨论:a)当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形;
b)当0≤m<6时,由旋转的性质得到∠ABE=60°,∠BDE<60°,求得∠BED=90°,根据等边
三角形的性质得到∠DEB=60°,求得∠CEB=30°,求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m;
c)当6<m<10时,此时不存在;
d)当m>10时,由旋转的性质得到∠DBE=60°,求得∠BDE>60°,于是得到m=14.
【详解】
(1)等边;
(2)∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,∴∠DCE=60°,DC=EC,∴△CDE 是等边三角形.
(3)①存在,当6<t<10时,由旋转的性质得:BE=AD,
∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由(1)知,△CDE是等边三角形,∴DE=CD,
∴C△DBE=CD+4,由垂线段最短可知,当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,此时,CD=23,∴△BDE的最小周长=CD+4=23+4;
②存在,分四种情况讨论:
a)∵当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形,∴当点D与点B重合时,不符合题意;
b)当0≤m<6时,由旋转可知,∠ABE=60°,∠BDE<60°,∴∠BED=90°,由(1)可知,△CDE是等边三角形,∴∠DEB=60°,∴∠CEB=30°.
∵∠CEB=∠CDA,∴∠CDA=30°.
∵∠CAB=60°,∴∠ACD=∠ADC=30°,∴DA=CA=4,∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2,∴m=2;
c)当6<m<10时,由∠DBE=120°>90°,∴此时不存在;
d)当m>10时,由旋转的性质可知,∠DBE=60°,又由(1)知∠CDE=60°,
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC,而∠BDC>0°,∴∠BDE>60°,∴只能∠BDE=90°,从而∠BCD=30°,∴BD=BC=4,∴OD=14,∴m=14.
综上所述:当m=2或14时,以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.
【点睛】
本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定和性质,三角形周长的计算,直角三角形的判定,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
3.在平面直角坐标系中,O为原点,点A(8,0),点B(0,6),把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′B′O′,点A、O旋转后的对应点为A′、O′,记旋转角为α.
(1)如图1,若α=90°,则AB=,并求AA′的长;
(2)如图2,若α=120°,求点O′的坐标;
(3)在(2)的条件下,边OA上的一点P旋转后的对应点为P′,当O′P+BP′取得最小值时,直接写出点P′的坐标.
【答案】(1)10,102;(2)(33,9);(3)12354 55
(,)
【解析】
试题分析:(1)、如图①,先利用勾股定理计算出AB=5,再根据旋转的性质得BA=BA′,∠ABA′=90°,则可判定△ABA′为等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长;(2)、作O′H⊥y轴于H,如图②,利用旋转的性质得BO=BO′=3,∠OBO′=120°,则
∠HBO′=60°,再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长,然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标;(3)、由旋转的性质得BP=BP′,则
O′P+BP′=O′P+BP,作B点关于x轴的对称点C,连结O′C交x轴于P点,如图②,易得O′P+BP=O′C,利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小,接着利用待定系数法求
出直线O′C的解析式为y=x﹣3,从而得到P(,0),则O′P′=OP=,作
P′D⊥O′H于D,然后确定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D 和DO′的长,从而可得到P′点的坐标.
试题解析:(1)、如图①,∵点A(4,0),点B(0,3),∴OA=4,OB=3,
∴AB==5,
∵△ABO绕点B逆时针旋转90°,得△A′BO′,∴BA=BA′,∠ABA′=90°,
∴△ABA′为等腰直角三角形,∴AA′=BA=5;
(2)、作O′H⊥y轴于H,如图②,∵△ABO绕点B逆时针旋转120°,得△A′BO′,
∴BO=BO′=3,∠OBO′=120°,∴∠HBO′=60°,在Rt△BHO′中,∵∠BO′H=90°﹣
∠HBO′=30°,
∴BH=BO′=,O′H=BH=,∴OH=OB+BH=3+,∴O′点的坐标为
();
(3)∵△ABO绕点B逆时针旋转120°,得△A′BO′,点P的对应点为P′,∴BP=BP′,
∴O′P+BP′=O′P+BP,作B点关于x轴的对称点C,连结O′C交x轴于P点,如图②,
则O′P+BP=O′P+PC=O′C,此时O′P+BP的值最小,∵点C与点B关于x轴对称,∴C(0,
﹣3),
设直线O′C的解析式为y=kx+b,
把O′(),C(0,﹣3)代入得,解得,
∴直线O′C的解析式为y=x﹣3,当y=0时,x﹣3=0,解得x=,则P (,0),
∴OP=,∴O′P′=OP=,作P′D⊥O′H于D,
∵∠BO′A=∠BOA=90°,∠BO′H=30°,∴∠DP′O′=30°,
∴O′D=O′P′=,P′D=,∴DH=O′H﹣O′,
∴P′点的坐标为(,).
