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2014高考数学阶段性检测(8)

2014高考数学阶段性检测(八)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.a 为正实数,i 为虚数单位,2=+i

i

a ,则=a ( ) (A )2

(B )3

(C )2

(D )1

【解析】选B.因为

2a i

i

+=,故可化为21=-ai ,又由于a 为正实数,所以1+a 2=4,得a =3,故选B . 2.135(21)

lim

(21)n n n n →∞++++-+ 等于( )

A.

14 B.1

2

C.1

D.2 答案:B

解析:本小题主要考查对数列极限的求解。依题

22135(21)1lim lim .(21)22

n n n n n n n n →∞→∞++++-==++ 3.从1,2,3,4,5中任取2各不同的数,事件A =“取到的2个数之和为偶数”,事件B =“取到的2个数均为偶数”,则P (B ︱A )=( ) (A )

18 (B )14 (C )2

5

(D )

1

2

【解析】选B ,从1.2.3.4.5中任取2个不同的数,共有10个基本事件:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).事件A 发生共有4个基本事件:(1,3),(1,5),(3,5),(2,4).事件B 发生共有1个基本事件:(3,5). 事件A ,B 同时发生也只有1个基本事件:(3,5).根据条件概率公式得,

()1

(/)()4

P AB P B A P A =

=.

4.已知函数()cos()f x A x ω?=+的图像如图所示,π2

()2

3

f =-,则(0)f =( ) 2()3A -

1()2B - 2()3C 1()2

D y

2

π

C 解析:由图可知

,22T T ππ==,2ω=, ∴()cos(2)f x A x ?=+,又7(,0)12

π

是图像上的点,∴762k ππ?π+=+,23k π?π=-,∵π2()23f =-,∴22cos()33

A k πππ+-=-,

即22cos()33A k ππ-

=,∴(0)f =2cos()3

A k ππ-=23。 5.已知偶函数()f x 在区间∞[0,+)上单调增加,则1

(21)()3

f x f -<的x 取值范围是( )

12()(,)33A 12()[,)33B 12()(,)23C 12()[,)23

D

A 解析:由已知有1|21|3x -<,即11

2133

x -<-<,

∴1233

x <<。 6.设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时()f x 是单调函数,则满足3

()(

)4

x f x f x +=+的所有x 之和为( )

A.3-

B.3

C.8-

D.8 答案:C

解析:本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。依题当满足3

()(

)4

x f x f x +=+时,即34

x x x +=

+时,得2

330x x +-=,此时12 3.x x +=-又()f x 是连续的偶函数,∴()()f x f x -=,∴另一种情形是3()()4x f x f x +-=+,即34

x x x +-=+,得2

530x x ++=,∴34 5.x x +=-∴满足3

()(

)4x f x f x +=+的所有x 之和为3(5)8.-+-=- 7.设函数???>-≤=-1

,log 11

,2)(21x x x x f x ,则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是( )

(A )1[-,2]

(B )[0,2]

(C )[1,+∞) (D )[0,+∞)

【解析】选D.不等式等价于11,2

2

x

x -≤??≤?或21,

1log 2,

x x >??

-≤?解不等式组,可得01x ≤≤或1x >,

即0x ≥,故选D.

8.已知sin cos 2αα-=,α∈(0,π),则tan α=( ) (A) - 1 (B) 22- (C) 22

(D) 1 【答案】A

【解析一】sin cos 2,2sin()2,sin()144

ππ

αααα-=

∴-=∴-=

3(0),,tan 14

π

απαα∈∴=

∴=- ,,故选A 【解析二】2sin cos 2,(sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-

33(0,),2(0,2),2,,tan 124

ππαπαπααα∈∴∈∴=

∴=∴=- ,故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和

运算求解能力,难度适中。

9.设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x ),f (x )=f (2-x ),且当[0,1]x ∈时,f (x )=x 3

.又函

数g (x )=|x cos ()x π|,则函数h (x )=g (x )-f (x )在13

[,]22

-上的零点个数为( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 【答案】B

【解析】因为当[0,1]x ∈时,f (x )=x 3. 所以当[1,2]-)[0,1]x x ∈∈时,(2,f (x )=f (2-x )=(2-x )3,

当1

[0,]2

x ∈时,g (x )=x cos ()x π;当13[,]22x ∈时,g (x )= -x cos ()x π,注意到函数f (x )、 g (x )

都是偶函数,且f (0)= g (0), f (1)= g (1),13

()()022

g g ==,作出函数f (x )、 g (x )的大致图

象,函数h (x )除了0、1这两个零点之外,分别在区间1113

[,0][][][1]2222

-、0,、,1、,上各有一个零点,共有6个零点,故选B

【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点,考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想,难度较大。 10.若[0,)x ∈+∞,则下列不等式恒成立的是( ) (A)2

1x

e x x ++… (B)

