第三章 非线性方程求根

第三章 非线性方程求根

1. 用二分法求方程的正根，要求误差<0.05。

2. 用比例求根法求在区间[0,1]内的一个根，直到近似根满足精度

时终止计算。

3. 为求方程在

附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。

1），迭代公式； 2），迭代公式；

3）

，迭代公式。 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。

4. 比较求的根到三位小数所需的计算量；

1）在区间[0,1]内用二分法；

2) 用迭代法

，取初值。 5. 给定函数，设对一切存在且，证明对于范围内的任意定数λ，迭代过程均收敛于的根。

6. 已知

在区间[a,b]内只有一根，而当a

试问如何将化为适于迭代的形式？ 将

化为适于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。 7. 用下列方法求

在附近的根。根的准确值＝1.87938524…，要求计算结果准确到四位有效数字。

1) 用牛顿法；

2）用弦截法，取；

3）用抛物线法，取

。 8. 用二分法和牛顿法求的最小正根。 9. 研究求的牛顿公式

证明对一切

且序列是递减的。 10. 对于的牛顿公式，证明

收敛到，这里为的根。

11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度： 1) 012

=--x x 0sin 1)(=-=x x x f k x 005.0|)(|

/11k k x x +=+231x x +=3211k k x x +=+112-=x x 1/11-=+k k x x 0210=-+x e x 10/)2(1xk k e x -=+00=x )(x f )(,x f x 'M x f m ≤'≤<)(0M /20<<λ)(1k k k x f x x λ-=+)(x f *x )(x x ?=1|)(|>≥'k x ?)(x x ?=tgx x =013)(3=--=x x x f 20=x *x 9.1,110==x x 2,3,1210===x x x 0=-tgx x a ,0),(2101>+=

+x x a x x k k k a x k k ≥=,,2,1 ,,21x x 0)(=x f )(/)(1k k k k x f x f x x '-=+2

211)/()(-----=k k k k k x x x x R ))(2/()(**'''-x f x f *x 0)(=x f ?????<--≥=;0,;0,)(x x x x x f

2)

12. 应用牛顿法于方程，导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。 13. 应用牛顿法于方程，导出求的迭代公式，并用此公式求的

值。

14. 应用牛顿法于方程和，分别导出求的迭代公式，并求

15. 证明迭代公式 是计算的三阶方法。假定初值充分靠近根，求

?????<-≥=.0,;0,)(3232x x x x x f 02=-a x 3a 01)(2=-=x a x f a 1150)(=-=a x x f n 01)(=-=n x

a x f n a .

)/()(lim 21k n k n k x a x a --+∞→a

x a x x x k k k k ++=+2

2

13)

3(a 0x *x .)/()(lim 31k k k x a x a --+∞→