考点:几何变换综合题
4.如图1,△ACB、△AED都为等腰直角三角形,∠AED=∠ACB=90°,点D在AB上,连CE,M、N分别为BD、CE的中点.
(1)求证:MN⊥CE;
(2)如图2将△AED绕A点逆时针旋转30°,求证:CE=2MN.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)延长DN交AC于F,连BF,推出DE∥AC,推出△EDN∽△CFN,推出DE EN DN
==,求出DN=FN,FC=ED,得出MN是中位线,推出MN∥BF,证
CF CN NF
△CAE≌△BCF,推出∠ACE=∠CBF,求出∠CBF+∠BCE=90°,即可得出答案;
(2)延长DN到G,使DN=GN,连接CG,延长DE、CA交于点K,求出BG=2MN,证△CAE≌△BCG,推出BG=CE,即可得出答案.
试题解析:
(1)证明:延长DN交AC于F,连BF,
∵N为CE中点,
∴EN=CN,
∵△ACB和△AED是等腰直角三角形,∠AED=∠ACB=90°,DE=AE,AC=BC,
∴∠EAD=∠EDA=∠BAC=45°,
∴DE∥AC,
∴△EDN∽△CFN,
∴DE EN DN
==,
CF CN NF
∵EN=NC,
∴DN=FN,FC=ED,
∴MN是△BDF的中位线,
∴MN∥BF,
∵AE=DE,DE=CF,
∴AE=CF,
∵∠EAD=∠BAC=45°,
∴∠EAC=∠ACB=90°,
在△CAE和△BCF中,
CAE BCF AE CF ?
∠∠???
== , ∴△CAE ≌△BCF (SAS ), ∴∠ACE=∠CBF , ∵∠ACE+∠BCE=90°, ∴∠CBF+∠BCE=90°, 即BF ⊥CE , ∵MN ∥BF , ∴MN ⊥CE .
(2)证明:延长DN 到G ,使DN=GN ,连接CG ,延长DE 、CA 交于点K ,
∵M 为BD 中点, ∴MN 是△BDG 的中位线, ∴BG=2MN , 在△EDN 和?
CGN 中, DN NG
DNE GNC EN NC ??
∠∠???
===, ∴△EDN ≌△CGN (SAS ), ∴DE=CG=AE ,∠GCN=∠DEN , ∴DE ∥CG , ∴∠KCG=∠CKE ,
∵∠CAE=45°+30°+45°=120°, ∴∠EAK=60°, ∴∠CKE=∠KCG=30°, ∴∠BCG=120°, 在△CAE 和△BCG 中,
CAE BCG AE CG ?
∠∠???
== , ∴△CAE ≌△BCG (SAS ), ∴BG=CE , ∵BG=2MN , ∴CE=2MN .
【点睛】考查了等腰直角三角形性质,全等三角形的性质和判定,三角形的中位线,平行线性质和判定的应用,主要考查学生的推理能力.
5.思维启迪:(1)如图1,A ,B 两点分别位于一个池塘的两端,小亮想用绳子测量A ,B 间的距离,但绳子不够长,聪明的小亮想出一个办法:先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ,连接BC ,取BC 的中点P (点P 可以直接到达A 点),利用工具过点C 作CD ∥AB 交AP 的延长线于点D ,此时测得CD =200米,那么A ,B
间的距离是 米.
思维探索:(2)在△ABC 和△ADE 中,AC =BC ,AE =DE ,且AE <AC ,∠ACB =∠AED =90°,将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转,把点E 在AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置(此时点B 和点D 位于AC 的两侧),设旋转角为α,连接BD ,点P 是线段BD 的中点,连接PC ,PE .
