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1经典力学的推导

1经典力学的推导

在用经典力学的方法讨论卢瑟福散射问题时, 要用到在物理学中的一个很重要的公式——库仑散

图1带电粒子的库仑散射

射公式:

b = a

2

ctg

H

2

. (a ≡

z 1z 2e2

4PE

0E

称之为库仑散射因子)

其中, b 是瞄准距离(又称碰撞参数) , 即入射粒子与固定散射

体无相互作用情况下的最小直线距离. H为散射角(如图1).

下面先给出此公式的简明推导:

如图, 荷电z 1e 的粒子以速度v

入射, 在r

处受力

F

=

z 1z 2e2

4PE

0 r2 r0

, ( r0

为r

方向的单位矢量)

取x 轴水平向右, y 轴竖直向上, 此力沿x 轴、y 轴方向的分量为:

F x =

z 1z 2e2

4PE

0 r2co s U, F y =

z 1z 2e2

4PE

0 r2 sin U.

库仑力是保守力和中心力, 故运动过程中入射粒子机械能和角动量守恒:

1

2 m v 2

初=

1

2 m v 2

] v 初= v 末= v ,

m vb = m r2 d U

d t

] d t = r2

vb

d U.

在y 方向, 由牛顿运动定律, 有:

m

d vy

d t

= F y =

z 1z 2e2

4PE

0 r2 sin U] d vy =

z 1z 2e2

4PE

0m r2 sin U r2

vb

d U=

z 1z 2e2

4PE

0m vb

sin U d U,

y 方向速率变化范围为: 0→v sin H, U角的变化范围为: 0→P- H, ∫v sin H

d vy=

z 1z 2e2

4PE

0m vb∫P - H

sin U d U

] v sin H=

z 1z 2e2

4PE

0m vb

(1 + co s H)

] b =

4PE

0m v 2

1 + co s H

sin H =

z 1z 2e2

2 ×4PE

0E

ctg

H

2

= a

2

ctg

H

2

,

其中a≡

z 1z 2e2

4PE

0E

.

下面再推导卢瑟福散射公式:

b→b+ d b 之间的环状区域内入射的粒子散射到H→H+ d H之间的立体角内. 设薄箔面积为A , 厚度为t, 则:

一个粒子打在距一个原子b→b+ d b 之间的环状区域的几率为:

2P b d b

A

=

2P

A

( a

2

ctg

H

2

) (- a

2

csc2

H

2

1

2

d H) = - a22P sin H d H

H

2

= a2d8

16A sin4

H

2

.

薄箔中有nA t 个原子核, 即有nA t 个环, 一个粒子打在nA t 个原子核的环上的几率为:

d p (H) =

a2d8

16A sin4

H

2

nA t.

N 个粒子打在nA t 个原子核的环上被散射到H→H- d H之间的立体角内的粒子数为:

d N ′= N

a2d8

16A sin4

H

2

nA t = n tN

a2d8

16sin4

H

2

= n tN ( 1

4PE

z 1z 2e2

4E

) 2 d8

sin4

H

2

.

定义微分散射截面: R

c ≡

d R(H)

d8 ≡d N ′

N n t d8 = ( 1

4PE

4E

) 2 1

sin4

H

2

, 这就是著名的卢瑟福散射公式.

从上面的推导可以看出, 用经典力学的方法推导卢瑟福散射公式时, 关键是推导出库仑散射公式.

而库仑散射公式的推导方法在不同的书籍中不尽相同[1, 2, 3 ] , 我们这里给出了一种简明的方法.