2111

1241x x x

<-++

(C)21cos 12x x -…

(D)21

ln(1)8

x x x +-… 【答案】C

【解析】设2211

()cos (1)cos 122

f x x x x x =--

=-+,则()()sin ,g x f x x x '==-+ 所以()cos 10g x x '=-+≥,

所以当[0,)x ∈+∞时,()()()(0)0,g x g x f x g '==为增函数,所以≥

同理21()(0)0cos (1)02

f x f x x =∴--≥,

≥,即21

cos 12x x -…

,故选C 【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,

考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大。

11.函数)(x f 的定义域为R ,2)1(=-f ,对任意R ∈x ,2)(>'x f ,则42)(+>x x f 的解 集为( )

(A )(1-,1)

(B )(1-,+∞) (C )(∞-,1-) (D )(∞-,+∞)

【解析】选B 。设g(x)= f(x)-(2x+4), g ’(x)= ()2f x '-.因为对任意x R ∈,2)(>'x f ,所以对任意x R ∈,g ’(x)>0,则函数g(x)在R 上单调递增.又因为g(-1)= f(-1)-(-2+4)=0,故g(x)>0,即f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).

12.若1x 满足225x

x +=,2x 满足222log (1)5x x +-=,则1x +2x =( )

5()2A ()3B 7

()2

C ()4D

(12)C 解析:252x

x =-,22log (1)52x x -=-,

即1

52

2x x -=

-,25

log (1)2

x x -=-, 作出1

52,2

x y y x -==-,2log (1)y x =-的图像(如图),

12x y -=与2log (1)y x =-的图像关于1y x =-对称,

它们与52y x =

-的交点A 、B 的中点为5

2

y x =-与 1y x =-的交点C ,12724

C x x x +==,∴1x +2x =7

2。

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22题-第24题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13.已知2

31(1)()n

x x x x

+++

的展开式中没有常数项,*,28n N n ∈剟,则

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n =______.

答案:5

解析:本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题3

1()n x x +

对*,28n N n ∈剟中,

只有5n =时,其展开式既不出现常数项,也不会出现与x 、2x 乘积为常数的项。

2

x

O

y

1

312

5

2

y x =

-1

2x y -=2

x 1x 2log (1)

y x =-1

y x =-A 3

C B

14.已知函数)(x f =A tan (ωx +?)(2

||,0π

?ω<>),y =)(x f 的部分图像如下图,

则=)24

(

π

f .

【解析】如图可知

8832ππ-=T ,即4

ωπ=,所以2=ω,再结合图像可得Z k k ∈+

=+?

,2

8

π?π

,即2

4

π

<

+

π?k ,所以4143<<-k ,只有0=k ,所以

4

π

?=

,又图像过点(0,1),代入得Atan

4

π

=1,所以A=1,函数的解析式为f (x )=tan (2x+

4π),则f (24π)= tan 6

π=3.

答案:3

15.调查了某地若干户家庭的年收入x (单位:万元)和年饮食支出y (单位:万

元),调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系,并由调查数据得到

y 对x 的回归直线方程:321.0254.0?+=x y

.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加____________万元.

【解析】由于321.0254.0?+=x y

,当x 增加1万元时,年饮食支出y 增加0.254万元. 答案:0.254

16.已知()sin()(0),()()363

f x x f f π

ππ

ωω=+

>=,且()f x 在区间(,)63ππ有最小值,无

最大值,则ω=__________. 答案:

14

3

解析:本小题主要针对考查三角函数图像对称性及周期性。依题

()sin()(0),()()363

f x x f f πππ

ωω=+>=且()f x 在区间(,)63ππ有最小值,无最大值,∴

区间(

,)63ππ为()f x 的一个半周期的子区间,且知()f x 的图像关于6324

x π

π

π

+

==对称,∴32,432

k k Z πππ

ωπ?+=+

∈,取0K =得14.3ω= 三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分)

在ABC △中,内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c .已知2,3

c C π

==.

⑴若ABC △的面积等于3,求,a b ;

⑵若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.

说明:本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角函数有关知识的能力.满分12分.

解析:(Ⅰ)由余弦定理及已知条件得,2

2

4a b ab +-=, 又因为ABC △的面积等于3,所以

1

sin 32

ab C =,得4ab =. ······························· 4分 联立方程组2244a b ab ab ?+-=?=?,

解得2a =,2b =. ··························································· 6分

(Ⅱ)由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=,

即sin cos 2sin cos B A A A =, ···························································································· 8分 当cos 0A =时,2A π=

,6B π=,433a =,23

3

b =, 当cos 0A ≠时,得sin 2sin B A =,由正弦定理得2b a =,

联立方程组2242a b ab b a ?+-=?=?,,

解得233a =,43

3b =.

所以ABC △的面积123sin 23

S ab C =

=

. ···································································· 12分 18.(本小题满分12分)

某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n 小块地,在总共2n 小块地中,随机选n 小块地种植品种甲,另外n 小块地种植品种乙.

(I )假设n =4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X ,求X 的分布列和数学期望;

(II )试验时每大块地分成8小块,即n =8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm 2

)如下表: 品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419

403

412

418

408

423

400

413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?