①如图2,当△ADE 在起始位置时,猜想:PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ; ②如图3,当α=90°时,点D 落在AB 边上,请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系,并证明你的结论;
③当α=150°时,若BC =3,DE =l ,请直接写出PC 2的值.
【答案】(1)200;(2)①PC =PE ,PC ⊥PE ;②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC =PE ,PC ⊥PE ,见解析;③PC 2=1033
2
+. 【解析】 【分析】
(1)由CD ∥AB ,可得∠C =∠B ,根据∠APB =∠DPC 即可证明△ABP ≌△DCP ,即可得AB =CD ,即可解题.
(2)①延长EP 交BC 于F ,易证△FBP ≌△EDP (SAS )可得△EFC 是等腰直角三角形,即可证明PC =PE ,PC ⊥PE .
②作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,易证△FBP ≌△EDP (SAS ),结合已知得BF =DE =AE ,再证明△FBC ≌△EAC (SAS ),可得△EFC 是等腰直角三角形,即可证明PC =PE ,PC ⊥PE .
③作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点,由旋转旋转可知,∠CAE =150°,DE 与BC 所成夹角的锐角为30°,得∠FBC =∠EAC ,同②可证可得PC =PE ,PC ⊥PE ,再由已知解三角形得∴EC 2=CH 2+HE 2
=10+
求出2211022
PC EC +==
【详解】
(1)解:∵CD ∥AB ,∴∠C =∠B , 在△ABP 和△DCP 中,
BP CP
APB DPC B C =??
∠=∠??∠=∠?
, ∴△ABP ≌△DCP (SAS ), ∴DC =AB . ∵AB =200米. ∴CD =200米, 故答案为:200.
(2)①PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC =PE ,PC ⊥PE . 理由如下:如解图1,延长EP 交BC 于F , 同(1)理,可知∴△FBP ≌△EDP (SAS ), ∴PF =PE ,BF =DE , 又∵AC =BC ,AE =DE , ∴FC =EC , 又∵∠ACB =90°,
∴△EFC 是等腰直角三角形, ∵EP =FP , ∴PC =PE ,PC ⊥PE .
②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC =PE ,PC ⊥PE . 理由如下:如解图2,作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF , 同①理,可知△FBP ≌△EDP (SAS ), ∴BF =DE ,PE =PF =1
2
EF , ∵DE =AE , ∴BF =AE ,
∵当α=90°时,∠EAC =90°, ∴ED ∥AC ,EA ∥BC
∵FB ∥AC ,∠FBC =90, ∴∠CBF =∠CAE , 在△FBC 和△EAC 中,
BF AE CBE CAE BC AC =??
∠=∠??=?
, ∴△FBC ≌△EAC (SAS ), ∴CF =CE ,∠FCB =∠ECA , ∵∠ACB =90°, ∴∠FCE =90°,
∴△FCE 是等腰直角三角形, ∵EP =FP , ∴CP ⊥EP ,CP =EP =
1
2
EF . ③如解图3,作
BF
∥
DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点,
当α=150°时,由旋转旋转可知,∠CAE =150°,DE 与BC 所成夹角的锐角为30°, ∴∠FBC =∠EAC =α=150° 同②可得△FBP ≌△EDP (SAS ),
同②△FCE 是等腰直角三角形,CP ⊥EP ,CP =EP =2
2
CE , 在Rt △AHE 中,∠EAH =30°,AE =DE =1, ∴HE =
12,AH =3, 又∵AC =AB =3, ∴CH =3+
3
2
, ∴EC 2=CH 2+HE 2=1033+ ∴PC 2=
211033
22
EC +=
【点睛】
本题考查几何变换综合题,考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形性质、勾股定理和30°直角三角形性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于压轴题.
6.(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.
填空:线段AD,BE之间的关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.
【答案】(1) AD=BE,AD⊥BE.(2) AD=BE,AD⊥BE.(3) 5-32≤PC≤5+32.
【解析】
【分析】
(1)根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE(SAS),得AD=BE,∠EBC=∠CAD,延长BE 交AD于点F,由垂直定义得AD⊥BE.
