数学分析简史

数学分析是微积分、函数学、微分方法、变分学、泛函分析等学科的总称，和几何学、代数学并列为数学的三大学科。
数学分析(Mathematical Analysis)是数学专业的必修课程之一，基本内容是微积分，但是与微积分有很大的差别。
《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。学好数学分析（和高等代数）是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课的必备的基础。

数学分析在当前被分为以下几个分支领域：
? 实分析是对于实值函数的微分和积分进行形式严谨(formally rigorous)的研究。这包括对极限，幂级数和测度的研究。
? 泛函分析研究函数空间和介绍例如巴拿赫空间以及希尔伯特空间的概念。
? 调和分析处理傅里叶级数以及其抽象。
? 複分析，是对从複平面到複平面的複数可微函数的研究。
? 数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律

数学分析的发展简史

（1） 古代的萌芽时期
公元前5世纪，希腊的德沃克里特创原子论，认为宇宙万物都是由院子所构成的，计算体积就等于将这些原子集合起来，这就已经孕育这积分的思想。而在《庄子.天下篇》中又有“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”至今仍常常本引用，作为已零为极限的例子。
积分的基本思想就是将所求的量分割成若干个细小的部分，找出某种关系之后，再把这些细小部分用便于计算的形式积累起来，最后求出未知量的值。这种“化整为零”的方法在阿基米德的著作之中就已经体现，即使在两千多年之后的今天，重温阿基米德的方法，任然使我们得到教益。
（2）牛顿.莱布尼茨初创时期
积分学的学理，经历饿了长达两千多年的探索道路，最后由牛顿、莱布尼茨集先人之大成，做出了系统的总结。他们的最大贡献就是讲两个貌似并不相关的问题联系起来，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。建立了两者之间的桥梁，用微积分基本定理或“牛顿-莱布尼茨公式”表达出来。
（3）18世纪的大发展
18世纪是一个分析的时代，在这个世纪数学分析得到了极大的发展，这是一个数学分析的黄金时代。
在这个时期最为代表性的任务是伯努利与欧拉。
雅各布.伯努利的代表作是《猜度术》，这是概率论的重要著作。他的弟弟约翰.伯努利在1969年提出一

个“最速降线”问题，后来导致变分学的诞生。
而欧拉则是可以与阿基米德、牛顿和高斯并称的数学家。在数学方面流传最广的就是他的《小分析引论》。
（4）19世纪基础的奠定
19世纪的关键人物是柯西与威尔特拉斯。
在柯西之前，通常已微分为微分学的基本概念，而导数学定义为微分的商。柯西在《概要》中直接定义导数为差商的极限。
在《极限》中，柯西还给出连续函数的积分定义。后来黎曼在1854年的论文《关于利用三角级数表示一个函数的可能性》中推广了柯西的定义，这就是现在所用的“黎曼积分”定义。
柯西以后，分析学的逻辑基础发展史上的重大事件是实数论的建立。这主要归功于戴德金、康托尔、威尔特拉斯等人。
1872年，戴德金提出用“分割”来定义无理数。梅雷也是在1872年发表《无穷小分析新纲要》一文，给出无理数的定义，和同一年康托尔提出的用有理“基本序列“来定义无理数实质相同。威尔斯特拉斯的无理数理论，可归结为递增有界数列极限存在原理。1892年巴赫曼在《无理数的性质》一文中创用“区间套原理”来简历实数理论。
有了实数理论，加上集合论和柯西、威尔斯特拉斯的极限理论，数学分析就有了巩固的逻辑基础，从而结束了300多年的混乱局面。