附:样本数据n x x x ,,,21???的的样本方差])()()[(1

222212x x x x x x n

s n -+???+-+-=,其中x 为

样本平均数.

【解析】(I )X 可能的取值为0,1,2,3,4,且

4

813444

822

444

831

444

84811

(0),70

8

(1),3518

(2),358

(3),

3511(4).70

P X C C C P X C C C P X C C C P X C P X C ==

============

= 即X 的分布列为

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………………4分 X 的数学期望为

181881()01234 2.7035353570

E X =?

+?+?+?+?= ………………6分 (II )品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

2

22222221

(403397390404388400412406)400,

8

1(3(3)(10)4(12)0126)57.25.

8

x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲

………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

2

222222221

(419403412418408423400413)412,

8

1(7(9)06(4)11(12)1)56.

8

x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙

………………10分 由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙. 19.(本小题满分12分)

已知集合A ={x ∈R|ax2-3x +2=0}.

(1)若A =?,求实数a 的取值范围;

(2)若A是单元素集,求a的值及集合A;

(3)求集合M={a∈R|A≠?}.

(1)A为空集,表示方程ax2-3x+2=0无解,根据一元二次方程根的个数与△的关系,我们易得到一个关于a的不等式,解不等式即可得到答案.

(2)若A中只有一个元素,表示方程ax2-3x+2=0为一次方程,或有两个等根的二次方程,分别构造关于a的方程,即可求出满足条件的a值.

(3)若A中至多只有一个元素,则集合A为空集或A中只有一个元素,由(1)(2)的结论,将(1)(2)中a的取值并进来即可得到答案

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20.(本小题满分12分)

设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)·|x-a|.

(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;

(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.

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21.(本小题满分12分)

已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=. (I )讨论)(x f 的单调性; (II )设0>a ,证明:当a x 10<

<时,)1

()1(x a

f x a f ->+; (III )若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ,B 两点,线段AB 中点的横坐标为x 0,证明:f '(x 0)<0.

【解析】(I )()(0,),f x +∞的定义域为 1(21)(1)

()2(2).x ax f x ax a x x

+-'=

-+-=- (i )若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加. (ii )若1

0,()0,a f x x a

'>==

则由得 且当11

(0,),()0,,()0.x f x x f x a a ''∈>><时当时

所以1()(0,)f x a 在单调增加,在1

(,)a

+∞单调减少. ………………4分

(II )设函数11

()(

)(),g x f x f x a a

=+--则 3222

()ln(1)ln(1)2,2()2.

111g x ax ax ax a a a x g x a ax ax a x =+---'=+-=+--

当1

0,()0,(0)0,()0x g x g g x a '<<

>=>时而所以. 故当10x a <<时,11

()().f x f x a a

+>- ………………8分

(III )由(I )可得,当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点,

故0a >,从而()f x 的最大值为1

1(),()0.f f a a

>且 不妨设1212121

(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a

<<<<<则 由(II )得111211

(

)()()0.f x f x f x a a a

-=+->= 从而122102

1,.2x x x x x a a

+>

-=>于是 由(I )知,0()0.f x '< ………………12分

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

如图,⊙O 和⊙/

O 相交于,A B 两点,过A 作两圆的切线分别交两圆于C ,D 两点,连接DB 并延长交⊙O 于点E 。证明 (Ⅰ)AC BD AD AB ?=?; (Ⅱ) AC AE =。

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【点评】本题主要考查圆的基本性质,等弧所对的圆周角相等,同时结合三角形相似这一知识点考查.本题属于选讲部分,涉及到圆的性质的运用,考查的主要思想方法为等量代换法,属于中低档题,难度较小,从这几年的选讲部分命题趋势看,考查圆的基本性质的题目居多,在练习时,要有所侧重.

23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系统与参数方程

在直角坐标xOy 中,圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=。

(Ⅰ)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆12,C C 的极坐标方程,并 求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求出12C C 与的公共弦的参数方程。

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【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的极坐标方程、普通方程与参数方程的互化、极坐标系的组成.本题要注意圆221:4C x y +=的圆心为)0,0(半径为21=r ,圆

222:(2)4C x y -+=的圆心为)0,2(半径为22=r ,从而写出它们的极坐标方程;对于两

圆的公共弦,可以先求出其代数形式,然后化成参数形式,也可以直接根据直线的参数形式写出。对于极坐标和参数方程的考查,主要集中在常见曲线的考查上,题目以中低档题为主. 24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

已知()|1|()f x ax a R =+∈,不等式()3f x …的解集为{|2x -剎1x …}。 (Ⅰ)求a 的值;

(Ⅱ)若|()2()|2

x

f x f k -…恒成立,求k 的取值范围。

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【点评】本题主要考查分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用,考查分类讨论思想在解题中的灵活运用,第(Ⅰ)问,要真对的取值情况进行讨论,第(Ⅱ)问要真对

)2

(2)(x

f x f 的正负进行讨论从而用分段函数表示,进而求出k 的取值范围。本题属于中

档题,难度适中.平时复习中,要切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用。