(2)根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE(SAS),AD=BE,∠CAD=∠CBE,由垂直定义得∠OHB=90°,AD⊥BE;
(3)作AE⊥AP,使得AE=PA,则易证△APE≌△ACP,PC=BE,当P、E、B共线时,BE最小,最小值=PB-PE;当P、E、B共线时,BE最大,最大值=PB+PE,故5-32≤BE≤5+32.【详解】
(1)结论:AD=BE,AD⊥BE.
理由:如图1中,
∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形,
∴AC=BC,CE=CD,
∠ACB=∠ACD=90°,
在Rt △ACD 和Rt △BCE 中
AC BC ACD BCE CD CE ??
∠∠???
=== ∴△ACD ≌△BCE (SAS ), ∴AD=BE ,∠EBC=∠CAD 延长BE 交AD 于点F , ∵BC ⊥AD , ∴∠EBC+∠CEB=90°, ∵∠CEB=AEF , ∴∠EAD+∠AEF=90°, ∴∠AFE=90°,即AD ⊥BE . ∴AD=BE ,AD ⊥BE . 故答案为AD=BE ,AD ⊥BE . (2)结论:AD=BE ,AD ⊥BE .
理由:如图2中,设AD 交BE 于H ,AD 交BC 于O .
∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形, ∴AC=BC ,CE=CD ,∠ACB=∠ECD=90°, ∴ACD=∠BCE , 在Rt △ACD 和Rt △BCE 中
AC BC ACD BCE CD CE ??
∠∠???
===, ∴△ACD ≌△BCE (SAS ), ∴AD=BE ,∠CAD=∠CBE ,
∵∠CAO+∠AOC=90°,∠AOC=∠BOH ,
∴∠BOH+∠OBH=90°,
∴∠OHB=90°,
∴AD⊥BE,
∴AD=BE,AD⊥BE.
(3)如图3中,作AE⊥AP,使得AE=PA,则易证△APE≌△ACP,∴PC=BE,
图3-1中,当P、E、B共线时,BE最小,最小值=PB-PE=5-32,图3-2中,当P、E、B共线时,BE最大,最大值=PB+PE=5+32,∴5-32≤BE≤5+32,
即5-32≤PC≤5+32.
【点睛】
本题是几何变换综合题,考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找三角形全等的条件,学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考压轴题.
7.如图,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,22,10.△ADP沿点A旋转至△ABP′,连接PP′,并延长AP与BC相交于点Q.
(1)求证:△APP′是等腰直角三角形;
(2)求∠BPQ的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2)∠BPQ=45°.
【解析】
【分析】
(1)根据旋转的性质可知,△APD≌△AP′B,所以AP=AP′,∠PAD=∠P′AB,因为
∠PAD+∠PAB=90°,所以∠P′AB+∠PAB=90°,即∠PAP′=90°,故△APP′是等腰直角三角
形;
(2)根据勾股定理逆定理可判断△PP′B是直角三角形,再根据平角定义求出结果.
【详解】
(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∵△ADP沿点A旋转至△ABP′,
∴AP=AP′,∠PAP′=∠DAB=90°,
∴△APP′是等腰直角三角形;
(2)∵△APP′是等腰直角三角形,
∴PP′=2PA=2,∠APP′=45°,
∵△ADP沿点A旋转至△ABP′,
∴PD=P′B=10,
在△PP′B中,PP′=2,PB=22,P′B=10,
∵(2)2+(22)2=(10)2,
∴PP′2+PB2=P′B2,
∴△PP′B为直角三角形,∠P′PB=90°,
∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°.
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理及逆定理的综合运用,有一定难度,关键是明确旋转的不变性.
8.已知△ABC是边长为4的等边三角形,边AB在射线OM上,且OA=6,点D是射线OM上的动点,当点D不与点A重合时,将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,连接DE.
(1)如图1,求证:△CDE是等边三角形.
(2)设OD=t,
①当6<t<10时,△BDE的周长是否存在最小值?若存在,求出△BDE周长的最小值;若不存在,请说明理由.
②求t为何值时,△DEB是直角三角形(直接写出结果即可).
【答案】(1)见解析;(2) ①见解析; ②t=2或14.
【解析】
【分析】
(1)由旋转的性质得到∠DCE=60°,DC=EC,即可得到结论;
(2)①当6<t<10时,由旋转的性质得到BE=AD,于是得到
C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,于是得到结论;
②存在,当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形;当0≤t<6时,由旋转的性质得到∠ABE=60°,∠BDE<60°,求得∠BED=90°,根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°,求得∠CEB=30°,求得OD=OA-DA=6-4=2=t;当6<t<10时,此时不存在;当t>10时,由旋转的性质得到∠DBE=60°,求得∠BDE>60°,于是得到t=14.
【详解】
(1)∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,
∴∠DCE=60°,DC=EC,
∴△CDE是等边三角形;
(2)①存在,当6<t<10时,
由旋转的性质得,BE=AD,
∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,
由(1)知,△CDE是等边三角形,
∴DE=CD,
∴C△DBE=CD+4,
由垂线段最短可知,当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,
此时,CD=,
∴△BDE的最小周长=CD+4=
;
②存在,∵当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形,
∴当点D与点B重合时,不符合题意;
当0≤t<6时,由旋转可知,∠ABE=60°,∠BDE<60°,
∴∠BED=90°,
由(1)可知,△CDE是等边三角形,
∴∠DEB=60°,
∴∠CEB=30°,
∵∠CEB=∠CDA,
∴∠CDA=30°,
∵∠CAB=60°,
∴∠ACD=∠ADC=30°,
∴DA=CA=4,
∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2,
∴t=2;
当6<t<10时,由∠DBE=120°>90°,
∴此时不存在;
当t>10时,由旋转的性质可知,∠DBE=60°,
又由(1)知∠CDE=60°,
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC,
而∠BDC>0°,
∴∠BDE>60°,
∴只能∠BDE=90°,
从而∠BCD=30°,
∴BD=BC=4,
∴OD=14,
∴t=14,
综上所述:当t=2或14时,以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.【点睛】
本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定和性质,三角形周长的计算,直角三角形的判定,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
最新初中数学几何图形初步易错题汇编附答案解析 一、选择题 1.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是() A.B. C.D. 【答案】D 【解析】 解:如右图, 连接OP,由于OP是Rt△AOB斜边上的中线, 所以OP=1 2 AB,不管木杆如何滑动,它的长度不变,也就是OP是一个定值,点P就在以 O为圆心的圆弧上,那么中点P下落的路线是一段弧线. 故选D. 2.一副直角三角板如图放置,其中∠C=∠DFE=90°,∠A=45°,∠E=60°,点F在CB的延长线上.若DE∥CF,则∠BDF等于() A.30°B.25°C.18°D.15° 【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角形内角和定理可得45ABC ∠=?和30EDF ∠=?,再根据平行线的性质可得45EDB ABC ==?∠∠,再根据BDF EDB EDF =-∠∠∠,即可求出BDF ∠的度数. 【详解】 ∵∠C =90°,∠A =45° ∴18045ABC A C =?--=?∠∠∠ ∵//DE CF ∴45EDB ABC ==?∠∠ ∵∠DFE =90°,∠E =60° ∴18030EDF E DFE =?--=?∠∠∠ ∴15BDF EDB EDF =-=?∠∠∠ 故答案为:D . 【点睛】 本题考查了三角板的角度问题,掌握三角形内角和定理、平行线的性质是解题的关键. 3.如图,在正方形ABCD 中,E 是AB 上一点,2,3BE AE BE ==,P 是AC 上一动点,则PB PE +的最小值是( ) A .8 B .9 C .10 D .11 【答案】C 【解析】 【分析】 连接DE ,交AC 于P ,连接BP ,则此时PB+PE 的值最小,进而利用勾股定理求出即可. 【详解】 解:如图,连接DE ,交AC 于P ,连接BP ,则此时PB PE +的值最小 ∵四边形ABCD 是正方形 B D ∴、关于A C 对称 PB PD =∴ PB PE PD PE DE ∴+=+= 2,3BE AE BE ==Q
(易错题)小学数学二年级数学上册第三单元《角的初步认识》单元测试卷 (含答案解析) 一、选择题 1.下图中有()个角。 A. 6 B. 7 C. 8 2.下列图形中有两个直角的是()。 A. B. C. 3.下图共有()个角。 A. 4 B. 6 C. 8 4.把平角分成两个角,其中一个是锐角,另一个角是()。 A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 5.图中有()个直角。 A. 4 B. 6 C. 8 6.把一个平角分成两个角,其中一个锐角,另一个角一定是() A. 平角 B. 钝角 C. 直角 D. 锐角7.9时整,钟面上时针和分针所形成的角是()。 A. 直角 B. 钝角 C. 平角 8.下边的图形有()个角。 A. 1 B. 2 C. 3 9.3时30分,时针和分针构成一个()。 A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 10.三角尺中没有()。 A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 11.三角板上有()个直角。
A. 1 B. 2 C. 3 12.图形有()个直角。 A. 1个 B. 2个 C. 4个 二、填空题 13.下边的图形,有________个角,其中有________个锐角,________个直角,________个钝角。 14.直角的一半是________度,至少再增加________度就是一个钝角。(填整数)15.下图是一副三角尺拼成的,∠1是________。 16.一个长方形中有________个直角,两块手帕有________个直角。 17.如图: 一共有________个角,请你标出直角。________ 18.下图中有________个直角,________个钝角,________个锐角。 19.下图中,________是锐角,________是钝角。 A. B. C. 20.下列图形被剪掉一个角,还剩几个角? ________个角; ________个角;
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC,
三年级数学下册轴对称图形练习题 一、填空。 1、如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是(),折痕所在的直线叫做()。 2、圆的对称轴有()条,半圆形的对称轴有()条。 3、在对称图形中,对称轴两侧相对的点到对称轴的()相等。 4、()三角形有三条对称轴,()三角形有一条对称轴。 5、正方形有()条对称轴,长方形有()条对称轴,等腰梯形有()条对称轴。 6、如果把一个图形沿着一条直线折过来,直线两侧部分能够完全重合,那么这个图 形就叫做___________,这条直线叫做________. 7、对称轴_______连结两个对称点之间的线段. 8、宋体的汉字“王”、“中”、“田”等都是轴对称图形,?请再写出三个这样的汉字:_________. 9、长方形有_____条对称轴,正方形有_____条对称轴,圆有_____条对称轴. 10、如图是一种常见的图案,这个图案有_____条对称轴,请在图上画出对称轴. 11、右图是从镜中看到的一串数字,这串数字应为 . 12、下列图形中是轴对称图形的在括号里画“√”。二、选择题。 1、下列英文字母中,是轴对称图形的是() A、S B、H C、P D、Q 2、下列各种图形中,不是轴对称图形的是() 3、下图是一些国家的国旗,其中是轴对称图形的有() A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 4、下列图形中:角、线段、直角三角形、等边三角形、长方形,其中一定是轴对称 图形的有() A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 5、下列图形中,对称轴最多的是()。 A、等边三角形 B 、正方形 C 、圆 D、长方形 6、下面不是轴对称图形的是()。 A、长方形 B、平行四边形 C、圆 D、半圆 7、要使大小两个圆有无数条对称轴,应采用第()种画法。8题)
《几何图形初步》复习学案 知识点一:余角和补角的概念(思考什么叫互为余角,什么叫互为补角) 1.★若∠α=79°25′,则∠α的补角是() A.100°35′B.11°35′C.100°75′D.101°45′ 2 ★已知∠α与∠β互余,若∠α=43°26′,则∠β的度数是() A.56°34′B.47°34′C.136°34′D.46°34′ 3 ★已知α=25°53′,则α的余角和补角各是 4★★已知∠1=30°21’,则∠1的余角的补角的度数是() 知识点二从正面、上面、左面看立体图形 1★画出从正面、上面、左面三个方向看到的立体图的形状 2★从正面、上面、左面看圆锥得到的平面图形是() A.从正面、上面看得到的是三角形,从左面看得到的是圆 B.从正面、左面看得到的是三角形,从上面看得到的是圆 C.从正面、左面看得到的是三角形,从上面看得到的是圆和圆心 D.从正面、上面看得到的是三角形,从左面看得到的是圆和圆心 3★★下列四个几何体中,从正面、上面、左面看都是圆的几何体是() A 圆锥B圆柱C球D正方体 4★★一个几何体从正面、上面、左面看到的平面图形 如右图所示,这个几何体是() A 圆锥B圆柱C球D正方体 5★★观察下列几何体,,从正面、上面、左面看都是长方形的是() 6★★从正面、左面、上面看四棱锥,得到的3个图形是() ABC 7★★★如下图,是一个几何体正面、左面、上面看得到的平面图形,下列说法错误的是
() A.这是一个棱锥B.这个几何体有4个面 C.这个几何体有5个顶点D.这个几何体有8条棱 8★★★如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图,小正方形体的数 字表示该位置小立方块的个数,则从正面看该几何体的图形是() 知识点三:度分换算 1度分 °= 度分 °=°′ °=°′ 2分度 79°24′=°29°48′=° 把56°36′换算成度的结果是 把37°54′换算成度的结果是 知识点四对直线、射线、线段三个概念的理解 1 ★图中有条直线,条射线,条线段 2★★过ABC三点中两点的直线有多少条(画图表示) 3★★过ABCD四点中两点的直线有多少条(画图表示) A.1或4B.1或6C.4或6D.1或4或6 4 ★★同一平面内的四点,过其中任意两点画直线,仅能画四条,则这四点的位置关系是()A.任意三点不在同一直线上B.四点都不在同一直线上 C.四点在同一直线上D.三点在同一直线上,第四点在直线外 5 ★★已知A,B,C,D四点都在直线L上,以其中任意两点为端点的线段共有()条;已知A,B,C,D四点都在直线L上,以其中任意一点为端点的射线共有()条 6 ★★下列说法中正确的个数为()个 (1)过两点有且只有一条直线;(2)连接两点的线段叫两点间的距离; (3)两点之间所有连线中,线段最短;(4)射线比直线小一半. 知识点五线段计算——涉及分类讨论(线段双解问题,画图很重要!!!) 引例★:线段AB=15cm,BC=5cm,则线段AC等于() 1 ★线段AB=7cm, 点C在直线AB上,BC=3cm, 求线段AC长
图形的初步认识练习题
图形的初步认识练习题 一、精心选一选(每小题2分,共30分) 1、下列说法正确的是() A、直线AB和直线BA是两条直线; B、射线AB和射线BA是两条射线; C、线段AB和线段BA是两条线段; D、直线AB和直线a不能是同一条直线 2、下列图中角的表示方法正确的个数有() A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 3、下面图形经过折叠可以围成一个棱柱的是() 4、经过同一平面内任意三点中的两点共可以画出() A、一条直线 B、两条直线 C、一条或三条直线 D、三条直线 5、若∠A=20 o 18′,∠B=20 o 15′30〞,∠C=20.25 o,则() A、∠A>∠B>∠C B、∠B>∠A>∠C C、∠A>∠C >∠B D、∠C >∠A >∠B 6、如图,每个图片都是6个相同的正方形组成的,不能折成正方形的是() 7、如左图所示的正方体沿某些棱展开后,能得到的图形是( ) - 2 -
- 3 - 8、计算:50°24′×3+98°12′25″÷5= 9、在时刻8:30,时钟上的时针和分针的夹角是为( ) A 、85 ° B 、75° C 、70 ° D 、60° 10、一条铁路上有10个站,则共需要制 ( ) 种火车票。 A .45 B .55 C .90 D .110 11、一个正方体,六个面上分别写着六个连续的整数,且每个相对面上的两个数之和相等,如图所示,你能看到的数为7、10、11,则六个整数的和为( ) A .51 B .52 C .57 D .58 12、如果要在一条直线上得到10条不同的线段,那么在这条直线 上至少要选用( )个不同的点。 A .20 B .10 C .7 D .5 13、下列说法中错误的有( ) (1)线段有两个端点,直线有一个端点; (2)角的大小与我们画出的角的两边的长短无关; (3)线段上有无数个点;(4)两个锐角的和一定大于直角 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 14、如图∠AOD -∠AOC =( ) A 、∠ADC B 、∠BO C C 、∠BO D D 、∠COD 15、如图把一个圆绕虚线旋转一周,得到的几何体是( ) 二、细心填一填(每空2分,共30分) 16. 将下列几何体分类,柱体有: ,锥体有 (填序号) 。 A B C D 7 1 1